1 Richiami e complementi - Matematica e Applicazioni

Argomenti trattati nella settimana 21-25 ottobre 2013.
Il libro cui faccio riferimento, se non specificato altrimenti, è Lang, Algebra
lineare
Ancora rette e iperpiani pag. 26-30. Spazi vettoriali pag 35-38
• Definizione astratta di campo;
• definizione di spazio vettoriale;
• esempi. Zn2 ; K n se K è un campo.
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Richiami e complementi
1.1
Definizione di anello e di campo
Come spesso accade in matematica, si parte da un oggetto familiare e in
qualche modo concreto, per arrivare a una definizione astratta. Lo studio di
Z suggerisce la seguente definizione
Definizione 1. Un anello è un insieme A su cui sono definite due operazioni,che verranno denotate usualmente con + e ·, dette somma e prodotto
e tali che le seguenti condizioni siano verificate:
1) (A, +) è un gruppo abeliano;
2) (A, ·) è un semigruppo (· gode della proprietà associativa);
3) ∀ a, b, c ∈ A, (a + b) · c = a · c + b · c;
4) ∀ a, b, c ∈ A, a · (b + c) = a · b + a · c.
Le ultime due proprietà si dicono proprietà distributive di · rispetto a +.
Prima di approfondirne lo studio, diamo alcune nozioni e proprietà di carattere generale. Il lemma seguente riguarda alcune proprietà usate in modo
automatico in Z e che sono valide in un generico anello.
Lemma Sia (A, +, ·) un anello. Per ogni a, b ∈ A e per ogni n ∈ Z, si ha:
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i) 0A a = a0A = 0A ;
ii) a(−b) = (−a)b = −(ab);
iii) (na)b = a(nb) = n(ab).
Generalmente, a meno che non ci sia possibilità di equivoco, si scriverà ab
invece di a · b. Un anello si dice commutativo se · gode della proprietà commutativa; si dice dotato di unità se (A, ·) è un monoide, ossia · ha elemento
neutro. L’elemento neutro per la somma verrà in generale denotato con
0A ; quello del prodotto (ove esista) con 1A ; l’opposto di a ∈ A (reciproco)
rispetto al + con −a; l’inverso (reciproco) rispetto al · (se esiste) con a−1 ; un
elemento che ha inverso rispetto al prodotto si dirà semplicemente invertibile
o unitario.
Definizione 2. Si dice corpo un anello K dove ogni elemento non nullo è
invertibile.
Definizione 3. Si dice campo un corpo commutativo con almeno due elementi.
Aritmetica modulo n
Voglio dare un esempio di anello che sia diverso dai noti insiemi numerici.
Comincio col dare la definizione di congruenza modulo n in Z
Definizione 4. Sia n ∈ Z, un intero maggiore di 1. Due interi a e b si dicono
congrui modulo n e si scrive a ≡ b mod n se e solo se n/(a − b).
Osservazione 1. Il caso n = 1 è banale. Infatti a ≡ b mod 1 comunque si
scelgano a e b; se invece n < 0, n/(a − b) se e solo se −n/(a − b); non è quindi
restrittivo ricondursi alle congruenze modulo n per i soli n positivi.
È facile provare che la relazione di congruenza è una relazione di equivalenza
su Z. Inoltre con semplici calcoli si verificano le seguenti proprietà:
a ≡ a0 mod n, b ≡ b0 mod n ⇒ a + b ≡ a0 + b0 ;
(1)
a ≡ a0 mod n, b ≡ b0 mod n ⇒ ab ≡ a0 b0 .
(2)
La classe di equivalenza dell’intero a rispetto alla relazione di congruenza
Z
.
modulo n si denota con [a]n . L’insieme quoziente viene indicato con Zn = nZ
(1) e (2) permettono di definire le analoghe operazioni nell’insieme quoziente:
2
[a]n + [b]n = [a + b]n ,
[a]n [b]n = [ab]n .
Proposizione 1. Per ogni n ≥ 2 risulta Zn = {[0], [1], . . . , [n − 1]}.
Dimostrazione L’inclusione {[0], [1], . . . [n − 1]} è ovvia.
Per verificare l’inclusione opposta, sia [a] ∈ Zn ; poiché n 6= 0,
0≤r<n
a = nq + r,
per opportuni q, r ∈ Z. Pertanto [a] = [r]. 2
Teorema 1. (Zn , +, ·) è un anello commutativo con unità.
Dimostrazione A titolo d’esempio, proviamo la proprietà distributiva a
destra, cioè :
([a]n + [b]n )[c]n = [a]n [c]n + [b]n [c]n
per ogni [a]n , [b]n [c]n ∈ Zn . Prese infatti le tre classi [a]n , [b]n , [c]n , per
definizione si ha ([a]n + [b]n )[c]n = [a + b]n [c]n = [(a + b)c]n = [ac + bc]n ;
nell’ultimo passaggio abbiamo usato la proprietà distributiva tra gli interi.
Infine, dalla definizione di prodotto in Zn , segue
[ac + bc]n = [a]n [c]n + [b]n [c]n .
La verifica degli altri punti si esegue in modo analogo, riportandosi alle
analoghe proprietà di (Z, +, ·).
L’anello Zn è punto di partenza per lo studio dei campi finiti. In particolare
si prova che:
Teorema 2. L’anello Zn è un campo se e solo se n è un numero primo.
Dimostrazione Occorre determinare quando un elemento [a]n 6= [0]n sia
invertibile rispetto al prodotto. il problema è quindi quello di risolvere
l’equazione [a]n [x]n = [1]n . Occorre quindi risolvere l’equazione a coefficienti interi
ax − 1 = nq
nelle incognite x e q. È noto che un’equazione di questo tipo ammette
soluzioni intere se e solo se M.C.D.(a, n) = 1.(fare come ESERCIZIO)
La tesi segue.
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