Esercizio 1. La durata T di una componente meccanica di un auto si

Esercizio 1. La durata T di una componente meccanica di un auto si ritiene sia
descrivibile con una v.a. N 100; 102 (qui e nel seguito i numeri sono intensi in migliaia di
chilometri); questa è ritenuta la statistica in condizioni normali, cioè in assenza di difetti
speci…ci del pezzo meccanico. Il proprietario di una vettura che monta quella componente
ha riscontrato la rottura dopo soli 80 mila chilometri. Con che numero - una probabilità può quanti…care l’eccezionalità del suo personale evento, per contenstare la bontà del pezzo
meccanico alla casa costruttrice? Un’associazione di consumatori, rilevate le proteste di 9
proprietari, che hanno avuto una media epirica pari a 90, con che numero può quanti…care
l’eccezionalità di questo evento e cosa rappresenta tale numero nella teoria matematica?
1
Esercizio 2. La casa costruttrice trova una nuova lega per quel pezzo meccanico che,
pur non migliorando sensibilmente la durata media di funzionamento, però la rende più
certa, cioè ha una varianza minore. Svolge 30 prove e trova una varianza campionaria
pari a 6:52 . Che intervallo di …ducia, della forma 2min ; 2max , può dichiarare, al 90%,
distribuendo l’incertezza a metà tra le due code? Per rispondere, prima si trovino 0 < a < b
per cui
2
(n 1) S 2
(n 1) S 2
2
= 0:9
P( ; )
b
a
e su questa base si calcoli l’intervallo di …ducia dell’esempio speci…co.
2
1
Soluzioni
1. Il numero è P (T
P (T
80). Essendo T
T
80) = P
N (100; 10^2), vale (Z è una N (0; 1))
100
10
80
100
10
= P (Z
2) = 0:0227:
Per l’associazione il numero è P T n 90 , dove T 9 è la media aritmetica di un campione di taglia 9 con legge uguale a quella di T . Pertanto T 9 N 100; 10^2
,
9
P T9
T
90 = P
100 p
9
10
90
100 p
9
10
= P (Z
3) = 0:00134:
Questo numero è la soglia di accettazione di un test unilaterale.
2. Vale
P(
;
2
)
(n
1) S 2
b
(n
2
1) S 2
a
= P(
;
2
= P a
= Fn
Cerchiamo a; b tale che Fn
dispense)
1 (b)
= 0:95, Fn
1 (a)
(n
) a
1 (b)
2
2
n 1
Fn
b =
In conclusione, abbiamo trovato
2
min ;
2
max
=
"
#
1) S 2 (n 1) S 2
:
; 2
(n
2
0:95;n 1
0:05;n 1
Nell’esempio speci…co
29 6:52 29 6:52
;
= [28:789; 69:184] :
42; 56
17; 71
3
b
b
1 (a) :
= 0:05; quindi (con le notazioni delle
2
0:05;n 1
2
0:95;n 1
a =
1) S 2