Scelta sociale Definizione del problema Il teorema di impossibilità di

Scelta sociale
Definizione del problema
Il teorema di impossibilità di Arrow
Interpretazione e superamento attraverso l’indebolimento degli
assiomi
Definizione del problema
Il problema della scelta di un punto lungo la frontiera delle utilità
può essere affrontato ricorrendo al medesimo approccio
utilizzato per descrivere la scelta del consumatore razionale.
1) Occorre in primo luogo definire un ordinamento di preferenze
della società
2) Il punto scelto massimizza la funzione di benessere che
descrive queste preferenze.
L’ordinamento preferenziale della società deve completare
l’ordinamento ottenuto con l’applicazione del principio di Pareto.
Quindi la base da cui derivo questo ordinamento devono essere
le preferenze stesse degli individui
Devo quindi cercare un meccanismo che mi consenta di
aggregare le preferenze individuali per giungere ad un
ordinamento di preferenze sociali
Esempio: sistemi di voto
Problema di Arrow:
Verificare se è possibile passare da un sistema di preferenze
individuali date ad un sistema di decisione sociale dovendo la
procedura in questione soddisfare alcune condizioni
irrinunciabili.
Prerequisiti
Concetto di ordinamento
Indichiamo con R la relazione di preferenza debole
xRy significa che x è almeno tanto buono quanto y
Indichiamo con P la relazione di preferenza stretta
xPy significa che x è migliore di y
Indichiamo con I la relazione di indifferenza
xIy significa che x è equivalente ad y
Un profilo di preferenze è chiamato ordinamento se soddisfa le
seguenti proprietà
Riflessività per tutti gli x nell’insieme degli stati del mondo xRx
Completezza per tutti gli x nell’insieme degli stati del mondo xRy
oppure yRx
Transitività per tutti gli x, y, z nell’insieme degli stati del mondo
xRy e yRx implica xRz
Teorema di impossibilità
(Kenneth Arrow 1951)
Non esiste alcuna funzione del
benessere sociale che partendo da un
insieme di ordinamenti preferenziali
individuali consente di ottenere un
sociale
riflessivo,
ordinamento
completo e transitivo rispettando le
seguenti condizioni
U Dominio universale e illimitato
P Principio di Pareto Debole
D Assenza di dittatore
I Indipendenza
irrilevanti
dalle
alternative
Dominio Universale e illimitato
Tutti i profili preferenziali sono ammissibili ossia non esiste
alcuna limitazione a priori sulle preferenze dei singoli
Principio di Pareto debole
Date due alternative x e y se tutti gli individui della società
preferiscono in senso stretto x a y allora anche a livello sociale
deve essere xPy
Assenza di dittatore
Non esiste alcun individuo che. per tutte le coppie di alternative e
per tutti i possibili profili preferenziali degli altri membri della
collettività determini comunque la scelta sociale
Indipendenza dalle alternative irrilevanti
Nella scelta fra due alternative x e y sono rilevanti solo le
preferenze riguardanti questo specifico sottoinsieme, non
dovendosi quindi prendere in considerazione le preferenze
riguardanti le altre coppie di alternative.
Non dimostriamo il teorema ma cerchiamo di illustrarlo,
chiarendo la portata delle condizioni imposte, considerando un
meccanismo che soddisfa i quattro assiomi
Voto a maggioranza
Supponiamo tre individui e quattro alternative
Individuo A
Individuo B
Individuo C
xPyPzPw
xPyPwPz
yPwPxPz
Per ottenere un ordinamento possiamo far votare su coppie di
alternative
Risultato
xPy xPz xPw yPw yPz wPz
Risultato ordinamento
xPyPwPz
Soddisfa gli assiomi?
U - Il metodo può essere applicato qualsiasi siano i profili
preferenziali degli individui
P- Soddisfa il criterio di Pareto debole
Infatti per tutti è xPz e anche per la società
D - Non è dittatoriale
I è soddisfatta
consideriamo la scelta fra x ed y e supponiamo che il terzo
individuo cambi le proprie preferenze su w e z per cui
xPzPwPy
Se rivotiamo sarà sempre xPy dal punto di vista sociale
Perché il voto a maggioranza non è una possibile soluzione?
Supponiamo che le preferenze siano le seguenti
Individuo A
xPyPzPw
Individuo B
wPxPyPz
Individuo C
zPwPxPy
Il voto mi dà xPyPzPw ma wPx
Non è transitiva
Prendo tre alternative x, y, w da xPy e yPw non discende xPw
Noto come paradosso del voto o di Condorcet
Il teorema mi dice che un meccanismo di aggregazione esiste
(teorema di possibilità) ma viola le condizioni imposte. La ricerca
successiva ha sondato la percorribilità di soluzioni che
rinunciassero ad alcuni degli assiomi.
Transitività
La transitività è una condizione sufficiente per ottenere una
scelta sociale ma non è necessaria.
Se le preferenze sociali sono transitive sicuramente posso
individuare una alternativa che è almeno tanto buona quanto le
altre.
Tuttavia la transitività non è necessaria per scegliere
un’alternativa fra quelle disponibili per due ragioni
a) posso individuare un’alternativa che non è inferiore ad alcuna
delle alternative disponibili anche se la relazione di preferenza
della società è non transitiva (preferenze acicliche)
b) posso utilizzare dei meccanismi che partendo dalle
preferenze individuali producono una scelta fra le alternative
possibili senza cercare di creare un ordinamento sociale e poi
massimizzarlo (funzioni di decisione sociale).
Preferenze acicliche
La transitività delle preferenze non è necessaria per individuare
l’alternativa maggiormente preferita
Esempio
Individuo A
Individuo B
Individuo C
xPyPzPw
xPwPyPz
xPzPwPy
Con il voto a maggioranza fra coppie di alternative otteniamo
xPyPzPw e xPz xPw
quindi x è senza ambiguità l’alternativa migliore dal punto di vista
sociale. Tuttavia le preferenze sociali non sono transitive in
quanto
yPzPw ma wPy
La condizione necessaria per poter individuare l’alternativa
maggiormente preferita è l’aciclicità.
Una relazione binaria è aciclica quando esiste un’alternativa che
è almeno altrettanto desiderabile rispetto a tutte le altre.
Perché non richiedere semplicemente l’aciclicità?
a) In assenza di transitività la scelta dipende dal numero e dalle
caratteristiche delle alternative disponibili.
Esempio
Supponiamo che la società debba scegliere fra x ed y e che la
funzione del benessere sociale stabilisca che
xIy
ossia che entrambe le alternative possono essere scelte.
Se tuttavia esiste una terza alternativa per z per cui la funzione
del benessere sociale stabilisce xPz e yIz dobbiamo concludere
che la scelta migliore dal punto di vista sociale è x
Se x, y e z sono punti sulla frontiera di Pareto, la scelta di uno di
essi produrrà conseguenze in termini di distribuzione. Coloro che
sono favoriti dalla scelta di y possono porre in dubbio il
fondamento etico di un processo che fa dipendere il loro destino
in modo talmente arbitrario dall’insieme delle alternative prese in
considerazione
b) Le condizioni che occorre imporre per garantire l’aciclicità
sono comunque molto restrittive. In alcuni casi garantiscono
anche la transitività (per il metodo a maggioranza se il numero
dei votanti è pari)
c) in presenza di aciclicità si ottiene una funzione del benessere
sociale non dittatoriale ma si creano dei gruppi (delle
oligarchie) che determinano comunque la scelta
Funzioni di decisione sociale
Si riprenda l’esempio del paradosso del voto di Condorcet
Individuo A
Individuo B
Individuo C
xPyPzPw
wPxPyPz
zPwPxPy
Con il voto a maggioranza con i confronti a coppie si ottiene una
relazione di preferenze sociale che è intransitiva e ciclica.
xPyPzPwPx
e non è possibile definire l’alternativa maggiormente favorita dal
punto di vista della società
Si consideri ora il seguente metodo di voto: le alternative
vengono confrontate fra di loro e l’alternativa perdente viene
scartata. Viene scelta l’alternativa che sopravvive a tutti i
confronti.
Avremo
tra x e y vince x
tra x e z vince x
tra x e w vince w che è l’alternativa scelta.
(si osservi che il metodo soddisfa tutti altri assiomi di Arrow)
Perché non ricorrere a delle FDS?
In assenza di transitività le FDS forniscono delle scelte che
dipendono dal percorso seguito.
Cambiamo l’ordine di votazione nell’esempio precedente
Avremo
tra x e w vince w
tra w e y vince w
tra w e z vince z
In altri termini
1) non esiste alcun motivo per preferire un ordine di votazione
ad un’altro per cui la scelta appare irrazionale
2) il meccanismo è manipolabile. Se c’è un presidente che
sceglie l’ordine di votazione può influenzare la scelta sociale.
Dominio illimitato
Il teorema di Arrow mi dice che non esiste una funzione del
benessere sociale che soddisfa i requisiti P D I e che fornisca al
contempo un ordinamento transitivo per ogni articolazione delle
preferenze individuali che sia logicamente possibile.
Forse stiamo chiedendo troppo. Forse le preferenze che
effettivamente incontriamo nella realtà in società simili (ad
esempio paesi occidentali caratterizzati da un eguale livello di
sviluppo industriale) sono sufficientemente omogenee da
permettere la definizione di una FBS.
La domanda può essere quindi rovesciata: quali caratteristiche
devono avere le preferenze individuali affinché una particolare
funzione di decisione sociale che rispetta le condizioni del
teorema conduca ad una scelta non arbitraria?
Partiamo da un’osservazione banale. Se tutti gli individui hanno
le stesse preferenze possiamo sempre definire una FBS.
L’impossibilità deriva quindi dalla disomogeneità delle
preferenze.
Individuiamo un metodo per valutare il grado di disomogeneità
delle preferenze.
Consideriamo due società
Individuo A
Individuo B
Individuo C
Società omogenea
xPyPz
yPxPz
zPyPx
Società eterogenea
xPyPz
zPxPy
yPzPx
Nella società omogenea la FBS è yPxPz
Nella società disomogenea il voto a maggioranza semplice
comporta
xPyPzPx
Rappresentiamo le preferenze graficamente
società
I
omogenea
II
III
y
x
z
società
eterogenea
I
II
III
x
y
z
Nel caso della società omogenea i profili preferenziali sono a
picco singolo oppure unimodali. Gli individui A e C amano le
alternative estreme ma trovano un accordo sull’alternativa
intermedia y. Se x è asili nido privati, y asili nido pubblici ma con
tariffe, e z è asili pubblici gratuiti esiste una certa continuità nelle
preferenze che permette di giungere ad una scelta. Nel caso
della società eterogenea l’individuo B ama gli estremi ma detesta
la soluzione intermedia (o tutto o niente).
Quindi una misura della omogeneità delle preferenze può essere
l’assenza di picchi doppi o di preferenze bimodali.
Infatti è possibile dimostrare che se le preferenze sono a picco
singolo il voto a maggioranza semplice conduce ad una scelta
sociale. Inoltre è possibile stabilire quale sarà l’alternativa
vincente.
Per enunciare il teorema occorre definire il concetto di elettore
mediano.
Lo facciamo prendendo in considerazione un esempio in cui le
alternative tra cui scegliere non sono discrete ma continue.
Supponiamo che gli individui debbano scegliere la quantità di
bene pubblico da produrre. Supponiamo che gli individui abbiano
lo stesso reddito R e che il bene pubblico sia finanziato
ripartendone il costo in parti uguali fra tutti gli individui. Se il
costo marginale del bene pubblico è costante la quota a carico di
ogni individuo sarà pari a (cm*G)/N.
Reddito disponibile Y = R – (cm/N) *G
Graficamente
Reddito
disponibile
(Y)
Spesa pubblica (G)
Utilità
dell’individuo
i
Spesa pubblica (G)
Reddito
disponibile
(Y)
Curva di indifferenza individuo 1
Curva di indifferenza individuo 2
Curva di indifferenza individuo 3
Utilità
Spesa pubblica (G)
Individuo 1
Individuo 3
Individuo 2
x1 xm
x3
Spesa pubblica (G)
Dato che le preferenze sono a picco singolo possiamo
identificare ogni individuo con la sua alternativa maggiormente
preferita.
L’elettore mediano è quell’individuo la cui alternativa
maggiormente preferita lascia alla sua destra e alla sua sinistra
un egual numero di alternative maggiormente preferite (se
alternative dispari. Quando alternative pari la scelta mediana
lascia a destra o a sinistra il 50% delle alternative)
Si osservi che quando si confronta l’alternativa mediana con
tutte le alternative a destra, xm raccoglie i voti di tutti gli individui
che sono alla sinistra più il voto dell’elettore mediano. Tali voti
sono pari al 50% (se gli elettori sono pari) oppure sono il 50%
+1. L’alternativa xm non può quindi mai perdere contro le
alternative situate alla sua destra. Analogo ragionamento vale
per le alternative situate a sinistra. Quindi l’alternativa mediana
non è battuta da nessun’altra alternativa e verrà quindi scelta.
Il teorema dell’elettore mediano ci dice infatti che
Se esiste una distribuzione delle alternative per la quale i profili
preferenziali di tutti gli individui sono unimodali, allora
l’alternativa mediana, x , coincide con la scelta preferita a livello
sociale.
m
Elettore mediano
Se le preferenze sono a picco singolo è
quell’individuo
la
cui
alternativa
maggiormente preferita lascia alla sua
destra e alla sua sinistra un egual
numero di alternative maggiormente
preferite (se alternative dispari)
Quando alternative sono in numero pari
la scelta dell’elettore mediano lascia a
destra o a sinistra il 50% delle alternative
maggiormente preferite
Teorema dell’elettore mediano.
Se esiste una distribuzione delle
alternative per la quale i profili
preferenziali di tutti gli individui sono
unimodali, allora l’alternativa mediana
coincide con l’alternativa preferita a livello
sociale.
Osserva: la condizione di unimodalità è solo condizione
sufficiente affinché esista una scelta.
a) sebbene le preferenze siano a picco doppio può accadere che
il metodo a maggioranza produca una scelta (esercizio 9
prima parte)
b) quando non esiste un modo naturale per ordinare le
alternative, come nel caso di G, per verificare l’esistenza di
una rappresentazione a picco singolo dovrei ordinare le
alternative in tutti i possibili modi. Tuttavia se applicando
direttamente il voto a maggioranza non ottengo una scelta
significa che non esiste alcuna rappresentazione a picco
singolo
La questione dunque diviene: è plausibile ritenere che le
preferenze siano a picco singolo?
L’esempio del bene pubblico suggerisce che per molti problemi
di carattere economico la convessità delle curve di indifferenza
implichi l’unimodalità. Tuttavia in generale il problema è più
complesso se prendiamo una formulazione più generale del
problema vediamo che la convessità delle curve di indifferenza
non garantisce l’unimodalità. Quindi la restrizione del dominio
non rappresenta una via d’uscita pienamente soddisfacente.
Bene privato
w
U1
x
y
U’1
z
U’2
U2
Bene pubblico (G)
U1, U2
Individuo 2
Individuo 1
w
y
x
z
Bene pubblico (G)
Indipendenza dalle alternative irrilevanti.
Per comprendere portata ed implicazioni di questo assioma
occorre introdurre i concetti di misurabilità e comparabilità delle
utilità
Misurabilità
Significato dei numeri reali attributi ai livelli di utilità degli individui
Misurabilità con una scala ordinale
Se xPy allora U(x)>U(y)
Qualsiasi trasformazione monotona positiva (lineare o non
lineare) non modifica il contenuto informativo. Infatti anche
log U(x) > log U(y) e anche U(x)2>U(y)2 (se U è sempre positivo).
Differenze o rapporti fra valori della funzione di utilità non hanno
significato. Non ha senso dire che un’alternativa fornisce un
livello di utilità doppio di quello fornito da un’altra.
Misurabilità con scala cardinale
Non sono ha significato il livello dell’utilità ma anche la differenza
Ha senso ad esempio affermare che il passaggio dall’alternativa
y all’alternativa x produce un aumento di utilità superiore dal
passaggio dall’alternativa z all’alternativa y
U(x) – U(y) > U(y) – U(z)
Questo non ha senso con utilità ordinale
Esempio
100 – 81 > 9 – 1
Se prendo la radice quadrata ottengo 10 – 9 < 3 – 1
Se assegno un significato cardinale alle utilità la funzione di
utilità è unica a meno di trasformazioni affini
V(x) = a + b U(x)
V ( x ) − V ( y ) > V ( y ) − V (z )
a + bu( x ) − a − bu( y ) > a + bu( y ) − a − bv (z)
b[u( x) − u( y )] > b[u( y ) − v (z)]
esempio temperature
Comparabilità
Fa riferimento alla possibilità di paragonare le utilità di individui
differenti
Comparabilità e misurabilità sono due concetti distinti. Le utilità
individuali possono essere misurate secondo una scala cardinale
e tuttavia possono essere non comparabili.
Tuttavia le possibilità di comparare le utilità dipende dalle ipotesi
che faccio sulla misurabilità
Se utilità ordinale posso confrontare fra di loro i livelli di utilità ma
non le differenze.
Ad esempio posso dire che x fornisce all’individuo A la stessa
utilità che fornisce y all’individuo B ma non posso dire che x
fornisce ad A il doppio dell’utilità che z fornisce a B.
Se l’utilità è cardinale posso confrontare fra loro anche le
differenze in utilità.
La condizione di indipendenza dalle alternative irrilevanti serve
ad escludere che la funzione del benessere sociale utilizzi ogni
forma di informazione sulle intensità delle utilità. In altri termini
esclude che le utilità siano comparabili.
Esempio
Supponiamo che le utilità siano misurabili in maniera cardinale e
pienamente confrontabili
Perché escludere le comparazioni di utilità?
a) i meccanismi che valutano l’intensità delle preferenze sono
manipolabili
Esempio: metodo di votazione di Borda applicato alle preferenze
utilizzate per illustrare il paradosso del voto
x
y
z
w
IND. A
4
3
2
1
IND. B
3
2
1
4
IND. C
2
1
4
3
9
6
7
8
All’individuo B non conviene esprime correttamente le proprie
preferenze. Conviene invece dare i seguenti punteggi
1
7
3
7
2
8
4
8
in modo tale che sia w a vincere (a pari merito con z)
b) non è possibile misurare in maniera scientifica le utilità
Allo stato attuale delle conoscenze, nessuno è riuscito a varcare
il ponte fra le valutazioni individuali, difformi una dall'altra ed
inconoscibili, della curva dell'utilità della ricchezza e la uniforme
valutazione statale.... Se le cose stanno così a che la solenne
costruzione derivata dal sommo principio utilitaristico?
Guardando in fondo, si vede che la costruzione poggia tutta sulla
scelta arbitraria fatta dal legislatore, e per lui dallo studioso, di un
criterio qualunque di distribuzione dell'imposta consigliata dal
buon senso, dall'opportunità politica, dalla prevalenza di certi
sentimenti e di certi interessi” [Einaudi, 1938]
Conclusioni
L’assenza di un meccanismo ottimale rende necessario lo studio
dei meccanismi decisionali che vengono effettivamente utilizzati
nella realtà. Questo costituirà l’oggetto dell’ultima parte del corso
quando considereremo le procedure di bilancio Italiane.
L’ultimo tentativo di superamento del teorema di Arrow è da
attribuirsi ad Amartya Sen
Secondo Sen il problema del teorema di Arrow è la ristrettezza
della base informativa.
Da un lato è possibile effettuare dei confronti di utilità senza
ricorrere allo psicospopio
Dall’altro il Principio di Pareto fa sì che contino esclusivamente le
informazioni sulle utilità e non su altre caratteristiche delle
alternative prese in considerazione.
In altri termini il Teorema di Arrow adotta la posizione filosofica
nota come welfarismo: nel confronto fra Stati sociali alternativi
devono essere prese in considerazione solo le utilità degli
individui
Per evidenziare che il problema è insito nel principio di Pareto
Sen propone il paradosso del Paretiano Liberale
Impossibilità del Paretiano liberale
(A. Sen 1971)
Non esiste alcuna funzione di decisione
sociale che soddisfi simultaneamente le
condizioni
U – Dominio non ristretto
P – Principio di Pareto debole
L – Liberalismo: per ogni individuo
esiste una coppia di alternative su cui la
società accetta l’ordinamento di
preferenze individuale
Conseguenze
a) Il principio di Pareto non è moralmente neutrale
b) occorre allargare la base informativa della scelta sociale
introducendo nell’analisi la valutazione di aspetti che vanno al
di là delle preferenze individuali
Occorre prendere in esame approcci non welfaristi.
I principali approcci sviluppati nel corso degli anni ’70 sono
La teoria della giustizia procedurale di R. Nozick
e
La teoria contrattualista di J. Rawls
(anche Sen ha sviluppato un approccio detto dei functionings
che però non ha avuto lo stesso impatto degli autori di cui sopra)
Entrambi gli approcci possono essere definiti come teorie della
giustizia liberali.
In particolare per Rawls il problema è di individuare una teoria
della giustizia che sia accettabile in una società pluralista ossia
in cui gli individui hanno diverse concezioni del bene
R. Nozick
Anarchia, Stato e Utopia (1975)
Teoria della giustizia procedurale
Una allocazione è giusta se è il risultato
di una serie scambi che rispettano i
principi di
1) giustizia nell’acquisizione
2) giustizia nel trasferimento
J. Rawls
Una teoria della giustizia (1971)
Teoria contrattualista della giustizia
Una allocazione è giusta se é equa
E’ equo ciò che gli individui
sceglierebbero unanimemente ricorrendo
esclusivamente ai due poteri morali
• la capacità di un senso di giustizia
• la capacità di una concezione del bene
Come individuare le distribuzioni eque?
Attraverso un esperimento mentale: il
velo di ignoranza
Dietro il velo di ignoranza gli individui si
accordano su due principi
Ogni persona deve avere un eguale
diritto alla massima libertà che sia
compatibile con la libertà degli altri
(Principio di differenza)
Le differenze economiche e sociali
devono essere
a) a vantaggio di tutti
b) associate ad incarichi o posizioni aperti
a tutti.
Facciamo ora un passo indietro
Perché Arrow accetta il welfarismo?
Il punto è che il principio di Pareto (da cui deriva il welfarismo in
Arrow) nasce come reazione all’approccio normativo dominante
in economia nel corso dell’ottocento: l’utilitarismo.
Esistono svariate versioni di utilitarismo. Le principali
condividono tre caratteristiche
Welfarismo
Consequenzialismo
Ordinamento somma.
Nella forma base attribuita a J. Bentham, la somma delle utilità è
semplice in quelle più articolate, proposte da un’altro premio
Nobel Harsanyi, che prevedono dei pesi per le utilità individuali.
L’ordinamento somma cade quanto con l’affermarsi del
positivismo non si ritiene più possibile comparare le utilità.
Il principio di Pareto evita la somma ma mantiene il
consequenzialismo e il welfarismo.
Sebbene gli approcci di Nozick e di Rawls sono stati sviluppati in
secondo un approccio non welfarista può essere utile
rappresentare le funzioni del benessere sociale che si ispirano a
Rawls per comparare la scelta di Rawls con l’utilitarismo
Rawls
W = min{U a , U b }
le allocazioni eque soddisfano il principio del maxmin ossia
massimizzano l’utilità minima
Utilitarismo (Bentham)
W =Ua + Ub
Graficamente
utilità
N
individuo
b
stato minimale
R
funzione del benessere
sociale rawlsiana
E
45°
soluzione egualitaria
45°
utilità individuo a