Il grafico in alto rappresenta la funzione f(ξ), i cui valori sono
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Il grafico in alto rappresenta la funzione f(ξ), i cui valori sono
Prof. I. Guerra – a.a. 2009/10 Onde coniche L’interfaccia piana orizzontale tra due mezzi sovrapposti con velocità rispettivamente v1 e v 2 costanti (v1 < v2), è rappresentata in figura dalla retta orizzontale assunta come asse delle distanze x. Al tempo t = 0, dal punto S nel primo mezzo, di coordinate (0, h), viene emessa un’onda sismica che incide sull’interfaccia con angolo critico ic = arcsen (v1/v2) nel punto P di ascissa xP = h tg ic. Il tempo di arrivo in P è tP = SP/ v1 = hS / (v1 cos ic). In tale istante, per il principio di Huygens P diventa esso stesso una sorgente di onde che si propagano lungo l’interfaccia con velocità v2 in quanto questa appartiene al mezzo inferiore. Un punto generico X di ascissa xX > xP viene raggiunto dall’onda generata in P al tempo tX = tP + (xX – xP) / v2 Al tempo tQ = tP + (xQ – xP) / v2 in cui l’onda arriva nel punto Q di ascissa xQ > xP, il fronte dell’onda emessa da X nel mezzo a velocità v1 è la semisfera di raggio rX dato da rX = (tQ - tX) v1 = (xX – xP) v1 / v2 = (xQ – xX) sen ic L’equazione di questa semisfera è: 2 2 (x – xX) + (y – yX) = (1) rx2 cioè, essendo yX = 0, x² + y²- 2 xX x + xX² - rX² = 0 (2) Una generica retta ha equazione y = a x + b. Imponendo che essa passi per Q, deve essere a xQ + b = yQ = 0 cioè b = - a xQ. Le infinite rette passanti per Q sono perciò rappresentate tutte dall’equazione: y = a x - a xQ (3) corrispondendo ciascuna ad uno degli infiniti possibili valori del coefficiente angolare a. Le intersezioni della retta (3) con la circonferenza (2) si ottengono risolvendo il sistema costituito da (2) e (3), il che può essere fatto sostituendo la (3) nella (2). Si ottiene in questo modo: x² - 2 xX x + xX²+ a² x² - 2 a² x xQ + a² xQ² - rX²= 0 che può essere scritta: (1 + a²) x² - 2 (xX + a² xQ) x + xX² + a² xQ² - rX² = 0 Per trovare il valore di a per cui la retta per Q è tangente alla circonferenza, basta imporre la condizione che questa equazione abbia una sola soluzione, cioè che si annulli il suo discriminante: Δ = (a² xQ + xX)² - (1 + a²) (a² xQ² + xX² - rX²) = 0 a4 xQ² +2 a² xX xO + xX² - a² xQ² - xX² + rX² - a4 xQ² - a² xX² + a² rX² = 0 (2 xX xO- xQ² - xX²) a² + rX² + a² rX² = 0 -(xQ – xX)² a² + (xQ – xX)² sen² ic + (xQ – xX)² a² sen² ic = 0 - a² + sen² ic + a² sen² ic = 0 ——→ (sen² ic –1) a² = - sen² ic a² = sen² ic / (1 - sen² ic) = tg² ic a = ± tg ic [per la (1)] Prof. I. Guerra – a.a. 2009/10 Il risultato ottenuto si può interpretare dicendo che esistono due rette per Q tangenti alla circonferenza che nel piano x,y rappresenta il primo fronte d’onda emesso da X, inclinate di un angolo ± ic rispetto all’asse delle x. Nel caso particolare, si è interessati solo a quella con pendenza –ic, in quanto l’altra rappresenta la tangente nel mezzo inferiore. È evidente che la pendenza non dipende dallo specifico punto X preso in considerazione, per cui la retta identificata dalla pendenza -ic è tangente ai fronti d’onda emessi da tutti i punti compresi tra P e Q, rappresentandone l’inviluppo: essa quindi, per il principio di Huyghens, costituisce il fronte d’onda nel mezzo superiore al tempo tQ. Le stesse considerazioni possono essere svolte per qualsiasi punto Q con xQ > xP. Si può quindi affermare che tutti i fronti d’onda sono rappresentati tutti da rette con pendenza pari a –ic. Le onde che si propagano nel mezzo superiore quindi sono piane ed i relativi raggi, ad esse perpendicolari, sono delle rette. Dalla figura si vede che il raggio XT della circonferenza con centro in X e passante per il punto T di tangenza è perpendicolare al segmento TQ, per cui il triangolo XQT è rettangolo in T: i cateti TQ e XT forniscono rispettivamente le direzioni dei fronti d’onda e dei raggi. I raggi XT formano con l’asse y un angolo pari proprio ad ic: nella situazione rappresentata in figura i raggi rifratti criticamente riemergono nel mezzo di provenienza con un angolo pari a quello critico. Alle circonferenze ed alla loro retta-inviluppo che in due dimensioni rappresentano i fronti d’onda generati dai singoli punti ed il fronte d’onda complessivo, corrispondono in tre dimensioni altrettante superficie sferiche ed una superficie conica che le inviluppa. Per questo motivo le onde generate nel mezzo di provenienza da un’onda che subisce la rifrazione critica al passaggio in un mezzo più veloce, si dicono onde coniche. Questa è una locuzione piuttosto obsoleta, usata prevalentemente nei testi francesi ed italiani. Nei testi in lingua inglese si utilizza il termine head waves; in quelli italiani solitamente si parla semplicemente di onde rifratte omettendo l’avverbio criticamente, che viene esplicitato solo quando non emerga chiaramente dal contesto di cosa si intende parlare.