Cinematica ed equilibrio del corpo rigido
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Cinematica ed equilibrio del corpo rigido
Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Comportamento meccanico dei materiali Cinematica ed equilibrio del corpo rigido Cinematica piana Equilibrio esterno Caratteristiche di sollecitazione 2 © 2006 Politecnico di Torino 1 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Cinematica ed equilibrio del corpo rigido Cinematica piana Rotazione rigida “finita” Rotazione rigida infinitesima Vincoli Cinematica delle strutture piane 4 © 2006 Politecnico di Torino 2 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Cinematica piana Rotazione finita nel piano (1/8) π’ π B A’ B’ A La figura piana π si muove in π’. Il moto è rigido: cioè nessun segmento cambia la sua lunghezza. 6 © 2006 Politecnico di Torino 3 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Rotazione finita nel piano (2/8) π’ π B A’ B’ A Il segmento AB si sposta in A’B’. Il segmento AA’ è lo spostamento di A, BB’ lo spostamento di B. 7 Rotazione finita nel piano (3/8) b a C π’ π A’ B’ HA B HB A Per HA e HB, punti medi dei segmenti AA’ e BB’ , conduco le perpendicolari, cioè traccio i due “assi” a e b. Gli assi s’intersecano in C. 8 © 2006 Politecnico di Torino 4 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Rotazione finita nel piano (4/8) b a C π’ π A’ B’ HA HB A Per definizione di “asse” si ha l’uguaglianza delle B lunghezze: CA=CA’ CB=CB’ e infine era: AB=A’B’. Quindi, avendo tre lati uguali, sono uguali i triangoli: CAB = CA 'B ' . 9 Rotazione finita nel piano (5/8) Siccome C è in comune, il moto del segmento AB (spostamento rigido finito) può essere pensato come una rotazione attorno a un punto fisso C, che assume il significato di centro “medio” della rotazione. Questo non significa che C sia centro “medio” di rotazione di altri segmenti, o di tutti … occorre quindi indagare ulteriormente. 10 © 2006 Politecnico di Torino 5 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Rotazione finita nel piano (6/8) a C π’ A’ π B D ϕ ϕ HA D’ B’ A Se ora prendiamo un segmento AD per A’ e formante con AB un angolo ϕ … 11 Rotazione finita nel piano (7/8) a C π’ A’ π ϕ ϕ D’ B’ HA B Angoli: CÂB=CÂ’B’ BÂD=B’Â’D’ CÂD=CÂ’D’ D A … ma siccome era anche: CA=CA’ ; AD= A’D’ sono uguali i triangoli: CAD=CA’D’ perché hanno uguali due lati e l’angolo compreso... © 2006 Politecnico di Torino 12 6 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Rotazione finita nel piano (8/8) d a C …ma allora: CD=CD’ π’ π D A’ HA HD A D’ Quindi il punto C è sull’asse di DD’. Ma C era anche sull’asse di AA’ , perciò è centro di rotazione del segmento AD’. Procedendo così si può prendere qualsiasi segmento. 13 Rotazione finita nel piano: conclusione 1 Si conclude: tutti i segmenti del corpo rigido ruotano attorno al medesimo centro di rotazione (rigida, finita) C. In altri termini: lo spostamento roto-traslatorio “finito” di un corpo rigido (nel piano) è sempre definibile come una rotazione rigida attorno a un punto C. 14 © 2006 Politecnico di Torino 7 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Rotazione finita nel piano: conclusione 2 d a C π’ A’ π HA D’ HD A La conseguenza di ACD=A’CD’, cioè il fatto che siano uguali gli D angoli sotto cui da C si vedono i segmenti AD e A’D’ … è: A’ĈD=AĈD+A’ĈA=A’ĈD’+D’ĈD ⇒ A’ĈA=D’ĈD cioè sono uguali gli angoli sotto cui da C si vedono gli spostamenti AA’ e BB’. 15 Cinematica piana © 2006 Politecnico di Torino 8 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Atto di moto (1/5) Se si fa tendere A’B’ ad AB , ovvero se si prendono spostamenti infinitesimi: C AA’=dA ; BB’=dB dB si definisce l’atto di moto nell’intorno della posizione iniziale A-B. B’ B dA A’ HA A 17 Atto di moto (2/5) Come dimostrato in precedenza per le rotazioni finite, l’angolo δϑ è lo stesso per gli spostamenti di tutti i punti, quindi per A e B, o, in generale, per qualsiasi punto P, che subisce uno spostamento PP’. dϑ dϑ dB B’ B dA A’ © 2006 Politecnico di Torino C HA A 18 9 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Atto di moto (3/5) Inoltre il valore degli spostamenti si calcola: dϑ C ⎛ dϑ ⎞ dA = 2 CA ⋅ sin ⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ dϑ ≅ 2 ⋅ CA ⋅ = CA ⋅ dϑ 2 dB e quindi per un qualsiasi punto P: dP = CP ⋅ dϑ B’ B dA A’ HA A 19 Atto di moto (4/5) E inoltre per: dA, dB → 0 ovvero per: dϑ → 0 dϑ C ˆ ' , CBB ˆ ' → 90° CAA e C raggiunge la sua posizione per l’atto di moto nell’istante considerato. dB B dA A © 2006 Politecnico di Torino 20 10 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Atto di moto (5/5) P=A, B, … altro Al limite: non è possibile rappresentare lo spostamento, ma si può rappresentare la velocità C dP CP ⋅ dϑ = dt dt in una scala diversa da quella utilizzata per i segmenti. La velocità visualizza lo spostamento infinitesimo dP = CP dϑ B A 21 Calcolo della cinematica (1/11) La rotazione infinitesima dell’angolo d ϑ attorno a C sposta un punto P di un segmento dP : dP = i ⋅ d ϑ ⋅ CP 123 i = operatore che ruota CP , inteso come segmento orientato da C a P, di 90° nello stesso senso in cui è positiva la rotazione dϑ . C dϑ P dP 22 © 2006 Politecnico di Torino 11 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Calcolo della cinematica (2/11) Perciò: ogni atto di moto infinitesimo di un corpo può essere pensato come una rotazione infinitesima di valore angolare dϑ attorno a un centro di rotazione istantanea C. Questo centro di rotazione istantanea, in generale, cambia nel tempo, tranne nei casi in cui esso sia un punto fisso (ad esempio, quando il corpo è vincolato tramite una cerniera o un perno). 23 Calcolo della cinematica (3/11) Se il punto C è all’infinito, come capita quando gli spostamenti agli estremi di un segmento qualsiasi del corpo sono uguali in valore, direzione e verso, il moto è una traslazione rigida: A B HA HB A’ (∞ ) B’ C (∞ ) © 2006 Politecnico di Torino 24 12 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Calcolo della cinematica (4/11) E’ importante sapere che il centro di istantanea rotazione C esiste sempre, e quindi che ogni atto di moto è una rotazione rigida infinitesima attorno a un centro di rotazione. Può essere però conveniente esprimere il moto senza fare esplicito il riferimento al punto C, che potrebbe non essere stato determinato; si può, ad esempio, esprimere il moto di B a partire dal moto del punto A; vediamo come. 25 Calcolo della cinematica (5/11) Dall’esistenza di C: dB = i · dϑ· CB dB = i · dϑ· (CA + AB) = i · dϑ· CA + i · dϑ· AB Quindi: dA dB = dA + i · dϑ· AB Cioè, il moto di B può essere pensato come la somma dello spostamento di A più il moto rotatorio di B relativamente ad A… 26 © 2006 Politecnico di Torino 13 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Calcolo della cinematica (6/11) … ossia come una traslazione rigida di valore dA più una rotazione attorno ad A. A dA dB = dA + i · d ϑ· AB A’ B dϑ dA i · dϑ · AB con la medesima rotazione, unica per tutto il corpo B’ 27 Calcolo della cinematica (7/11) I moti dA e dB non possono essere dati in modo indipendente. Moltiplicando scalarmente secondo la direzione Z dell’asse AB : Z= AB AB Poiché i · dϑ · AB è ortogonale ad AB : dB · Z = dA · Z + (i · dϑ· AB) · Z ⇒ dA · Z =0 © 2006 Politecnico di Torino 28 14 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Calcolo della cinematica (8/11) Quindi dB e dA devono avere la medesima proiezione secondo AB . Questa è una A conseguenza del fatto che A’B’ dB dA deve avere la A’ stessa lunghezza di AB . B dϑ dA B’ Z 29 Calcolo della cinematica (9/11) Dato un dA , sono compatibili solo i dB che soddisfano a questa condizione, che espressa graficamente: A = dA = B dB compatibili 30 © 2006 Politecnico di Torino 15 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Calcolo della cinematica (10/11) Tutto quanto dimostrato esattamente per rotazioni rigide infinitesime verrà considerato valido, nell’ambito di una approssimazione, per rotazioni rigide finite ma molto piccole, cioè tali da produrre spostamenti molto piccoli rispetto ai segmenti che vengono ruotati. 31 Calcolo della cinematica (11/11) Indicativamente, possiamo assumere che siano numericamente “piccole” le rotazioni da 0° a 8°. C A ϑ B AB = CB cos ϑ ϑ2 Sviluppando in serie, cos ϑ ≅ 1 − 2 e se: ϑ < 8° cos ϑ = 0,99 K la lunghezza CB differisce da AB di meno dell’1% 32 © 2006 Politecnico di Torino 16 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Cinematica piana Tipi di vincoli (1/4) Noi studiamo i soli vincoli puntuali: sono impedimenti a spostamenti o rotazioni in un dato punto. Si possono realizzare in modi diversi, ma vengono classificati per “tipi” a seconda di quali sono i gradi di libertà cinematici (ossia le componenti di spostamento o rotazione) che essi vincolano 34 © 2006 Politecnico di Torino 17 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Tipi di vincoli (2/4) Descrizione Simbolo Appoggio in A: B A Impedisce solo la traslazione nella direzione v → v(A) = 0 v Cerniera in A: Impedisce gli spostamenti secondo le due direzioni v , h ; B A v h → v(A) = 0 ; h(A) = 0 Impedisce cioè ogni traslazione nel piano. 35 Tipi di vincoli (3/4) Simbolo Descrizione v A α h B A oppure A B © 2006 Politecnico di Torino Incastro in A: B } Impedisce spostamenti e rotazione: v(A) = 0 ; h(A) = 0 ; α (A) = 0 Pattino in A: Impedisce lo spostamento secondo h e la rotazione α ; h(A) = 0 ; α (A) = 0 (rappresentazione equivalente come “bipendolo”) 36 18 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Tipi di vincoli (4/4) Questi erano i vincoli esterni, cioè capaci di annullare gradi di libertà rispetto ad un riferimento fisso, esterno alla struttura. Ci possono essere anche vincoli interni, tra diversi elementi della struttura. A C B D cerniera (interna) appoggio (esterno) cerniera (esterna) 37 Vincoli e strutture (1/2) A seconda di quanti e quali sono i vincoli, si ottengono strutture rigide di caratteristiche diverse. corpo 2 corpo 1 corpo 3 38 © 2006 Politecnico di Torino 19 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Vincoli e strutture (2/2) Premettiamo che i segmenti che rappresentiamo non sono necessariamente simboli per barre o travi, ma vanno intesi più in generale come segmenti che uniscono punti di vincolo (interni o esterni) di corpi aventi forma qualsiasi. corpo 2 corpo 1 corpo 3 39 Cinematica piana © 2006 Politecnico di Torino 20 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Determinazione cinematica Se i vincoli sono tali che tutti i movimenti sono determinati una volta che sia stato assegnato il valore di uno di essi, allora si ha una struttura cinematicamente determinata o meccanismo. corpo 2 corpo 3 corpo 1 41 Esempio A (1/7) Un esempio semplice: (NOTA: si assegnano spostamenti infinitesimi e rotazioni infinitesime) A C B D dv dv A dh dϑ Assegniamo ora lo spostamento, verticale in A: dv A 42 © 2006 Politecnico di Torino 21 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Esempio A (2/7) dB = dA + i ⋅ dϑAC ⋅ AB = dv A + i ⋅ dϑAC ⋅ AB ⇒ dv A + dϑAC ⋅ AB A in proiezione verticale C B D dv dv A dh dϑ dC = dv A + i ⋅ dϑAC ⋅ AC ⇒ dv A + dϑAC ⋅ AC in proiezione verticale 43 Esempio A (3/7) dD = dC + i ⋅ dϑCD ⋅ CD ⇒ dv C + dϑCD ⋅ CD A B dϑAC in proiezione verticale C D dv dv A dh dϑ Condizioni di vincolo: dB = 0 ⇒ dϑAC = − dv A AB 44 © 2006 Politecnico di Torino 22 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Esempio A (4/7) Segue, in proiezione verticale: ⇒ dv C = dv A − ⎛ ⎛ BC ⎞ dv A AC ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = dv A ⎜⎜ − ⋅ AC = dv A ⎜⎜1 − AB AB ⎠ ⎝ ⎝ AB ⎠ v P B A C D dv A dϑAC ⇒ dv P = dv A − dv C ⎛ ⎛ BP ⎞ dv A AP ⎞ ⎟⎟ = dv A ⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ AP = dv A ⎜⎜1 − AB AB ⎠ ⎝ ⎝ AB ⎠ 45 Esempio A (5/7) C B A D dv A dϑAC dv C Tratto AC: lo spostamento di A è dato, quello di B è nullo, perciò: ZAP dv A P A B ⎛ Z − Z AB ⎞ ⎟⎟ dvP = dv A ⎜⎜ − AP Z AB ⎝ ⎠ © 2006 Politecnico di Torino C dv C 46 23 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Esempio A (6/7) C B A D dv A dv C Tratto CD: lo spostamento di C è noto, perciò: dv dh dϑ dv D = dv C + dϑCD ⋅ CD = 0 → dϑCD dϑCD dv =− C CD C P dv C D dD = 0 47 Esempio A (7/7) C B A D dv A dϑAC dv C Il diagramma degli spostamenti, solo verticali: dv A B A C dv C D dD = 0 48 © 2006 Politecnico di Torino 24 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Esempio B (1/3) A dv A B C D A B C dv A Soluzioni possibili per dD compatibili con la rigidezza di CD C dv C F E dv C = D = 49 Esempio B (2/3) A dv A B C D C dv C D In questo caso, solo la soluzione verticale è compatibile con la cinematica di (D,E,F). © 2006 Politecnico di Torino dv D D F E dv F = E 50 F 25 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Esempio B (3/3) A dv A B C D E D E F Il diagramma degli spostamenti: B C A F 51 Esempio C (1/3) Se i vincoli non sono sufficienti, parti della struttura si possono muovere in più modi, non univocamente determinati da un solo grado di libertà. La struttura è allora cinematicamente indeterminata. B C = A D = F E 52 © 2006 Politecnico di Torino 26 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Esempio C (2/3) Il moto in D può avere una direzione qualsiasi, perché il punto E può avere uno spostamento orizzontale, e perché inoltre ci può essere una rotazione di (D,E,F) attorno a E. B C = A D = F E 53 Esempio C (3/3) La cinematica di (D,E,F) è indeterminata. B C A D B E F E F C A D 54 © 2006 Politecnico di Torino 27 Comportamento meccanico dei materiali Cinematica piana Esempio D (1/2) Quando invece i vincoli sono tali da rendere impossibile il moto, la struttura è cinematicamente sovradeterminata. I vincoli sono in grado impedire il moto sotto l’azione di qualsiasi carico esterno (fin quando, ovviamente, qualche componente cede). 55 Esempio D (2/2) Esempio B C A D c’è solo una componente verticale c’è anche una componente orizzontale Incompatibilità dei moti in C→ sistema bloccato © 2006 Politecnico di Torino 56 28