Esercizi sulle distribuzioni raccolti dai temi d`esame

Esercizi sulle distribuzioni raccolti dai temi d’esame
Esercizio 1 Studiare la convergenza (puntuale, in L1 (R), in L2 (R) e in D 0 (R)) della
successione di funzioni un definita da
(
n2 sin(nt) se t ∈ − πn . πn
un (t) :=
0
altrimenti.
Esercizio 2 Sia f la funzione T −periodica definita nell’esercizio precedente. Calcolare le
derivate prima e seconda di f nel senso delle distribuzioni. Calcolare la trasformata di
Fourier di f 00 e dedurre la trasformata di Fourier di f , confrontando il risultato con quello
precedentemente ottenuto.
Esercizio 3 Discutere la convergenza in L1 (R), L2 (R), L∞ (R) e D 0 (R) della successione
di funzioni
1√
fn (t) := 2 n2 − t2 11(−n,n) (t).
n
Esercizio 4 Si considerino le successioni di funzioni
un (t) := H(t)n2 te−nt ,
vn (t) := iun (t) + un (−t)
e se ne calcolino i limiti in D 0 (R). C’e’ convergenza anche in L1 (R)? Calcolare infine il
limite di vn2 .
Esercizio 8 [5 punti]. Siano a, b due numeri reali strettamente positivi ; calcolare la derivata
distribuzionale della funzione
fa,b (x) = H(x) ln |ax| + H(−x) ln |bx|.
Esercizio 5 Per ε > 0 sia fε la funzione reale
(
0
se x ≤ 0,
fε (x) =
ε−1
εx
se x > 0.
Spiegare perchè ad fε è associata una distribuzione di D 0 (R); giustificando accuratamente
i vari passaggi, calcolare poi il limite, per ε → 0+, di fε in D 0 (R), applicando la relativa
definizione.
Esercizio 6 Si considerino le successioni di distribuzioni
Tn := δ1/n ,
Sn := n(Tn − T2n ).
Calcolare i limiti in D 0 (R)
T := lim Tn ,
n→∞
S := lim Sn .
0-1
n→∞
Esercizio 7 Calcolare la distribuzione T := δ000 · et .
Esercizio 8 Per n ∈ N sia un la funzione reale definita in R da
(
t2 se |t| ≤ n,
un (t) :=
n2 se |t| > n.
1. Calcolare u0n , u00n , u000
n nel senso delle distribuzioni.
2. Calcolare il limite in D 0 (R) di u000
n , al tendere di n a +∞.
Esercizio 9 Per n ∈ N sia 11n la funzione caratteristica dell’intervallo
]2nπ, 2(n + 1)π[ e sia
(
sin t se 2nπ < t < 2(n + 1)π,
fn (t) := 11n (t) sin t =
0
altrimenti.
Si calcoli gn := fn00 + fn .
Esercizio 10 Sia u il segnale reale 4π-periodico, la cui restrizione all’intervallo ] − 2π, 2π[
è data da
u(t) := sin |t|.
Calcolare u0 e u00 nel senso delle distribuzioni.
Esercizio 11 Si dicuta, al variare del parametro α ∈ R, l’esistenza del limite della successione di funzioni
fk (t) := k α 11(0,2π/k) (t) sin kt.
in S 0 (R).
Esercizio 12 Sia u il segnale reale che in ciascun intervallo [n, n + 1[, n ∈ Z, della retta
vale
(
2t − n se n ≤ t ≤ n + 1/2;
uε (t) :=
n + 1 se n + 1/2 ≤ t ≤ n + 1.
Dopo aver disegnato il grafico di u, calcolare le derivate distribuzionali
riconoscere che si tratta di distribuzioni periodiche.
2
3
d
u, dtd 2 u, dtd 3 u
dt
Esercizio 13 Calcolare i seguenti limiti nel senso delle distribuzioni
lim
h↓0
δ(t + h) − δ(t − h) − 2δ 0 (t)
,
h2
lim
ε↓0
0-2
1 − cos(εt)
,
εt2
lim | cos(nt)|.
n↑+∞
e
Esercizio 14 Discutere la convergenza in S 0 (R) della serie di funzioni
+∞
X
−n2 t2
e
+∞
X
,
n=0
Facoltativo:
+∞
X
t−1 11(n2 ,n2 +1) (t).
n=1
2 t2
e−n
+∞
X
sign t,
nt11(−1/n,1/n) (t)
n=0
n=0
Esercizio 15 Calcolare
cos t · δ 00 (t − α),
cos t ∗ δ 00 (t − α) α ∈ R.
Risolvere il problema di divisione nell’incognita u ∈ D 0 (R)
(t2 − 1)u(t) = δ(t) + δ(t − 1).
Esercizio 16 Calcolare i seguenti limiti nel senso delle distribuzioni
1 − cos nt
,
lim
n
δ(t
−
1/n)
−
δ(t
+
5/n)
,
lim
n↑+∞
n↑+∞
nt2
lim n cos2 nt.
n↑+∞
Esercizio 17 Calcolare il limite nel senso delle distribuzioni
lim n2 t δ(2nt − 1).
n↑+∞
(Attenzione al cambiamento di variabile all’interno della δ !)
Esercizio 18 Calcolare il limite nel senso delle distribuzioni:
1
.
n↑+∞ 2 − eint
lim
Esercizio 19 Calcolare le seguenti distribuzioni
i
2
d2 h
H(t) − H(t − 2) (t − t − 2) ,
dt2
1 − cos 2πt X 0
δ (t − k).
t
k∈Z
Esercizio 20 Calcolare, per n ↑ +∞ i limiti nel senso delle distribuzioni delle seguenti
successioni di distribuzioni
n 2
n
−1 , n , n log |t + 1/n| − log |t| .
nt + i
nt + i 0-3
Esercizio 21 Calcolare il limite nel senso delle distribuzioni delle successioni di funzioni
(
1
11(1/2n,1/n) (t)
se t < − n1 o t > n1 ,
un (t) := t
vn (t) :=
,
1
1
t
0 se − n ≤ t ≤ n ;
al tendere di n a +∞. (Si consiglia un disegno accurato delle funzioni).
Facoltativo Dedurre il limite della successione
(
1
1
se t < − n1 o t > 2n
;
t
wn (t) :=
1
0 se − n1 ≤ t ≤ 2n
.
Esercizio 22 Calcolare le seguenti distribuzioni:
d2
Im et−i|t−1| ,
2
dt
t log(t2 ) ∗ δ 000 (t − 1) ∗ H(t + 1)
Esercizio 23 Calcolare la derivata distribuzionale della funzione
v(t) := log(eiπt )
dove log indica il ramo principale della funzione logaritmo in campo complesso.
Esercizio 24 Risolvere in ambito distribuzionale i problemi di divisione
(t − 1)2 u(t) = δ(t + 1),
(t − 1)2 v(t) = δ(t − 1).
0-4