Modellazione di dettaglio agli elementi finiti di pannelli in muratura

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
SCUOLA POLITECNICA E DELLE SCIENZE DI BASE
DIPARTIMENTO DI STRUTTURE PER L’INGEGNERIA E
L’ARCHITETTURA
TESI DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE
MODELLAZIONE DI DETTAGLIO
AGLI ELEMENTI FINITI
DI PANNELLI IN MURATURA DI TUFO
RELATORI
Ch.mo Prof. Ing. Andrea PROTA
Ch.mo Prof. Ing. Gian Piero LIGNOLA
CANDIDATO
Giuliano CIPOLLETTA
Matr. 520/1016
CORRELATORE
Dott. Ing. Claudio D’AMBRA
ANNO ACCADEMICO 2015/2016
A Giovannella, il mio modello, la mia forza.
“[..]quell’istante di magia quando siamo come ora
insieme, quando siamo io e te insieme. In un attimo che
dura per sempre, insieme.”
(Lorenzo Cherubini)
A Giuliano.
“[..] Poi ch’èi posato un poco il corpo lasso,
ripresi via per la piaggia diserta,
sì che ‘l piè fermo sempre era ‘l più basso.”
(Dante Alighieri)
RINGRAZIAMENTI
RINGRAZIAMENTI
Ringrazio innanzitutto i relatori di questa tesi, Prof. Ing. Andrea PROTA e
Prof. Ing. Gian Piero LIGNOLA, per l’infinita disponibilità, l’aiuto
costante, l’incoraggiamento e la fiducia dimostrami. In particolare, senza le
preziose lezioni svolte durante il corso di Tecnica delle Costruzioni 1 con il
Prof. LIGNOLA forse oggi non avrei la stessa passione nel cercare di
comprendere l’affascinante mondo delle strutture, va a lui un ringraziamento
speciale. Ringrazio, inoltre, l’Ing. Claudio D’AMBRA, senza il cui aiuto e
sostegno non sarebbe stato possibile condurre tale lavoro. Desidero ringraziare
anche i seguenti maestri: Prof. Ing. Mario PASQUINO, Prof. Mariano
MODANO, Ing. Paolo PIZZO, Ing. Enrico RICCIARDI, che, con la loro
passione e dedizione nel proprio lavoro, hanno saputo trasmettermi le energie
e le motivazioni giuste per proseguire i miei studi dopo un lungo periodo di
difficoltà.
Un ringraziamento speciale va al Dott. Ing. Ugo De Rosa che, insieme al resto
del “team” di Scienza delle Costruzioni, ha contribuito in larga misura alla mia
rinascita culturale ed emotiva. Lo ringrazio per ogni singolo consiglio e per la
sua infinita disponibilità, dimostratami innumerevoli volte.
Nonostante la sua prematura scomparsa, ringrazio infinitamente il Prof. Ing.
Vincenzo AIELLO, per aver fatto nascere in me il seme della curiosità, della
passione e del rispetto, relativamente all’ambito dell’ingegneria civile e non
solo. I suoi preziosi insegnamenti li porterò sempre nel cuore. Per le stesse
motivazioni, ringrazio il Prof. Ing. Alberto CUCINELLA.
Ringrazio tutti i miei zii, le mie zie e i miei cugini.
Ringrazio tutti i miei amici, specialmente per il fatto di essermi ancora amici¸
nonostante i miei lunghi periodi di assenza.
5
RINGRAZIAMENTI
Ringrazio le mie nonne per tutto l’amore che hanno sempre saputo
trasmettermi e grazie al quale posso affrontare la vita.
Un ringraziamento speciale va a Mara, il cui amore, che rende il cielo
immenso, mi ha insegnato a lottare per tutto quello in cui si crede; se sono
arrivato a questo traguardo è anche grazie a tale insegnamento.
Lei sarà per sempre parte del mio essere e della mia vita.
Ringrazio mio padre, per tutto quello che è riuscito ad insegnarmi nel poco
tempo passato insieme, con l’augurio che prima o poi decida di recuperare (è
sempre in tempo!).
Il ringraziamento più forte va a mia madre, l’instancabile Giovannella.
La forza e la voce del suo amore hanno sempre saputo cosa dire, anche quando
il resto del mondo ripeteva cose inutili o, peggio, restava in silenzio.
Non potendomi dilungare troppo, devo dire che a lei devo tutto e per questo la
ringrazio di..tutto.
Ringrazio, infine, Giuliano per averci creduto.
6
INDICE
INDICE
RINGRAZIAMENTI .................................................. 5
INTRODUZIONE ..................................................... 11
1.1.
L’obiettivo ........................................................................................ 11
1.2.
La muratura ....................................................................................... 12
1.3.
Standard di procedura ASTM E 519-02 [2] ..................................... 15
1.4.
La Campagna sperimentale condotta................................................ 17
1.5.
Materiali Utilizzati ............................................................................ 25
1.5.1. Malta “Mape-antique MC” ......................................................... 25
1.5.2. Mattoni in tufo giallo napoletano ............................................... 29
1.6.
Metodo degli elementi finiti ............................................................. 30
1.6.1. Modellazione .............................................................................. 32
1.6.2. Discretizzazione ......................................................................... 32
1.6.3. Caratteristiche degli elementi ..................................................... 33
1.6.4. Scala di rappresentazione ........................................................... 34
1.7.
Programma agli elementi finiti DIANA ........................................... 34
1.7.1. Pre/post processore: FX+ for Diana [9] ..................................... 35
CAPITOLO I – MODELLAZIONE F.E.M. ........... 37
Introduzione ............................................................... 37
1.1.
Modellazione agli elementi finiti (FEM) .......................................... 38
1.1.1. Ambiente fx+ [9] ........................................................................ 38
1.1.2. Definizione dei materiali ............................................................ 39
7
INDICE
1.1.3. Elemento di analisi ..................................................................... 39
1.1.4. Definizione della mesh ............................................................... 40
1.1.5. Definizione dei vincoli ............................................................... 44
1.1.6. Applicazione del carico .............................................................. 45
1.1.7. Definizione proprietà non lineari dei materiali .......................... 47
1.1.8. Modellazione analisi ................................................................... 50
CAPITOLO II – CALIBRAZIONE DEL
MODELLO MATEMATICO ................................... 51
Introduzione ............................................................... 51
1.2.
Modellazione agli elementi finiti (fem) ............................................ 51
1.1.
Calibrazione ...................................................................................... 54
1.1.1. Calibrazione dei moduli elastici ................................................. 54
1.1.2. Calibrazione soglie di resistenza a trazione e compressione ...... 56
1.1.3. Calibrazione softening, ............................................................... 57
1.1.4. Calibrazione finale, funzione multilinear a compressione sia
per la malta che per il mattone ................................................... 62
1.2.
Variazione dello spessore dei giunti di malta ................................... 65
1.3.
Quadri fessurativi ............................................................................. 68
1.4.
Considerazioni .................................................................................. 74
CAPITOLO III – ANALISI DI SENSIBILITA’ ..... 75
Introduzione ............................................................... 75
1.1.
Modellazione del comportamento .................................................... 76
1.2.
Analisi parametriche ......................................................................... 77
8
INDICE
1.3.
Analisi eseguite e risultati................................................................. 78
1.3.1. Risultati complessivi di tutte le analisi ....................................... 79
1.4.
Quadri fessurativi – punto di lettura 3 .............................................. 82
1.4.1. Quadri fessurativi spessore 250mm ........................................... 83
1.5.
Considerazioni sull’effetto del legame e dello spessore del giunto di
malta 86
CAPITOLO IV – CONCLUSIONI .......................... 88
APPENDICE .............................................................. 91
1.6.
Risultati Analisi di sensibilità ........................................................... 91
1.6.1. Risultati analisi M-F,F_T-D,D. .................................................. 92
1.6.2. Risultati analisi M-F,F_T-F,F..................................................... 94
1.6.3. Risultati analisi M-D,D_T-D,D. ................................................. 96
1.6.4. Risultati analisi M-D,D_T-F,F. .................................................. 98
1.6.5. Risultati analisi M-Dc,Ft_T-Dc,Ft. .......................................... 100
1.6.6. Risultati analisi spessore 250 mm ............................................ 102
1.6.11. Risultati complessivi di tutte le analisi ..................................... 112
1.7.
Quadri fessurativi - punto di lettura 1............................................. 115
9
INDICE
1.7.1. Spessore 250mm ....................................................................... 115
1.7.2. Spessore 200mm ....................................................................... 116
1.7.3. Spessore 150mm ....................................................................... 117
1.8.
1.8.1. Spessore 250mm ....................................................................... 118
1.8.2. Spessore 200mm ....................................................................... 119
1.8.3. Spessore 150mm ....................................................................... 120
1.9.
1.9.1. Spessore 250mm ....................................................................... 121
1.9.2. Spessore 200mm ....................................................................... 122
1.9.3. Spessore 150mm ....................................................................... 123
1.10. Considerazioni sulle analisi ............................................................ 124
BIBLIOGRAFIA .......................................................126
10
INTRODUZIONE
INTRODUZIONE
1.1. L’OBIETTIVO
L’obiettivo del presente lavoro di tesi è la valutazione del comportamento
globale a taglio di murature, attraverso prove di compressione diagonale, in
funzione delle proprietà meccaniche e dell’interazione tra la malta ed i mattoni
che costituiscono la muratura stessa.
Tale obiettivo è stato perseguito simulando, mediante l’utilizzo del software di
analisi agli elementi finiti TNO DIANA (DIsplacement ANAlyzer) v.9.6 [1],
la campagna sperimentale condotta presso i laboratori dell’Università degli
studi di Napoli Federico II, precisamente nella sedi di Agnano. Tale campagna
sperimentale è stata condotta tra luglio 2014 ed aprile 2015, ed ha riguardato
prove di compressione diagonale di pannelli rappresentativi di murature
tipiche napoletane, è stata seguita la procedura standardizzata descritta nella
ASTM E 519-02 [2]. La campagna sperimentale ha riguardato anche la
caratterizzazione meccanica degli elementi caratterizzanti la muratura, in
modo da fornire parametri utili alla micro modellazione dei pannelli.
La modellazione per mezzo di un programma di calcolo agli elementi finiti, ha
avuto la finalità di riprodurre e comprendere l’interazione dei materiali nel
composito muratura.
Si vuole sottolineare che i lavori di sperimentazione e di modellazione sono
stati comparati perlopiù attraverso il confronto dei diagrammi forzaspostamento e τ – γ, nonché attraverso il confronto dei quadri fessurativi.
Nei successivi paragrafi verrà inquadrato il problema affrontato, fornendo una
panoramica introduttiva su:
 La muratura come materiale composito;
11
INTRODUZIONE
 La procedura standardizzata di prova descritta nella ASTM E 519-02
[2];
 La campagna sperimentale condotta;
 I materiali utilizzati, geometria e caratterizzazione delle proprietà
meccaniche;
 Modellazione agli elementi finiti (F.E.M.)
1.2. LA MURATURA
Col termine standard “muratura” si indica, nella pratica comune, l’aggregato
di malta e mattoni. E’ evidente come, sotto una definizione così generica,
rientri una numerosissima varietà di sistemi e tecniche costruttive.
La variabilità non risiede unicamente nei tipi di muratura impiegati, ma anche
nelle numerosissime morfologie murarie che contraddistinguono i fabbricati
storici. Altro aspetto che determina la varietà è l’evoluzione storica delle
tecniche costruttive che, dal punto di vista geografico sono state influenzate
prevalentemente dalla reperibilità e dalla tipologia degli elementi costituenti.
Questa grande variabilità ha, ovviamente, anche notevoli influenze sui
parametri meccanici, tali che soltanto con l’esecuzione di prove di laboratorio
si possono avere valori relativamente attendibili (anche se, già nel caso di uno
stesso fabbricato, è facile notare la coesistenza di materiali molto eterogenei,
realizzati a volte in epoche diverse, con stati di conservazione e malte diverse
tra loro).
Il gran numero di parametri, quali anisotropia, proprietà dei materiali (mattoni
e malta), disposizione dal letto dei giunti e qualità di lavorazione, rendono la
simulazione delle strutture in muratura estremamente difficile.
Inoltre, la muratura presenta distinte proprietà direzionali a causa dei giunti di
malta che fungono da piani deboli; la struttura particolare, la forma delle
pietre, le proprietà meccaniche dei materiali e la tipologia e modalità di
12
INTRODUZIONE
lavorazione influenzano fortemente il comportamento strutturale della
muratura come composito.
In ogni muratura, i blocchi sono disposti su filari orizzontali, alternati da letti
di malta; ciò comporta l’esistenza di giunti principali (orizzontali) e secondari
(verticali, tra due elementi contigui).
E’ una delle regole del buon costruire che l’orientamento dei letti di malta sia
all’incirca perpendicolare al flusso delle tensioni dovuto alle sollecitazioni
esterne prevalenti. Nonostante questo ed altri accorgimenti, quale il disporre
gli elementi “a spina di pesce” oppure creare geometrie tridimensionali, i
giunti costituiscono sempre dei potenziali piani di rottura e la loro presenza,
soprattutto per azioni orizzontali, penalizza fortemente la resistenza
dell’elemento murario [3]
Uno dei materiali largamente impiegati per la realizzazione delle murature è il
tufo, roccia composta da lava e terra magmatica. Sebbene sotto tale termine si
indica un tipo di roccia derivante da formazioni di origine vulcanica, esso
viene spesso utilizzato per indicare rocce diverse accomunate dal fatto di
essere leggere, di media durezza e facilmente lavorabili.
Il tufo è stato largamente usato come materiale da costruzione in zone ad
elevato interesse sismico come l'Italia, la Turchia e Giappone [4].
Gli edifici in muratura portante di tufo, costruiti nel corso degli ultimi due
secoli nel bacino del Mediterraneo, rappresentano una parte importante
dell’esistente inventario di edifici ed è necessaria la loro conservazione in
particolare in aree sismiche.
Gli edifici in muratura portante di tufo potrebbero danneggiarsi in maniera
irreversibile nel caso di terremoti soprattutto a causa della loro bassa
resistenza a trazione e al taglio (Iacobelli 2004 [3])
Negli ultimi decenni diverse ricerche sperimentali sono state effettuate sia per
indagare le cause del danno e sia per sviluppare interventi tecnici di
miglioramento o adeguamento sismico (Tomaževič 2000 [5]).
13
INTRODUZIONE
Il comportamento sismico delle murature è caratterizzato da diverse modalità
di rottura in funzione della geometria della parete (rapporto tra
larghezza/altezza), qualità dei materiali, azioni di contenimento e lo schema di
carico (Tomaževič 2000 [5]).
La modalità di rottura tipica è la modalità di fessurazione diagonale, che si
manifesta quando le tensioni principali di trazione, sviluppatesi nella parete
sotto una combinazione di carichi verticali e orizzontali, supera la resistenza a
trazione della parete in muratura e può comportare la rottura sia della malta
che dei mattoni (Figura 1).
Figura 1. Fessurazione diagonale pannello in muratura
Indicativamente, la resistenza a compressione dei singoli mattoni è molto più
elevata di quella della malta; il legame costitutivo dei mattoni è di tipo elastofragile mentre quello della malta è fortemente non lineare, con notevoli
plasticizzazioni già a bassi valori di tensione.
Il comportamento non lineare della muratura nel suo complesso deriva, però,
dall’interazione, nei giunti, tra mattoni e malta; in caso di riduzione verticale
dei carichi ed utilizzo di malta di qualità scadente, i carichi sismici causano
rottura per scorrimento a taglio, dividendo la parete in due parti (scorrimento
della parte superiore della parete su uno dei giunti di malta orizzontali);
14
INTRODUZIONE
mentre nel caso di una migliore resistenza al taglio, lo schiacciamento delle
zone compresse alle estremità del muro si svolge in modo classico (rottura per
flessione) [3].
1.3. STANDARD DI PROCEDURA ASTM E 519-02 [2]
Questo metodo di prova è stato sviluppato per misurare con precisione la
resistenza a trazione di una muratura soggetta a sforzi. Tale prova si annovera
tra i metodi d’indagine distruttiva.
La dimensione dei campioni (pannelli) è studiata sia per essere la minima che
rappresenta una muratura di dimensioni reali, sia per tener conto delle
dimensioni campionabili dalle apparecchiature presenti nella maggior parte dei
laboratori. Secondo la procedura, il generico pannello ha forma pressoché
quadrata di lato pari circa a 1,2 m e spessore dipendente dalla tipologia di
muratura che si vuole studiare.
Dopo il confezionamento, i provini non dovranno essere mossi per almeno 7
giorni. Devono essere conservati in condizioni di temperatura (24°C) e
umidità (tra il 25 – 75 %) controllate per non meno di 28 giorni.
La macchina per l’esecuzione del test deve disporre di sufficiente capacità di
carico a compressione: essa è a comando elettrico ed è in grado di applicare il
carico in maniera continua.
Il pannello è inserito nella macchina in modo che la sua diagonale sia in
posizione verticale. Il carico è applicato alla muratura attraverso due scarpe
metalliche posizionate in corrispondenza di due spigoli opposti del pannello.
Queste sono collegate tra loro attraverso due barre di acciaio, di rigidezza
infinita rispetto a quella del pannello da testare, solidarizzate alle scarpe
metalliche attraverso quattro cerniere sferiche in grado di assorbire le
eventuali deformazioni fuori dal piano dei pannelli durante le prove.
15
INTRODUZIONE
Il corretto posizionamento della scarpa di carico all’estremità superiore del
pannello è facilitato da un sistema di viti di regolazione distribuite sulle
superfici interne della stessa.
Figura 2. Provino di muratura con e senza scarpe di carico
L’esperienza ha dimostrato che i carichi richiesti per produrre una rottura per
trazione diagonale dei campioni risulta spesso più elevata rispetto alla rottura
prematura per compressione nei punti di carico.
Ciò può essere evitato inserendo tra le piastre e le facce del campione un
materiale di ‘cappatura’, ossia gesso lasciato invecchiare per almeno 2 ore
prima del test. L'uso di delle piastre con il gesso protegge completamente i
provini nei confronti di qualsiasi spaccatura prematura, permettendo loro di
rompersi nel modo più ‘classico’, ossia a trazione per spaccatura lungo la
diagonale caricata. Inoltre, la fase di disposizione delle scarpe di acciaio deve
essere eseguita con particolare accortezza per ridurre al minimo le eccentricità
tra la direzione di applicazione del carico e l’asse geometrico verticale dei
muretti. Attraverso gli strumenti di lettura degli spostamenti a disposizione
del laboratorio, si potranno calcolare sia i valori delle tensioni da taglio (τ) che
delle deformazioni da taglio (γ) come segue:
16
INTRODUZIONE
𝜏=
0.707 ∙ 𝑉
𝜏
; 𝐺=
𝐴𝑛
𝛾
Dove:
τ = tensione tangenziale sull’area netta del provino [MPa];
G = modulo di elasticità tangenziale [MPa];
V = carico applicato [N];
An = area netta del provino [mm2], calcolata come:
𝐴𝑛 = (
𝑤+ℎ
)∙ 𝑡∙ 𝑛
2
Dove:
w = larghezza del provino [mm];
h = altezza del provino [mm];
t = spessore totale del campione [mm];
n = percentuale dell’area solida espressa in decimi
𝛾=
𝜀𝑣 + 𝜀ℎ
𝑔
Dove:
γ = deformazione da taglio [mm/mm];
εv = deformazione in direzione verticale [mm];
εh = deformazione orizzontale [mm];
g = lunghezza verticale dello strumento di misura [mm]
1.4. LA CAMPAGNA SPERIMENTALE CONDOTTA
Nella campagna sperimentale, in accordo con lo standard internazionale, sono
stati sottoposti a prova dei pannelli aventi dimensioni di base e altezza e
spessore variabili. Nello specifico, i pannelli nudi considerati come modello
sperimentale per l’elaborazione del presente lavoro di tesi avevano spessore di
25cm con base ed altezza variabili in funzione delle dimensioni variabili dei
17
INTRODUZIONE
mattoni costituenti i pannelli, in particolare le basi variavano e tra 115 – 122
cm, mentre le altezze variavano tra 117 – 121 cm.
Ciascun pannello è stato realizzato con l’utilizzo di 30 blocchi di tufo giallo
napoletano (alcuni dei quali dimensioni nominali di 39 x 11,5 x 25 cm, altri di
dimensioni 37 x 11,5 x 25 cm) disposti secondo 10 file parallele (Figura 3).
Tutti i pannelli sono stati confezionati con malta pozzolanica denominata
“Mape-antique MC” prodotta commercialmente dalla Mapei.
La tessitura muraria adottata per il confezionamento dei pannelli è di tipo
compatta ad una testa, con giunti di malta grossolanamente regolari (di
spessore variabile tra 1,5 – 2,5 cm quelli verticali e 0,2 – 0,7 cm quelli
orizzontali) al fine di compensare la non costanza delle dimensioni dei mattoni
in tufo.
Di seguito sono riportate le sigle e le misure dei pannelli realizzati:
Tabella 1. Sigle pannelli modellati con dimensioni e data di prova
18
INTRODUZIONE
Figura 3. Esempio di pannello non ancora campionato con misure indicative
a)
b)
Figura 4.Dimensioni dei provini a) P2; b) P3
19
INTRODUZIONE
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Figura 5.Dimensioni dei provini a) P10; b) P55; c) P61; d) P62; e), f) Posizionamento LVDT
20
INTRODUZIONE
Si specifica, inoltre, che i pannelli 2, 3, 10 e 55 sono stati realizzati con i
blocchi di tufo di prima fornitura, i pannelli 61 e 62 con quelli di seconda
fornitura.
Per una modellazione tipologica dei pannelli, si sono scelte dimensioni medie
che potessero essere rappresentative di tutti e sei i pannelli di laboratorio.
L’accorciamento della diagonale verticale e l'allungamento della diagonale
orizzontale sotto carico sono stati misurati con trasduttori di spostamento
induttivo (LVDT) posti, rispetto al centro geometrico del pannello, lungo le
diagonali per controllare la deformazione su un tratto utile di 400 mm (Figura
5 e Figura 6).
La forza è stata applicata con un martinetto idraulico, controllato attraverso
una servovalvola e alimentato da una pompa dalla capacità di 500 kN.
La strumentazione di prova ha consentito la misurazione del carico applicato e
degli spostamenti lungo le quattro diagonali.
In dettaglio sono stati acquisiti:
1. La forza di reazione del pannello, determinata rilevando sia la pressione
del circuito idraulico di alimentazione dell’attuatore, sia tramite una
cella di carico da 500 kN interposta tra la scarpa di carico superiore e la
piastra della pressa idraulica. Il confronto delle due misurazioni
consente di stimare la deformabilità del sistema di carico;
2. Gli spostamenti misurati su entrambi i lati dei pannelli tramite quattro
LVDT (si assume positiva la deformazione di compressione).
Considerando la Figura 6, in tale configurazione i trasduttori D e G
registreranno le compressioni, quelli E ed F le trazioni. Le analisi degli
spostamenti registrati simmetricamente su entrambe le facce dei pannelli
testati in laboratorio hanno dimostrato che le distribuzioni di caricospostamento sono molto simili su entrambi i lati, ovvero che i piani di
spostamento erano trascurabili.
21
INTRODUZIONE
Figura 6. Disposizione LVDT su ambo i lati del pannello
Il numero di prove eseguite permette di analizzare il comportamento dei vari
tipi di pannelli, al variare delle dimensioni dei mattoni e dei giunti di malta,
nonché di avere dei risultati attendibili grazie alla ripetibilità dei dati.
I risultati sperimentali ottenuti mostrano che tutti i campioni hanno modelli
simili di rottura: in tutti i campioni infatti, una crepa principale, iniziata a metà
degli esemplari, si diffonde (sviluppo) verso gli angoli inferiori e superiori e,
nella maggior parte dei casi, solo attraverso la malta senza danneggiare le
pietre, provocando il collasso.
In base a tali risultati si può concludere che tutti i campioni testati hanno un
comportamento fragile, ma vale la pena notare che le dimensioni degli
elementi hanno un'influenza importante sulla resistenza globale.
In Figura 7 si può vedere un esempio di pannello lesionato in seguito alla
prova.
22
INTRODUZIONE
Figura 7. Pannello lesionato in seguito alla prova
Sono stati tracciati grafici forza-spostamento, in cui i valori di spostamento
(positivi se di compressione) sono stati calcolati come media dei dati raccolti
dai trasduttori in compressione (D, G) e trazione (E, F).
TRAZIONE
140
F [kN]
130
COMPRESSIONE
120
110
100
90
P2 - C
P3 - C
P61 - C
P62 - C
P10 - C
P55 - C
P2 - T
P3 - T
P61 - T
P62 - T
P10 - T
P55 - T
80
70
60
50
40
30
20
10
d [mm]
0
-0,4 -0,35 -0,3 -0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
Figura 8. Risultati sperimentali carico - spostamento
23
0,3
0,35
0,4
INTRODUZIONE
0,35
t [MPa]
0,30
0,25
0,20
0,15
P2
P3
P61
0,10
P62
P10
0,05
0,00
0,00%
P55
g[%]
0,02%
0,04%
0,06%
0,08%
0,10%
0,12%
0,14%
0,16%
0,18%
0,20%
Figura 9. Risultati sperimentali nel piano τ – γ
Le differenti modalità di rottura dei pannelli, hanno fatto sì che si avessero
differenti valori di resistenza e duttilità: solo per il provino P2, il collasso ha
coinvolto sia la malta che il mattone e, infatti, rappresenta la prova in cui si ha
maggiore resistenza e minore duttilità. Per tutte le altre prove, il meccanismo
di rottura ha interessato prevalentemente l’interfaccia malta/mattone e si
hanno, rispetto alla prova P2, valori sensibilmente minori di resistenza (tranne
la prova P61) e maggiore duttilità.
Tali considerazioni sono, di seguito, supportate dalle immagini dei pannelli
fessurati a fine prova.
24
INTRODUZIONE
a)
b)
c)
d)
Figura 10.Quadri fessurativi delle prove sperimentali a) P2; b) P61; c) P3; d) P62
1.5. MATERIALI UTILIZZATI
1.5.1. MALTA “MAPE-ANTIQUE MC”
Come accennato, per il confezionamento dei pannelli in muratura e quindi dei
giunti di malta, è stata utilizzata una malta pozzolanica denominata “Mapeantique MC” prodotta commercialmente dalla Mapei.
Essa costituisce una malta per intonaci deumidificanti macroporosi, resistente
ai sali, a base di calce ed Eco-Pozzolana.
25
INTRODUZIONE
1.5.1.1.
Composizione:
La malta sopra descritta è un premiscelato in polvere per intonaci
deumidificanti macroporosi, esente da cemento, composta da calce ed EcoPozzolana, sabbie naturali, speciali additivi e microfibre, a bassissima
emissione di sostanze organiche volatili. La malta utilizzata possiede
caratteristiche molto simili, in termini di resistenza meccanica, modulo
elastico e porosità, a quelle delle malte a base di calce, calce-pozzolana o calce
idraulica, impiegate originariamente nelle costruzioni degli edifici. Presenta
delle proprietà che rendono il prodotto resistente alle diverse aggressioni
chimico-fisiche.
1.5.1.2.
Fornitura:
La malta è fornita in sacchi speciali con protezione dall’umidità da 25 kg ca.
1.5.1.3.
Impiego:
La malta viene applicata per il risanamento di murature degradate dalla
presenza di umidità di risalita capillare, di edifici esistenti, anche di pregio
storico ed artistico. Risanamento di murature degradate dall’azione
disgregante causata da concentrazioni saline. Ricostruzioni di intonaci a base
di calce, degradati dagli agenti atmosferici e dalle condizioni ambientali,
nonché dal passare del tempo.
Si elencano alcuni esempi di applicazione:
 Realizzazione di intonaci deumidificanti macroporosi, all’interno e/o
all’esterno, su murature esistenti interessate da umidità di risalita
capillare;
 Realizzazione di intonaci deumidificanti macroporosi, all’interno e/o
all’esterno, su murature esistenti in pietra, mattoni, tufo e miste dove
sono presenti efflorescenze saline;
26
INTRODUZIONE
 Realizzazione di intonaci deumidificanti su murature poste in zone
lagunari o in prossimità del mare;
 Realizzazione di nuovi intonaci o ricostruzione di quelli esistenti a base
di calce, su murature in pietra, mattoni, tufo e miste;
 Realizzazione di interventi di “rincocciatura” o di “scuci-cuci” in
paramenti murari, dove sono presenti vuoti e/o discontinuità;
1.5.1.4.
Lavorazione:
La lavorazione della malta è stata eseguita in betoniera a bicchiere.
Dopo aver introdotto il minimo quantitativo di acqua pulita (3,5 litri di acqua
per ogni sacco da 25 kg) si è aggiunta lentamente e con flusso continuo la
polvere. È stato mescolato l’impasto per 3 minuti e verificato che sia ben
amalgamato, omogeneo e privo di grumi, avendo cura di staccare dalle
superfici della betoniera la polvere non perfettamente dispersa. Eventualmente
si è aggiunto altra acqua, fino ad un totale massimo di 4 litri per sacco di
prodotto, incluso il quantitativo introdotto inizialmente. Infine si è completato
l’impasto della malta mescolando per altri 2-3 minuti, in modo da ottenere un
impasto omogeneo, “plastico”.
Presso il laboratorio ‘Materiali e Strutture’ dell’Università del Sannio (Bn)
sono state realizzate prove di caratterizzazione delle malte utilizzate per la
realizzazione dei muretti del campo prova di Agnano.
Sono state realizzate prove di flessione su campioni di dimensioni 40 mm x 40
mm x 160 mm con luce tra gli appoggi di 100 mm (UNI EN 196-1 [10]). Le
prove di compressione (UNI EN 196-1 [10]) sono state realizzate sulle metà
dei provini ottenute dalle prove di flessione.
Partendo dalla Tabella 2 a seguire, sono riportati i risultati ottenuti dalle
singole prove e la media ed il Coefficiente di Variazione (CoV) dei valori
ottenuti delle prove su campioni uguali. Si definisce inoltre il coefficiente r
27
INTRODUZIONE
come rapporto tra i valori medi sperimentali delle resistenze a trazione e
compressione: r = ft,n / fc,m.
Si osserva come il coefficiente r sia molto variabile (tra 0.17-0.30).
Tabella 2. Risultati prove di flessione su malta Mapei-mc di prima fornitura
Tabella 3. Risultati prove di compressione su malta Mapei-mc di prima fornitura
Tabella 4. Risultati prove di flessione su malta Mapei-mc di seconda fornitura
Tabella 5. Risultati prove di compressione su malta Mapei-mc di 2° fornitura
28
INTRODUZIONE
1.5.2. MATTONI IN TUFO GIALLO NAPOLETANO
Il tufo giallo napoletano è prodotto dall'attività vulcanica dei Campi Flegrei, e
si è formato dalla cenere vulcanica di colore biancastro detta "pozzolana",
sedimentatasi nel mare e successivamente emersa a séguito di pressioni
tettoniche. Per questa ragione il tufo giallo dei Campi Flegrei si trova sempre
al di sotto degli strati di pozzolana.
Come già precedentemente indicato, sono stati utilizzati 30 mattoni di tufo
giallo napoletano per il confezionamento di ciascuno dei pannelli.
Alcuni blocchi provenivano da una prima fornitura ed avevano dimensioni
nominali di 39x11,5x25 cm; altri, di seconda fornitura, avevano di dimensioni
37x11,5x25 cm.
Anche per i blocchi di tufo giallo napoletano, sempre nel laboratorio
‘Materiali e Strutture’ dell’Università del Sannio (Bn), sono state condotte
prove di caratterizzazione delle proprietà meccaniche.
Sono stati realizzati campioni di dimensioni 40 mm x 40 mm x 160 mm per
realizzare le prove di flessione con luce tra gli appoggi di 100 mm e sulle
rimanenti metà sono state realizzate le prove di compressione.
Sono stati considerati, inoltre, i campioni estratti dai blocchi provenienti dalle
due diverse forniture.
Nelle Tabelle a seguire sono riportati i risultati ottenuti dalle singole prove e la
media ed il Coefficiente di Variazione (CoV) dei valori ottenuti delle prove su
campioni uguali.
Tabella 6. Risultati prove di flessione sui mattoni in tufo giallo napoletano
29
INTRODUZIONE
Tabella 7. Risultati delle prove di compressione sui mattoni in tufo
Si osserva che per il tufo giallo la resistenza a trazione varia nell’intervallo 2729% di quella a compressione. Il tufo giallo della prima fornitura risulta
leggermente migliore sia in termini di resistenza a compressione (+10%) che
di minore dispersione della resistenza a compressione (CoV 5% vs. 12%) di
quello della seconda fornitura che si presentava a vista più poroso ed
eterogeneo.
1.6. METODO DEGLI ELEMENTI FINITI
Il metodo degli elementi finiti F.E.M. (Evgeny Barkanov, Introduction To The
Finite Element Method 2001 [6]) è una tecnica numerica che consiste nel
suddividere, in parti più semplici, un problema complesso e non risolubile nel
suo insieme, effettuare una serie di calcoli locali in ciascuna parte e ricostruire
la soluzione di insieme.
Il metodo FEM [6] si basa sulla possibilità di risolvere le equazioni
differenziali dell’analisi strutturale in modo approssimato, in un dominio
ristretto (elemento finito). L’oggetto dell’analisi (campo) è decomposto in
elementi connessi tra loro da nodi. Ciascun elemento è caratterizzato da
tipologia e materiale, con svariate possibilità a seconda del tipo di analisi.
30
INTRODUZIONE
La caratteristica principale di tale metodo è la discretizzazione attraverso la
creazione di una griglia (mesh) composta da elementi finiti di forma
codificata. Gli elementi utilizzati nelle analisi sono, comunemente, triangoli e
quadrilateri per domini bidimensionali, esaedri e tetraedri per domini
tridimensionali. Sui nodi sono applicati carichi e vincoli (condizioni al
contorno), che possono essere, ad esempio, forze o spostamenti.
Nella sua forma originaria, e tuttora più diffusa, il metodo agli elementi finiti
viene utilizzato per risolvere problemi poggianti su leggi costitutive di tipo
lineare, ma alcune soluzioni più raffinate consentono di esplorare il
comportamento dei materiali anche in campo fortemente non lineare,
ipotizzando comportamenti di tipo plastico o elasto-plastico.
Scelta la tipologia di soluzione (lineare o non lineare), il software crea un
sistema di equazioni algebriche dove le incognite sono gli spostamenti dei
nodi. Successivamente, gli spostamenti nodali sono utilizzati per ricavare altre
variabili di interesse (ad esempio, sforzi e deformazioni).
In generale, il metodo si presta molto bene a risolvere equazioni alle derivate
parziali quando il dominio ha forma complessa, oppure quando l'accuratezza
richiesta alla soluzione non è omogenea sul dominio (ad esempio accuratezza
maggiore nelle zone fessurate, per l’analisi dei pannelli in muratura) e quando
la soluzione cercata manca di regolarità.
In linea generale, ogni software FEM [7] esegue sei passi base:
1. Definizione delle funzioni di forma dell’elemento
2. Definizione dei legami cinematico e costitutivo
3. Creazione delle matrici degli elementi
4. Assemblaggio delle matrici
5. Risoluzione delle equazioni
6. Calcolo degli sforzi e delle deformazioni
Benché esso competa in alcuni ambiti limitati con altre strategie numeriche
(metodo delle differenze finite), il metodo FEM (E. Barkanov, 2001 [6])
31
INTRODUZIONE
conserva una posizione dominante nel panorama delle tecniche numeriche di
approssimazione e rappresenta il kernel di gran parte dei codici di analisi
automatici disponibili in commercio.
I modelli agli elementi finiti consistono in due fasi principali, modellazione e
discretizzazione, che spesso, data la loro complessità, possono indurre
all’inserimento di errori che potrebbero comportare inconvergenze nella
soluzione finale, quindi è necessario riporre attenzioni particolari durante le
fasi di input.
1.6.1. MODELLAZIONE
Si passa dal sistema fisico (pannello in muratura testato in laboratorio) ad un
modello matematico (pannello modellato), che riproduce solo alcune variabili
aggregate di interesse del sistema fisico, "filtrando" le rimanenti. Ad esempio,
nel calcolo del momento flettente di una trave non si prendono in
considerazione le interazioni a livello molecolare.
Il sistema fisico viene suddiviso in sottosistemi (mattone in tufo e malta). Il
sottosistema verrà poi suddiviso in elementi finiti ai quali verrà applicato un
modello matematico. La scelta di un tipo di elemento equivale ad una scelta
implicita del modello matematico che vi è alla base. L'errore che può portare
l'utilizzo di un modello deve essere valutato con prove sperimentali
(operazione in genere dispendiosa per tempo e risorse).
1.6.2. DISCRETIZZAZIONE
In una simulazione per via numerica è necessario passare da un numero
infinito di gradi di libertà (condizione propria del "continuum") ad un numero
finito (situazione propria della mesh).
La discretizzazione, nello spazio o nel tempo, ha lo scopo di ottenere un
modello discreto caratterizzato da un numero finito di gradi di libertà.
32
INTRODUZIONE
Viene inserito un errore dato dalla discordanza con la soluzione esatta del
modello matematico. Questo errore può essere valutato opportunamente se
esiste un modello matematico adeguato all'intera struttura (quindi preferibile
da utilizzare rispetto all'analisi FEM [6]) ed in assenza di errori numerici di
calcolo, ciò può essere considerato vero utilizzando calcolatori elettronici.
1.6.3. CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI
Ogni elemento è caratterizzato da:
 Dimensione: 1D, 2D, 3D;
 Nodi: Punti precisi dell'elemento che ne individuano la geometria. Su
ogni nodo dell'elemento viene associato il valore di un campo o
gradiente che interessa l'intera struttura. Nel caso di elementi meccanici
il campo è quello delle reazioni vincolari e degli spostamenti. La
definizione della geometria del modello che idealizza la struttura reale
viene effettuata piazzando dei nodi sulla struttura in corrispondenza di
punti caratteristici;
 Gradi di libertà: i possibili valori che possono assumere i campi o
gradienti nei nodi, due nodi adiacenti hanno gli stessi valori;
 Forze sui nodi: forze esterne applicate sui nodi o l'effetto delle reazioni
vincolari. Esiste una relazione di dualità tra forze e reazioni vincolari.
Detto f il vettore di forze esterne su un nodo ed u il vettore di DOF
(Degree Of Freedom), si assume linearità tra f ed u:
Ku = f
Dove K prende il nome di matrice di rigidezza (stiffnes matrix).
Questa relazione individua la dualità tra forze esterne e spostamenti.
Il prodotto scalare è associato al valore del lavoro compiuto dalle forze
esterne;
33
INTRODUZIONE
 Proprietà
costitutive:
le
proprietà
dell'elemento
e
del
suo
comportamento, a esempio modulo di Young (E), coefficiente di
Poisson (υ), eccetera;
 Soluzione di un sistema di equazioni, anche non lineari risolte per via
numerica dall'elaboratore.
1.6.4. SCALA DI RAPPRESENTAZIONE
La modellazione agli elementi finiti può avvalersi di strategie differenti in
base alla scala di rappresentazione, basate sulla rappresentazione dei singoli
componenti (blocchi e giunti) o del materiale omogeneo (pannello in
“muratura”); la scelta della strategia di modellazione avviene a seconda delle
caratteristiche morfologiche e dimensionali dell’oggetto di studio, del livello
di accuratezza richiesto e dello sforzo computazionale accettabile
1.7. PROGRAMMA AGLI ELEMENTI FINITI DIANA
TNO DIANA (DIsplacement ANAlyser) [1] è un software per analisi agli
elementi finiti sviluppato e distribuito da TNO DIANA BV e molti altri
rivenditori in tutto il mondo.
Lo sviluppo del TNO DIANA [1] è iniziato nel 1972 presso il ‘TNO Building
and Construction Research Institute’ in Olanda. Nel 2003 è stata fondata
l’attuale TNO DIANA BV.
Il software è prevalentemente utilizzato da consulenti tecnici, istituti di ricerca
prevalentemente dell’ambito dell’ingegneria civile e geotecnica; alcuni esempi
sono l’analisi di grandi strutture quali dighe, condizioni di carico indotte da
sollecitazioni esterne come incendi, terremoti, esplosioni, modelli complessi in
cui la struttura interagisce con terreno / fluido, e altro ancora.
34
INTRODUZIONE
All'interno dell’offerta fornita da TNO DIANA [1] sono disponibili una vasta
selezione di modelli di materiale, librerie di elementi e procedure di analisi,
che consentono un ampio grado di flessibilità.
Il software di analisi vero e proprio è il Mesh Editor [8], in cui si importa il
modello ottenuto con il pre-processore.
1.7.1. PRE/POST PROCESSORE: FX+ FOR DIANA [9]
Sviluppato e personalizzato per completare TNO DIANA [1], il software FX+
for DIANA [9] è basato sullo scopo generale di pre/post processore:
 Pre-processore – si definisce il modello geometrico, ossia elementi,
mesh, nodi, vincoli, e successivamente saranno modellati i materiali
con il software MeshEdit [8];
 Post-processore – offre una soluzione completa per l’interpretazione dei
risultati dell’analisi (visualizzazione delle tensioni, deformazioni,
crack, e tutti i risultati richiesti come output dell’analisi nel
MeshEdit[8]).
In Figura 11 è rappresentato il workflow concettuale.
35
INTRODUZIONE
Figura 11. Sequenza concettuale per le analisi con il software DIANA
Nei successivi capitoli verranno fornite, dapprima, le specifiche scelte
effettuate per la corretta impostazione del modello di analisi e,
successivamente, i modelli FEM verranno confrontati con i dati sperimentali
(con cui risulteranno essere in buon accordo).
36
CAPITOLO I- MODELLAZIONE FEM
CAPITOLO I – MODELLAZIONE F.E.M.
INTRODUZIONE
Come precedentemente anticipato, è stata condotta una campagna di analisi
per simulare il comportamento dei provini in compressione diagonale
utilizzando il software di analisi agli elementi finiti TNO DIANA
(DIsplacement ANAlyzer) v.9.6 [1].
Le analisi degli spostamenti registrati simmetricamente su entrambe le facce
dei pannelli testati in laboratorio hanno dimostrato che le distribuzioni di
carico-spostamento sono molto simili su entrambi i lati, ovvero che i piani di
spostamento erano trascurabili.
Pertanto, in questa trattazione, la modellazione bidimensionale è stata preferita
a quella tridimensionale per ridurre il carico computazionale (si considerano
soltanto le azioni nel piano medio del pannello, non essendoci azioni fuori
piano).
La finalità della modellazione è stata la valutazione e calibrazione dei risultati
numerici che si possono ottenere con modelli costitutivi disponibili, elaborati
per la muratura e per materiali a comportamento fragile.
La simulazione del comportamento di strutture reali attraverso il metodo degli
elementi finiti è in grado di rappresentare gli aspetti salienti della muratura
quali l’ortotropia dovuta all’orientamento dei giunti ed il softening in fase post
picco, nei diagrammi forza-spostamento.
Tra tutti quelli testati in laboratorio, nel presente lavoro di tesi si è modellato il
comportamento di 6 pannelli di muratura di tufo giallo napoletano e di seguito
saranno indicate le dimensioni di ciascuno di essi.
37
Nei successivi paragrafi, inoltre, si andranno a specificare tutte le scelte
specifiche del modello, effettuate nella definizione di:
 Materiali;
 Vincoli;
 Elementi;
 Mesh;
 Legami a trazione e compressione
1.1. MODELLAZIONE AGLI ELEMENTI FINITI (FEM)
1.1.1. AMBIENTE FX+ [9]
Dapprima si è impostato l’ambiente di lavoro con gli assi x, y e z orientati
come in Figura 12, poi si sono scelte come unità di misura per
forze/spostamenti rispettivamente i N ed i mm (Figura 12). Successivamente,
si è definita una griglia (con elementi di 5mm) di ausilio alla successiva
costruzione degli elementi geometrici.
Figura 12. Orientamento degli assi di riferimento, unità di misura e griglia
38
1.1.2. DEFINIZIONE DEI MATERIALI
Sono stati definiti tre materiali diversi, indicando per ciascuno di essi le
proprietà costitutive quali modulo di Young (E), modulo di Poisson (υ, uguale
per tutti e pari a 0,2) e densità di massa; inoltre, si è indicato un modello
costitutivo elastico per tutti i materiali, anche se tale scelta è puramente
indicativa giacché la definizione effettiva sarà poi condotta nel MeshEdit [8]:
 Tuff Brick (E = 2500 N/mm2, Mass Density = 1,5x10-9 N/mm3/g)
 Mortar (E = 2000 N/mm2, Mass Density = 1,7x10-9 N/mm3/g)
 Steel (E = 210000 N/mm2, Mass Density = 7,86x10-9 N/mm3/g)
In dettaglio, i materiali mattone in tufo e malta sono stati modellati in modo
indipendente, senza alcuna interfaccia, ossia in perfetta aderenza, per ridurre il
carico computazionale.
1.1.3. ELEMENTO DI ANALISI
Si è utilizzato un elemento 2D di plane stress presente nella libreria del
software TNO DIANA [1] chiamato CQ16M (Figura 13): elemento piano a 8
nodi per stati di sforzo piano che possiede solo due gradi di libertà per nodo
corrispondenti alle traslazioni nel suo piano (rigidezza membranale) e pertanto
atto a trasmettere solo gli sforzi lungo il suo piano. Non trasferisce alcuna
rigidezza per gli altri gradi di libertà. Tra le specifiche dell’elemento si evince
che viene usato per la modellazione di strutture caricate nel loro stesso piano,
come nel caso dei pannelli soggetti a compressione diagonale.
La dimensione dell’elemento è stata fissata di 5mm.
39
Figura 13. Quadrilateral plane stress element (8 nodes) CQ16M
Si è assegnato, inoltre, uno spessore di 250mm agli elementi di malta e
mattone, 60mm per l’acciaio (alette scarpe di carico) come indicato in Figura
14. Tali scelte saranno successivamente confermate nella modellazione in
MeshEdit [8].
Figura 14. Assegnazione elementi di plane stress CQ16M
1.1.4. DEFINIZIONE DELLA MESH
Dopo aver inserito le geometrie dei blocchi di tufo e degli spessori di malta
(Figura 15), si è provveduto alla definizione della mesh. Seppur la grandezza
degli elementi di plane stress è stata impostata di 5mm, nelle impostazione
della mesh si è scelto di generare un nodo medio.
40
Figura 15. Input geometrico di mattoni e giunti, dimensione elementi CQ16M 5mm
Al fine di rendere la suddivisione in elementi finiti bidimensionali
sufficientemente fitta, per cogliere le variazioni di sforzo o di spostamento
nelle regioni importanti ai fini dell'analisi, si è utilizzata il tipo di mesh
definito k-Edge Area: le linee di confine che definiscono un dominio nello
spazio sono state selezionati (a mano, per ciascun elemento) per la
generazione automatica di mesh 2D. Tutti i bordi di un gruppo sono state
consecutivamente collegati e selezionati in senso orario o antiorario.
Con la generazione del nodo medio, si sono ottenuti:
 400 nodi lungo il perimetro di ogni mattone;
 960 nodi lungo il perimetro dei giunti orizzontali di malta;
 96 nodi lungo il perimetro dei giunti verticali.
L’apposizione di tali nodi, seppur superflui per la definizione geometrica del
pannello, è stata necessaria per la successiva valutazione di spostamenti e
sollecitazioni interne nei punti critici situati nelle zone di compressione e
trazione. Inoltre, si devono sempre posizionare dei nodi in corrispondenza di
punti in cui sono applicati carichi concentrati e/o punti vincolati, al fine di
leggere le reazioni (ed infatti successivamente saranno definite le scarpe di
carico/vincolo costruite anch’esse con elementi CQ16M di 5mm con nodo
medio).
41
Figura 16. Selezione del perimetro di ciascun elemento per la generazione della mesh
In Figura 17 si mostra la generazione completa di due filari successivi del
pannello, mentre in Figura 18 si vede l’intero pannello modellato con alcune
mesh rinominate per facilitarne l’individuazione nel lavoro successivo.
Figura 17. Mesh di due filari successivi del pannello
42
Figura 18. Mesh di tutto il pannello con rinominazione singola mesh
Successivamente, sono state definite geometricamente e modellate le scarpe in
acciaio, per le quali è stata utilizzato il comando di mesh automatica Planar
Area (anche in questo caso si è scelto di generare il nodo medio).
Figura 19. Dettaglio mesh scarpa di carico in acciaio
In Figura 20 è indicata la mesh totale del pannello con le scarpe, nonché le
dimensioni del pannello modellato. Si precisa che lo studio analitico è stato
condotto attraverso un pannello modellato con delle dimensioni medie rispetto
a quelle di tutti i pannelli sperimentali a cui fa riferimento il presente studio.
43
Il modello matematico è composto da 14931 elementi tra malta e tufo con
45318 nodi.
a)
b)
Figura 20. Modello Matematico a) Mesh finale, b) dimensioni del pannello modellato e della scarpa
1.1.5. DEFINIZIONE DEI VINCOLI
Per simulare le condizioni di vincolo sperimentale è stato introdotto un
vincolo (boundary condition) definito ‘vincolo incastro di base’ (Figura 21,
Figura 22) in basso a destra sulla base della scarpa d’acciaio.
44
Figura 21. Apposizione del vincolo incastro alla scarpa d’acciaio in basso (01)
Figura 22. Apposizione del vincolo incastro alla scarpa d’acciaio in basso (02)
1.1.6. APPLICAZIONE DEL CARICO
La prova è stata eseguita in controllo di spostamento, imponendo il
progressivo avanzamento della scarpa di carico nello spigolo in alto del
pannello.
45
In particolare le analisi sono state condotte imponendo uno spostamento
massimo di 1 mm, incrementando ogni steps di 0,01 mm.
Si è assegnato lo spostamento diagonale al punto di mezzeria del lato inclinato
della scarpa superiore, individuato nell’ambiente di lavoro come nodo n°
43694, come in Figura 23
Figura 23. Assegnazione punto di spostamento, nodo n° 43694
Attraverso, poi, la definizione di un link rigido si è riusciti a “spalmare” lo
spostamento su tutto il lato inclinato.
Figura 24. Creazione del collegamento rigido per la scarpa di carico
A questo punto, il pannello è stato importato nel MeshEdit [8] per la
modellazione completa dei materiali e delle analisi vere e proprie.
46
Figura 25. Comando per l’importazione del modello in MeshEdit
1.1.7. DEFINIZIONE PROPRIETÀ NON LINEARI DEI MATERIALI
Dopo aver definito in modo completo il modello geometrico e la mesh, si è
passati alla modellazione dei materiali Tuff Brick, Mortar e Steel, impostati
solo con le proprietà lineari Fx+ [9].
1.1.7.1.
Modellazione dei materiali
Si è scelta dapprima la classe del materiale (ossia la modalità di
interpretazione della risposta del materiale) tra quelle presenti nella libreria del
TNO DIANA [1], tra le quali: concrete desing codes, steel desing codes,
concrete and masonry, steel, soil and rock, composites, interface elements,
ecc.
In base alla classe scelta, veniva fornita una lista dei possibili modelli
costitutivi (ossia la descrizione matematica del comportamento del materiale)
da utilizzare, a seconda del tipo di analisi da condurre.
Sia per il tufo che per la malta si è scelta come classe “concrete and masonry”
e come modello costitutivo il “Total strain based crack model”; per l’acciaio,
invece, si è ovviamente scelta la classe “steel” e come legame “Linear elastic
isotropic”.
1.1.7.2.
Total strain based crack model
Tali modelli descrivono il comportamento a trazione e compressione con un
rapporto sforzo-deformazione, questo rende i modelli molto adatti per le
47
analisi agli S.L.U. che sono prevalentemente governate dalla fessurazione o
dallo schiacciamento del provino.
All'interno del Total strain based crack model, sono possibili diversi approcci.
Quello scelto in questa sede è definito “Rotating crack model”.
Figura 26. Input Rotating crack model
Tale modello segue un approccio basato sull’energia di frattura (Gf) e descrive
la tensione in funzione della deformazione. Questo concetto è noto come ipoelasticità, ossia quando la curva sforzi-deformazione dipende dalla velocità di
deformazione.
In tale approccio, le tensioni sono determinate in funzione delle deformazioni
in un sistema di coordinate fissato secondo la direzione della fessurazione,
ovvero i rapporti di sollecitazione-deformazione vengono valutati nelle
direzioni principali.
Per il comportamento a trazione e compressione si sono scelte le funzioni
predefinite che meglio lo rappresentassero, in base ai risultati sperimentali,
considerando come parametro principale l’energia di frattura.
Infatti, precedenti lavori (Lignola 2007 [4] et al.), concentrandosi
principalmente sulla variabilità delle proprietà di malta e tufo, hanno mostrato
48
che le prestazioni dei pannelli erano principalmente sensibili alla resistenza di
compressione della malta e parzialmente al suo modulo di Young.
In questa sede si è, invece, operata una calibrazione (trattata specificamente
nel secondo capitolo) considerando l’energia di frattura.
In particolare, per il legame in compressione, che in genere è una funzione non
lineare tra sollecitazione e deformazione in una direzione, si è scelta la
funzione parabolica.
Di seguito sono riportati gli andamenti nel piano σ – ε di tali funzioni.
a)
b)
Figura 27. Legami costitutivi utilizzati nella modellazione per malta e mattone: a) Legame di
trazione dei due materiali; b) Legame di compressione dei due materiali
I legami adottati richiedono l’inserimento di alcuni parametri caratteristici dei
materiali utilizzati nella campagna sperimentale. Per quanto concerne Modulo
elastico (E), resistenza a compressione (fc) e resistenza a trazione (ft), sono
stati utilizzati i valori ottenuti dalle prove di caratterizzazione dei materiali
descritte nel capitolo precedente. Resta da definire i valori di energia di
frattura sia a compressione che a trazione, nel capitolo successivo verrà
mostrato come è stata effettuata la calibrazione di tali valori.
49
1.1.8. MODELLAZIONE ANALISI
La rottura dei pannelli non avviene in campo elastico: dapprima c’è una fase
elastica rappresentata dal tratto lineare del diagramma, successivamente si
avrà un ramo di softening alla fine del quale avverrà la rottura del campione.
Per tener conto di tale comportamento (non linearità del materiale), le analisi
effettuate sono state simulate come analisi non lineari attraverso il comando
“Structural nonlinear”.
Nella modellazione analitica, i carichi sono stati applicati sui provini in modo
incrementale aumentando lo spostamento fino al massimo di 1mm. La
procedura di spostamento controllato è stata applicata per imporre il carico
fino alla rottura, utilizzando la procedura di iterazione di Newton-Raphson.
Si specifica che, nelle prove iniziali, gli steps di carico erano pari a 0.01mm,
per un totale di 100 steps. Successivamente, per avere dei risultati più
dettagliati, il valore di incremento degli steps sarà ridotto a 0.005mm per un
totale di 200 steps.
50
CAPITOLO II- CALIBRAZIONE
CAPITOLO II – CALIBRAZIONE DEL MODELLO
MATEMATICO
INTRODUZIONE
1.2. MODELLAZIONE AGLI ELEMENTI FINITI (FEM)
In questo capitolo sarà descritta dettagliatamente la calibrazione effettuata dei
parametri meccanici per ottenere, dal modello matematico, realizzato con il
software di analisi agli elementi finiti TNO DIANA (DIsplacement
ANAlyzer) v.9.6 [1], che simula la prova a compressione diagonale dei
pannelli in muratura dei risultati confrontabili con quelli ricavati dalle
sperimentazioni
di
laboratorio.
Nel
precedente
capitolo,
nonché
nell’introduzione, sono state descritte le procedure seguite per la realizzazione
del modello matematico, costituito da due materiali-base (Tuff brick, mortar) e
per la modellazione della prova. Completata, quindi, la modellazione, è stata
avviata la prima analisi (Figura 28)
Figura 28. Avvio prima analisi structural nonlinear in MeshEdit
51
Successivamente, conclusa l’analisi (per la quale tutti i 100 steps sono andati a
convergenza, Figura 29) si è provveduto ad estrapolare i risultati attraverso il
software Fx+ [9] for DIANA [1], utilizzato quindi come post-processore.
Figura 29. Termine della prima analisi, convergenza dell’ultimo step
Quindi, aperto il modello creato in precedenza, si sono importati i risultati
attraverso il comando import result files. Successivamente si è provveduto ad
estrapolare i dati di interesse attraverso la creazione di tabelle contenenti (per
ciascuno step di carico):
 Il valore della forza, letto in corrispondenza del nodo n° 43694 in cui si
può considerare essere applicata (link rigido);
 Lo spostamento in direzione X e Z del nodo n° 27920 (chiamato nodo
A), corrispondente al punto di lettura dell’apparecchio LVDT G
posizionato (nella prova in laboratorio) sulla diagonale di compressione
e precisamente nella posizione indicata in Figura 30;
 Lo spostamento in direzione X e Z del nodo n° 15696 (nodo B);
 Lo spostamento in direzione X e Z del nodo n° 27949 (nodo C);
 Lo spostamento in direzione X e Z del nodo n° 14397 (nodo D);
52
Nodo n° 27920 NODO A
Nodo n° 27949 NODO C
Nodo n° 14397 NODO D
Nodo n° 15696 NODO B
a)
NODO n° 43694
LVTD G
LVTD F
NODO C
NODO A
NODO D
NODO B
b)
c)
Figura 30. Lettura risultati; a) dettaglio punti di lettura; b) inquadramento punti di lettura; c)
disposizione LVDT come da sperimentazione
Per riuscire ad elaborare grafici forza-spostamento, nonché τ – γ, è stato
necessario ottenere lo spostamento relativo tra i nodi corrispondenti ai punti di
lettura degli LVDT.
Si è, quindi, impostato un file di Microsoft Excel nel quale, riportando le
tabelle ottenute in Fx+ [9] con il comando exstract result si riusciva ad
ottenere:
 Spostamenti totali sia in compressione (A – B) che in trazione (D – C);
 Valori di τ, γ e G, valutati secondo lo standard ASTM E 519-02 [2]
come indicato nell’introduzione.
53
Di seguito si riportano le formule per ottenere gli spostamenti voluti:
∆𝐴 = (𝑇𝐷𝑡𝑋 − 𝑇𝐷𝑡𝑍) ∙
√2
(analogamente per ∆𝐵)
2
∆𝐶 = ∆𝐴 − ∆𝐵
∆𝐶 = (𝑇𝐷𝑡𝑋 + 𝑇𝐷𝑡𝑍) ∙
√2
2
(analogamente per ∆𝐷)
∆𝑇 = ∆𝐷 − ∆𝐶
Con:
∆𝐶 = spostamento totale in compressione
∆𝑇 = spostamento totale in trazione
∆𝐴, ∆𝐵, ∆𝐶, ∆𝐷 = spostamento totale del nodo A, nodo B, nodo C, dono D;
TDtX = spostamento del nodo in direzione X;
TDtZ = spostamento del nodo in direzione Z;
A questo punto, è stato possibile creare i diagrammi forza-spostamento e τ – γ
con cui si è potuto effettuare il confronto grafico con i diagrammi ricavati
dalle prove sperimentali.
1.1. CALIBRAZIONE
Si premette che tutte le successive analisi sono state condotte con steps di
carico pari a 0.005mm, fino ad arrivare al valore di spostamento massimo di
1mm (200steps).
1.1.1. CALIBRAZIONE DEI MODULI ELASTICI
Si è partiti con la ricerca dei valori dei moduli di elasticità per malta e mattone
che consentissero di ottenere diagrammi forza-spostamento aventi la stessa
pendenza iniziale (tratto elastico) di quella dei diagrammi derivanti dalle prove
sperimentali. Le prove di caratterizzazione dei materiali non hanno fornito
valori dei moduli elastici dei due materiali di base, a tal proposito le prime
54
analisi sono state condotte utilizzando dei parametri riportati in Lignola [4] et
al., in cui sono stati utilizzati materiali con caratteristiche simili.
Energia di
Energia di frattura
frattura in
in compressione
trazione [N/mm]
[N/mm]
3.68
0.012
0.15
8.6
0.012
0.15
E
ft
fc
[MPa]
[MPa]
[MPa]
Tuff brick
4637
1.58
Mortar
12660
1.52
Materiale
Tabella 8. Riepilogo dei valori di E, Gf e resistenze utilizzati per la prima analisi
I diagrammi ottenuti con tali valori, risultavano totalmente in disaccordo con
le prove sperimentali, sia per il ramo elastico sia per il tratto di softening.
Pertanto, sono stati fatti variare i moduli elastici di malta e mattone
(mantenendo, invece, costanti tutti gli altri valori definiti in fase di
modellazione tra cui modulo di Poisson, energia di frattura, resistenze a
trazione e compressione) si è riusciti, a calibrare tali valori in modo da
intercettare con discreta approssimazione la rigidezza dei diagrammi
sperimentali (Figura 31).
I valori calibrati sono:
 Etuff brick = 2500 MPa;
 Emortar = 2000 MPa.
55
TRAZIONE
150
COMPRESSIONE
F [kN]
140
130
120
110
100
90
P2 - C
P3 - C
P61 - C
P62 - C
P10 - C
P55 - C
P2 - T
P3 - T
P61 - T
P62 - T
P10 - T
P55 - T
Analitica - C
Analitica - T
80
70
60
50
40
30
20
10
d [mm]
0
-0,4 -0,35 -0,3 -0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
Figura 31. Prima calibrazione effettuata
Si evince che per il modulo elastico della malta si è resa necessaria una
riduzione drastica, passando addirittura ad un ordine di grandezza inferiore.
Migliore, rispetto alla malta, era il valore del modulo elastico del tufo, ridotto
“soltanto” a circa la metà (- 46 %) evidentemente le due malte avevano
caratteristiche differenti. Come si può notare dalla Figura 31, la curva teorica
presenta valori di capacità a compressione e trazione differenti dalle prove
sperimentali, i materiali non hanno raggiunto i limiti di resistenza e la prova è
ancora in campo elastico, per tale motivi si è passati alla calibrazione degli
altri parametri meccanici in modo da far coincidere le soglie di resistenza.
1.1.2. CALIBRAZIONE
SOGLIE
DI
RESISTENZA
A
TRAZIONE
E
COMPRESSIONE
Sono stati utilizzati i parametri meccanici forniti dalle prove sperimentali,
restava da definire i valori delle energie di frattura in compressione e trazione.
Tali valori sono:
56
 Resistenza a trazione per tufo, 0.4 MPa;
 Resistenza a compressione per tufo, 4.13 MPa;
 Resistenza a trazione per malta, 0.2 MPa;
 Resistenza a compressione per malta, 5.5 MPa
In prima battuta sono stati utilizzati valori di energia di frattura di letteratura
per poi passare alla calibrazione degli stessi per ottenere soglie di resistenza e
duttilità simili alle prove sperimentali.
Nel seguente diagramma si mostra come le soglie di resistenza siano state
correttamente calibrate, ma ancora non si ottiene l’andamento in postelasticità:
140
TRAZIONE
COMPRESSIONE
F [kN]
130
120
110
100
90
P2 - C
P3 - C
P61 - C
P62 - C
P10 - C
P55 - C
P2 - T
P3 - T
P61 - T
P62 - T
P10 - T
P55 - T
Analitica - C
Analitica - T
80
70
60
50
40
30
20
10
d [mm]
0
-0,4
-0,35
-0,3
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
Figura 32. Calibrazione soglie di resistenza a trazione e compressione
[
1.1.3. CALIBRAZIONE SOFTENING,
Come anticipato nel capitolo 1, il parametro principale di calibrazione è stata
l’energia di frattura (Gf). Finora, tale valore è stato fatto variare solo per
ottenere soglie di resistenza simili alle prove sperimentali. Tali valori sono
57
stati ora calibrati per ottenere maggiore duttilità dal provino in modo da
eguagliare i risultati sperimentali.
Sono stati fatti variare i valori di energia a trazione e compressione per
entrambi i materiali malta e mattone.
Dopo successive analisi, i risultati “migliori” si ottenevano con i valori:
 Gf a trazione per tufo, 0.001 N/mm;
 Gf a compressione per tufo, 15 N/mm;
 Gf a trazione per malta, 0.001 N/mm;
 Gf a compressione per malta, 15 N/mm.
150
TRAZIONE
COMPRESSIONE
F [kN]
140
130
120
110
100
90
P2 - C
P3 - C
P61 - C
P62 - C
P10 - C
P55 - C
P2 - T
P3 - T
P61 - T
P62 - T
P10 - T
P55 - T
Analitica - C
Analitica - T
80
70
60
50
40
30
20
d [mm]
10
0
-0,4
-0,35
-0,3
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
Figura 33 Confronti teorici-sperimentali per i diagrammi forza-spostamento
[
58
0,4
0,35
t [MPa]
0,30
P2
P3
P61
P62
P10
P55
Analitica
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
g[%]
0,00
0,00%
0,02%
0,04%
0,06%
0,08%
0,10%
0,12%
0,14%
0,16%
0,18%
0,20%
Figura 34.Confronti teorici-sperimentali per i diagrammi nel piano τ – γ
Come si può notare dalla Figura 33 e dalla Figura 34, la curva analitica
presenta valori di resistenza e duttilità simili alla prova P2 seppur con valori di
duttilità inferiori. Per cercare una maggiore duttilità si è pensato di cambiare il
legame in compressione in modo da permettere una maggiore curvatura post
picco alla prova. La funzione scelta in sostituzione della precedente è la
funzione Multi-linear, il cui andamento è diagrammato nel piano σ – ε:
Figura 35. Grafico della funzione Multi-linear con cui si è modellato il comportamento a
compressione del materiale mortar.
59
Con questa funzione è stato possibile modellare in maniera più precisa il
comportamento del materiale a ridosso della zona di passaggio tra fase elastica
e plastica: infatti, un diagramma multilineare consente di modellare il rapporto
sforzo-deformazione attraverso la definizione non del solo valore dell’energia
di frattura, ma attraverso la “costruzione” dell’area sottesa al diagramma.
Cioè, mentre prima definivamo solo le dimensioni dell’area sottesa (valore di
Gf), con tale funzione era possibile definirne la forma e quindi anche le
dimensioni. Ciò è possibile grazie alla definizione di una tabella di punti con
cui si “costruisce” la curva.
La curva inizia con una pendenza elastico-lineare dall'origine fino al valore di
resistenza, per poi seguire un percorso di softening.
La discretizzazione in un numero finito di punti del legame è stata effettuata
inserendo in Excel una funzione parabolica che riportava i valori di
deformazione in funzione di quelli di resistenza assegnati (Figura 36).
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
1
ε
σ
0
-
N/mm2
-0.044
0
-2
-0.033
-3.4375
-3
-0.022
-5.5
-4
-0.011
-5.5
-5
-0.001
-1.10
0
0
0.0001
0.20
-0,01 -1 0
-6
0,01
σ [MPa]
ε [-]
0.003
a)
0
b)
c)
Figura 36. a) Legame multilinear; b) tabella valori risultanti; c) fattori di controllo “punto limite” e
“duttilità”.
Modificando i valori di “punto limite” e “duttilità”, si ottenevano andamenti
diversi della funzione, quindi valori diversi delle colonne “Stress” e “Strain”
da andare ad inserire nelle tabelle richieste dal programma per le impostazioni
60
del legame multilinear. La taratura è stata effettuata per la prova P2 che
presentava valori di resistenza maggiori e duttilità minore rispetto alle altre
prove sperimentali. Il lavoro di calibrazione è sinteticamente riportato
attraverso i grafici forza-spostamento che si sono ottenuti:
180
TRAZIONE
COMPRESSIONE
F [kN]
160
140
120
P2 - C
P2 - T
Mortar 9_01 - C
Mortar 9_01 - T
Mortar 9_02 - C
Mortar 9_02 - T
Mortar 9_03 - C
Mortar 9_03 - T
Mortar 9_04 - C
Mortar 9_04 - T
Mortar 9_05 - C
Mortar 9_05 - T
Mortar 9_06 - C
Mortar 9_06 - T
Mortar 9_07 - C
Mortar 9_07 - T
100
80
60
40
20
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
d [mm]
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
Figura 37. Calibrazione dei valori del legame multilineare diagramma forza spostamento.
I risultati ottenuti erano certamente migliori rispetto ai precedenti (si era
riusciti a diagrammare il ramo post-elastico), ma erano ancora troppo
approssimativi rispetto a quello che era l’obiettivo finale che, si ricorda, era
riuscire ad estrapolare la dipendenza del comportamento globale a taglio di
murature (attraverso lo studio di provini soggetti a compressione diagonale) in
funzione delle proprietà meccaniche e dell’interazione tra malta e mattoni.
Obiettivo che non poteva prescindere dall’esigenza di avere un andamento dei
grafici delle prove analitiche il più possibile simile a quello delle sperimentali.
Pertanto, si è scelto di modellare, oltre che il comportamento della malta,
anche il legame a compressione del mattone con la funzione multilinear.
61
1.1.4. CALIBRAZIONE
FINALE,
FUNZIONE
MULTILINEAR
A
COMPRESSIONE SIA PER LA MALTA CHE PER IL MATTONE
La modellazione del comportamento a compressione con la funzione
multilinear per malta e mattone è stata condotta in maniera del tutto analoga a
quanto visto precedentemente, andando quindi a riprodurre una funzione-tipo
in Excel (Figura 38) che consentisse di approssimare al meglio l’obiettivo da
raggiungere (riuscire a diagrammare il ramo softening).
-0,02
-0,015
-0,01
-0,005
1
ε
σ
0
[-
[N/mm2]
-0.018
0
-0.013
-2.58
-2
-0.009
-4.13
-3
-0.004
-4.13
-0.001
-1.65
0
0
0.00016
0.4
0.00427
0
-1
-4
-5
0
0,005
0,01
σ [MPa]
ε [-]
a)
b)
c)
Figura 38. a) Legame multilinear; b) tabella valori risultanti; c) fattori di controllo “punto limite” e
“duttilità”.
In questa nuova configurazione si sono ottenuti dei risultati sensibilmente
diversi; il lavoro di calibrazione è possibile riassumerlo guardando la Figura
39, in cui sono diagrammati, nel piano forza-spostamento, le differenti curve
ottenute ed in cui si nota come, rispetto al miglior risultato ottenuto con la
modellazione avente il legame multilinear solo per la malta (nel grafico
indicato come “ML mortar 05”), tali risultati approssimino meglio la curva
sperimentale.
I grafici dell’analisi definita “ML all 9” risultavano essere quelli meglio
approssimanti l’andamento di quelli sperimentali del pannello n°2.
62
Pertanto si è scelta tale analisi come modello per la successiva fase di lavoro.
Ai fini di un migliore inquadramento del successivo lavoro svolto, dettagliato
nel paragrafo a seguire, si vanno a riassumere i valori utilizzati per la
definizione di tutti i parametri inseriti nel modello per l’analisi “ML all 9”:
 Tuff brick
 Et = 2500 MPa;
 υ = 0.2;
 Tensile curve : Exponential
 ft = 0.4 MPa;
 Gf tt = 0.001 N/mm;
 Compression curve : Multilinear
 fc = 4.13 Mpa;
 Gf tc, tabella ottenuta con duttilità 6.68, punto limite 2.5
 Mortar
 Em = 2000 MPa;
 υ = 0.2;
 Tensile curve: Exponential
 ft = 0.2 MPa;
 Gf mt = 0.001 N/mm;
 Compression curve : Multilinear
 fc = 5.5 Mpa;
 Gf mc, tabella ottenuta con duttilità 25, punto limite 7
63
160
TRAZIONE
COMPRESSIONE
150
F [kN]
140
130
120
P2 - C
P2 - T
ML mortar (05) - C
ML mortar (05) - T
ML all2 - C
ML all 2 - T
ML all 3 - C
ML all 3 - T
ML all 4 - C
ML all 4 - T
ML all 5 - C
ML all 5 - T
ML all 6 - C
ML all 6 - T
ML all 7 - C
ML all 7 - T
ML all 8 - C
ML all 8 - T
ML all 9 - C
ML all 9 - T
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
d [mm]
10
0
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
Figura 39. Calibrazione dei valori del legame multilineare diagramma forza spostamento
Da come si è potuto notare, le diverse calibrazioni che fino a questo punto del
lavoro si sono susseguite, sono state condotte rispetto al diagramma forzaspostamento ottenuto dalle prove sperimentali del pannello n°2. Gli altri
risultati, relativi agli altri pannelli campionati (n° 3, 10, 55, 61, 62) sono stati
sinora messi in secondo piano. Ciò è dovuto al fatto che, mentre lo spessore
delle scarpe di acciaio è stato modellato e fissato pari a 60mm (Figura 40), le
analisi sinora condotte sono state modellate con uno spessore (fisso) del
mattone di tufo pari a 250mm e uguale quello del giunto di malta (Figura 40),
ma quest’ultima scelta non sarà l’unica ad essere stata fatta.
a)
b)
c)
Figura 40. Input spessore dei materiali a) Tuff brick, b) Mortar, c) Stell, nel modello di MeshEdit
64
1.2. VARIAZIONE DELLO SPESSORE DEI GIUNTI DI MALTA
Difetti di realizzazione, dovuti al confezionamento a mano dei provini,
possono influenzare notevolmente i risultati delle prove sui pannelli
sperimentali; inoltre, come già indicato nel cap.1, lo studio analitico è stato
condotto attraverso un pannello modellato con delle dimensioni medie rispetto
a quelle di tutti i pannelli sperimentali a cui fa riferimento il presente studio.
Pertanto, è stato condotto un lavoro di variazione dello spessore dei giunti di
malta al fine di:
 Simulare i difetti di realizzazione, nonché le diverse dimensioni dei
pannelli sperimentali;
 Indagare circa la risposta analitica dei pannelli ed ottenere i relativi
quadri fessurativi;
 Simulare le rotture di interfaccia malta mattone.
Riducendo lo spessore, si modella la presenza di difetti di lavorazione, ossia il
parziale riempimento del giunto di malta; inoltre, la modellazione vuole tener
conto anche della forma del perimetro dei blocchi di tufo che, talvolta, può
non essere perfettamente squadrata. Ovviamente, non si escludono
combinazioni dei due casi precedenti (forma irregolare del mattone e
riempimento parziale del giunto). Tutto ciò, porta alla valutazione di un
volume pieno equivalente che, forzatamente, si fa coincidere con un volume
fisico di forma irregolare (Figura 41). Tale spessore è modellato
simmetricamente rispetto al piano medio, essendo impostata la modellazione
plane stress (nessuna azione fuori piano). Partendo dallo spessore di 250mm,
diminuendo ad ogni analisi lo spessore dei giunti di 25mm, si è analizzato il
comportamento dei pannelli aventi uno spessore minimo di 150mm; ossia,
sono state condotte 5 analisi diverse (ciascuna terminata con tutti i 200 steps
previsti), con spessori: 250, 225, 200, 175, 150 mm
65
In Figura 42 si riportano i diagrammi risultanti dalle analisi: si nota che
presentano tutte il medesimo tratto elastico (piano F-d), ma al diminuire dello
spessore del giunto di malta la zona di perdita di elasticità (corrispondente con
l’apertura della prima fessura) si manifesta con valori sempre minori di forza
applicata. Tale comportamento è tipico dei materiali fragili, cosa che ci si
aspettava di ottenere da tali risultati che, quindi, si trovano in buon accordo coi
dati sperimentali.
VOLUME PIENO
EQUIVALENTE
a)
VOLUME PIENO
EQUIVALENTE
b)
VOLUME PIENO
EQUIVALENTE
c)
Figura 41. Variazione dello spessore del giunto di malta per simulare a), b) difetti di lavorazione; c)
irregolarità blocchi di tufo
66
160
F [kN]
140
120
100
80
60
40
20
d [mm]
0
-0,4
-0,3
-0,2
P2 - C
P55 - C
P10 - T
ML all_225 - T
ML all_150 - C
-0,1
P3 - C
P2 - T
P55 - T
ML all_200 - C
ML all_150 - T
0
0,1
P61 - C
P3 - T
ML all_250 - C
ML all_200 - T
0,2
P62 - C
P61 - T
ML all_250 - T
ML all_175 - C
0,3
0,4
P10 - C
P62 - T
ML all_225 - C
ML all_175 - T
a)
0,35
t [MPa]
0,30
0,25
0,20
P2
P3
P61
P62
P10
P55
ML all_250
ML all_225
ML all_200
ML all_175
ML all_150
0,15
0,10
0,05
g[%]
0,00
0,00%
0,05%
0,10%
0,15%
0,20%
0,25%
b)
Figura 42. Confronto nel piano a) F-d; b) τ – γ, tra i diagrammi delle prove sperimentali e quelli delle
prove analitiche
67
1.3. QUADRI FESSURATIVI
Le fratture sono lette in corrispondenza di tre punti precisi di ogni diagramma
(corrispondenti, quindi, ad uno steps preciso di carico di ogni analisi).
Ad esempio, in Figura 43, si riporta il grafico dei risultati ottenuti dall’analisi
con spessore 250mm su cui si segnano i punti di lettura delle fessure da cui
risulta che tali punti sono:
1. Punto limite del tratto elastico, corrispondente con l’apertura della
prima fessura (punto ben evidente in ciascun diagramma);
2. Punto corrispondente al penultimo step (n° 199);
3. Punto corrispondente all’ultimo step (n° 200)
Si riportano, di seguito, i quadri fessurativi delle analisi.
140
F [kN]
Punto di lettura 1
120
Pt 3
Pt 2
100
80
60
40
20
0
d [mm]
0
0,05
0,1
0,15
Figura 43.Punti di lettura del quadro fessurativo
68
0,2
SPESSORE GIUNTO DI MALTA 250MM
a)
b)
c)
d)
Figura 44. Quadro fessurativo: a) Provino P2; b) punto 1 (step 192); c) punto 2; d) punto 3
69
a)
b)
c)
d)
70
a)
b)
c)
d)
71
a)
b)
c)
d)
72
a)
b)
c)
d)
73
1.4. CONSIDERAZIONI
Dai quadri fessurativi risulta che la malta gioca un ruolo principale nel
comportamento globale
modellazione
effettuata
del pannello,
il
quindi della
meccanismo
di
rottura
muratura.
Nella
dell’interfaccia
malta/mattone è stato simulato riducendo lo spessore della malta in modo da
ridurre il contributo della malta nel sistema malta/mattone: è una modalità di
rottura indotta che cerca di riprodurre il fenomeno sia in termini di resistenza
che di duttilità. Si nota infatti, dal confronto delle curve, come man mano che
si riduce lo spessore della malta si ha una diminuzione di resistenza sul
comportamento globale del pannello ed un incremento di duttilità dell’intero
sistema. Come ampiamente descritto nei paragrafi precedenti, la modalità di
rottura riscontrata durante la campagna sperimentale è stata caratterizzata
principalmente da rotture all’interfaccia malta/mattone; solo il provino P2,
avente resistenza maggiore e duttilità minore, ha mostrato una modalità di
rottura che ha interessato malta e mattone. Analogamente, anche le prove
analitiche con spessore di 250mm sono state le uniche in cui il collasso sia
dovuto alla rottura, oltre che della malta, anche del mattone.
Già da queste prime considerazioni, si potrebbe ritenere raggiunto l’obiettivo
del lavoro di tesi; ciononostante si sono svolte ulteriori analisi di sensibilità,
mirate a valutare l’influenza del legame e dello spessore del giunto di malta
nel ramo post-picco.
74
CAPITOLO III- ANALISI DI SENSIBILIA’
CAPITOLO III – ANALISI DI SENSIBILITA’
INTRODUZIONE
Nel capitolo precedente sono state condotte delle analisi per la valutazione
dell’influenza dello spessore del giunto di malta sulla risposta globale della
muratura. In questo terzo capitolo, invece, si mostrerà il lavoro svolto sulla
parametrizzazione del comportamento della muratura al variare delle leggi
costitutive per i due materiali base ed, inoltre, anche al variare dello spessore
del giunto. I risultati consentiranno di definire il grado si sensibilità della
risposta globale, in particolare sul comportamento post-picco: saranno
confrontate le analisi calibrate precedentemente (legame Multilinear a
compressione ed Exponential a trazione, al variare dello spessore) con quelle
ottenute andando ad “estremizzare” il comportamento dei materiali, ossia
definendoli a comportamento talvolta duttile, talvolta fragile. In modo analogo
a quanto fatto precedentemente, sarà variato lo spessore t dei giunti di malta a
gradini di 25mm; partendo da 250mm, saranno analizzati pannelli aventi
giunti di spessore:
250mm, 225mm, 200mm, 175mm, 150mm.
Verranno fissati dei legami costitutivi di tipo:
Fragile, duttile, ibrido (duttile in compressione e fragile in trazione).
Successivamente, saranno specificate le funzioni con cui si sono modellati tali
legami e saranno mostrati i risultati delle analisi, sia con i diagrammi nei piani
F – d, τ – γ, τ – ε, τ – t, sia in termini di quadri fessurativi.
75
1.1. MODELLAZIONE DEL COMPORTAMENTO
La modellazione dei legami di tipo fragile, duttile o ibrido, per i materiali
malta e mattone di tufo, è stata effettuata andando a modificare (nelle
impostazioni del MeshEdit [8]) le funzioni con cui si erano, precedentemente,
indicati i modelli comportamentali da utilizzare a trazione (tensile curve:
Exponential) e compressione (compression curve: Multilinear) per i due
materiali.
Di seguito saranno indicate le funzioni utilizzate per la modellazione di tipo
fragile e duttile dei due materiali (la modellazione ibrida risulta dalla
combinazione delle due), mostrando i loro andamenti
a)
b)
c)
d)
Figura 49. Grafici delle funzioni usate per modellare il comportamento di malta e mattone: a)
fragile in trazione; b) fragile in compressione; c) duttile in trazione; d) duttile in compressione
76
1.2. ANALISI PARAMETRICHE
Con l’obiettivo di valutare la sensibilità sul tratto post-picco, come già
anticipato le analisi sono state condotte in modo da “estremizzare” il
comportamento dei singoli materiali per valutarne, quindi, l’influenza in
termini di risposta globale.
Sono state condotte 25 analisi strutturali non lineari, ovviamente ciascuna
diversa dalla precedente, facendo variare a rotazione:
 Spessore dei giunti, ossia 250mm, 225mm, 200mm, 175mm, 150mm;
 Il comportamento della malta, ossia fragile, duttile, ibrido (duttile in
compressione e fragile in trazione);
 Il comportamento del mattone, ossia fragile, duttile, ibrido (duttile in
compressione e fragile in trazione).
Le impostazioni di ciascuna analisi, corrispondenti alle diverse combinazioni
tra i vari legami e spessori, sono elencate nella Tabella 9.
A seguire saranno riportati gli andamenti dei diagrammi (ottenuti dai risultati
delle analisi) nei piani: F – d, τ – γ, τ – ε, τ – t.
Di seguito, saranno riportati i diagrammi complessivi dei risultati di tutte le
analisi ed i quadri fessurativi limitatamente ai punti di lettura 3.
Per maggiori dettagli sulle singole analisi, si rimanda al capitolo in appendice
in cui sono contenuti i diagrammi dei risultati delle singole analisi divise per
legame e per spessore, nonché i relativi quadri fessurativi (tutti punti di
lettura).
77
1.3. ANALISI ESEGUITE E RISULTATI
Di seguito si riporta una tabella riepilogativa delle impostazioni delle varie
analisi.
SIGLA
Legame Malta
Compres.
F
F
M-F,F_T-D,D
F
F
F
F
F
M-F,F_T-F,F
F
F
F
D
D
M-D,D_T-D,D
D
D
D
D
D
M-D,D_T-F,F
D
D
D
D
D
M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
D
D
D
Trazione
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
F
F
F
F
F
Legame Tufo
Compres.
D
D
D
D
D
F
F
F
F
F
D
D
D
D
D
F
F
F
F
F
D
D
D
D
D
Trazione
D
D
D
D
D
F
F
F
F
F
D
D
D
D
D
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
Tabella 9.Riepilogo impostazioni analisi
78
Spessore
250
225
200
175
150
250
225
200
175
150
250
225
200
175
150
250
225
200
175
150
250
225
200
175
150
1.3.1. RISULTATI COMPLESSIVI DI TUTTE LE ANALISI
160
TRAZIONE
COMPRESSIONE
F [kN]
140
120
100
80
60
40
20
d [mm]
0
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
M-F,F_T-D,D_sp 250 - C
M-F,F_T-D,D_sp 225 - T
M-F,F_T-F,F_sp 225 - C
M-F,F_T-F,F_sp 200 - T
M-D,D_T-D,D__sp 250 - T
M-D,D_T-D,D__sp 200 - C
M-D,D_T-D,D_sp 175 - T
M-D,D_T-F,F_sp 250 - C
M-D,D_T-F,F_sp 225 - T
M-Dc,Ft_T-Dc,Ft_sp225_C
M-Dc,Ft_T-Dc,Ft_sp200_T
Calibrate_sp 150 - T
Calibrate_sp 200 - C
-0,05
0
0,05
M-D,D_T-D,D__sp 225 - C
M-D,D_T-D,D__sp 200 - T
M-D,D_T-D,D_sp 150 - C
0,1
0,15
0,25
M-D,D_T-D,D__sp 225 - T
M-D,D_T-D,D__sp 175 - C
Figura 50.Risultati di tutte le prove, forza-spostamento.
79
0,2
0,40
TRAZIONE
t [MPa]
COMPRESSIONE
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e v [%]
e h [%]
0,00
-0,0006
-0,0004
-0,0002
M-F,F_T-D,D_sp 250 - eh
M-F,F_T-D,D_sp 225 - ev
M-F,F_T-F,F_sp 225 - eh
M-F,F_T-F,F_sp 200 - ev
M-D,D_T-D,D_sp 250 - ev
M-D,D_T-D,D_sp 200 - eh
M-D,D_T-F,F_sp 250 - eh
M-D,D_T-F,F_sp 225 - ev
M-Dc,Ft_T-Dc,Ft_sp225_eh
M-Dc,Ft_T-Dc,Ft_sp200_ev
Calibrate_sp 150 - ev
Calibrate_sp 200 - eh
0
0,0002
Figura 51.Risultati di tutte le prove, piano τ-ε
80
0,0004
0,0006
0,38
t [MPa]
0,36
M-F,F_T-D,D_sp 250
M-F,F_T-D,D_sp 225
M-F,F_T-D,D_sp 200
M-F,F_T-D,D_sp 175
M-F,F_T-D,D_sp 150
M-F,F_T-F,F_sp 250
M-F,F_T-F,F_sp 225
M-F,F_T-F,F_sp 200
M-F,F_T-F,F_sp 175
M-F,F_T-F,F_sp 150
M-D,D_T-D,D_sp 250
M-D,D_T-D,D_sp 225
M-D,D_T-D,D_sp 200
M-D,D_T-D,D_sp 175
M-D,D_T-D,D_sp 150
M-D,D_T-F,F_sp 250
M-D,D_T-F,F_sp 225
M-D,D_T-F,F_sp 200
M-D,D_T-F,F_sp 175
M-D,D_T-F,F_sp 150
M-Dc,Ft_T-Dc,Ft_SP 250
M-Dc,Ft_T-Dc,Ft_sp225
Calibrate_sp 150
Calibrate_sp 175
Calibrate_sp 200
Calibrate_sp 225
Calibrate_sp 250
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
g[%]
0,02
0,00
0,00%
0,02%
0,04%
0,06%
0,08%
0,10%
0,12%
0,14%
a)
0,40
t [MPa]
M-F,F_T-D,D
0,35
M-F,F_T-F,F
M-D,D_T-D,D
0,30
M-D,D_T-F,F
0,25
M-Dc,Ft_TDc,Ft
Calibrate
0,20
t [mm]
0,15
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
b)
Figura 52.Risultati di tutte le prove nei piani a) τ-γ; b) τ-t
81
260
270
280
1.4. QUADRI FESSURATIVI – PUNTO DI LETTURA 3
Si riportano di seguito i confronti tra le analisi eseguiti attraverso i quadri
fessurativi (spessori 250mm, 200mm, 150 mm).
Come già indicato nel precedente capitolo, le fratture sono prese in
corrispondenza di tre punti precisi di ogni diagramma:
4. Punto limite del tratto elastico, corrispondente con l’apertura della
prima fessura (punto ben evidente in ciascun diagramma);
5. Punto corrispondente al penultimo step;
6. Punto corrispondente all’ultimo step (spostamento massimo, 1mm)
t [MPa]
0,35
PUNTO 1
PUNTO 2
0,30
PUNTO 3
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
g[%]
0,00
0,00%
0,05%
0,10%
0,15%
0,20%
Figura 53. Punti di lettura
Di seguito, però, saranno mostrati i confronti relativi soltanto ai punti di lettura
3 di tutte le analisi, relative a tutti gli spessori, rinviando all’appendice i
confronti relativi ai punti di lettura 1 e 2.
Si specifica, inoltre, che le analisi M-D,D_T-D,D non hanno portato alla
fessurazione del pannello.
82
1.4.1. QUADRI FESSURATIVI SPESSORE 250MM
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
Figura 54. Quadri fessurativi, punto di lettura 3, spessore 250mm, delle analisi a)calibrata; b)MF,F_T-D,D; c)M-F,F_T-F,F; d)M-D,D_T-F,F; e)M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
83
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
84
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
85
1.5. CONSIDERAZIONI SULL’EFFETTO DEL LEGAME E DELLO
SPESSORE DEL GIUNTO DI MALTA
In questo paragrafo si vuole indagare circa:
1. L’effetto del legame sul comportamento post-picco;
2. L’effetto dello spessore del giunto di malta sul comportamento postpicco.
I risultati mostrano che, dal punto di vista del legame costitutivo adottato, il
mattone ha un’influenza maggiore rispetto alla malta: essendo l’elemento
volumetricamente preponderante, governa il comportamento globale della
muratura. Infatti, si può notare come modellando con mattone fragile le
resistenze e le duttilità siano molto basse, confrontandole sia con le analisi
calibrate, sia con le altre analisi parametriche, ed il collasso del pannello (in
entrambe le analisi M-F,F_T-F,F e M-D,D_T-F,F) avvenga per crisi locale del
mattone stesso. Tale comportamento è meglio definito attraverso il confronto
tra le analisi M-Dc.Ft_T-Dc,Ft vs. M-F,F_T-D,D: si può notare come
l’imposizione del legame fragile in trazione per il mattone risulti trascurabile.
Infatti, tranne che per le analisi con legame ibrido e spessore del giunto pari a
250mm che si arrestano in campo elastico, le analisi condotte con tutti gli altri
spessori i diagrammi, quindi le resistenze e le duttilità, sono pressoché
coincidenti cosi come anche i quadri fessurativi. Modellando, invece, con
mattone fragile sia le resistenze che le duttilità sono di molto inferiori, sia con
malta duttile che con malta fragile. Ovviamente, il discorso si estremizza
vedendo i risultati delle analisi M-D,D_T- D,D che ci aiutano a comprendere
che il legame imposto per la malta ha comunque una notevole influenza sulla
risposta globale. Infatti, le conclusioni che possono trarsi da questi confronti
sono che, seppur il legame imposto per la malta giochi un ruolo importante
sulla risposta globale quando il mattone è modellato come duttile, ciò non
86
toglie che è sempre il mattone che governa maggiormente la risposta, in
particolare il legame imposto a compressione.
Per quanto riguarda le considerazioni da fare circa l’effetto dello spessore sul
comportamento post-picco, si può notare come i risultati delle analisi
parametriche confermino quanto già visto dai risultati delle analisi calibrate: il
comportamento globale è fortemente dipendente dallo spessore del giunto di
malta. Nel capitolo precedente, infatti, si è visto che riducendo lo spessore del
giunto di malta per le analisi calibrate le resistenze diminuiscono ed
aumentano le duttilità. Ciò è tuttora confermato dalle analisi parametriche.
Pertanto, risulta una forte dipendenza dallo spessore del giunto non solo sul
comportamento post-picco, ma in realtà sul comportamento globale della
muratura. Infatti si può notare come, indipendentemente dal tipo di legame
scelto, le resistenze e le duttilità rispettivamente diminuiscono ed aumentano
al diminuire dello spessore, seppur in maniera più o meno marcata in relazione
al tipo di legame.
Con queste considerazioni si può concludere che il confronto tra risultati e
quadri fessurativi delle analisi calibrate vs. analisi parametriche, ha consentito
di chiarire la risposta post picco: essa è fortemente governata sia dal legame
imposto a compressione per il mattone che dallo spessore del giunto di malta.
In particolare, la risposta risulta, in alcuni casi, completamente diversa al
variare del legame (M-F,F_T-D,D vs. M-D,D_T-F,F); invece, solo per il
legame M-D,D_T-F,F, può esserci confronto tra i risultati delle analisi anche
al variare dello spessore del giunto di malta.
87
CAPITOLO IV- CONCLUSIONI
CAPITOLO IV – CONCLUSIONI
Ripercorrendo sinteticamente il lavoro svolto, si è partiti con l’obiettivo di
indagare circa il comportamento globale a taglio di murature attraverso prove
di compressione diagonale: ci si è concentrati sulle murature realizzate con
blocchi di tufo giallo napoletano. Per conseguire tale obiettivo si è andati a
modellare, con il software di calcolo agli elementi finiti TNO DIANA
(DIsplacement ANAlyzer) v.9.6 [1], la campagna sperimentale su provini di
muratura (testati secondo lo standard descritto nella ASTM E 519-02 [2])
condotta presso i laboratori dell’Università degli studi di Napoli Federico II.
La modellazione comportava la definizione di diverse caratteristiche per i due
materiali: resistenza a trazione e resistenza a compressione, fornite dalle prove
sui materiali condotte presso il laboratorio ‘Materiali e Strutture’
dell’Università del Sannio (Bn); le caratteristiche (per entrambi i materiali)
quali modulo di elasticità, energia di frattura in compressione ed energia di
frattura in trazione, sono state ricercate attraverso un lavoro di calibrazione
che ha condotto all’utilizzo della funzione multilinear a compressione. Tale
scelta ha consentito di ottenere dei risultati che meglio approssimassero quelli
della campagna sperimentale. Successivamente, è stato condotto un lavoro di
variazione dello spessore del giunto di malta, per indagare circa le diverse
modalità di collasso dei pannelli (rottura dell’interfaccia malta/mattone,
rottura combinata di malta e mattone), riconducibili a difetti di realizzazione
delle murature. È poi seguito un lavoro di sensibilità nel ramo post-picco, che
ha consentito di indagare circa la dipendenza del comportamento globale del
pannello, quindi della muratura, relativamente al legame utilizzato e allo
spessore del giunto di malta utilizzato.
88
Dal lavoro svolto si può concludere che il comportamento globale a taglio
delle murature è fortemente influenzato, per motivi diversi, sia dalla malta che
dal mattone.
Posto che il meccanismo di rottura, derivante dagli studi sperimentali, è
riconducibile all’interfaccia malta/mattone, la modellazione ha simulato tale
meccanismo riducendo lo spessore del giunto di malta. Riducendo il
contributo della malta nel sistema globale, si è potuto osservare che al
diminuire dello spessore vi era:
 Progressiva diminuzione delle resistenze;
 Progressivo aumento delle duttilità.
Tali “fenomeni” rispecchiano ampiamente le modalità di rottura dei pannelli
sperimentali indagati, anche nel caso del provino P2 avente (rispetto agli altri
5 confrontati) resistenze maggiori, duttilità minori e modalità di collasso
singolari: è l’unico provino, infatti, per cui il meccanismo di collasso non
comprende solo l’interfaccia malta/mattone ma anche il mattone stesso, come
ampiamente descritto nei precedenti capitoli. Quindi, anche in questo caso, si è
riusciti a modellare tale comportamento proprio con l’analisi condotta con il
giunto di malta di valore massimo (250 mm). Pertanto, l’influenza principale
della malta risiede nelle sue “geometrie”, modellate come variazione di
spessore e riscontrabili nella realtà come difetti di esecuzione della muratura
(parziale riempimento dei giunti), differenti dimensioni per i giunti, non
regolarità geometrica per i blocchi di tufo impiegati, ecc.
Per quanto riguarda il mattone, si è visto che variando il legame costitutivo da
fragile a duttile (passando per il legame calibrato), la risposta globale della
muratura è sensibilmente differente. Modellando, infatti, con mattone duttile,
si riescono a superare i valori di resistenza e duttilità risultanti dalla
calibrazione, rappresentativi dei blocchi realmente utilizzati nel campo prove.
Viceversa, sia le resistenze che le duttilità risultano di gran lunga inferiori nel
caso di modellazione con mattone fragile. Invece, per la malta questo discorso
89
non può essere fatto giacché la risposta in funzione del legame è sicuramente
più dipendente dal mattone che dalla malta stessa (capitolo 3); resta, però, la
forte dipendenza del comportamento al variare dello spessore, anche variando
i legami costitutivi di malta e mattone.
Pertanto, la risposta globale a taglio delle murature è governata:
 Dal
mattone
poiché,
essendo
l’elemento
volumetricamente
preponderante, utilizzare un legame o un altro (quindi una tipologia di
mattone o un'altra) può fare la differenza;
 Dalla malta, che, al variare delle dimensioni geometriche, influenza sia
i valori di resistenza che di duttilità.
90
APPENDICE
APPENDICE
1.6. RISULTATI ANALISI DI SENSIBILITÀ
Di seguito sono riportati i grafici e quadri fessurativi di tutte le analisi di
sensibilità descritte nel capitolo 3. Si riporta, inoltre, il riepilogo delle
impostazioni di tutte le suddette analisi.
Legame Malta
SIGLA
Compres.
F
F
M-F,F_T-D,D
F
F
F
F
F
M-F,F_T-F,F
F
F
F
D
D
M-D,D_T-D,D
D
D
D
D
D
M-D,D_T-F,F
D
D
D
D
D
M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
D
D
D
Trazione
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
F
F
F
F
F
Legame Tufo
Compres.
D
D
D
D
D
F
F
F
F
F
D
D
D
D
D
F
F
F
F
F
D
D
D
D
D
Trazione
D
D
D
D
D
F
F
F
F
F
D
D
D
D
D
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
Tabella 10.Riepilogo impostazioni analisi
91
Spessore
250
225
200
175
150
250
225
200
175
150
250
225
200
175
150
250
225
200
175
150
250
225
200
175
150
APPENDICE
1.6.1. RISULTATI ANALISI M-F,F_T-D,D.
160
TRAZIONE
COMPRESSIONE
F [kN]
140
120
100
80
60
40
20
d [mm]
0
-0,25
-0,15
-0,05
0,05
0,15
0,25
0,35
a)
0,40
TRAZIONE
t [MPa]
COMPRESSIONE
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e h [%]
e v [%]
0,00
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
b)
Figura 57.Risultati prova M-F,F_T-D,D nei piani a) forza-spostamento; b) τ-ε
92
0,001
APPENDICE
0,38
t [MPa]
0,36
0,34
M-F,F_T-D,D_sp 250
M-F,F_T-D,D_sp 225
M-F,F_T-D,D_sp 200
M-F,F_T-D,D_sp 175
M-F,F_T-D,D_sp 150
Calibrate_sp 150
Calibrate_sp 175
Calibrate_sp 200
Calibrate_sp 225
Calibrate_sp 250
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
g[%]
0,02
0,00
0,00%
0,02%
0,04%
0,06%
0,08%
0,10%
0,12%
0,14%
a)
0,40
t [MPa]
M-F,F_T-D,D
0,35
Calibrate
0,30
0,25
0,20
t [mm]
0,15
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
b)
Figura 58.Risultati prova M-F,F_T-D,D nei piani a) τ-γ; b) τ-t
93
270
280
APPENDICE
1.6.2. RISULTATI ANALISI M-F,F_T-F,F.
160
TRAZIONE
F [kN]
COMPRESSIONE
140
120
100
80
60
40
20
d [mm]
0
-0,25
-0,15
-0,05
0,05
0,15
0,25
0,35
a)
0,35
t [MPa]
TRAZIONE
COMPRESSIONE
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e v [%]
e h [%]
0,00
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
b)
Figura 59.Risultati prova M-F,F_T-F,F nei piani a) forza-spostamento; b) τ-ε
94
0,001
APPENDICE
0,38
t [MPa]
0,36
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20
M-F,F_T-F,F_sp 250
0,18
M-F,F_T-F,F_sp 225
0,16
M-F,F_T-F,F_sp 200
0,14
M-F,F_T-F,F_sp 175
M-F,F_T-F,F_sp 150
0,12
Calibrate_sp 150
0,10
Calibrate_sp 175
0,08
Calibrate_sp 200
0,06
Calibrate_sp 225
0,04
Calibrate_sp 250
0,02
g[%]
0,00
0,00%
0,02%
0,04%
0,06%
0,08%
0,10%
0,12%
a)
0,33
t [MPa]
0,31
0,29
0,27
0,25
M-F,F_T-F,F
0,23
0,21
Calibrate
0,19
0,17
t [mm]
0,15
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
b)
Figura 60.Risultati prova M-F,F_T-F,F nei piani a) τ-γ; b) τ-t
95
270
280
APPENDICE
1.6.3. RISULTATI ANALISI M-D,D_T-D,D.
160
TRAZIONE
F [kN]
COMPRESSIONE
140
M-D,D_T-D,D__sp 250 - T
M-D,D_T-D,D__sp 225 - C
M-D,D_T-D,D__sp 225 - T
M-D,D_T-D,D__sp 200 - C
M-D,D_T-D,D__sp 200 - T
M-D,D_T-D,D__sp 175 - C
120
100
80
60
40
20
d [mm]
0
-0,25
-0,15
-0,05
0,05
0,15
0,25
0,35
a)
0,40
t [MPa]
TRAZIONE
COMPRESSIONE
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e v [%]
e h [%]
0,00
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
b)
Figura 61.Risultati prova M-D,D_T-D,D nei piani a) forza-spostamento; b) τ-ε
96
0,001
APPENDICE
0,38
t [MPa]
0,36
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20
M-D,D_T-D,D_sp 250
0,18
M-D,D_T-D,D_sp 225
M-D,D_T-D,D_sp 200
0,16
M-D,D_T-D,D_sp 175
0,14
M-D,D_T-D,D_sp 150
Calibrate_sp 150
0,12
Calibrate_sp 175
0,10
Calibrate_sp 200
0,08
Calibrate_sp 225
Calibrate_sp 250
0,06
0,04
0,02
g[%]
0,00
0,00%
0,02%
0,04%
0,06%
0,08%
0,10%
0,12%
a)
0,40
t [MPa]
M-D,D_T-D,D
0,35
Calibrate
0,30
0,25
0,20
t [mm]
0,15
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
b)
Figura 62.Risultati prova M-D,D_T-D,D nei piani a) τ-γ; b) τ-t
97
270
280
APPENDICE
1.6.4. RISULTATI ANALISI M-D,D_T-F,F.
160
TRAZIONE
F [kN]
COMPRESSIONE
140
120
100
80
60
40
20
d [mm]
0
-0,25
-0,15
-0,05
0,05
0,15
0,25
a)
0,35
t [MPa]
TRAZIONE
COMPRESSIONE
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e h [%]
e v [%]
0,00
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0
0,0002
0,0004
0,0006
b)
Figura 63.Risultati prova M-D,D_T-F,F nei piani a) forza-spostamento; b) τ-ε
98
0,35
APPENDICE
0,38
t [MPa]
0,36
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
M-D,D_T-F,F_sp 250
0,20
M-D,D_T-F,F_sp 225
M-D,D_T-F,F_sp 200
0,18
M-D,D_T-F,F_sp 175
0,16
M-D,D_T-F,F_sp 150
Calibrate_sp 150
0,14
Calibrate_sp 175
Calibrate_sp 200
0,12
Calibrate_sp 225
0,10
Calibrate_sp 250
0,08
0,06
0,04
0,02
g[%]
0,00
0,00%
0,02%
0,04%
0,06%
0,08%
0,10%
0,12%
a)
0,33
t [MPa]
0,31
0,29
0,27
0,25
M-D,D_T-F,F
0,23
0,21
Calibrate
0,19
0,17
t [mm]
0,15
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
b)
Figura 64.Risultati prova M-D,D_T-F,F nei piani a) τ-γ; b) τ-t
99
270
280
APPENDICE
1.6.5. RISULTATI ANALISI M-DC,FT_T-DC,FT.
160
TRAZIONE
COMPRESSIONE
F [kN]
140
120
100
80
60
40
20
d [mm]
0
-0,25
-0,15
-0,05
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
a)
0,40
t [MPa]
TRAZIONE
COMPRESSIONE
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e v [%]
e h [%]
0,00
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
b)
Figura 65.Risultati prova M-Dc,Ft_T-Dc,Ft nei piani a) forza-spostamento; b) τ-ε
100
0,001
APPENDICE
0,38
t [MPa]
0,36
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20
0,18
0,16
Calibrate_sp 150
Calibrate_sp 175
Calibrate_sp 200
Calibrate_sp 225
Calibrate_sp 250
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
g[%]
0,00
0,00%
0,02%
0,04%
0,06%
0,08%
0,10%
0,12%
a)
0,35
t [MPa]
0,33
0,31
M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
0,29
0,27
Calibrate
0,25
0,23
0,21
0,19
0,17
t [mm]
0,15
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
b)
Figura 66.Risultati prova M-Dc,Ft_T-Dc,Ft nei piani a) τ-γ; b) τ-t
101
270
280
APPENDICE
1.6.6. RISULTATI ANALISI SPESSORE 250 MM
160
TRAZIONE
F [kN]
COMPRESSIONE
140
120
100
80
M-D,D_T-D,D__sp 250 - T
60
40
20
d [mm]
0
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
a)
0,40
TRAZIONE
t [MPa]
COMPRESSIONE
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e h [%]
e v [%]
-0,00035
-0,00025
-0,00015
0,00
-0,00005
0,00005
0,00015
0,00025
0,00035
0,00045
0,00055
b)
Figura 67.Risultati di tutte le prove con spessore 250 mm, nei piani a) forza-spostamento; b) τ-ε
102
APPENDICE
0,38
0,36
t [MPa]
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
M-F,F_T-D,D_sp 250
M-F,F_T-F,F_sp 250
M-D,D_T-D,D_sp 250
M-D,D_T-F,F_sp 250
Calibrate_sp 250
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0,00%
g[%]
0,01%
0,02%
0,03%
0,04%
0,05%
0,06%
0,07%
Figura 68.Risultati di tutte le prove con spessore 250 mm, nel piano τ-γ.
103
0,08%
APPENDICE
160
TRAZIONE
F [kN]
COMPRESSIONE
140
120
100
80
M-D,D_T-D,D__sp 225 - C
M-D,D_T-D,D__sp 225 - T
60
40
20
d [mm]
0
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
a)
0,40
t [MPa]
TRAZIONE
COMPRESSIONE
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e v [%]
-0,0005
e h [%]
0,00
-0,0003
-0,0001
0,0001
0,0003
0,0005
b)
104
APPENDICE
0,38
t [MPa]
0,36
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
M-F,F_T-D,D_sp 225
0,22
M-F,F_T-F,F_sp 225
0,20
M-D,D_T-D,D_sp 225
0,18
M-D,D_T-F,F_sp 225
Calibrate_sp 225
0,16
Calibrate_sp 250
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
g[%]
0,00
0,00%
0,01%
0,02%
0,03%
0,04%
0,05%
0,06%
0,07%
0,08%
105
0,09%
APPENDICE
160
TRAZIONE
F [kN]
COMPRESSIONE
140
120
100
80
M-D,D_T-D,D__sp 200 - C
M-D,D_T-D,D__sp 200 - T
60
40
20
d [mm]
0
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
a)
0,40
TRAZIONE
t [MPa]
COMPRESSIONE
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e v [%]
e h [%]
0,00
-0,0005
-0,0003
-0,0001
0,0001
0,0003
0,0005
b)
106
APPENDICE
0,38
0,36
t [MPa]
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20
0,18
0,16
0,14
M-F,F_T-D,D_sp 200
M-F,F_T-F,F_sp 200
M-D,D_T-D,D_sp 200
M-D,D_T-F,F_sp 200
Calibrate_sp 200
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0,00%
g[%]
0,01%
0,02%
0,03%
0,04%
0,05%
0,06%
0,07%
0,08%
0,09%
107
0,10%
APPENDICE
160
TRAZIONE
F [kN]
COMPRESSIONE
140
120
100
M-D,D_T-D,D__sp 175 - C
80
60
40
20
d [mm]
0
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
a)
0,40
TRAZIONE
t [MPa]
COMPRESSIONE
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e v [%]
-0,0005
e h [%]
-0,0003
0,00
-0,0001
0,0001
0,0003
0,0005
0,0007
b)
108
APPENDICE
0,38
0,36
t [MPa]
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20
0,18
M-F,F_T-D,D_sp 150
0,16
M-F,F_T-F,F_sp 150
0,14
M-D,D_T-D,D_sp 150
0,12
M-D,D_T-F,F_sp 150
0,10
Calibrate_sp 150
0,08
0,06
0,04
0,02
g[%]
0,00
-0,01%
0,01%
0,03%
0,05%
0,07%
0,09%
109
0,11%
APPENDICE
1.6.10.
RISULTATI ANALISI SPESSORE 150 MM
160
COMPRESSIONE
F [kN]
TRAZIONE
140
120
100
80
60
40
20
d [mm]
0
-0,25
-0,15
-0,05
0,05
0,15
0,25
a)
0,40
t [MPa]
TRAZIONE
COMPRESSIONE
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e v [%]
-0,0006
-0,0004
e h [%]
0,00
-0,0002
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
b)
110
APPENDICE
0,38
0,36
t [MPa]
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20
0,18
M-F,F_T-D,D_sp 150
M-F,F_T-F,F_sp 150
0,16
M-D,D_T-D,D_sp 150
0,14
M-D,D_T-F,F_sp 150
0,12
0,10
Calibrate_sp 150
0,08
0,06
0,04
0,02
g[%]
0,00
-0,01%
0,01%
0,03%
0,05%
0,07%
0,09%
Figura 76.Risultati di tutte le prove con spessore 150mm, nel piano τ-γ.
111
0,11%
APPENDICE
1.6.11.
RISULTATI COMPLESSIVI DI TUTTE LE ANALISI
160
TRAZIONE
COMPRESSIONE
F [kN]
140
120
100
80
60
40
20
d [mm]
0
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
M-D,D_T-D,D__sp 250 - T
M-D,D_T-D,D__sp 200 - C
-0,05
0
0,05
M-D,D_T-D,D__sp 225 - C
M-D,D_T-D,D__sp 200 - T
0,1
0,15
0,25
M-D,D_T-D,D__sp 225 - T
M-D,D_T-D,D__sp 175 - C
Figura 77.Risultati di tutte le prove, forza-spostamento.
112
0,2
APPENDICE
0,40
TRAZIONE
t [MPa]
COMPRESSIONE
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
e v [%]
e h [%]
0,00
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0
0,0002
Figura 78.Risultati di tutte le prove, piano τ-ε
113
0,0004
0,0006
APPENDICE
0,38
t [MPa]
0,36
M-F,F_T-D,D_sp 250
M-F,F_T-D,D_sp 225
M-F,F_T-D,D_sp 200
M-F,F_T-D,D_sp 175
M-F,F_T-D,D_sp 150
M-F,F_T-F,F_sp 250
M-F,F_T-F,F_sp 225
M-F,F_T-F,F_sp 200
M-F,F_T-F,F_sp 175
M-F,F_T-F,F_sp 150
M-D,D_T-D,D_sp 250
M-D,D_T-D,D_sp 225
M-D,D_T-D,D_sp 200
M-D,D_T-D,D_sp 175
M-D,D_T-D,D_sp 150
M-D,D_T-F,F_sp 250
M-D,D_T-F,F_sp 225
M-D,D_T-F,F_sp 200
M-D,D_T-F,F_sp 175
M-D,D_T-F,F_sp 150
Calibrate_sp 150
Calibrate_sp 175
Calibrate_sp 200
Calibrate_sp 225
Calibrate_sp 250
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
g[%]
0,02
0,00
0,00%
0,02%
0,04%
0,06%
0,08%
0,10%
0,12%
0,14%
a)
0,40
t [MPa]
M-F,F_T-D,D
0,35
M-F,F_T-F,F
M-D,D_T-D,D
0,30
M-D,D_T-F,F
0,25
M-Dc,Ft_TDc,Ft
Calibrate
0,20
t [mm]
0,15
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
b)
Figura 79.Risultati di tutte le prove nei piani a) τ-γ; b) τ-t
114
260
270
280
APPENDICE
1.7. QUADRI FESSURATIVI - PUNTO DI LETTURA 1
1.7.1. SPESSORE 250MM
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
115
APPENDICE
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
Figura 81. Quadri fessurativi, punto di lettura 1, spessore 200mm, delle analisi a) calibrata; b) MF,F_T-D,D; c) M-F,F_T-F,F; d) M-D,D_T-F,F; e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
116
APPENDICE
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
117
APPENDICE
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
118
APPENDICE
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
119
APPENDICE
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
120
APPENDICE
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
121
APPENDICE
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
122
APPENDICE
a) calibrata
b) M-F,F_T-D,D
c) M-F,F_T-F,F
d) M-D,D_T-F,F
e) M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
123
APPENDICE
1.10. CONSIDERAZIONI SULLE ANALISI
Sia dai diagrammi che dai quadri fessurativi è possibile estrapolare delle
considerazioni per ciascuna analisi condotta.
1.10.1.1. M-F,F_T-D,D
Per lo spessore 250 mm si può vedere come il mattone non subisca alcun
danno, diversamente ad esempio rispetto all’analisi calibrata con spessore 250
mm in cui sono proprio i mattoni a subire i danni maggiori (cosi come per
l’analisi della provino sperimentale P2); col diminuire dello spessore del
giunto di malta, si vede una progressiva diffusione delle fessure (sempre
nell’interfaccia
malta/mattone)
dal
centro
verso
le
diagonali.
Tale
considerazione è riscontrabile anche nei diagrammi in cui si riduce la
resistenza ed aumenta la duttilità.
1.10.1.2. M-F,F_T-F,F
Dall’analisi condotta con 250 mm di spessore si evince che la crisi è legata a
rottura locale del mattone nella zona delle scarpe di carico e ciò porta ad avere
crisi in campo elastico come si evince dal diagramma M-F,F_T-F,F_250 in
appendice (tale diagramma non si vede poiché sovrapposto agli altri). Con il
diminuire dello spessore si ripresenta il comportamento legato all’influenza
della malta, ossia la crisi principale avviene per rottura dei giunti di malta
(anche se in queste analisi c’è sempre crisi locale dei mattoni) e le crepe si
diffondono dal centro verso le diagonali, sia abbattono le resistenze ed
aumenta la duttilità (tanto che le crisi con tutti gli altri spessori avverranno in
campo plastico come mostrato nei diagrammi M-F,F_T-F,F_200 e M-F,F_TF,F_150 in appendice).
124
APPENDICE
1.10.1.3. M-D,D_T-F,F
Sostanzialmente si nota un andamento analogo a quello del precedente
confronto anche se i quadri fessurativi sono del tutto singolari. Stavolta,
infatti, la crisi locale del mattone è molto più significativa per tutti gli spessori
e, infatti, si nota che le rotture avvengono in campo elastico, ma con una
duttilità molto bassa. Tale aspetto ci fa capire che anche mettendo la malta
duttile (estremizzazione del comportamento di un materiale fondamentalmente
fragile), i meccanismi di rottura sono sempre molto fragili e governati, dal
punto di vista del legame, principalmente dal mattone.
1.10.1.4. M-D,D_T-D,D
Da queste analisi si evince che era ancora possibile caricare il provino, infatti
non solo non si è usciti dal ramo elastico per tutte le analisi al variare dello
spessore, ma non si sono registrate alcune fratture.
1.10.1.5. M-Dc,Ft_T-Dc,Ft
Per l’analisi con spessore 250mm non si notano fratture significative, segno
che l’analisi è stata interrotta troppo “presto”, ossia che con quella taratura di
legami il provino avrebbe portato ancora carico, quindi deformarsi
ulteriormente e collassare con valori più alti di carico e deformazione. A
conferma di tale ipotesi, si può notare dai diagrammi in appendice che tale
analisi si è arrestata in campo elastico (il rispettivo diagramma non risulta
visibile poiché sovrapposto agli altri). Riducendo lo spessore si nota un
comportamento diverso da quello delle analisi calibrate e delle altre: le
fratture, diversamente dalle altre analisi, che partivano dal centro e si
propagavano verso la diagonale, sono sin da subito diffuse in tutto il pannello
ma mantengono lo stesso ordine di grandezza delle rispettive in analisi
calibrata, ma con aumento della “quantità” di fessure massime.
125
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA
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TNO DIANA Finite Elements Analysis. User’s Manual - Release 9.4.4.
Element library, material library, analysis procedures. A.A. Delft,
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Computational Mechanics; 2011.
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Diagonal Tension (Shear) in Masonry Assemblages
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Getting Started. Edited by: Jonna Manie and Gerd-Jan Schreppers.
Published by: TNO DIANA bv Delftechpark 19a, 2628 XJ Delft, The
Netherlands.
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Fx+ for DIANA. Edited by: Jonna Manie. Published by: TNO DIANA bv
Delftechpark 19a, 2628 XJ Delft, The Netherlands
[10]
NTC2008 -"Norme tecniche per le costruzioni" D.M. 14 Gennaio 2008.
126

Modellazione di dettaglio agli elementi finiti di pannelli in muratura

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