Esercitazione 3 - Dipartimento di Economia, Finanza e Statistica

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Esercitazioni di Istituzioni di Statistica e Statistica Economica – L. Scrucca
Istituzioni di Statistica e Statistica Economica
Università degli Studi di Perugia
Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14
Esercitazione n. 3
A. Sia X una variabile casuale che si distribuisce secondo una legge Binomiale con n = 10 e p = 0.3.
Calcolare:
1. la funzione di probabilità della v.c. X ;
2. la funzione di ripartizione della v.c. X ;
3. E(X ), Var(X ), E(X 2 ).
Date le costanti a = 2 e b = 3, calcolare:
4. P(X < a), P(|X − b| = 1), P(aX = a);
5. E(aX + b), Var(aX + b).
B. Un lotto di grandi dimensioni viene consegnato ad un fornitore, il quale, per decidere se accettare
o rifiutare il lotto, estrae casualmente con ripetizione 50 pezzi dal lotto ed accetta il lotto se al massimo
1 pezzo risulta difettoso.
Si definisca la v.c. X = { numero di pezzi difettosi nel campione }. Assumendo che nel lotto siano
presenti un 5% di pezzi difettosi, calcolare:
1. il numero medio atteso di pezzi difettosi e la varianza;
2. la probabilità che il lotto sia accettato.
C. È noto che il 25% delle prenotazioni di una struttura alberghiera vengono successivamente annullate. Il direttore è perciò interessato a conoscere la probabilità che su 20 prenotazioni almeno 18
vadano a buon fine.
D.
Sia Z una variabile casuale che si distribuisce come una Normale standard. Calcolare:
1. P(Z > 1.55), P(−0.5 < Z < 0.5);
2. i quantili z della distribuzione tale che P(Z > z) = 0.1788 e P(Z < z) = 0.0668;
3. P(Z 2 > 3.841);
Data la variabile Y =
P10
i=1
Zi2 , calcolare:
4. P(Y < 23.209).
E. Sia X una variabile casuale che si distribuisce come una Normale con media µ = 5 e varianza
σ2 = 9. Calcolare:
1. P(−4 < X < 5.5);
2. il quantile x della distribuzione tale che P(X < x) = 0.7.
F. Sia X una variabile casuale che si distribuisce come una t di Student con r = 10 gradi di libertà.
Calcolare:
1. P(X < 1.372);
2. il quantile x della distribuzione tale che P(X > x) = 0.025.
G. Il tempo di reazione di un automobilista, definito come l’intervallo di tempo che impiega dal momento che si illuminano le luci di frenata di un veicolo che lo precede al momento in cui agisce sui
freni, può essere descritto da una v.c. normale con media 1.25 secondi e deviazione standard pari a
0.46 secondi. Si calcoli:
1. la probabilità che il tempo di reazione sia inferiore a 1 secondo;
2. si consideri il tempo di 2 secondi come il tempo massimo entro il quale è possibile evitare con
certezza un incidente. Si determini la probabilità che per un’assicurazione su 100 assicurati più
di 5 individui abbiamo un incidente.
H. Si supponga che la media e lo scarto quadratico del colesterolo di individui sani tra i 18 e i 40 anni
siano pari, rispettivamente, a 150 e 25.
1. Calcolare approssimativamente la probabilità che la media dei valori rilevati indipendentemente
su 100 individui sia compresa fra 149 e 151.
I. Si indichi se ognuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa:
N.
Domanda
1
La varianza è un valore atteso
2
Var(X ) = [E(X − µ)]2
3
Var(X ) è la differenza fra E(X 2 ) e E(X )2
4
Se X ∼ Bin(n, p) allora la v.c. X non può essere nulla
5
La distribuzione Binomiale è simmetrica se p = 0.5
6
Se X ∼ Bin(n, p) allora E(X ) è una funzione di n e di p
7
Se X ∼ Bin(n, p) allora Var(X ) è massima quando p = 0.5
8
Se X ∼ N (µ, σ2 ) allora µ > σ
9
Se X ∼ N (0, 2) allora E(X 2 ) = Var(X )
10
Se X ∼ N (0, σ2 ) allora P(X > k) = P(X < −k) per qualsiasi valore di k
11
La distribuzione normale è simmetrica rispetto all’origine
12
Se X ∼ N (µ, σ2 ) allora (X − µ)/σ2 ∼ normale standardizzata
13
Se Z ∼ N (0, 1) allora X = aZ + b ∼ N (b, a2 )
14
Se X ∼ N (µ, σ2 ) allora F x (x) = Φ[(x − µ)/σ]
15
Data la funzione di ripartizione della v.c. Normale standardizzata Φ(), Φ(a) = 1 −
Φ(−a) se a > 0
16
Data la funzione di ripartizione della v.c. Normale standardizzata Φ(), Φ(a) > Φ(b)
se a > b
17
La funzione di densità della v.c. Normale standardizzata φ(b) > φ(a) se b > a
18
Media e varianza di una v.c. chi-quadrato coincidono
19
La v.c. t di Student è simmetrica rispetto all’origine
20
Il teorema del limite centrale garatisce che qualsiasi distribuzione è approssimabile con la v.c. normale
V
F
Istituzioni di Statistica e Statistica Economica
Università degli Studi di Perugia
Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14
Soluzione esercitazione n. 3
A.
La v.c. X ∼ Bin(10, 0.3), cioè ha distribuzione binomiale con parametri n = 10 e p = 0.3.
1. 2. Dalla p(x) = P(X = x) =
X
0
10
0.3 x (1 − 0.3)10−x
x
1
2
3
si ottiene la seguente tabella:
4
5
6
7
8
9
10
p(x) 0.02825 0.12106 0.23347 0.26683 0.20012 0.10292 0.03676 0.00900 0.00145 0.00014 0.00001
F (x) 0.02825 0.14931 0.38278 0.64961 0.84973 0.95265 0.98941 0.99841 0.99986 0.99999 1.00000
3. Dalla definizione di valore atteso e varianza possiamo calcolare:
X
E(X ) =
x p(x) = 0 × 0.02825 + 1 × 0.12106 + . . . + 10 × 0.00001 = 3
X
Var(X ) =
[x − E(X )]2 p(x) = (0 − 3)2 × 0.02825 + (1 − 3)2 × 0.12106 + . . . + (10 − 3)2 × 0.00001 = 2.1
Oppure, in maniera più immediata, ricordando il valore atteso e la varianza di una v.c. binomiale:
E(X ) = np = 10 × 0.3 = 3
Var(X ) = np(1 − p) = 10 × 0.3 × (1 − 0.3) = 2.1
E(X 2 ) = Var(X ) + E(X )2 = 2.1 + 32 = 11.1
4. Date le costanti a = 2 e b = 3, possiamo calcolare:
P(X < a) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.02825 + 0.12106 = 0.14931
P(|X − b| = 1) = P(|X − 3| = 1) = P(X = 2) + P(X = 4) = 0.23347 + 0.20012 = 0.4336
P(aX = a) = P(X = 1) = 0.12106
5. E(aX + b) = 2 × E(X ) + 3 = 9
Var(aX + b) = 22 × 2.1 = 8.4
B.
Per la v.c. X ∼ Bin(50, 0.05) si ottiene:
1. E(X ) = 50 × 0.05 = 2.5,
Var(X ) = 50 × 0.05 × (1 − 0.05) = 2.375
2. Il lotto è accettato con probabilità:
P(X ≤ 1) =
1
X
p(x) = p(0) + p(1) = 0.07694 + 0.20249 = 0.27943
x=0
dove
p(0) = P(X = 0) =
p(1) = P(X = 1) =
50
0
50
1
0.050 (1 − 0.05)50−0 =
0.051 (1 − 0.05)50−1 =
50!
0!50!
50!
1!49!
(1 − 0.05)50 = 0.9550 = 0.07694
0.051 (1 − 0.05)49 = 50 × 0.05 × 0.9549 = 0.20249
C. Indichiamo con X la v.c. che esprime il numero di prenotazioni che vanno a buon fine su n = 20
prenotazione e con p = 1 − 0.25 = 0.75 la probabilità che una prenotazione non sia annullata. Tale v.c.
ha distribuzione Binomiale, cioè X ∼ Bin(20, 0.75).
Il direttore della struttura alberghiera è interessato a conoscere la seguente probabilità:
P(X ≥ 18) = P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20) = 0.066948 + 0.021141 + 0.003171 = 0.09126
Per la v.c. Z ∼ N (0, 1) si ha:
D.
1. P(Z > 1.55) = 1 − 0.9394 = 0.0606,
P(−0.5 < Z < 0.5) = P(Z < 0.5) − P(Z < −0.5) = 0.6915 − (1 − 0.6915) = 0.383;
2. P(Z > z) = 0.1788, essendo P(Z < z) = 1 − 0.1788 = 0.8212, da cui z = 0.92,
P(Z < z) = 0.0668, essendo P(Z > 1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668, allora z = −1.5;
3. dato che Z 2 ∼ χ 2 (1), P(Z 2 > 3.841) = 0.05;
P10
4. dato che Y = i=1 Zi2 ∼ χ 2 (10), P(Y < 23.209) = 1 − 0.01 = 0.99.
E.
Data la v.c. X ∼ N (5, 9):
(−5.5−5)
1. P(−4 < X < 5.5) = P (−4−5)
<
Z
<
= P(−3 < Z < 0.17) =
3
3
= P(Z < 0.17) − P(Z < −3) = 0.5675 − (1 − 0.9987) = 0.5662;
2. dato che P(Z < z) = 0.7 si ha per z ≈ 0.53, segue che x = µ + σz = 5 + 3 × 0.53 = 6.59.
F. Data la v.c. X ∼ t(10):
1. P(X < 1.372) = 1 − P(X > 1.372) = 1 − 0.10 = 0.90;
2. Dalla tavola della t di Student si ha P(X < x) = 0.025 per x = 2.228.
Data la v.c. X ∼ N(1.25, 0.462 ), che esprime il tempo di reazione di un automobilista, si può
X − 1.25
∼ N(0, 1). Quindi, con l’utilizzo delle tavole
calcolare la v.c. normale standardizzata Z =
0.46
per la normale standardizzata possiamo calcolare le seguenti probabilità:
G.
1.
1 − 1.25
P(X < 1) = P Z <
= Φ(−0.54) = 1 − Φ(0.54) = 0.2945
0.46
2. Procedendo in maniera analoga al punto precedente si può calcolare
2 − 1.25
= Φ(1.63) = 0.9485
P(X < 2) = P Z <
0.46
Di conseguenza la probabilità che un individuo abbia un incidente è pari a p = 1−0.9485 = 0.0515.
Indicando con Y la v.c. che esprime il numero di individui che hanno un incidente su 100 assicurati, cioè Y ∼ Binomiale(n = 100, p = 0.0515), la probabilità che più di 5 individui abbiamo un
incidente è pari a
P(Y > 5) = 1 − P(Y ≤ 5) = 1 − 0.5890 = 0.4110
P5
100
dove P(Y ≤ 5) = y=0 y 0.0515 y (1 − 0.0515)100− y = 0.5890.
H. Prima di tutto, si noti che la probabilità non si può calcolare esattamente dato che si conoscono
solo i momenti della distribuzione e non la funzione di densità o di probabilità della distribuzione del
colesterolo. Tuttavia, data l’alta numerosità del campione di individui possiamo applicare il teorema
del limite centrale. In base a tale teorema la statistica media campionaria X̄ ha una distribuzione
approssimata N (150, 252 /100). Pertanto

151 − 150
149 − 150
P(149 < X̄ < 151) = P(X̄ < 151) − P(X̄ < 149) = P Z <
−P Z <
p
p
25/ 100
25/ 100
= Φ(0.4) − Φ(−0.4) = Φ(0.4) − (1 − Φ(0.4)) = 2Φ(0.4) − 1 = 0.3108
I.
N.
Domanda
V
F
1
La varianza è un valore atteso
X
2
Var(X ) = [E(X − µ)]
3
Var(X ) è la differenza fra E(X ) e E(X )
4
Se X ∼ Bin(n, p) allora la v.c. X non può essere nulla
5
La distribuzione Binomiale è simmetrica se p = 0.5
X
6
Se X ∼ Bin(n, p) allora E(X ) è una funzione di n e di p
X
7
Se X ∼ Bin(n, p) allora Var(X ) è massima quando p = 0.5
X
8
Se X ∼ N (µ, σ ) allora µ > σ
9
Se X ∼ N (0, 2) allora E(X ) = Var(X )
X
10
Se X ∼ N (0, σ ) allora P(X > k) = P(X < −k) per qualsiasi valore di k
X
11
La distribuzione normale è simmetrica rispetto all’origine
X
12
Se X ∼ N (µ, σ ) allora (X − µ)/σ ∼ normale standardizzata
X
13
Se Z ∼ N (0, 1) allora X = aZ + b ∼ N (b, a )
X
14
Se X ∼ N (µ, σ ) allora F x (x) = Φ[(x − µ)/σ]
X
15
Data la funzione di ripartizione della v.c. Normale standardizzata Φ(), Φ(a) = 1 −
Φ(−a) se a > 0
X
16
Data la funzione di ripartizione della v.c. Normale standardizzata Φ(), Φ(a) > Φ(b)
se a > b
X
17
La funzione di densità della v.c. Normale standardizzata φ(b) > φ(a) se b > a
X
18
Media e varianza di una v.c. chi-quadrato coincidono
X
19
La v.c. t di Student è simmetrica rispetto all’origine
20
Il teorema del limite centrale garatisce che qualsiasi distribuzione è approssimabile con la v.c. normale
X
2
2
X
2
X
X
2
2
2
2
2
2
2
X
X