Griglia MEDIA 14-15

SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO
Obiettivi di
apprendimento
Contenuti
Conoscere e saper
applicare la legge
fondamentale del
calcolo
combinatorio
Rappresentare con un
diagramma ad albero le
combinazioni possibili in
casi semplici.
Individuare le
combinazioni possibili e
contarne il numero totale
usando un diagramma ad
albero.
Individuare ed usare
l'espressione aritmetica
per calcolare il numero
totale delle combinazioni
possibili
Attività
Attività ludico-creativa
sotto forma di sfida fra
coppie di alunni che
alternandosi creano e
indovinano password
segrete.
Organizzare appunti per
il percorso dei tentativi.
Disegnare un diagramma
ad albero che permetta di
visualizzare le
combinazioni.
Uso del diagramma ad
albero inizialmente per il
conteggio delle
combinazioni totali e
successivamente per
individuare l'espressione
aritmetica che permette
di calcolare il totale delle
combinazioni possibili.
Metodo
Uso del metodo
induttivo per
passare da casi
semplici
raffigurabili con
un diagramma a
casi più
complessi che
necessitano del
calcolo e quindi
dell'uso di una
legge generale.
Strumenti
Durata
(in ore)
Valutazione degli
Valutazione
obiettivi di
apprendimento
della competenza
Quaderno di
lavoro,
calcolatrice,
notebook e
LIM connessi
in rete per lo
scambio di
file.
5
Scheda di verifica
scritta con quesito a
carattere di problema
in contesto realistico
Relazione scritta sul
percorso svolto dove è
richiesto di spiegare i
procedimenti applicati
Quaderno di
lavoro ed
eventualmente
calcolatrice.
1
Scheda di verifica
scritta con quesito a
carattere di problema
in contesto realistico.
Il laboratorio si
svolge in piccoli
gruppi (coppie
di alunni)
promuovendo
l'apprendimento
cooperativo e
una didattica il
più possibile
inclusiva.
Calcolare il numero di
combinazioni in casi un
po' più complessi senza
disegnare il diagramma.
Saper calcolare la
probabilità usando
la definizione
“classica”
Individuare/calcolare il
numero di casi favorevoli
e il numero di casi
possibili
mettendoli in rapporto
Uso del calcolo
combinatorio per
determinare i casi
possibili da rapportare al
numero dei casi
favorevoli.
Esprimere il rapporto
nelle forme di frazione,
quoziente e percentuale.
Lezione frontale
ed applicazione
di regole e
procedimenti.
Scheda raccolta dati della sperimentazione
Laboratorio: Dati e previsioni
Progetto SIGMA a.s. 2014/15
Livello scolare: Classe prima, Scuola secondaria di primo grado
Scuola: I.C. “R. Magiotti”, Montevarchi
Docente: M. Petrillo
Attività:
• Calcolo delle combinazioni possibili in casi semplici
• Calcolo della probabilità con la definizione “classica”
Descrizione dell’esperienza
Descrivere dal punto di vista operativo l’esperienza svolta in classe (il contesto della classe, le attività,
gli eventuali adattamenti necessari, i tempi di realizzazione) e la metodologia usata (schede di lavoro,
lavoro di gruppo, discussione, materiali, strumenti…).
Questo laboratorio è stato svolto nel mese di maggio 2015 in una classe mista, ma in prevalenza maschile,
formata da 20 alunni in genere molto collaborativi e motivati. Essendo una “Classe 2.0”, gli studenti
hanno in dotazione una decina di Notebook (e quindi hanno quasi sempre lavorato in coppia) e una
lavagna interattiva multimediale collegata ad internet; questi strumenti informatici sono stati usati in vari
momenti dello svolgimento dei laboratori agevolando sia il lavoro dell’insegnante sia quello dei ragazzi.
Come primo passo, dopo una breve presentazione del progetto, è stato inviato agli alunni un file protetto
da una password che dovevano indovinare.
La password, formata da 3 cifre scelte tra le prime quattro (1, 2, 3, 4) con possibilità di ripeterle, è stata
individuata con un po' di difficoltà e subito sono emerse sia l'esigenza di appuntarsi le combinazioni non
valide provate (in modo da non rischiare di ripeterle con inutile perdita di tempo), ma anche procedere
con ordine nel combinare le cifre (per essere sicuri di provarle tutte).
La maggior parte dei ragazzi sono riusciti ad individuare la password dopo circa una quarantina di
tentativi ma alcuni sono arrivati a 62 tentativi.
Successivamente gli alunni si sono sfidati inviando e ricevendo files protetti da password, questa volta
utilizzando tutte e quattro le cifre e quindi ampliando il numero delle combinazioni possibili e
diminuendo molto la probabilità di indovinarla dopo pochi tentativi.
Dopo questa prima fase di prove e di sfide, tenendo in considerazione gli appunti con le combinazioni
provate e partendo da casi più semplici, l'insegnante ha guidato gli alunni a come poter disegnare una
diagramma ad albero per permettere di visualizzare con uno schema semplice la “logica” dietro la
costruzione di tutte le possibili combinazioni.
Dal diagramma ad albero il “salto” verso l’espressione aritmetica per calcolare il numero totale di
combinazioni, che poi è la legge fondamentale del calcolo combinatorio, è stato abbastanza agevole,
compreso e quindi poi applicato da tutti per calcolare non solo il numero delle possibili password ma
anche ad esempio tutti i possibili modi di organizzare un viaggio, le possibili combinazioni per realizzare
menù ecc.
Subito dopo queste attività sul calcolo combinatorio è stato “naturale”, visto che nello stesso periodo gli
alunni lavoravano sui possibili significati di una frazione (come operatore numerico, rapporto come
confronto e rapporto come quoziente), introdurre anche il calcolo della probabilità nella sua definizione
“classica” e quindi calcolare la probabilità che una certa password venga “azzeccata” al primo tentativo.
I ragazzi non hanno avuto difficoltà a capire che il numero di casi favorevoli era 1 (la password giusta) e
il numero di casi possibili era quello delle combinazioni possibili da calcolare con la legge fondamentale
del calcolo combinatorio vista nelle attività precedenti.
Comportamento degli studenti
Valutare come l’attività è stata accolta dagli studenti e il modo in cui si sono impegnati. Descrivere il
clima di lavoro e le forme di collaborazione.
Le attività svolte sono state accolte dagli alunni con curiosità ed entusiasmo (soprattutto quando si sono
sfidati con il gioco “indovina la password”) e in generale il clima è stato sereno e collaborativo.
Lavorare in coppia con il notebook assegnato ha permesso di elaborare velocemente i diagrammi, fare
calcoli, scambiarsi facilmente materiali ed informazioni, nonché salvare in comodi formati digitali.
Apprendimento: successi e difficoltà
Rilevare i risultati positivi o le difficoltà incontrate dagli studenti nella comprensione dei vari concetti
matematici e le metodologie di superamento.
Non sono state incontrate particolari difficoltà e il diagramma ad albero ha davvero aiutato i ragazzi a
visualizzare le possibili combinazioni (percorrendo i suoi rami), e a formalizzare il tutto nell’espressione
finale usata per calcolare il numero complessivo di combinazioni.
Per rendere il tutto più agevole è stato permesso l’uso della calcolatrice.
Valutazione
Quali prove di verifica sono state somministrate? Riportare e commentare le prove di verifica proposte
e i relativi risultati.
La verifica delle conoscenze acquisite dai laboratori svolti è stata fatta con un quesito inserito in una
prova scritta a carattere sommativo riguardante gli argomenti del programma svolti in questa ultima parte
del secondo quadrimestre (frazioni e loro operatività, confronto fra frazioni, frazioni equivalenti per
aritmetica ; poligoni e relative proprietà, angoli esterni ed angoli interni di un poligono, diagonali e
calcolo del loro numero).
Il quesito proposto riguardo al calcolo combinatorio e al calcolo della probabilità è stato il seguente:
“Un lucchetto è munito di una chiusura con combinazione formata dalle prime 4 lettere dell'alfabeto che
possono eventualmente ripetersi. Calcola:
o il numero delle combinazioni che è possibile generare, scrivendolo anche in forma di potenza
o la probabilità che ha un estraneo di indovinare al primo tentativo la combinazione giusta e aprire il
lucchetto (riporta la probabilità sia in forma di rapporto, sia in forma di numero decimale e sia in
forma di percentuale). “
Elaborati degli studenti
Gli alunni hanno avuto la possibilità di usare i notebook essendo “Classe 2.0” e di seguito riporto alcune
loro relazioni sulle attività svolte.
INDOVINA LA PASSWORD!!!!!
La password è costituita da 3 cifre scelte tra 1, 2, 3, 4 con la
possibilità di ripetizione
Abbiamo iniziato col digitare il numero 1 e poi di seguito i
numeri successivi messi in diverse forme.
Visto che non funzionavano abbiamo proseguito con il numero
2 utilizzando lo stesso metodo.
Siamo andate avanti anche con il 3 e il 4.
Infine, dopo 27 tentativi, abbiamo indovinato la password.
#413#finalmente una gioia#ce l'abbiamo
fatta!!!
Calcolo delle combinazioni possibili
Il calcolo combinatorio è considerato un tema piuttosto
impegnativo ma può essere trattato anche in modo molto
concreto e coinvolgente e può sviluppare nei bambini e nei
ragazzi la capacità di organizzarsi per riuscire a
padroneggiare una situazione complessa.
Grafico ad albero:
1
1
2 3
2
3
1 2 3
1 2 3
Le combinazioni possibili sono 9.
----------------------------------Grafico ad albero:
MADRID
BARCELLONA
NEW YORK
Contando le terminazioni dell'albero mi accorgo che posso
realizzare il viaggio in 6 modi diversi.
-----------------------------------
BANCA
COME PAGARE
FARMACIA
COME PAGARE
RISTORANTE
COME PAGARE
Calcolando le terminazioni dell'albero mi rendo conto che
ho sei combinazioni differenti.
----------------------------------Indovina la password!
L’insegnante propone di scoprire la password per aprire
un certo file in cui troveremo scritto soltanto “Avete
indovinato la password…bravi!”..
Naturalmente si deve stabilire il numero dei caratteri
della password, se ci possono essere solo numeri o anche
lettere con ripetizione o meno.
La nostra pw era costituita da 3 cifre scelte tra 1,2,3,4
eventualmente anche ripetute.
Per trovare la password siamo andati per tentativi e
siamo riusciti a trovare la combinazione corretta dopo
solo tredici tentativi.
TENTATIVI Cioè:111-112-121-122....
Ci siamo accorti che le password che si
costruire erano 4*4*4=64 password diverse!
potevano
CALCOLO DELLE COMBINAZIONI POSSIBILI
IMMAGINANDO DI FORMARE UNA PASSWORD DI 2 CIFRE,
SCELTE
FRA
1,2,3,4
E
POTENDOLE
RIPETERE,
QUANTE
PASSWORD SI POSSONO GENERARE?
CI PUO' ESSERE D'AIUTO IL DIAGRAMMA AD ALBERO.
PERCORRENDO OGNI RAMO DELL'ALBERO HO UNA PASSWORD.
LE POSSIBILI PASSWORD SONO 16:
11; 12; 13; 14
21; 22; 23; 24
31; 32; 33; 34
41; 42; 43; 44
Le posso ottenere moltiplicando il 4 per se stesso 2 volte perché 2
sono i caratteri della password (4x4=42=16).
Calcolo delle combinazioni possibili
Per calcolare le combinazioni possibili per trovare
una password bisogna fare uno schema ad albero e
quindi calcolare quante sono le combinazioni
possibili.
In questo caso la password era composta dalle
prime 5 lettere dell'alfabeto:A;B;C;D;E e le
lettere potevano ripetersi.
Visto che potevano essere ripetute le possibili
combinazioni erano 3125 = (5 5).
Il professore la volta scorsa ci dette un file e noi
per aprirlo dovevamo trovare una password che era
composta da 3 cifre scelte tra 1,2,3,4 La
combinazione era 413 ed io e il mio compagno la
abbiamo indovinata al 56° tentativo.
Facendo un diagramma ad albero abbiamo visto che
tutte le combinazioni possibili potevano essere 64 e
abbiamo poi capito anche come poter calcolare
questo numero, ovvero facendo 4x4x4 = 64.