lss80007650478_pitagora

Prodotto realizzato con il contributo della
Regione Toscana nell'ambito dell'azione
regionale di sistema
Laboratori del
Sapere Scientifico
Teorema di Pitagora:
dal pavimento
alle scatole
Classe II
Scuola secondaria I grado
B. Sestini-Agliana
2015-2016
Il percorso si colloca al termine della classe II, secondo la
seguente progettazione:
Numeri razionali
Rapporti e proporzionalità
Isoperimetria ed equiestensione
Equazioni e loro applicazioni in problemi geometrici
Teorema di Pitagora e numeri irrazionali
La sua collocazione è motivata dalla necessità di introdurre nuovi contenuti
quali il teorema di Pitagora e i numeri irrazionali, proponendo attività che
consentano di recuperare e ulteriormente consolidare contenuti quali
equiscomposizione, equiestensione e isoperimetria, relazioni tra grandezze,
proporzionalità diretta, confronto tra numeri e loro rappresentazione sulla
retta, funzioni sul grafico cartesiano.
Il Teorema di Pitagora e i numeri irrazionali vengono trattati parallelamente,
evidenziando continuamente le connessioni esistenti, al fine di demolire
l’idea che gli alunni spesso possiedono della matematica, come una materia
costituita da due compartimenti a sè stanti, quali aritmetica e geometria.
L’attività dei solidi svolta nell’ultima parte del percorso ha principalmente
due scopi:
 mostrare agli studenti che le proprietà delle figure piane sono
perfettamente applicabili alle facce delle figure solide, educandoli così a
vedere lo spazio anche da un pressoché nuovo punto di vista;
 introdurre gli stessi solidi che saranno ripresi all’inizio della classe III per
applicare il calcolo letterale alla geometria solida.
Obiettivi salienti di apprendimento
 Sviluppare capacità di osservazione
 Argomentare e formulare ipotesi
 Giustificare in modo adeguato enunciazioni, distinguendo tra affermazioni indotte
dall’osservazione, intuite ed ipotizzate, argomentate e dimostrate
 Documentare i procedimenti scelti e applicati nella risoluzione dei problemi
 Riflettere sul procedimento risolutivo e confrontarlo con altre soluzioni possibili
 Individuare relazioni tra figure geometriche piane e solide
 Rappresentare figure geometriche utilizzando riga, squadre e compasso
 Comprendere e applicare il Teorema di Pitagora dal punto di vista geometrico e
aritmetico
 Riconoscere, utilizzare e rappresentare sulla retta numeri razionali e irrazionali
 Recuperare il concetto di quadrato perfetto
 Conoscere e utilizzare l’estrazione di radice quadrata come operazione inversa
dell’elevamento alla seconda
 Applicare il Teorema di Pitagora in situazioni reali, al di fuori del contesto tipico di
un problema di geometria piana
 Educare alla visualizzazione spaziale, individuando nei solidi figure piane e loro
relative proprietà
 Riconoscere e rappresentare graficamente relazioni matematiche
Il percorso è stato svolto prevalentemente adoperando una metodologia
didattica laboratoriale, secondo il modello costruttivista. Gli studenti
sono posti al centro della lezione come veri scienziati alla scoperta di
regolarità e definizioni, accompagnati dal docente che li guida secondo i
propri obiettivi.
Momenti di lavoro individuale si alternano ad attività di cooperative learning
in gruppi misti, tra pari –peer to peer- o nel gruppo classe con la guida del
docente.
Per ogni situazione problematica presentata –problem solving- le
osservazioni e le relative motivazioni devono essere descritte
individualmente sul quaderno e solo successivamente condivise con il resto
dei compagni per la strutturazione definitiva della soluzione individuata. Per
favorire la memorizzazione e il consolidamento di regole e proprietà
elaborate durante le attività laboratoriali, sono state condotte anche lezioni
di esercitazione secondo il modello comportamentista, al fine di
garantire almeno un sufficiente livello di apprendimento dei meccanicismi
base anche negli studenti con maggiori difficoltà. Ciò è condotto al fine di
evitare che le attività dinamiche per alcuni alunni si limitino ad essere
momenti di gioco, piuttosto che di stimolo, ragionamento, riflessione per un
apprendimento costruttivo, senza condurre ad alcuna conoscenza fruibile in
situazioni problematiche note.
Materiali
Strumenti per disegno geometrico: riga,
squadra, compasso
Forbici, colla, scotch, cartoncino
Il percorso è stato sviluppato in classe, con diversa disposizione dei
banchi in funzione dell’attività proposta:
disposizione normale per attività
individuali o del gruppo classe
disposizione a isole per attività di gruppo
disposizione con banchi singoli separati
per verifica scritta finale
Tempo impiegato indicativamente
 2 ore e mezzo di formazione nel gruppo LSS
 8 ore per la progettazione specifica e dettagliata
 28 ore circa per lo svolgimento in classe
 18 ore circa ore per la documentazione
Fase 1
Leggenda “Pitagora osserva le piastrelle”
Ogni alunno deve immaginare di essere Pitagora che osserva un pavimento quadrettato,
rappresentato su una fotocopia individuale. Il docente per indirizzare il lavoro ha evidenziato un
quadrato centrale formato da quattro triangoli rettangoli isosceli, ciascuno metà della mattonella
quadrata. Gli studenti sono invitati a osservare e descrivere ciò che vedono sull’immagine, cercando
di scoprire le relazione esistenti tra quadrati, triangoli e loro parti.
Quando il docente ha verificato personalmente, girando tra i banchi, che tutti gli
alunni abbiano scritto qualcosa, vengono condivise le osservazioni, scrivendo alla
lavagna quelle principali, necessarie per arrivare ad una prima conclusione.
Ogni alunno deve scrivere infatti sul quaderno un proprio enunciato del Teorema di
Pitagora, che viene successivamente confrontato con quello dei compagni……….
……….per scrivere al termine l’enunciato tipico!!!!
Per consolidare la proprietà scoperta sul triangolo rettangolo isoscele e tentare di avviarli ad un suo utilizzo,
viene proposto il problema dello stagno, tratto dal libro Rozsa Peter, Giocando con l’infinito, Matematica per
tutti, a cura di Corrado Mangione, Feltrinelli, 1973. Tale problema è presente anche sul libro di testo adottato
CONTACI Bertinetto et al. Zanichelli, dove anziché di stagno si parla di fontana: in un parco deve essere
raddoppiata la superficie della fontana quadrata ai cui vertici sono posti 4 alberi, che non possono essere
spostati; la fontana deve restare quadrata.
Come fare?
Gli studenti, lavorando a gruppi, sono lasciati
liberi di pensare e proporre diversi metodi
risolutivi, scrivendoli sul quaderno:
- raddoppiare il lato del quadrato e costruire il
quadrato corrispondente, sempre posizionato “a
rombo”….. ma raddoppiando il lato, il quadrato
è il doppio??!!!
- costruire un quadrato identico a quello di
partenza accanto ad esso..… ma si ottiene un
rettangolo, non un quadrato;
-dividere il quadrato in 4 rettangoli identici e
aggiungerne uno ad ogni lato del quadrato
iniziale, avente una base coincidente con il lato
del quadrato…. ma non si ottiene un quadrato!
Ed ecco Camilla ..che dopo 5 minuti
aveva già risolto il problema… ”Ma è
come l’attività del pavimento!!!!”.
Fase 2 Dimostrazione di Perigall: scoprire che il teorema di Pitagora vale anche
per i triangoli rettangoli scaleni.
Ad ogni alunno è consegnata una fotocopia con un triangolo rettangolo e due
quadrati costruiti sui cateti. Dopo aver descritto l’immagine e averla ricalcata sul
quaderno, ognuno deve ritagliare i due quadrati per costruirne uno più grande.
Terminato il lavoro, si pone il problema “Esiste una relazione tra il quadrato ottenuto
e il triangolo di partenza?” Prova e riprova……
Fase 3 Dimostrazione che il
teorema di Pitagora è valido
solo per triangoli rettangoli,
lavorando a coppie.
In questo contesto si svolgono
esercizi proposti dal libro di
testo in cui verificare il Teorema
di Pitagora è necessario per
verificare la presenza di un
angolo retto in una figura
geometrica, dove sia possibile
individuare un triangolo.
Fase 4 Introduzione estrazione di radice quadrata come operazione inversa
dell’elevamento alla seconda, radice di quadrati perfetti e non perfetti.
Inizialmente sono stati eseguiti una serie di esercizi dove, data un’immagine tipica
del teorema d Pitagora, era necessario determinare area del quadrato costruito
sull’ipotenusa date le aree dei due quadrati costruiti sui cateti o determinare l’area
del quadrato costruito su un cateto date le aree dei quadrati costruiti sugli altri due
lati. Successivamente si propone un problema del libro di testo, dove è necessario
scoprire il lato del quadrato ignoto. Come fare?
La maggior parte degli alunni propone di dividere per due l’area del quadrato una
volta applicato il teorema di Pitagora. Solo dopo qualche minuto, alcuni ricordano i
quadrati perfetti affrontati nella classe prima: “Quando il quadrato perfetto era 16, il
suo lato era 4; quando era 9, il suo lato era 3…andavamo a vedere sulle tavole
numeriche”. Tutti le prendono, si osservano, si fanno alcune prove di utilizzo …. ma
dividere per due non funziona per passare da n2 a n…… Ecco che il docente chiama
con il suo nome questa operazione inversa dell’elevamento alla seconda: estrazione
di radice quadrata. Si eseguono dunque una serie di esercizi meccanici
sull’estrazione di radice, usando le tavole; a questo punto è possibile risolvere il
problema di partenza.
Continuando a svolgere esercizi con radici quadrate, si lascia che gli alunni scoprano
le proprietà del prodotto e del quoziente delle radici quadrate, lavorando a coppie.
Vengono dunque formalizzate e si continua ad esercitarsi.
Nel frattempo, senza dimenticare ovviamente il teorema di Pitagora, ad ogni
alunno è assegnata la costruzione di un quadrato con un triangolo rettangolo
su un lato. Adesso devono proseguire costruendo su ogni altro lato del
triangolo rettangolo un quadrato! Ma è il teorema di Pitagora!!!! Si prosegue
quindi, ripetendo l’operazione svolta su ogni nuovo quadrato ….. fino a
realizzare l’albero di Pitagora!
Prima su fogli quadrettati e poi su fogli bianchi …..
Fase 5 Applicazione del Teorema di Pitagora dal punto di vista
aritmetico
a
vari
tipi
di
problemi
per
lo
più
reali.
Ma se i quadrati non sono perfetti? A questo punto si lavora con calcolatrice e
non, confrontando i diversi risultati; si ripassano le regole dell’approssimazione
dei numeri decimali e si svolgono problemi sul teorema di Pitagora tratti dal
libro di testo legati alla realtà.
In particolare nelle immagini
è possibile leggere
il procedimento risolutivo
del seguente esercizio, tratto dal
libro di testo in uso: Chiara
ha costruito una cuccia per il cane.
Prima ha piantato i pali d’angolo.
Quale distanza devono avere i pali
A e C della figura affinchè gli
angoli alla base della cuccia siano retti?
D
C
A
B
Fase 6 Terne pitagoriche e triangoli simili. Per ripassare il concetto di
proporzionalità diretta e introdurre le terne pitagoriche, gli studenti individualmente
devono costruire un triangolo rettangolo con cateti 3-4, determinando misura ipotenusa.
Successivamente devono raddoppiare i lati e dimezzarli, costruendo i rispettivi triangoli
rettangoli. I dati vengono riportati in tabella e sul grafico cartesiano in modo da ottenere
una retta di proporzionalità diretta, nota alla classe, evidenziando così i rapporti tra lati
nella tabella. Vengono dunque presentate le terne pitagoriche, invitando gli alunni ad
usarle. Sono svolti poi esercizi del libro di testo, dove sia necessario ragionare con la
proporzionalità tra triangoli rettangoli simili.
Fase 7 Dimostrazione reale del Teorema di Pitagora per differenza di superfici
congruenti da figure equivalenti. Realizzate le figure in cartoncino colorato, gli studenti
devono costruire due quadrati secondo le indicazioni del proprio libro di testo. Segue
descrizione immagini ottenute e scoperta di una relazione tra quadrati dei due quadrati di
partenza. Ogni alunno lavora individualmente sul proprio quaderno, scrivendo proprie
considerazioni.
Fase 8 Rappresentazione di numeri irrazionali sulla retta. Lavorando
con le radici di quadrati non perfetti, un alunno interviene …. “Ma allora la
radice di un quadrato non perfetto non è mai precisa, mai esatta!?”
Ecco che si introduce il termine numeri irrazionali, iniziando a rappresentarli
sulla retta: approssimazione tra quadrati perfetti, tavole numeriche, disegno
geometrico con applicazione del teorema di Pitagora.
I metodo: tra quali quadrati perfetti
è compreso il radicando?
III metodo: uso il Teorema di Pitagora
per la posizione esatta
II metodo: approssimo il numero irrazionale,
usando le tavole
E si prova con altri numeri …. radice di 10
Fase 9 Modelli statici di figure dinamiche (rettangolo nel quadrato e quadrato
nel quadrato: “Geometria con i cartoni animati” da Mathesis Pesaro) con applicazione
del Teorema di Pitagora e utilizzo di numeri irrazionali
Verificato con osservazione ed esercitazioni che la maggior parte degli alunni:
 fosse in grado di applicare il teorema di Pitagora almeno nelle situazione
più semplici,
 riuscisse ad estrarre la radice di diversi tipi di numeri collocandoli
correttamente sulla retta almeno con l’aiuto delle tavole numeriche,
si procede proponendo due attività -riprese da materiale Mathesis di
Pesaro- che comunemente in classe chiamiamo “filmini”. Si tratta della
creazione di modelli statici di figure in movimento, che il docente di classe
ha conosciuto per la prima volta durante l’esperienza di formazione a Cenci
2006: “L’officina matematica di Emma Castelnuovo”. Tali attività consentono
di trattare: osservazione ed individuazione di relazioni tra figure; misura;
isoperimetria, equiestensione, funzioni anche su grafico cartesiano. Gli
studenti sono abituati a lavorare con i filmini: una volta costruite le figure di
partenza, si procede sempre allo stesso modo: osservazione, descrizione
figure, individuazione relazioni tra figure, tabelle con perimetro e aree,
grafici, seguendo le richieste specifiche che il docente presenta.
Vengono scelti in particolare due “filmini”, che permettono di riflettere
ulteriormente sulle applicazioni del teorema di Pitagora e di utilizzare i
numeri irrazionali, evidenziando soprattutto la radice di due e l’applicazione
del “portar fuori dalla radice”. La classe è organizzata in gruppi alla pari.
Rettangolo nel quadrato
Un quadrato 10 u x 10 u costituisce la cornice.
Nel caso 0 al vertice in alto a sinistra due punti
A e D coincidono e sono diagonalmente
opposti ai due punti B e C coincidenti sul
vertice in basso a destra. Dal caso 1 i punti A e
B si muovono verticalmente di passo 1u in
verso opposto; contemporaneamente i punti C
e D si muovono orizzontalmente di passo 1u
in verso opposto. Unendo i punti A D B C si
ottiene in ogni caso un rettangolo. In
particolare il caso 0 e il caso 10 rappresentano
due casi limite: un rettangolo che diventa
diagonale quando due punti si sovrappongono.
Osservando il filmino completo, rapidamente
gli alunni individuano una simmetria tra le
figure dei casi, stabilendo che il rettangolo
interno raggiunge la sua massima estensione
nel caso 5, che rappresenta un ulteriore caso
limite: un rettangolo quadrato.
Per verificare ciò, basta determinare area di
ciascun rettangolo per differenza tra area del
quadrato cornice e area dei triangoli rettangoli
disposti ai lati del rettangolo.
Ma la riflessione che il docente vuol condurre non è tanto sull’area, quanto sulla
lunghezza dei lati del rettangolo. Per determinare la misura del lato del rettangolo
come si può procedere? “Misurando i lati con il righello”…. ma in tal modo
lavoreremmo con i cm, non con le unità. Unico metodo è allora applicare il
Teorema di Pitagora sui triangoli rettangoli, fermandosi al caso limite 5, perché
da lì in poi i casi si ripetono. I ragazzi lavorano individualmente, mentre
l’insegnante gira tra i banchi per aiutare coloro che sono più in difficoltà.
Nella foto l’alunna ha scritto sempre cm, poiché ha scelto come unità il cm,
ma trattandosi di una scelta personale in classe si parla sempre di unità.
Una volta verificata la correttezza del lavoro svolto fino al momento, la professoressa
guida la classe ad osservare come è possibile utilizzare i numeri irrazionali come tali
per essere precisi. Gli alunni devono dunque ripetere tutti i calcoli con la radice di
due, portando fuori dalla radice.
Mentre la classe lavora e facendo
osservare la tabella completa,
l’insegnante guida i propri alunni alla
scoperta della relazione che esiste
tra diagonale e lato del quadrato.
Quadrato nel quadrato
Un quadrato 10 u x 10 u costituisce la cornice.
Nel caso 0 ad ogni vertice è posizionato ad un
punto A B C e D. Dal caso 1 tali punti si
muovono lungo lati consecutivi di passo 1u.
Unendo i punti A D B C si ottiene in ogni caso
un quadrato. In particolare il caso 0 e il caso
10 rappresentano due casi limiti: il quadrato
che coincide con il quadrato cornice.
Osservando il filmino completo, rapidamente
gli alunni individuano anche in questo caso una
simmetria, stabilendo che il quadrato
raggiunge la sua massima estensione nel caso
5, che rappresenta un ulteriore caso limite:
quadrato metà del quadrato cornice, a
ricordare la leggenda del pavimento e il
problema dello stagno.
Per esercitarsi con il teorema di Pitagora e l’uso dei numeri irrazionali, si chiede
di calcolare il lato del quadrato in ogni caso, esprimendolo in u.
Anche questa volta, gli alunni tendono
a non adoperare i numeri irrazionali,
approssimando i valori del lato del
quadrato.
Solo due studenti alla richiesta di
calcolare l’area del quadrato dichiarano
che può essere determinata
direttamente con il teorema di Pitagora,
sommando le aree dei quadrati costruiti
sui cateti, senza passare dalla
estrazione di radice o, nel caso in cui si
scriva la misura del lato come numero
irrazionale, elevarlo alla seconda è
semplicissimo: basta togliere il segno di
radice.
Sul grafico cartesiano l’area di ogni quadrato viene riportata sia in funzione del
numero di caso sia in funzione del lato del quadrato, per:
- introdurre la parabola che rappresenta la relazione A=l2 come y=x2;
- esercitarsi con la rappresentazione dei numeri irrazionali su una retta.
Fase 10 Osservazione sviluppi delle due scatole da costruire, con
individuazione delle relazioni tra figure dello stesso solido e tra figure dei due
diversi solidi. Gli studenti sono suddivisi in gruppi misti, che resteranno tali fino al
termine dell’attività con i solidi. Ogni consegna è svolta dai vari gruppi in un tempo
stabilito, che l’insegnante decide osservando la classe, evitando di lasciare indietro troppi
alunni, ma anche che troppi si annoino ad aspettare. Le scoperte fatte vengono poi
condivise e riassunte alla lavagna, in modo che tutti abbiano le corrette informazioni.
Le fotocopie degli sviluppi consegnate alla classe non contenevano alcun dato numerico.
Sapendo che,
in ciascun solido,
lo spigolo corrispondente
al lato del quadrato
è 6 cm ……
I vari gruppi hanno lavorato in modo diverso, sfruttando diverse relazioni
esaminate in precedenza per rispondere adeguatamente alla richiesta
assegnata.
La diagonale del
quadrato nel
solido piccolo
è il lato del
rettangolo nel
solido grande.
L’area del
triangolo piccolo
è un quarto
del quadrato del
solido grande.
Nell’immagine è
importante notare
la diversa procedura
seguita in base alla
posizione del solido:
La superficie totale
resta sempre la stessa,
ma la laterale cambia
in base alla figura che
rappresenta la base del
solido esaminato!
La richiesta della lunghezza degli spigoli è stata posta dopo quelle su superficie totale e laterale,
allo scopo di obbligare i ragazzi a lavorare sfruttando le relazioni già individuate tra le aree. In
realtà ad un certo punto è stato inevitabile determinarne almeno alcun per rispondere ai quesiti
sulle superfici totali. Al termine dell’attività, il docente ha proiettato una scheda con alcuni dei
possibili procedimenti risolutivi, che i ragazzi hanno confrontato con quelli del proprio quaderno ed
eventualmente corretto. Durante il lavoro d condivisione è emerso una molteplicità di ragionamenti
seguiti, tutti corretti.
Fase 12 Dopo la verifica scritta, è stata proposta un’attività di approfondimento e
recupero, che permettesse di riflettere soprattutto sull’uso dei numeri irrazionali, oltre
che recuperare molti dei concetti trattati nel corso dell’anno. Gli alunni hanno disegnato
individualmente su carta millimetrata il caso 5 del filmino “Il quadrato nel quadrato,
ovvero un quadrato 10 cm X 10 cm, con al suo interno un quadrato metà, avente i vertici
coincidenti con i punti medi dei lati del quadrato cornice.
E’ stato interessante vedere
come ogni alunno abbia
adoperato
una
propria
strategia per contare il
numero dei quadretti, da cui
il quadrato ABCD risulta
formato.
“Professoressa, ma non torna ….”.
“Io mi avvicino, perché il lato mi torna 7,1 cm …. quindi l’area è maggiore”.
Il righello, che a loro piace da morire, li ha traditi!!!!
La maggior parte degli alunni ha calcolato la radice di 50, nonostante tutto il lavoro
svolto sui numeri irrazionali usando “Il rettangolo nel quadrato” e “Il quadrato nel
quadrato”. Solo il 10 percento degli studenti ha subito capito che, elevando alla seconda
la radice di 50, si ottiene finalmente la misura esatta dell’area del quadrato esaminato.
Terminato il percorso, è stata svolta una verifica scritta di due ore, formulata
in tre diverse versioni: per alunni H e alunni DSA con gravi lacune disciplinari;
intermedia, per alunni DSA e BES; per il resto della classe.
Nella verifica per alunni H sono stati
posti principalmente quesiti su:
- calcolo radici di diversi tipi di numeri,
con uso di tavole o calcolatrice;
- significato geometrico del teorema di
Pitagora
- applicazione del teorema di Pitagora a
situazione reale (nella verifica c’è anche un
breve testo esplicativo);
- Esercizio Invalsi guidato e modificato
sulla base del lavoro svolto in classe
con i solidi
a. In figura il box e la tettoia formano un solido composto: da quali figure
geometriche sono formate le facce del solido composto?
b. La tettoia è larga 3,2 m. E’ inclinata, quindi forma un triangolo rettangolo:
determina la lunghezza della tettoia, che corrisponde all’ipotenusa del
triangolo rettangolo.
c. Determina la superficie della tettoia, dove possono essere montati i
pannelli solari.
Nella verifica intermedia oltre agli esercizi previsti e mostrati per gli alunni H
sono stati aggiunti esercizi sull’utilizzo dei numeri irrazionali e loro proprietà.
3. Rappresenta i seguenti numeri sulla semiretta dei numeri.
 5
4. Cerca la radice quadrata sulle tavole.
a)
Approssima ai decimi .
b)
Approssima ai decimi .
c)
Approssima alle unità .
5. Completa inserendo i numeri mancanti, scrivendo il procedimento.
 22 ........
........
6. Calcola

....... 65 .......
e motiva la tua risposta.
7. Calcola √ 3600 e motiva la tua risposta.
8. Calcola:
a)
b)
c)
Nella verifica per la classe non sono stati previsti semplici esercizi sul
teorema di Pitagora partendo da immagini ma solo da testo, quali:
1. Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa di 32 cm e un cateto di 17 cm. Determina la
lunghezza
dell’altro
cateto.
2. Un triangolo rettangolo ha il cateto minore di 11 cm e il cateto maggiore di 60 cm.
Determina l’area e il perimetro.
Esercizi con terne pitagoriche ed esercizi in cui era possibile adoperare radice di
due, che tanto è ritornata nelle attività in classe:
3. Partendo dalla terna pitagorica 6, 8, 10 completa le seguenti terne:
12 ….. 20
…. 40 50
1, 5 …. 2,5
4. Un triangolo rettangolo ha un angolo di 45° e un cateto misura 12 cm.
Calcola perimetro e area.
E’ stato proposto anche lo stesso esercizio Invalsi
delle altre due versioni della verifica,
ma nella sua interezza,
aggiungendo la richiesta di determinare
la superficie totale da imbiancare
prima del montaggio dei pannelli solari.
Questo esercizio,
tratto dalle prove Invalsi,
è stato inserito per verificare gli
apprendimenti in relazione all’attività
Quadrato nel quadrato:
oltre a rispondere alle domande,
è stato richiesto anche di motivare
le proprie risposte.
Tra gli esercizi sui numeri irrazionali
è stato richiesto :
Esplicitamente di rappresentare
nei tre metodi i numeri sulla retta;
 applicare proprietà delle radici
per semplici calcoli;
 portar fuori dalla radice.
Per verificare la capacità di applicare proprietà scoperte in classe in contesti
simili ma diversi, sono stati inseriti anche i seguenti due esercizi:
•
Disegna un quadrato la cui area
misura il doppio rispetto all’area del
quadrato qui sotto. Motiva il disegno
con il procedimento seguito.
Complessivamente nella verifica su 28 alunni:
- solo tre prove hanno ottenuto risultati gravemente insufficienti: una
prova dove non è stato svolto alcun esercizio e due prove in cui sono
stati svolti solo gli esercizi meccanici di estrazione della radice, ma una
non corretta applicazione del Teorema di Pitagora;
- cinque prove sufficienti, con applicazione parzialmente corretta del
teorema e svolgimento degli esercizi base sulla estrazione di radice;
- sette prove più che sufficienti, con svolgimento corretto degli esercizi
base e tentativo sensato di soluzione anche di quelli più articolati;
- quattro prove soddisfacenti, soprattutto di studenti molto logici e
intuitivi che hanno lavorato molto bene durante tutto il percorso, ma che
non studiano sempre in modo attento nel lavoro pomeridiano;
- sette prove molto buone, che mancano solo di alcune argomentazioni
complete e dell’utilizzo degli irrazionali per semplificare il calcolo nella
risoluzione di alcuni problemi.
Punti di criticità della verifica in relazione agli apprendimenti degli alunni
 Inaspettatamente l’esercizio che ha presentato maggiori difficoltà, -in buona parte degli
studenti- nelle versioni H e intermedia, è stato l’esercizio graduato iniziale: a partire da
un’immagine, prevedeva prima la determinazione dell’area del quadrato costruito sul cateto
di un triangolo rettangolo, conoscendo le aree dei quadrati costruiti sugli altri due lati; poi
la determinazione della misura dei tre lati, perimetro e area del triangolo. Molto
probabilmente è dovuto ad una non adeguata comprensione del significato geometrico
della relazione tra i quadrati costruiti sui lati del triangolo rettangolo, nonostante tutto il
lavoro svolto. Alcuni di quegli stessi studenti hanno svolto correttamente l’esercizio della
scala. In effetti i lavori sulla equiestensione/equiscomponibilità sul teorema erano stati
svolti quasi due mesi prima della verifica, quindi, laddove non c’è stato un adeguato
ripensamento personale con studio accurato a casa, le carenze sono apparse evidenti;
 l’esercizio sul quadrato nel quadrato tratto delle prove Invalsi è stato risolto correttamente
circa dal 50% degli studenti, poiché non è stato motivato adeguatamente, nonostante fin
dalla classe prima siano abituati a dover commentare per giustificare le proprie scelte, sia a
matematica che a scienze;
 gli esercizi che prevedevano l’utilizzo della radice di due per semplificare i calcoli sono stati
svolti da tutti gli studenti in modo classico, correttamente, ma senza l’utilizzo degli
irrazionali come tali; evidentemente i numeri irrazionali rappresentano un nodo concettuale
non adeguato per il livello cognitivo degli alunni considerati;
 gli ultimi due esercizi che prevedevano l’applicazione delle considerazioni fatte con la
leggenda del pavimento, il problema dello stagno e il quadrato nel quadrato sono state
svolte solo da pochi alunni; richiedevano d’altronde la competenza di trasferire in contesti
simili a quelli noti, ma diversi, osservazioni già trattate; va anche considerato comunque
che la verifica era piuttosto lunga e articolata e che erano appunto gli ultimi due esercizi.
Valutazione efficacia del percorso didattico
Punti di criticità:
troppi concetti nuovi ed importanti trattati in un breve periodo di due mesi:
necessità di prevedere tre mesi di lavoro con verifica intermedia, oltre che
quella finale;
 durante percorso e verifica è stata evidente la stanchezza degli studenti
giunti a fine anno.

Punti di forza:
 le attività proposte hanno mantenuto alti attenzione, curiosità ed
entusiasmo della classe durante tutto il percorso;
 teorema di Pitagora, estrazione di radice e numeri irrazionali sono sempre
stati trattati parallelamente, senza che apparissero argomenti scollegati;
 il teorema di Pitagora è stato utilizzato in numerosi contesti, mostrando le
sue numerose applicazioni;
 la determinazione delle superfici nei solidi è stata condotta senza difficoltà,
a dimostrazione che osservare un solido identificando le facce come figure
piane note non rappresenta alcuna difficoltà cognitiva per studenti di
questo livello scolare; le difficoltà evidentemente sono spesso legate
all’utilizzo della classiche formule per superficie laterale e totale presenti in
molti libri di testo; l’attività condotta dimostra che si può/deve lavorare con
la geometria solida anche prima della classe terza.