Il principio di Dirichlet

Università di Torino
Laboratorio di Combinatorica
Prof.ssa Daniela Romagnoli
Anno accademico 2007-2008
Il principio di
Dirichlet
Tesina a cura di
Susanna Berardo
Il Principio di Dirichlet
Nei suoi "Giochi di aritmetica e problemi interessanti", Giuseppe Peano presenta il
seguente problema capzioso.
Sei letti per sette viaggiatori
Una comitiva di 7 viaggiatori si presenta ad un albergo, e domanda un letto per
ogni viaggiatore.
L'oste risponde: "Ho solo sei letti distinti colle lettere A, B, C, D, E, F. Ma
guarderò di aggiustarvi."
Perciò destinò:
due viaggiatori a dormire nel letto A,
poi uno nel letto B, e fa tre,
poi uno nel letto C, e conta quattro,
poi uno nel letto D, e conta cinque,
poi uno nel letto E, e conta sei;
poi prende uno di quelli che erano in A e lo conduce in F, e conta sette.
Così i 7 viaggiatori dormono in 6 letti, uno per letto.
Come ha fatto?
Chi fa il gioco, rappresenta i letti con 6 carte e procede rapido, onde l'uditore non
si accorga che un viaggiatore è stato contato due volte.
Questo gioco stupisce molto perché sembra dimostrare un fatto palesemente
impossibile: che 7 persone possano dormire in 6 letti, una per letto.
L'impossibilità di fatti come questo viene espressa da un importante principio
matematico: in inglese si chiama "pigeonhole principle", in italiano è stato tradotto con
"principio della piccionaia", ovvero "principio dei cassetti".
7 piccioni in 9 gabbie
Il principio dei cassetti afferma che se n oggetti sono messi in m cassetti, e n > m,
allora almeno un cassetto deve contenere più di un oggetto. Un altro modo di vedere il
principio è che una piccionaia con m gabbie può contenere al più m piccioni, se non se
ne vogliono mettere più di uno in nessuna gabbia: un ulteriore volatile dovrà
necessariamente condividere la gabbia con un suo simile. Formalmente, il principio
afferma che se A e B sono due insiemi finiti e B ha cardinalità strettamente minore di A,
allora non esiste alcuna funzione iniettiva da A a B.
Funzione iniettiva
Un esempio di funzione iniettiva
Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno un'immagine distinta, o
equivalentemente se ogni elemento del codominio corrisponde al più ad un elemento del dominio;
formalmente:
è iniettiva sse
o equivalentemente:
è iniettiva sse
Il principio dei cassetti è un esempio di argomento combinatorio, che può essere
applicato a molti problemi formali, compresi quelli relativi a insiemi infiniti che non
possono essere messi in corrispondenza biunivoca.
Si ritiene che il principio sia stato esplicitato per la prima volta da Dirichlet nel 1834 col
nome Schubfachprinzip ("principio del cassetto"). In alcune lingue, (ad esempio il russo)
questo principio è pertanto noto come il principio di Dirichlet, da non confondersi con il
principio dello stesso nome sulle funzioni armoniche. In inglese, invece, si parla di
pigeonhole principle, dove il "pigeonhole" si riferisce alle cassette postali aperte in uso
in alcuni uffici e università.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet
« Siede all'alta scrivania di fronte a noi, poggia la testa su entrambe le mani e dentro le sue mani vede
un calcolo immaginario che ci legge ad alta voce; quel calcolo lo comprendiamo come se lo vedessimo
anche noi. »
(Uno studente di Dirichlet, parlando del professore)
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, 13 febbraio 1805 – 5 maggio 1859) è stato un matematico
tedesco, ricordato soprattutto per la moderna definizione "formale" di funzione.
La sua famiglia proveniva dalla città di Richelet nel Belgio, da cui deriva il cognome "Lejeune Dirichlet"
("le jeune de Richelet" = "il ragazzo di Richelet").
Dirichlet nacque a Düren, dove il padre lavorava come direttore dell'ufficio postale. Fu educato in
Germania e quindi in Francia, dove conobbe molti dei più celebri matematici del tempo. Il suo primo
lavoro riguardava l'Ultimo teorema di Fermat, una famosa congettura, ora dimostrata, che asseriva che
per n > 2, l'equazione xn + yn = zn non ammette soluzioni non banali. Elaborò una dimostrazione parziale
per il caso n = 5, che fu poi completata da Adrien-Marie Legendre. Dirichlet produsse successivamente una
dimostrazione completa del caso n = 14. Sposò Rebecca Mendelssohn, nipote del filosofo Moses
Mendelssohn, e sorella del compositore Felix Mendelssohn.
Dopo la morte, gli scritti di Dirichlet e altri risultati nella teoria dei numeri furono raccolti, curati e
pubblicati dal matematico Richard Dedekind con il titolo Vorlesungen über Zamlentheorn (Lezioni sulla
teoria dei numeri).
Problemi risolubili tramite il principio di
Dirichlet
Sempre nei "Giochi di aritmetica e problemi interessanti" di Giuseppe Peano si trova il
seguente problema capzioso.
1. Due persone hanno lo stesso numero di capelli
Dimostrare che in una città di 150.000 abitanti vi sono due persone che hanno lo stesso
numero di capelli.
Van Etten, 1624
Peano precisa: si stima che la superficie del capo umano portante capelli è di 775 cm^2
e che ogni cm^2 contiene al massimo 165 capelli.
E conclude: il massimo numero che può avere una persona è 775 * 165 = 123.875 <
150.000.
Nota storica (fonte: David Singmaster)
Le prime versioni di "Due persone hanno lo stesso numero di capelli" sono di van Etten, 1624, E. Fourrey,
1899 e dei logici di Port-Royal.
La domanda se in una grande foresta esistono alberi che hanno lo stesso numero di foglie si dice sia stata
posta da Immanuel Kant (1724-1804) quando era un ragazzo.
Lietzmann dice che una quercia ha circa 2 milioni di foglie e un pino ha circa 10 milioni di aghi.
2. La biblioteca
In una grande biblioteca ci sono almeno due libri che contengono lo stesso numero di
parole.
Abraham, 1933
Soluzione:Una riga di libro contiene al massimo 20 parole;
una pagina contiene al massimo 50 righe;
un libro contiene al massimo 1000 pagine;
un libro contiene al massimo un milione di parole.
Se nella GRANDE BIBLIOTECA ci sono 1.000.001 libri di quel tipo allora almeno due libri
conterranno lo stesso numero di parole.
3. Guanti e calzini in una stanza buia
Sei in una stanza buia e devi prendere dei guanti e dei calzini pescando a caso in due
cassetti.
- In un cassetto ci sono 10 paia di calzini marroni e 10 paia blu. Quanti calzini devi
prendere per essere sicuro di avere un paio di calzini dello stesso colore?
- In un cassetto ci sono 10 paia di guanti marroni e 10 blu. Quanti guanti devi prendere
per essere sicuro di avere un paio di guanti dello stesso colore?
Perelman, FMP, c1935?
Soluzione:
Nel primo caso è sufficiente pescare 3 calzini.
Nel secondo caso occorre tener conto che i guanti destri sono diversi da quelli sinistri.
Le possibilità colore-mano sono:
MD-MS-BD-BS
Io devo essere sicuro di avere un guanto destro e uno sinistro dello stesso colore.
Nella peggiore delle ipotesi potrei pescare:
10 MD + 10BD (oppure S).
Ma al 21-esimo guanto sono sicuro di averne preso almeno un paio dello stesso colore.
4. Palline nere, rosse e bianche
In un cassetto ci sono 12 palline nere, 8 rosse e 6 bianche.
Pescando a caso, quante se ne devono prendere per essere sicuri di averne 3 dello stesso
colore?
H. Phillips, 1937
Soluzione:
Nella peggiore delle ipotesi, 6 palline non sono sufficienti.
Infatti potrebbero essere B-B-N-N-R-R.
Supponiamo di essere arrivati a 6 palline senza averne 3 dello stesso colore.
Visto che i colori sono 3 e che la settima deve per forza essere B o N o R allora se ne
avranno almeno 3 dello stesso colore.
In conclusione bisogna pescarne almeno 7.
5. Compleanni e giorni della settimana
Mostrare che in un gruppo di 8 persone almeno due hanno il loro compleanno nello
stesso giorno della settimana.
Soluzione:
Naturalmente il problema è riferito ad un dato anno in quanto il giorno della settimana
del compleanno cambia di anno in anno.
Le persone sono i piccioni e i giorni della settimana sono le caselle.
Siccome 8>7 vale la tesi.
Nota: senza utilizzare direttamente il principio della piccionaia, avremmo dovuto
ragionare così:
Nella più ampia situazione il gruppo potrebbe essere formato da:
a) una persona che compie gli anni di LUN, e contiamo 1.
b) una persona che compie gli anni il MAR, e fanno 2
c) una persona che compie gli anni il MER, e fanno 3
d) una persona che compie gli anni il GIO, e fanno 4
e) una persona che compie gli anni il VEN, e fanno 5
f) una persona che compie gli anni il SAB, e fanno 6
g) una persona che compie gli anni la DOM, e fanno 7
L'ottava persona deve necessariamente compiere gli anni in uno dei giorni già citati
perciò, in questo caso esisteranno 2 persone che compiono gli anni nello stesso giorno
della settimana.
Ma questo è il "caso peggiore", perciò la tesi vale anche per gli altri casi.
6. L'iniziale del nome
Mostrare che in un gruppo di 27 persone ce ne sono almeno due il cui nome inizia con la
stessa lettera.
Soluzione:
I nomi (27) sono i piccioni e le lettere dell'alfabeto sono le caselle.
Siccome 27>26 vale la tesi.
7. Cinque punti in un triangolo
Provare che su 5 punti comunque scelti all'interno di un triangolo equilatero di lato 1, ve
ne sono almeno due che distano al più 1/2.
Soluzione:
Tracciando le congiungenti dei punti medi dei lati si divide il triangolo in 4 triangolini
uguali.
Ciascun triangolino è equilatero e ha il lato lungo 1/2 perciò qualunque coppia di punti
al suo interno (o anche sul perimetro) distano al più 1/2 (si dimostra applicando semplici
teoremi di geometria).
I 4 triangolini sono le caselle e i 5 punti sono i piccioni.
Poiché 5>4, avrò almeno una casella con almeno 2 piccioni da cui la tesi.
8. Diciannove con tre numeri
Tre numeri sono scelti a caso. La loro somma e' 19. Mostrare che almeno un numero è
maggiore o uguale a 7.
Soluzione:
I tre numeri sono le caselle mentre i piccioni sono 19.
Praticamente suppongo che i numeri siano interi positivi e che ogni piccione sia una
unità. Questi 19 piccioni si dividono in tre gruppi e vanno ad occupare le 3 caselle.
Poiché 19 > 6*3 allora almeno una casella contiene 6+1 = 7 piccioni (il numero 7).
9. Gli errori degli studenti
In una classe ci sono 30 studenti. Nel corso di un test uno studente ha fatto 12 errori,
mentre il resto della classe ha fatto meglio. Mostra che almeno 3 studenti hanno fatto lo
stesso numero di errori.
Soluzione:
Gli studenti (30) sono i piccioni e i numeri di errori (da 0 a 12) le caselle: 30 piccioni in
12 caselle.
Poiché 30 > 2*12 allora almeno 2+1 = 3 studenti hanno fatto lo stesso numero di errori.
In altre parole: con 30 piccioni riempio tutte le 12 caselle con due piccioni per casella e
me ne avanzano ancora 6: in alcune ci saranno almeno 3 piccioni.
10. I libri nel cassetto
Un cassetto contiene 10 libri francesi, 20 spagnoli, 8 tedeschi, 15 russi e 25 italiani.
Quanti ne dobbiamo prendere per essere sicuri di avere 12 libri nella stessa lingua?
Soluzione:
Vorrei fare un altro ragionamento: quello della peggiore ipotesi.
Se prendo 10 libri, potrebbero essere tutti francesi.
Se prendo 10 + 8 libri, potrebbero essere tutti quelli francesi e tedeschi.
Se prendo più di 18 libri, potrei aver preso tutti quelli francesi e tedeschi, e in egual
misura delle altre lingue.
Per essere sicuro di averne almeno 12 della stessa lingua ne devo prendere: 10 + 8 + 11 +
11 + 11 + 1 = 52
11. Le mele nelle ceste
Dobbiamo riporre 25 mele in 3 ceste, quante mele ci saranno almeno in ogni cesta?
Soluzione:
25 = 3.8 + 1 Usando il principio generale dei piccioni con n = 3 e k = 8 , avremo che
qualche cesta contiene almeno 8 + 1 = 9 mele.
12. Numeri su una circonferenza
Supponiamo che i numeri da 1 a 10 siano posizionati casualmente su una circonferenza .
Allora la somma di qualche terna di numeri consecutivi è almeno 17 .
Soluzione:
Vi sono 10 terne di numeri consecutivi sulla circonferenza e ogni numero da 1 a 10
compare in tre di esse esattamente : indichiamo con S1,S2,…S10 le somme di ognuna di
esse . Da quanto osservato si ha che
S1 + S2 +… + S10 = 3 ( 1 + 2 +…+10 ) = 165 .
E’ come sistemare 165 oggetti in 10 cassetti : qualche Si vale almeno 17 .
13. Punti su un quadrato
Su un quadrato di lato 1 metro vengono disegnati in modo casuale 51 punti . Provare che
almeno 3 di questi punti giacciono su un quadrato di lato 20 centimetri .
Soluzione:
Se dividiamo il quadrato iniziale in 25 quadrati di lato 20 centimetri, poiché
51 = 25.2 + 1 , uno di essi contiene almeno 3 punti.
14. La differenza di due numeri è un multiplo di 11
Dati dodici numeri interi diversi, provare che almeno due di essi possono essere scelti in
modo che la loro differenza sia divisibile per 11.
Soluzione:
I resti della divisione per 11 sono i numeri da 0 a 10 , quindi almeno due dei dodici interi
divisi per 11 hanno lo stesso resto e quindi la loro differenza è un multiplo di 11.
15. Il torneo
Ci sono cinque persone che vogliono giocare a calcetto in un torneo, e quattro squadre
presenti. Nessuno dei cinque vuole giocare nella stessa squadra di uno qualunque degli
altri quattro. Trovare, se possibile, una combinazione che accontenti le cinque persone.
Soluzione:
Per il principio dei cassetti è impossibile suddividerli tra le varie squadre.
16. L'algoritmo di compressione
Si dimostri che non può esistere un algoritmo di compressione senza perdita di
informazioni, che riduca cioè la dimensione di un file di una dimensione qualunque - o
anche solo maggiore di un certo numero M di bit - datogli in input.
Soluzione:
I file composti da M+1 bit sono 2M+1, ma i file di dimensione da 1 a M bit sono solamente
2M+1 - 1; quindi ci devono essere almeno due file in ingresso mappati sullo stesso file in
uscita. Ma allora l'ipotesi che la compressione sia senza perdita di informazioni fallisce,
dato che non si potrebbe distinguere tra i due file convertiti nello stesso file di output.
Bibliografia e fonti:
Le parti teorico-biografiche sono tratte da Wikipedia, enciclopedia libera; gli esercizi sono tratti in parte
dalla stessa Wikipedia, in parte da un sito a cura di Gianfranco Bo e in parte dalle Dispense di
Combinatorica a cura della prof.ssa Daniela Romagnoli.