1.2. Sistema Internazionale di Unità di Misura

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1. Concetti Generali
1.1. Scopo di una Misurazione .......................................................................................... 5
1.2. Sistema Internazionale di Unità di Misura ................................................................ 6
1.3. Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati ............................. 9
1.4. Alcune Nozioni di Statistica ..................................................................................... 10
1.5. Valore più Probabile del Misurando e Incertezza di Misura .................................. 22
1.6. Incertezza Composta ................................................................................................ 27
2. Campioni di Laboratorio
2.1. Generalità ................................................................................................................ 41
2.2. Campioni di Forza Elettromotrice ........................................................................... 41
2.3. Sorgenti di Tensione Campione ............................................................................... 43
2.4. Campioni di Resistenza ............................................................................................ 45
2.5. Campioni di Capacità .............................................................................................. 47
2.6. Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza ........................................................... 51
2.7. Campioni di Tempo .................................................................................................. 53
3. Catene di Misura e Funzioni di Trasferimento
3.1. Generalità ................................................................................................................ 57
3.2. Richiami sulla Trasformata di Laplace.................................................................... 58
3.3. Funzione di Trasferimento ....................................................................................... 61
3.4. Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace ................................................... 65
3.5. Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale ....................................................... 66
A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche
1
4. Strumenti Analogici
4.1. Generalità ................................................................................................................ 73
4.2. Classe di Precisione ................................................................................................. 74
4.3. Comportamento degli Strumenti in Regime Stazionario e in Transitorio................ 75
4.4. Strumenti Magnetoelettrici....................................................................................... 77
4.5. Strumenti Logometrici.............................................................................................. 79
4.6. Strumenti a Conversione Elettromagnetica ............................................................. 81
4.7. Strumenti a Conversione Elettrodinamica ............................................................... 83
4.8. Strumenti ad Induzione ............................................................................................ 88
4.9. Contatori ad Induzione ............................................................................................ 91
4.10. Effetti dell’Inserzione degli Strumenti: Autoconsumi .............................................. 97
5. Metodi di Ponte
5.1. Generalità .............................................................................................................. 103
5.2. Ponte di Wheatstone............................................................................................... 103
5.3. Ponte di Wheatstone a Filo .................................................................................... 105
5.4. Doppio Ponte di Thomson...................................................................................... 106
5.5. Ponte di Kohlrausch............................................................................................... 108
5.6. Metodi di Ponte in Corrente Alternata .................................................................. 109
2
6. Misure Industriali con Strumenti Analogici
6.1. Generalità .............................................................................................................. 121
6.2. Misure in Corrente Continua ................................................................................. 121
6.3. Misura di Tensioni Alternate ................................................................................. 128
6.4. Misura di Correnti Alternate ................................................................................. 130
6.5. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale.................. 131
6.6. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale........... 135
6.7. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale .............. 136
6.8. Misura del Fattore di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale ......... 137
6.9. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale .................... 137
6.10. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale ............. 142
6.11. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale................. 142
6.12. Potenze Attiva, Reattiva ed Apparente in Regime Non-Sinusoidale ...................... 146
6.13. Alcune Teorie sul Significato delle Potenze in Regime Non-Sinusoidale .............. 149
6.14. Misure di Potenza su Circuiti Non Lineari di Tipo Induttivo ................................ 151
6.15. Alcune Misure Particolari...................................................................................... 158
7. Strumenti Digitali
7.1. Generalità .............................................................................................................. 163
7.2. Multimetri............................................................................................................... 164
7.3. Wattmetri................................................................................................................ 166
7.4. Strumenti per Misure di Frequenza e Intervalli di Tempo..................................... 167
7.5. Incertezza di Misura in Strumenti Digitali............................................................. 171
8. Moduli Elettronici Analogici
8.1. Generalità .............................................................................................................. 173
8.2. Amplificatori .......................................................................................................... 173
8.3. Amplificatori Operazionali .................................................................................... 175
8.4. Generatori di Tensione a Dente di Sega ................................................................ 176
8.5. Alcuni Moduli Analogici ........................................................................................ 177
8.6. Convertitori AC/DC ............................................................................................... 184
3
9. Conversione Analogico/Digitale
9.1. Generalità .............................................................................................................. 189
9.2. Codici Binari .......................................................................................................... 189
9.3. Campionamento e Quantizzazione ......................................................................... 192
9.4. Conversione A/D .................................................................................................... 194
10. Misure Automatiche con Software
11. Trasformatori di Misura
11.1. Generalità .............................................................................................................. 219
11.2. Trasformatori di Corrente...................................................................................... 220
11.3. Trasformatori di Tensione Induttivi ....................................................................... 229
11.4. Curve di Errore di TA e TVI Interpretate con il Diagramma di Moellinger ......... 237
11.5. Trasformatori di Misura Combinati....................................................................... 238
11.6. Trasformatori di Tensione Capacitivi .................................................................... 239
12. Sensori e Trasduttori
12.1. Generalità .............................................................................................................. 245
12.2. Sensori Attivi .......................................................................................................... 245
12.3. Sensori Passivi ....................................................................................................... 250
13. Oscilloscopi
13.1. Generalità .............................................................................................................. 261
13.2. Tubo a Raggi Catodici ........................................................................................... 262
13.3. Base dei Tempi ....................................................................................................... 265
13.4. Canale Verticale (Y)............................................................................................... 272
13.5. Canale Orizzontale (X) .......................................................................................... 277
13.6. Oscilloscopio Digitale............................................................................................ 277
13.7. Probe ...................................................................................................................... 279
13.8. Taratura di un Oscilloscopio ................................................................................. 282
4
1.1. Scopo di una Misurazione
1. Concetti Generali
1.1.
Scopo di una Misurazione
Scopo di una misurazione è la determinazione della miglior stima del valore della grandezza
da misurare e della incertezza di cui la misurazione stessa è affetta.
Con una misurazione si stabilisce il rapporto tra una grandezza fisica (il misurando) e una
grandezza di riferimento, con essa omogenea, assunta come unità di misura.
In senso generale, misurare significa stabilire il rapporto fra la grandezza in esame e la sua unità
di misura, cioè fra una grandezza e una quantità di riferimento con essa omogenea, (lunghezza
paragonata a lunghezza, resistenza elettrica a resistenza elettrica, ecc.). Come verrà precisato in
seguito, una misurazione può riguardare un solo misurando, ovvero più misurandi per cui essa
può risultare più o meno complessa.
Per esprimere il valore di una grandezza fisica ci si serve di due simboli: un numero e una lettera. La lettera rappresenta il simbolo dell’unità di misura scelta, mentre il numero dice quanto
più grande o più piccola della quantità definita come unità è la grandezza in esame. Ad esempio,
l’unità di misura della lunghezza è il metro, che si indica con la lettera “m”: scrivere 8 m significa indicare una lunghezza pari a otto volte l’unità di misura.
L’insieme delle unità di misura costituisce un sistema di misura, per definire compiutamente il
quale si devono distinguere le unità di misura assolute da quelle derivate.
Scelte le unità assolute, tra loro indipendenti, quelle derivate risultano implicitamente definite.
Le diverse unità di misura necessarie per le diverse grandezze (lunghezza, resistenza elettrica,
tempo, volume, pressione, ecc.) formano un sistema di unità di misura. In un sistema di unità di
misura vengono assunte come assolute o fondamentali alcune grandezze, indipendenti tra loro
e nel numero più piccolo possibile, definendone le unità di misura. Tutte le altre unità di misura
del sistema, che vengono dette unità derivate, si ricavano dalle fondamentali. Per fare un esempio, la lunghezza L è una grandezza fondamentale, mentre un’area, essendo il prodotto di due
lunghezze (L × L = L2), rappresenta una grandezza derivata.
5
1 Concetti Generali
1.2.
Sistema Internazionale di Unità di Misura
Il Sistema Internazionale di unità di misura (SI) è costituito dall’insieme delle unità di misura
delle grandezze assunte come fondamentali. Il Sistema SI si basa su 7 grandezze fondamentali:
lunghezza, massa, tempo, intensità di corrente elettrica, temperatura termodinamica, intensità
luminosa, quantità di materia e due supplementari, angolo piano e angolo solido.
Il sistema assoluto attualmente in vigore è il Sistema Internazionale (indicato con la sigla SI).
Esso è basato su sette grandezze fondamentali e due supplementari, precisamente: lunghezza,
massa, intervallo di tempo, intensità di corrente elettrica, intervallo di temperatura, intensità
luminosa, quantità di materia e, come supplementari, angolo piano e angolo solido.
La Tabella 1.1 riporta le grandezze SI fondamentali, supplementari e le principali grandezze
derivate, con il nome e il simbolo della loro unità. Le unità del Sistema SI sono unità legali, nel
nostro Paese, in forza del Decreto del Presidente della Repubblica n. 802 del 12.08.1982, emanato in attuazione della Direttiva n. 80/181 della Comunità Economica Europea (CEE) di cui
l’Italia è parte. L’impiego di unità di misura di vecchi sistemi non è pertanto corretto e deve
perciò essere abbandonato.
Grandezza
Unità SI
Nome dell’Unità
Simbolo dell’Unità
metro
m
kilogrammo
kg
Intervallo di tempo
secondo
s
Corrente elettrica
ampere
A
Intervallo di temperatura
kelvin
K
Intensità luminosa
candela
cd
mole
mol
Angolo piano
radiante
rad
Angolo solido
steradiante
st
hertz
Hz
Forza
newton
N
Pressione, tensione meccanica
pascal
Pa
Fondamentali
Lunghezza
Massa
Quantità di sostanza
Supplementari
Derivate
Frequenza
Tab. 1.1
Grandezze fondamentali, supplementari e derivate con le relative unità di misura
6
1.2. Sistema Internazionale di Unità di Misura
Unità SI
Grandezza
Nome dell’Unità
Simbolo dell’Unità
Lavoro, energia, quantità di calore
joule
J
Potenza
watt
W
coulomb
C
Potenziale elettrico, tensione elettrica,
forza elettromotrice
volt
V
Capacità elettrica
farad
F
Resistenza elettrica
ohm
Ω
siemens
S
weber
Wb
Induzione magnetica
tesla
T
Induttanza propria, induttanza mutua
henry
H
Flusso luminoso
lumen
lm
lux
lx
Carica elettrica
Conduttanza elettrica
Flusso di induzione magnetica
Illuminamento
Tab. 1.1
Grandezze fondamentali, supplementari e derivate con le relative unità di misura
Nell’Appendice A sono riportate le definizioni delle grandezze fondamentali e in modo ancora
più dettagliato, le grandezze del Sistema SI, unitamente alle loro unità di misura. Sono state
inoltre riportate le unità di misura che, pur non comprese dal Sistema SI, sono ammesse o transitoriamente tollerate.
Le unità di misura si possono esprimere, per praticità, in multipli e sottomultipli che variano
secondo le potenze positive o negative di 10.
L’uso delle sole unità di misura SI non risulta sempre pratico per cui è necessario l’impiego di
multipli e sottomultipli decimali formati mediante i prefissi indicati in Tabella 1.2.
Il prefisso unito al simbolo dell’unità di misura forma il simbolo del multiplo o sottomultiplo di
quella unità, esso può essere elevato ad una potenza positiva o negativa e combinato con i simboli di altre unità di misura. Ad esempio:
1mm 2 = 10 –6 m 2
1kV = 10 3 V
1mm ⁄ s = 10 –3 m ⁄ s
(1.1)
Per esprimere il valore numerico di una grandezza è consigliabile l’uso dei multipli e sottomultipli in modo che il valore numerico stesso risulti compreso tra 0,1 e 1000. Per esempio, conviene scrivere 6.25 mm oppure 6.25 × 10–3 m invece di 0.00625 m. I prefissi hanno anche un
nome e un simbolo così come indicato in Tabella 1.2.
7
1 Concetti Generali
Fattore di Moltiplicazione
Tab. 1.2
Prefisso
Nome
Simbolo
1018
exa
E
1015
peta
P
1012
tera
T
109
giga
G
106
mega
M
103
kilo
k
102
etto
h
101
deca
da
10–1
deci
d
10–2
centi
c
10–3
milli
m
10–6
micro
µ
10–9
nano
n
10–12
pico
p
10–15
femto
f
10–18
atto
a
Multipli e sottomultipli decimali
Le unità di misura vengono scritte per esteso e in minuscolo. L’uso dei simboli è ammesso solo
quando esse sono precedute da un valore numerico.
Per la grafia sono valide le seguenti regole:
• i nomi delle unità di misura devono essere scritti con caratteri minuscoli, compresa la lettera
iniziale, e senza punto finale (ad esempio volt e non Volt). Quando derivano da nome proprio
restano invariati al plurale;
• l’unità di misura, quando accompagna il relativo valore numerico, è espressa in genere
mediante il suo simbolo che deve essere scritto dopo il valore numerico senza punto finale;
• l’uso dei simboli è ammesso solo quando essi sono preceduti da valore numerico; diversamente si deve scrivere il nome dell’unità di misura per esteso;
8
1.3. Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati
• il simbolo dei multipli e sottomultipli di una unità si scrive facendo precedere il prefisso al
simbolo dell’unità senza interporre un punto o uno spazio. Viceversa il simbolo delle unità
derivate, prodotto di due o più unità, deve essere scritto interponendo, tra i simboli delle unità
componenti, il punto di moltiplicazione o uno spazio, ad esempio:
Nm
N⋅m
(1.2)
• qualora l’unità derivi dal quoziente di due altre unità, il simbolo è formato interponendo fra il
simbolo a numeratore e quello a denominatore un tratto obliquo o la riga di frazione o usando
gli esponenti negativi. Ad esempio:
m ⁄ s2
1.3.
m
---s2
m ⋅ s –2
(1.3)
Impostazione di una Misurazione e Interpretazione
dei Risultati
Per effettuare una misurazione deve essere individuato il misurando e scelto il metodo di
misura da utilizzare.
Il misurando è la specifica quantità oggetto di misurazione (ad esempio, la resistenza elettrica
di un conduttore a 20 ˚C). Quando si specifica un misurando può essere necessario includere
riferimenti ad altre quantità, quali tempo, temperatura, pressione, ecc. L’obiettivo della misurazione è quello di determinarne una stima del valore nel modo più appropriato.
La scelta del metodo di misura, che può essere fatta dall’operatore o stabilita da una norma, è
di fondamentale importanza. Si tenga presente che anche dovendo operare sullo stesso tipo di
misurando (ad esempio, una potenza elettrica, una temperatura, ecc.) le sue specifiche caratteristiche possono imporre l’uso di un metodo ed escluderne altri. In una misura elettrica, un
metodo può differire da un altro per le caratteristiche del circuito realizzato e per gli strumenti
impiegati.
Il risultato di una misurazione deve essere interpretato in quanto esso può fornire solo una
stima del “valore vero” del misurando.
Il risultato di una misurazione deve essere interpretato in quanto generalmente esso si discosta
dal “valore vero” del misurando per ragioni legate al metodo e agli strumenti usati, nonché alle
condizioni in cui la misura viene effettuata.
È innanzitutto da osservare che il termine di “valore vero” deve essere considerato in senso lato,
in quanto si deve ammettere che, essendo la sua determinazione comunque ottenuta da una
misurazione, esso è in realtà sempre incognito. Il ricorso ad un metodo e a strumenti di caratte-
9
1 Concetti Generali
ristiche misuristiche più pregiate può consentire di ottenere risultati migliori di quelli forniti da
un sistema più scadente, ma l’approccio al problema non cambia.
Nella interpretazione dei risultati di una misurazione si deve tenere presente che gli scarti
rispetto al “valore vero” dipendono
• da errori grossolani commessi dall’operatore, per esempio nella lettura di uno strumento o
nella sua errata inserzione, ecc.;
• da scarti di segno costante che se noti o determinabili mediante un processo logico vengono
definiti errori sistematici;
• da eventi casuali quali l’interpretazione delle indicazioni di uno strumento a indice, l’effetto
della temperatura, la presenza di disturbi non individuabili, ecc.
Gli errori grossolani sono in generale di ampiezza tale da essere facilmente riconoscibili.
Quando si opera su un solo misurando, il rischio di errori grossolani può essere praticamente
eliminato effettuando misure ripetute, ricorrendo eventualmente a operatori diversi. Per quanto
riguarda gli errori sistematici noti o determinabili, si può dire che essi sono generalmente legati
al metodo e agli strumenti usati e molte volte possono essere corretti. Una volta ripuliti i risultati
dagli eventuali errori grossolani e sistematici, si deve passare alla valutazione degli effetti degli
eventi casuali alla quale sono dedicati i prossimi paragrafi.
1.4.
Alcune Nozioni di Statistica
I modelli di distribuzione statistica disponibili sono diversi. Le distribuzioni normale (o di
Gauss) e la distribuzione t di Student sono quelle più utilizzate nel campo delle prove elettriche.
Tra le diverse distribuzioni statistiche, alcune si prestano meglio di altre all’interpretazione dei
dati di prova. La scelta della distribuzione che meglio interpreta i risultati può essere fatta in
base all’esperienza già acquisita o attraverso una verifica sperimentale.
La distribuzione normale (o di Gauss) è adatta per interpretare i risultati di prove non distruttive
ripetute sullo stesso oggetto o quelli di prove effettuate con le stesse modalità su campioni delle
stesse caratteristiche. Questo modello, che ha vastissima utilizzazione, viene sovente accettato
convenzionalmente anche quando la distribuzione dei dati è proprio normale. La distribuzione
t di Student, invece è particolarmente adatta a quei casi in cui la quantità di dati disponibili è
limitata.
Quali esempi di applicazione si possono citare, la distribuzione degli scarti tra misure ripetute
sullo stesso oggetto (incertezza strumentale), la determinazione della tensione di perforazione
con tensione linearmente crescente su provini di carta impregnata con gli elettrodi ASTM o
IEC, oppure la verifica della distanza esplosiva tra le sfere di uno spinterometro di misura.
10
1.4. Alcune Nozioni di Statistica
1.4.1. Definizioni
Le principali definizioni riguardano la probabilità di un evento, la densità di probabilità e la
probabilità cumulata.
Come necessaria premessa a quanto verrà esposto nel seguito, è opportuno introdurre alcune
definizioni e un po’ di nomenclatura.
Si definisce probabilità di un evento, il rapporto tra il numero di casi favorevoli a tale evento e
il numero di casi possibili. Più precisamente, si definisce probabilità di ottenere da un esperimento un certo risultato, definito da un certo valore y assunto dalla variabile casuale che caratterizza l’esperimento stesso, il rapporto tra la misura dell’insieme dei risultati che forniscono il
valore y e la misura dell’insieme comprendente tutti i risultati possibili relativi al detto esperimento.
Ad esempio, se si lancia un dado da gioco, la probabilità di ottenere il numero quattro è 1/6. Se
si lanciano due dadi lo stesso numero ha probabilità di verificarsi pari a 1/12 (combinazioni
2 + 2, 3 + 1, 1 + 3). Se si effettua un numero di lanci ripetuti di un solo dado, ad esempio un
centinaio, si constata che tutti i possibili valori (da 1 a 6) si presentano con la stessa frequenza.
Diversa è la situazione nel caso di lancio ripetuto di due dadi in quanto i possibili valori (da 2 a
12) hanno diverse probabilità di verificarsi.
Nel caso di prove ripetute si definisce densità di probabilità il rapporto tra gli eventi che hanno
dato il risultato prefissato e quelli globalmente verificatisi. Questa grandezza che è adimensionale e consente di normalizzare i risultati degli esperimenti, può assumere tutti i valori possibili
tra 0 e 1 (si può esprimere anche in percento).
Si definisce invece probabilità cumulata il rapporto di tutti i risultati che presentano valori inferiori o uguali al risultato prefissato. Se l’esperimento ha come variabile casuale una grandezza
misurabile che può assumere, almeno in linea teorica tutti i valori possibili, la densità di probabilità assume andamento continuo anziché discreto come negli esempi precedenti.
In ogni caso, la probabilità di ottenere un certo valore di x non è uniforme ma è funzione della
stessa x. Si dice allora che f(x) è la distribuzione della densità di probabilità dell’evento definito
dalla variabile casuale rappresentata dalla stessa x.
In Figura 1.1 sono riportati due diagrammi tipici che rappresentano f(x) in funzione di x. Si noti
che il primo di essi presenta simmetria rispetto al valore centrale a differenza del secondo.
Un altro tipo di distribuzione si può ottenere esprimendo la probabilità cumulata F(x) in funzione della variabile casuale (Figura 1.2).
F(x) rappresenta la probabilità di ottenere tutti i valori inferiori o uguali a x ed è analiticamente
rappresentata da
x
F ( x) =
∫
f ( x) d x
(1.4)
–∞
11
f(x)
1 Concetti Generali
f(x)
x
x
Fig. 1.1
Tipici diagrammi di distribuzione della densità di probabilità
F(x)
1
0.5
0
Xm
Fig. 1.2
x
Tipico diagramma di probabilità cumulata da –∞ a x
12
Si noti che f(x) tende a zero sia per x → – ∞ che per x → ∞ , quindi
∞
lim F (x) =
x→∞
∫
(1.5)
f ( x) d x = 1
–∞
Alternativamente si può definire con G(x) (Figura 1.3) con i tutti i valori da x a ∞ ottenendo
∞
G( x ) =
∫
(1.6)
f ( x) d x
x
G(x)
1
0.5
0
x
Xm
Fig. 1.3
Tipico diagramma di probabilità cumulata da x a ∞
È ovvia la relazione
(1.7)
G( x ) = 1 – F ( x )
f(x)
Sotto l’aspetto applicativo, si può osservare che normalmente si ha a disposizione un numero
limitato di risultati e che la loro rappresentazione grafica può essere fatta ricorrendo ad istogrammi del tipo indicato in Figura 1.4 che si riferisce al caso di una distribuzione simmetrica.
x
Fig. 1.4
Costruzione del diagramma di distribuzione della densità di probabilità in un caso
pratico con un numero limitato di risultati
13
1 Concetti Generali
La curva reale si ottiene per interpolazione tra le altezze delle canne che costituiscono l’istogramma.
Si presenta ora il problema di caratterizzare le distribuzioni sopra definite con il più limitato
numero possibile di parametri. Il primo parametro che interessa è quello che caratterizza i valori
di x per cui f(x) è prossima al suo valore massimo, ovvero F(x) è significativamente differente
da 0 a 1.
Media, mediana e moda rappresentano tre diversi parametri caratteristici della distribuzione
delle densità di probabilità. Esse coincidono quando la distribuzione è normale.
In Figura 1.5 sono rappresentate tre distribuzioni, di cui vengono definite le seguenti grandezze:
• media: rappresenta la somma delle varie osservazioni divise per il numero delle osservazioni
stesse, la media di una distribuzione µ viene ottenuta pesando ogni valore x con la sua probabilità f(x)
∞
µ =
∫
x f ( x) d x
(1.8)
–∞
• mediana: è definita dal valore dell’osservazione per cui metà delle osservazioni è inferiore e
metà è superiore alla stessa (se il numero delle stesse è pari e la media dei due valori più
vicini, se il numero è dispari il valore dell’osservazione centrale);
• moda: è il valore dell’osservazione che si verifica più frequentemente.
Media, mediana e moda coincidono nel caso di distribuzione normale.
Un altro parametro che interessa, caratterizza invece la dispersione della distribuzione attorno
al valore medio µ. È ovvio che quanto meno la distribuzione sarà dispersa, tanto più i risultati
dell’esperimento saranno raggruppati attorno a µ.
Per indicare la dispersione si utilizza il parametro seguente, ottenuto pesando ogni valore di
( x – µ ) 2 con la probabilità f(x).
σ2 =
∞
∫
( x – µ ) 2 f ( x) d x
(1.9)
–∞
Il parametro σ2 si denomina varianza della distribuzione. La sua radice quadrata σ, rappresenta
la deviazione standard della distribuzione.
1.4.2. Distribuzione Normale (o Gaussiana)
La distribuzione normale presenta caratteri di simmetria rispetto al valore medio della variabile casuale. Essa risulta completamente definita da due parametri: il valore medio e la
varianza (o la deviazione standard).
14
Media, Moda, Mediana
J
f(x)
Normale
x
J
J
Media
Mediana
Moda
f(x)
J
Moda
Media
J
Mediana
f(x)
J
x
J
x
Fig. 1.5
Media, mediana e moda per tre diverse distribuzioni della densità di probabilità
Tra le varie distribuzioni ha un posto particolarmente rilevante la così detta distribuzione normale (o di Gauss) la cui funzione densità di probabilità è definita da
( x – µ )2
– ------------------2
1
f (x) = --------------e 2σ
σ 2π
(1.10)
Questa distribuzione ha un valore medio µ, deviazione standard σ ed è simmetrica rispetto ad µ.
Essa è caratterizzata dalle seguenti probabilità cumulate:
• F(µ – σ < x < µ + σ) = 0.683;
15
1 Concetti Generali
• F(µ – 2σ < x < µ + 2σ) = 0.957;
• F(µ – 3σ < x < µ + 3σ) = 0.997.
Per cui si dice comunemente che il valore di x di una variabile casuale distribuita secondo la
distribuzione normale è in generale compreso nell’intervallo ±3σ attorno al valore medio.
Nel grafico di Figura 1.6 è rappresentato l’andamento della distribuzione di probabilità in cui
µ = 5 e σ = 2 che equivale alla funzione
( x – 5 )2
– ------------------1
f (x) = -------------- e 8
2 2π
(1.11)
0.2
f(x)
0.15
0.1
0.05
0
0
Fig. 1.6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Andamento della distribuzione di Gauss con µ = 5 e σ = 2
La distribuzione normale è quindi completamente definita dai due parametri: la media e la
varianza della popolazione.
L’importanza della distribuzione normale risiede nel fatto che un notevole numero di fenomeni
naturali sono normalmente distribuiti o lo sono praticamente. Si citano ad esempio, l’altezza ed
il peso degli individui, gli errori nella misura della lunghezza di asta metallica o di una tensione
elettrica, ecc. In pratica questo significa che se si prende un campione di 100 individui e si
misura il loro peso, si può tracciare un istogramma del tipo indicato in Figura 1.7 che può essere
assimilato ad una distribuzione normale.
Se si prende un campione più grande (ad esempio, 300 individui) l’istogramma sarebbe quello
di Figura 1.8 che è ovviamente più prossimo ad una distribuzione normale.
La precisione con la quale si possono determinare i parametri della distribuzione è strettamente
legata alla scelta del numero di campioni. La complessità della formula sopra riportata ha suggerito il ricorso a tabelle in cui sono riportati parametri di validità generale. Una variabile
casuale è detta normalizzata quando essa è stata aggiustata in modo da avere media nulla e
deviazione standard 1.
16
f(x)
x
Costruzione della distribuzione di Gauss in un caso pratico (per esempio con 100
individui)
f(x)
Fig. 1.7
x
Fig. 1.8
Costruzione della distribuzione di Gauss in un caso pratico (per esempio con 300
individui)
Uno dei più importanti teoremi della statistica dimostra che se x è una variabile casuale con
media µ e deviazione standard σ, allora la variabile
x–µ
Z = -----------σ
(1.12)
presenta valore medio nullo e deviazione standard uguale a 1. Questa funzione è quindi normalizzata e viene solitamente indicata con Z. Esistono quindi tabelle che danno i valori dell’area
sottesa alla distribuzione normale definita dalla funzione Z. Un esempio è riportato in
Tabella 1.3.
17
f(Z)
1 Concetti Generali
A(Z)
Z
Z
A(Z)
Z
A(Z)
Z
A(Z)
Z
A(Z)
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
0.3
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.00000
0.00399
0.00798
0.01197
0.01595
0.01994
0.02392
0.02790
0.03188
0.03586
0.03983
0.04380
0.04776
0.05172
0.05567
0.05962
0.06356
0.06749
0.07142
0.07535
0.07926
0.08317
0.08706
0.09095
0.09483
0.09871
0.10257
0.10642
0.11026
0.11409
0.11791
0.12172
0.12552
0.12930
0.13307
0.13683
0.14058
0.14431
0.14803
0.15173
0.15542
0.15910
0.16276
0.16640
0.17003
0.17364
0.17724
0.18082
0.18439
0.18793
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.1
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.2
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.3
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.4
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
0.34134
0.34375
0.34614
0.34849
0.35083
0.35314
0.35543
0.35769
0.35993
0.36214
0.36433
0.36650
0.36864
0.37076
0.37286
0.37493
0.37698
0.37900
0.38100
0.38298
0.38493
0.38686
0.38877
0.39065
0.39251
0.39435
0.39617
0.39796
0.39973
0.40147
0.40320
0.40490
0.40658
0.40824
0.40988
0.41149
0.41308
0.41466
0.41621
0.41774
0.41924
0.42073
0.42220
0.42364
0.42507
0.42647
0.42785
0.42922
0.43056
0.43189
2
2.01
2.02
2.03
2.04
2.05
2.06
2.07
2.08
2.09
2.1
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.2
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29
2.3
2.31
2.32
2.33
2.34
2.35
2.36
2.37
2.38
2.39
2.4
2.41
2.42
2.43
2.44
2.45
2.46
2.47
2.48
2.49
0.47725
0.47778
0.47831
0.47882
0.47932
0.47982
0.48030
0.48077
0.48124
0.48169
0.48214
0.48257
0.48300
0.48341
0.48382
0.48422
0.48461
0.48500
0.48537
0.48574
0.48610
0.48645
0.48679
0.48713
0.48745
0.48778
0.48809
0.48840
0.48870
0.48899
0.48928
0.48956
0.48983
0.49010
0.49036
0.49061
0.49086
0.49111
0.49134
0.49158
0.49180
0.49202
0.49224
0.49245
0.49266
0.49286
0.49305
0.49324
0.49343
0.49361
3
3.01
3.02
3.03
3.04
3.05
3.06
3.07
3.08
3.09
3.1
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.2
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
3.28
3.29
3.3
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
3.36
3.37
3.38
3.39
3.4
3.41
3.42
3.43
3.44
3.45
3.46
3.47
3.48
3.49
0.49865
0.49869
0.49874
0.49878
0.49882
0.49886
0.49889
0.49893
0.49896
0.49900
0.49903
0.49906
0.49910
0.49913
0.49916
0.49918
0.49921
0.49924
0.49926
0.49929
0.49931
0.49934
0.49936
0.49938
0.49940
0.49942
0.49944
0.49946
0.49948
0.49950
0.49952
0.49953
0.49955
0.49957
0.49958
0.49960
0.49961
0.49962
0.49964
0.49965
0.49966
0.49968
0.49969
0.49970
0.49971
0.49972
0.49973
0.49974
0.49975
0.49976
Tab. 1.3
Area della distribuzione normale
18
f(Z)
A(Z)
Z
Z
A(Z)
Z
A(Z)
Z
A(Z)
Z
A(Z)
0.5
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.6
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.7
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
0.8
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
0.9
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
0.19146
0.19497
0.19847
0.20194
0.20540
0.20884
0.21226
0.21566
0.21904
0.22240
0.22575
0.22907
0.23237
0.23565
0.23891
0.24215
0.24537
0.24857
0.25175
0.25490
0.25804
0.26115
0.26424
0.26730
0.27035
0.27337
0.27637
0.27935
0.28230
0.28524
0.28814
0.29103
0.29389
0.29673
0.29955
0.30234
0.30511
0.30785
0.31057
0.31327
0.31594
0.31859
0.32121
0.32381
0.32639
0.32894
0.33147
0.33398
0.33646
0.33891
1.5
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
1.6
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
1.7
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
1.76
1.77
1.78
1.79
1.8
1.81
1.82
1.83
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.9
1.91
1.92
1.93
1.94
1.95
1.96
1.97
1.98
1.99
0.43319
0.43448
0.43574
0.43699
0.43822
0.43943
0.44062
0.44179
0.44295
0.44408
0.44520
0.44630
0.44738
0.44845
0.44950
0.45053
0.45154
0.45254
0.45352
0.45449
0.45543
0.45637
0.45728
0.45818
0.45907
0.45994
0.46080
0.46164
0.46246
0.46327
0.46407
0.46485
0.46562
0.46638
0.46712
0.46784
0.46856
0.46926
0.46995
0.47062
0.47128
0.47193
0.47257
0.47320
0.47381
0.47441
0.47500
0.47558
0.47615
0.47670
2.5
2.51
2.52
2.53
2.54
2.55
2.56
2.57
2.58
2.59
2.6
2.61
2.62
2.63
2.64
2.65
2.66
2.67
2.68
2.69
2.7
2.71
2.72
2.73
2.74
2.75
2.76
2.77
2.78
2.79
2.8
2.81
2.82
2.83
2.84
2.85
2.86
2.87
2.88
2.89
2.9
2.91
2.92
2.93
2.94
2.95
2.96
2.97
2.98
2.99
0.49379
0.49396
0.49413
0.49430
0.49446
0.49461
0.49477
0.49492
0.49506
0.49520
0.49534
0.49547
0.49560
0.49573
0.49585
0.49598
0.49609
0.49621
0.49632
0.49643
0.49653
0.49664
0.49674
0.49683
0.49693
0.49702
0.49711
0.49720
0.49728
0.49736
0.49744
0.49752
0.49760
0.49767
0.49774
0.49781
0.49788
0.49795
0.49801
0.49807
0.49813
0.49819
0.49825
0.49831
0.49836
0.49841
0.49846
0.49851
0.49856
0.49861
3.5
3.51
3.52
3.53
3.54
3.55
3.56
3.57
3.58
3.59
3.6
3.61
3.62
3.63
3.64
3.65
3.66
3.67
3.68
3.69
3.7
3.71
3.72
3.73
3.74
3.75
3.76
3.77
3.78
3.79
3.8
3.81
3.82
3.83
3.84
3.85
3.86
3.87
3.88
3.89
3.9
3.91
3.92
3.93
3.94
3.95
3.96
3.97
3.98
3.99
0.49977
0.49978
0.49978
0.49979
0.49980
0.49981
0.49981
0.49982
0.49983
0.49983
0.49984
0.49985
0.49985
0.49986
0.49986
0.49987
0.49987
0.49988
0.49988
0.49989
0.49989
0.49990
0.49990
0.49990
0.49991
0.49991
0.49992
0.49992
0.49992
0.49992
0.49993
0.49993
0.49993
0.49994
0.49994
0.49994
0.49994
0.49995
0.49995
0.49995
0.49995
0.49995
0.49996
0.49996
0.49996
0.49996
0.49996
0.49996
0.49997
0.49997
Tab. 1.3
Area della distribuzione normale
19
1 Concetti Generali
1.4.3. Distribuzione t di Student
La distribuzione t di Student è adatta per interpretare i risultati di un numero limitato di prove.
La distribuzione di probabilità ha andamento simile a quella normale ma è più allargata e coincide con essa per un numero elevato di dati.
Nella pratica, per ragioni di tempo e di costo, le misurazioni costituiscono sempre una serie
limitata di valori. La variabile che razionalizza esattamente i valori di serie limitate, è stata studiata da Student e ha la seguente espressione
Xm – x
t = --------------s⁄ n
(1.13)
dove Xm rappresenta il valor medio delle n misurazioni ed è una stima del valore atteso x che
coincide con la media della distribuzione µ, mentre s è lo scarto tipo sperimentale della serie di
misurazioni ed è una stima della deviazione standard della distribuzione σ. L’espressione s ⁄ n
a denominatore dell’equazione (1.13) è lo scarto tipo della media.
La funzione densità di probabilità della distribuzione t di Student f(t, ν) è data da
ν+1
Γ(------------)
1
2
t 2 –( ν + 1 ) ⁄ 2
f (t, ν) = ---------- -------------------- ⎛ 1 + ----⎞
ν⎠
πν Γ(--ν-) ⎝
2
(1.14)
dove –∞ < t < ∞, ν > 0 sono i gradi di libertà e
∞
Γ(n) =
∫
x n – 1 e – x dx con n > 0
(1.15)
0
La distribuzione t di Student ha andamento analogo alla distribuzione normale ma è meno
appuntita come si nota dal grafico di Figura 1.9. Per ogni valore di ν = n – 1, con n ≥ 2, esiste
una curva di distribuzione della probabilità di t. La Tabella 1.4 riporta, per un buon numero di
valori di ν, i valori di t a diversi livelli di probabilità.
Nel caso in cui si consideri una misurazione complessa del tipo y = f(x1, x2, …, xn), la formula
di Welch-Satterhwaite, permette di calcolare il numero di gradi di libertà effettivi, νeff, che competono ad una incertezza tipo
u 4(y)
ν eff = --------------------------------------------------4
⎧ ∂y
⎫
⎨ ------- u(x i) ⁄ ν i ⎬
⎩ ∂x i
⎭
(1.16)
∑
i
20
f(t)
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Normale
ν=6
ν=1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t
Fig. 1.9
Andamento della funzione densità di probabilità della distribuzione t di Student
Gradi di Libertà
ν
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
30
40
50
+∞
Tab. 1.4
Valori di t con Probabilità p
p = 68.270%
1.840
1.320
1.200
1.140
1.110
1.090
1.080
1.070
1.060
1.050
1.030
1.030
1.020
1.010
1.010
1.000
p = 90.000%
6.310
2.920
2.350
2.130
2.020
1.940
1.890
1.860
1.830
1.810
1.750
1.720
1.700
1.680
1.680
1.645
p = 95.000%
12.710
4.300
3.180
2.780
2.570
2.450
2.360
2.310
2.260
2.230
2.130
2.090
2.040
2.020
2.010
1.960
p = 95.450%
13.970
4.530
3.310
2.870
2.650
2.520
2.430
2.370
2.320
2.280
2.180
2.130
2.090
2.060
2.050
2.000
p = 99.000%
63.660
9.920
5.840
4.600
4.030
3.710
3.500
3.360
3.250
3.170
2.950
2.850
2.750
2.700
2.680
2.576
p = 99.730%
235.800
19.210
9.220
6.620
5.510
4.900
4.530
4.280
4.090
3.960
3.590
3.420
3.270
3.200
3.160
3.000
Valori della funzione t di Student
Da cui se ∂y ⁄ ∂x i = 1 ,
u 4(y)
ν eff = -----------------------------------[ u 4(x i) ⁄ ν i ]
(1.17)
∑
i
Se il valore di νeff calcolato non è intero, deve essere arrotondato all’intero inferiore più prossimo
21
1 Concetti Generali
1.4.4. Distribuzione Uniforme
f(x)
Un caso particolare di distribuzione è rappresentato dalla distribuzione uniforme, la cui funzione densità di probabilità è rappresentata in Figura 1.10.
1/∆
∆
–∆
Fig. 1.10
x
Andamento della funzione densità di probabilità della distribuzione uniforme
Per la distribuzione uniforme vale
⎧
1
⎪ f (x) = ------2∆
⎨
⎪ f ( x) = 0
⎩
x–µ ≤∆
(1.18)
x–µ >∆
Pertanto, la distribuzione uniforme avrà media µ e varianza pari a
σ2 =
1.5.
∞
∫
( x – µ ) 2 f ( x) d x =
–∞
∆
∫
2
( x – µ )2
------------------- dx = ∆
-----2∆
3
–∆
(1.19)
Valore più Probabile del Misurando e Incertezza di
Misura
Il valore più probabile del misurando, ottenuto in base a misurazioni ripetute sullo stesso
oggetto e con lo stesso metodo, è la media aritmetica dei singoli risultati
Quando, nelle stesse condizioni, si ripete più volte la misurazione di una stessa grandezza, si
ottengono, in generale, risultati diversi. Ciò non significa necessariamente che la grandezza sia
cambiata, ma piuttosto che le indicazioni dello strumento utilizzato sono variate per cause accidentali o che la loro lettura è stata effettuata in modo imperfetto dall’operatore.
22
1.5. Valore più Probabile del Misurando e Incertezza di Misura
Un esempio tipico è quanto avviene quando si effettua la misurazione di una distanza mediante
bindella centimetrata. La stessa operazione ripetuta più volte dallo stesso operatore o da operatori diversi fornisce risultati prossimi tra loro ma diversi. Un altro esempio può essere quello
della misurazione ripetuta del periodo di un pendolo effettuato con un cronometro.
Di fronte a questa situazione l’operatore si deve porre due domande:
• quale è il valore più attendibile del misurando?
• quale è il significato da dare agli scarti riscontrati?
La risposta a tali domande si trova generalmente applicando metodi probabilistici basati
sull’uso della matematica statistica.
La miglior stima del valore del misurando, che varia casualmente, e per cui n osservazioni indipendenti xk sono state ottenute sotto le stesse condizioni di misura è la media aritmetica Xm delle
n osservazioni
Xm
1
= --n
n
∑x
k
(1.20)
k=1
Si intuisce immediatamente che il valore di Xm è tanto più attendibile quanto maggiore è il
numero delle misure effettuate.
Le singole misure scartano dalla media della quantità x1 – Xm, x2 – Xm, ecc., per effetto di fattori
di influenza casuali. Gli scarti assumono valori tanto più grandi quanto più dispersi tra loro sono
i dati originali e sotto questo aspetto si può intuire che la qualità della misura sarà migliore se
piccoli sono tali scarti rispetto alla media. Nasce perciò la necessità di dare una valutazione
quantitativa di questa qualità, ciò che potrebbe essere fatto con un criterio convenzionale qualsiasi.
L’incertezza di misura è un parametro, associato con il risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione dei valori che potrebbero essere ragionevolmente attribuiti al misurando
Analizzando le condizioni e il processo di misura ci si può rendere conto che le cause di aleatorietà del risultato finale di una misurazione sono diverse e a volte complesse, quali:
• definizione incompleta del misurando;
• conoscenza o misura inadeguata degli effetti delle condizioni ambientali;
• errori sistematici non noti nella indicazione degli strumenti analogici;
• risoluzione finita di strumenti a indicazione discreta;
• valori delle costanti e altri parametri ottenuti da fonti esterne ed usati nell’algoritmo di riduzione dei dati;
• variazioni del misurando in ripetute osservazioni effettuate in condizioni apparentemente
identiche;
• imperfetta correzione di errori sistematici legati al metodo di misura usato.
23
1 Concetti Generali
In un rapporto di prova si conviene di dichiarare un unico valore come stima del valore del misurando, valore a cui viene associata un’incertezza, opportunamente definita e calcolata sulla base
delle diverse origini anzi indicate. In generale si scriverà che il valore della grandezza da misurare X è dato dalla sua stima Xm gravata dall’incertezza U (tale lettera è l’iniziale della parola
inglese “uncertainty” che significa per l’appunto “incertezza”):
X = Xm ± U
(1.21)
L’incertezza di misura U può anche essere espressa in forma relativa
U
U̇ = ------Xm
(1.22)
Il concetto di incertezza, come attributo quantificabile di una misura è relativamente recente,
sebbene errore e analisi dell’errore siano stati a lungo una parte importante della scienza della
metrologia. Si riconosce che quando tutti i componenti di errore noti sono stati valutati e sono
state apportate le correzioni appropriate, rimane ancora un’incertezza circa la correttezza del
risultato, cioè un dubbio su quanto il risultato della misura rappresenti il valore della quantità
cercata.
Al fine di rendere confrontabili risultati di misure diverse, sono stati definiti metodi normalizzati di valutazione della qualità delle stesse.
Nell’incertezza del risultato di una misura possono generalmente individuarsi diversi componenti che per comodità possono essere raggruppati in due categorie a seconda del modo in cui
l’incertezza stessa viene stimata:
• quelli che vengono valutati applicando metodi statistici partendo da una serie di ripetute
determinazioni (tipo A);
• quelli che vengono valutati con altri mezzi (tipo B).
Non esiste alcuna corrispondenza tra la classificazione dei componenti nelle categorie A o B se
non quella di indicare due diversi criteri di valutazione dell’incertezza. In pratica il livello di
accuratezza nella stima dell’incertezza e l’incertezza stessa richiesti possono essere anche molto
diversi a seconda dello scopo e del livello della misura.
1.5.1. Incertezza di Tipo A
L’incertezza di tipo A viene valutata applicando metodi statistici ad una serie di ripetute misurazioni. L’incertezza può essere espressa dallo scarto quadratico medio o dallo scarto tipo o
da un multiplo di quest’ultimo.
Prevede la determinazione dell’incertezza in base alla dispersione di più letture in una misurazione con rilevamento del misurando. Tale dato potrebbe essere il risultato finale di singole
misure oppure la grandezza di ingresso di misure complesse ottenute attraverso la combinazione
di più risultati di misure semplici.
24
1.5. Valore più Probabile del Misurando e Incertezza di Misura
Le osservazioni individuali xk differiscono nel valore a causa di variazioni casuali delle quantità
di influenza. Lo scarto quadratico medio s2(xk), stima della varianza σ2 della distribuzione di
probabilità di x, è definita dalla relazione
s 2(x
1
k) = -----------n–1
n
∑ (x
k
– X m )2
(1.23)
k=1
Lo scarto tipo sperimentale s(xk), stima della deviazione standard σ della distribuzione di probabilità di x, è uguale alla radice quadrata positiva dello scarto quadratico medio.
Entrambi gli indici citati possono essere usati per indicare l’incertezza di misura, ma in generale
si preferisce usare lo scarto tipo in quanto espresso nella stessa unità di misura del misurando.
Lo scarto tipo può essere espresso in valore assoluto, in valore relativo o relativo percentuale.
Si parlerà allora di scarto tipo assoluto, di scarto tipo relativo, di scarto tipo percentuale.
Ai fini dei confronti tra i risultati di serie di misure ripetute delle quali è nota la stima più attendibile del misurando, è di notevole interesse lo scarto quadratico medio delle medie s2(Xm),
stima della varianza della distribuzione delle medie, dato dalla relazione
s 2(x k)
s 2(X m) = ------------n
(1.24)
Anche in questo caso si preferisce utilizzare lo scarto tipo s(Xm) per la stessa ragione sopra
richiamata.
1.5.2. Incertezza di Tipo B
L’incertezza di tipo B viene valutata ricorrendo a mezzi diversi rispetto a quelli statistici basati
su misure ripetute.
La stima dell’incertezza di tipo B deve essere determinata valutando tutte le informazioni ottenibili relative alla sua possibile variabilità. Queste informazioni possono includere precedenti
dati di misura, specifiche dei costruttori degli strumenti e dati di taratura degli stessi, oltre che
dati di incertezza sui materiali in uso riscontrabili nella manualistica.
Le modalità di determinazione possono quindi variare a seconda delle circostanze. Alcuni
esempi consentiranno di chiarire meglio i concetti esposti.
Si supponga che il certificato di taratura di un resistore campione (xi) riporti che il valore dello
stesso è 1.00015 Ω e che l’incertezza di questo valore sia di 50 µΩ con fattore di copertura pari
a 3. L’incertezza tipo del resistore campione è allora semplicemente
u(xi) = 50/3 = 16.7 µΩ
(1.25)
A volte l’incertezza di xi viene espressa attraverso un intervallo di confidenza del 63%, 95% o
99% invece che per mezzo di un multiplo dello scarto tipo. Poiché in generale, si può assumere
che per calcolare gli intervalli di confidenza si sia fatto riferimento a una distribuzione normale
e che sia stato impiegato un opportuno fattore per calcolare l’incertezza tipo dall’intervallo di
25
1 Concetti Generali
confidenza, si possono assumere quali fattori corrispondenti ai tre intervalli citati i valori di
1.64, 1.96 e 2.58 rispettivamente.
Si supponga ora che un certificato di taratura stabilisca che la resistenza di un resistore campione (xi) sia 10.000742 Ω a 20 ˚C e che l’incertezza di questo valore ad un livello di confidenza
del 99% sia 129 µΩ. L’incertezza tipo del resistore può essere assunta pari a
u(xi) = 129/2.58 = 50 µΩ
(1.26)
Basandosi sulle informazioni disponibili, a volte si può accettare che la probabilità che xi cada
nell’intervallo [a–; a+] abbia un ben definito valore, ad esempio, del 50%. Se la miglior stima
Xm di xi può essere assunta nel punto medio dell’intervallo e se si può supporre normale la distribuzione dei possibili valori di xi, indicando l’ampiezza del semintervallo con a = (a+ – a–)/2, si
può allora assumere
u(xi) = 1.48 a
(1.27)
dal momento che in una distribuzione normale con valore atteso Xm e scarto tipo s, l’intervallo
(Xm ± s)/1.48 contiene il 50% della distribuzione.
In altri casi può solo essere possibile stimare i limiti (superiore ed inferiore) di xi, in particolare
affermare che, agli scopi pratici, la probabilità che il valore di xi si trovi all’interno dell’intervallo [a–; a+] sia pari ad uno e che sia invece nulla la probabilità che xi si trovi al di fuori dello
stesso intervallo. Se non esiste un particolare motivo per affermare che il valore di xi cada in un
certo punto all’interno dell’intervallo [a–; a+], si può soltanto assumere che sia ugualmente probabile che xi si trovi ovunque all’interno di esso (distribuzione rettangolare di probabilità).
Allora il valore atteso di xi può ragionevolmente ritenere essere nel centro dell’intervallo [a–;
a+], per cui l’incertezza tipo diviene
u(x i) = a ⁄ 3
(1.28)
Per esempio, un manuale fornisce il valore del coefficiente di espansione termica lineare del
rame puro a 20 ˚C, α20(Cu) = 16.52 10–6 ˚C–1, ed afferma semplicemente che l’errore su questo
valore non dovrebbe essere superiore allo 0.40 10–6 ˚C–1. Si può quindi soltanto assumere che
il valore di α20(Cu) si trovi con uguale probabilità nell’intervallo compreso tra 16.12 10–6 ˚C–1 e
16.92 10–6 ˚C–1 e che è molto improbabile che α20(Cu) si trovi invece all’esterno di questo intervallo. L’incertezza tipo di questa distribuzione rettangolare simmetrica di possibili valori di
α20(Cu) di semiampiezza a = 0.40 10–6 ˚C–1 è allora assunta pari a
0.4010 –6
u(x i) = --------------------- = 0.2310 –6 ˚C –1
3
(1.29)
Qualora i limiti superiore ed inferiore a– e a+ non fossero simmetrici rispetto alla stima migliore
di xi, l’incertezza tipo si calcola invece come segue
a+ – a–
u(x i) = ---------------2 3
(1.30)
In casi particolari, se l’assunzione di distribuzione rettangolare di probabilità fosse ritenuta poco
realistica, può essere assunta una distribuzione trapezoidale o altra opportuna. In ogni caso, con-
26
1.6. Incertezza Composta
siderazioni circa la valutazione delle incertezze di tipo B non possono prescindere dall’esperienza dell’operatore.
1.6.
Incertezza Composta
L'incertezza composta è l'incertezza tipo che grava sul risultato di una misurazione complessa.
I risultati ottenuti per le incertezze su singoli componenti del sistema di misura devono essere
combinati tra loro per determinare l’incertezza complessiva (incertezza composta) che grava su
una misurazione complessa di una grandezza Y. Se il risultato della misurazione (y) è ottenuto
dall’elaborazione di risultati di più misure indipendenti tra loro (xi), cioè
(1.31)
y = f (x 1, x 2, …, x i, …, x n)
l’incertezza di cui è affetta la stima del misurando finale (incertezza composta) è legata alle
incertezze da cui sono affette le singole quantità xi.L’incertezza composta, espressa in valore
assoluto, è data da
n
u(y) =
∑
i=1
∂f ⎞2 2
⎛ ------ u (x i)
⎝ ∂x ⎠
(1.32)
i
ove u(xi) sono le incertezze (di tipo A e di tipo B, ottenute come indicato ai punti precedenti) da
cui sono affette le diverse quantità xi di cui è funzione il misurando finale.
Nella Tabella 1.5 è riportata la specializzazione della espressione che fornisce l’incertezza
composta assoluta per casi particolari, in cui per semplicità si è supposto il misurando essere
funzione di non più di tre componenti.
Funzione
Incertezza Composta Assoluta
y = A+B
u(y) =
u( A) 2 + u(B) 2
y = A–B
u(y) =
u( A) 2 + u(B) 2
y = k⋅A
u(y) = k ⋅ u( A)
y = A⋅B
u(y) =
y = An
y = A⋅B⋅C
Tab. 1.5
B 2 u( A) 2 + A 2 u(B) 2
u(y) = n ⋅ A n – 1 ⋅ u( A)
u(y) =
( BC ) 2 u( A) 2 + ( AC ) 2 u(B) 2 + ( AB ) 2 u(C) 2
Espressioni dell’incertezza tipo composta assoluta
27
1 Concetti Generali
Nella Tabella 1.6 sono invece riportate per alcuni casi particolari le espressioni dell’incertezza
composta relativa
u̇(y) = u(y) ⁄ y
(1.33)
in funzione delle singole incertezze relative u̇(x i) .
Funzione
Incertezza Composta Relativa
y = A+B
u̇(y) =
A 2 u̇( A) 2 + B 2 u̇(B) 2
---------------------------------------------( A + B )2
y = A–B
u̇(y) =
A 2 u̇( A) 2 + B 2 u̇(B) 2
---------------------------------------------( A – B )2
y = k⋅A
u̇(y) = u̇( A)
y = A⋅B
y = An
u̇(y) = n ⋅ u̇( A)
y = A⋅B⋅C
Tab. 1.6
u̇( A) 2 + u̇(B) 2
u̇(y) =
u̇(y) =
u̇( A) 2 + u̇(B) 2 + u̇(C) 2
Espressioni dell’incertezza tipo composta relativa
Per chiarire meglio il procedimento di calcolo dell’incertezza composta si possono considerare
due semplici esempi.
• Caso Y = A + B
Le grandezze misurate sono Am = A + u(A) e Bm = B + u(B).
L’incertezza assoluta della somma è quindi
u( A + B) =
∂( A + B )
---------------------u( A)
∂A
2
∂( A + B )
+ ---------------------u(B)
∂B
2
=
u( A) 2 + u(B) 2
(1.34)
L’incertezza relativa è invece data da
u( A + B)
u̇( A + B) = --------------------- =
A+B
A 2 u̇( A) 2 + B 2 u̇(B) 2
---------------------------------------------( A + B )2
(1.35)
L’incertezza relativa è quindi pesata in relazione alle due grandezze in gioco e nella sua formazione ha maggior peso la grandezza di maggiore ampiezza.
28
• Caso Y = A ⋅ B
Le grandezze misurate sono Am = A + u(A) e Bm = B + u(B).
L’incertezza assoluta del prodotto risulta
u( A ⋅ B) =
∂( A ⋅ B )
-------------------- u( A)
∂A
2
∂( A ⋅ B )
+ -------------------- u(B)
∂B
2
=
B 2 u( A) 2 + A 2 u(B) 2
(1.36)
Per l’incertezza relativa invece si ottiene
u( A ⋅ B)
u̇( A ⋅ B) = ------------------- =
A⋅B
u̇( A) 2 + u̇(B) 2
(1.37)
L’incertezza relativa è quindi la somma delle incertezze relative.
La combinazione delle incertezze non è ovviamente richiesta nel caso di misurazione semplice,
essendo presente una sola incertezza.
1.6.1. Incertezza Estesa
L’incertezza estesa U(y) si ottiene moltiplicando l’incertezza composta u(y) per un opportuno
fattore di copertura k.
Nel campo delle prove è raccomandabile che l’incertezza estesa U(y), riportata in un certificato
o in un rapporto, sia ottenuta moltiplicando l’incertezza composta u(y) per un opportuno fattore
di copertura k
U (y) = k ⋅ u(y)
(1.38)
in modo che l’incertezza dichiarata definisca un intervallo entro il quale si possa ritenere compreso con probabilità elevata il valore vero del misurando. L’associazione dell’intervallo ±U,
definito come sopra con uno specifico livello di probabilità, e quindi la scelta del valore di k,
richiede l’assunzione implicita del tipo di distribuzione probabilistica delle stime y della grandezza Y. In campo internazionale è stato deciso di adottare, se non diversamente prescritto, il
fattore di copertura k = 2.Se, come di solito avviene, la distribuzione può essere considerata normale (gaussiana), ciò associa i limiti dell’incertezza estesa dati dalla U come sopra definita a un
livello di fiducia approssimativamente uguale al 95%. L’incertezza estesa viene espressa con
non più di 2 cifre significative.
Il calcolo dell’incertezza tipo di una misurazione nel caso in cui si utilizzi una distribuzione normale è molto semplice, poiché u(y) = σ (oppure u(y) = σ ⁄ n nel caso di n misurazioni ripetute). L’incertezza estesa U(y) con un dato livello di confidenza p, si determina invece ricavando
dalla Tabella 1.3 il valore di Z che corrisponde a p = 2A(Z), secondo la relazione
U (y) = Zσ = Z u(y)
(1.39)
29
1 Concetti Generali
oppure
σ
U (y) = Z ------- = Z u(y)
n
(1.40)
nel caso di n misurazioni ripetute.
L’espressione dell’incertezza estesa, utilizzando la distribuzione t di Student, si ottiene
dall’equazione (1.13) ed è data da
s
U (y) = t ------n
(1.41)
dove il valore della variabile t di Student è riportato in Tabella 1.4 in corrispondenza a ν = νeff
gradi di libertà (nel caso di misurazioni dirette ν = n – 1) e per vari livelli di probabilità. Per
determinare l’incertezza tipo u(y) nel caso in cui le misurazioni siano caratterizzate da una
distribuzione t di Student si deve utilizzare l’espressione
s
u(y) = t ------n
(1.42)
facendo riferimento alla probabilità del 68.27%.
Il calcolo dell’incertezza tipo di una misurazione nel caso in cui si utilizzi una distribuzione rettangolare è molto semplice, poiché
∆
u(y) = σ = ------3
(1.43)
1.6.2. Espressione dei Risultati
Il numero di cifre con il quale è indicato un risultato deve essere scelto in base all’incertezza
con il quale quel risultato è noto.
Nello scrivere il risultato numerico di una misura si deve sempre tenere presente il grado di
approssimazione con cui esso è stato ottenuto, per non indicare cifre assolutamente prive di
significato, come spesso si tende quando il risultato numerico è frutto di elaborazioni e calcoli.
Le cifre che rientrano nell’intervallo di incertezza devono essere trascurate o sostituite con zeri
a seconda dei casi. Così per esempio se l’incertezza sulle misure eseguite è di 1/1000 i valori
245587, 12, 775.384, 0.011 si dovranno scrivere 245600, 12.00, 775.4, 0.01100.
1.6.3. Riferibilità delle Misure
In campo mondiale esistono diversi laboratori che hanno il compito di conservare, attraverso
campioni, materiali e apposite procedure di verifica, le unità di misura legali.
30
Per semplicità di esposizione, nei precedenti paragrafi per definire incertezza di misura è stato
anche usato il termine “valore vero”, mentre in effetti il valore vero, cioè esatto, di una grandezza non è mai noto.
Gli strumenti impiegati per effettuare misurazioni nei diversi campi delle attività tecniche e tecnologiche odierne sono perciò tarati in unità (volt, ohm, secondo, metro, ecc.) non esatte e, si
potrebbe dire, arbitrarie. Per ridurre al minimo o perlomeno entro valori accettabili, a seconda
dei diversi scopi di misura, i possibili gradi di arbitrarietà degli apparecchi di misura che si
usano, nei paesi più industrializzati esistono laboratori ai quali è stato affidato il compito di conservare, mediante campioni, materiali o esperienze rigorosamente definite, le unità di misura
legali. Queste unità di misura corrispondono a quelle definite dal Sistema SI entro incertezze
che i laboratori nazionali curano di ridurre a valori sempre più piccoli mediante continui lavori
di ricerca metrologica.
In Italia questi compiti sono stati assegnati all’Istituto Elettrotecnico Nazionale G. Ferraris per
le unità di misura elettriche e all’Istituto G. Colonnetti per le unità di misura meccaniche e termiche. Per fare in modo che tutti gli apparecchi usati in un paese siano tarati in unità di misura
legali, o come si dice, riferite alle unità legali, occorre che essi siano confrontati con i campioni
delle unità legali.
Poiché un confronto singolo diretto comporterebbe, come facilmente immaginabile, un lavoro
enorme, la riferibilità alle unità legali si attua mediante catene di confronti di cui solo il primo
anello, effettuabile di tanto in tanto dallo stesso laboratorio nazionale, è un confronto diretto.
L’organizzazione di questi confronti e quindi la riferibilità di qualsiasi apparecchio di misura
alle unità legali è ora affidata, in Italia, al Servizio Taratura Italia (SIT), che consiste in una rete
di Centri di Taratura dei quali viene accertata, riconosciuta e verificata la capacità metrologica
in settori di misura ben definiti, ad esempio tensioni, correnti, potenze, temperature, ecc.
Il compito di verificare le capacità metrologiche dei Centri di taratura è affidato agli Istituti che
sono stati menzionati poco sopra. I Centri di Taratura sono riconosciuti idonei a emettere certificati garantiti dal SIT a livello nazionale, in cui sono chiaramente specificate le incertezze di
misura del Centro, per le varie grandezze, rispetto alle unità di misura legali.
31
1 Concetti Generali
Appendice A – Grandezze e Unità di Misura
32
33
1 Concetti Generali
34
35
1 Concetti Generali
36
37
1 Concetti Generali
38
39
1 Concetti Generali
40
2.1. Generalità
2. Campioni di Laboratorio
2.1.
Generalità
Il problema della riferibilità delle misure può essere affrontato mantenendo in efficienza un
certo numero di campioni secondari da verificare periodicamente presso i centri specializzati
e riconosciuti.
Il problema della riferibilità delle misure, a cui si è fatto cenno nel Capitolo 1, può essere affrontato mantenendo in efficienza un certo numero di campioni secondari da verificare periodicamente presso i centri specializzati e riconosciuti. Ai campioni secondari suddetti può essere
fatto riferimento per tutti gli altri strumenti di impiego più corrente (centro di taratura secondario).
Poiché è praticamente impossibile mantenere un campione di corrente che, come già precisato,
è la grandezza fondamentale elettrica del sistema SI, si ricorre solitamente a campioni di tensione e a campioni passivi.
2.2.
Campioni di Forza Elettromotrice
Il classico campione di forza elettromotrice è la pila Weston nelle due versioni: satura e non
satura.
Il classico campione di forza elettromotrice è la pila Weston nelle due versioni: satura e non
satura. Il contenitore di una pila di tipo saturo è un recipiente di vetro neutro a forma di H che
ha saldato, alle due estremità inferiori degli elettrodi di platino (Figura 2.1).
L’anodo della pila è costituita da mercurio, depolarizzato da uno strato di solfato mercuroso
mescolato con cristalli finissimi di solfato di cadmio. Il catodo della pila è un’amalgama di cadmio. Uno strato di grossi cristalli di solfato di cadmio ricopre le superfici dell’amalgama e del
solfato mercuroso. Il contenitore è poi riempito di elettrolita, soluzione satura di solfato di cadmio, sino a coprire interamente il braccio trasversale della H, le cui estremità superiori sono poi
accuratamente sigillate. La forza elettromotrice della pila satura è di 1.01865 V a 20 ˚C.
41
2 Campioni di Laboratorio
Aria
Soluzione Solfato di Cadmio
Cristalli Solfato di Cadmio
Pasta Solfato Mercuroso e
Solfato di Cadmio
Amalgama di Cadmio
Mercurio
Fig. 2.1
Pila Weston di tipo saturo
La pila di tipo non saturo è simile alla precedente ma l’elettrolita, è una soluzione di solfato di
cadmio non satura a temperatura ambiente (mancano i grossi cristalli di cadmio). La forza elettromotrice della pila non satura è intorno a 1.0193 V a 20 ˚C.
La variazione della concentrazione dell’elettrolita con la temperatura rende la forza elettromotrice della pila satura leggermente variabile con la temperatura. Nel campo da 0 a 40 ˚C, la variazione di forza elettromotrice è di circa 40 µV/K. La pila non satura ha un coefficiente di temperatura molto minore, dell’ordine di 3 µV/K. La resistenza interna di una pila campione è intorno
a un migliaio di ohm.
La pila Weston si polarizza quando eroga corrente compromettendo la stabilità del valore della
forza elettromotrice. Essa deve quindi essere sempre impiegata in circuiti di misura che non
richiedano corrente superiore a 100 µA per qualche secondo. Le pile Weston sature presentano,
se correttamente impiegate, elevati valori di stabilità nel tempo: i migliori esemplari variano
solo di frazioni di microvolt all’anno, mentre pile di normale produzione presentano in genere
un decremento annuo contenuto in 5 µV.
Le pile non sature hanno stabilità minore, e mediamente presentano un decremento annuo di
30 ÷ 50 µV rispetto al loro valore di forza elettromotrice iniziale. Le pile campione poste in vendita dalle case costruttrici sono munite di un certificato che ne fornisce il valore a una determinata temperatura e l’imprecisione di questo valore in termini di confronto col gruppo di pile del
laboratorio che ha rilasciato il certificato; in genere il valore di imprecisione contiene anche
l’instabilità per un periodo di uno o cinque anni, valutata per esperienza su numerosi esemplari
di pile.
Per le pile di tipo saturo l’imprecisione è di 1 ÷ 5 ppm se comprendente l’instabilità annua, e
sino a 100 ppm se comprendente l’instabilità quinquennale. Per quelle di tipo non saturo
50 ppm e 200 ppm per i due casi.
Le pile Weston di tipo non saturo sono più facilmente trasportabili e maneggevoli in quanto
munite di setti porosi che dividono i loro componenti e li mantengono in sito. Inoltre, come si è
visto, hanno un coefficiente di temperatura abbastanza piccolo e quindi non necessitano di
essere mantenuti in contenitori termostatici.
42
2.3. Sorgenti di Tensione Campione
2.3.
Sorgenti di Tensione Campione
Le sorgenti di tensione campione sono dei particolari stabilizzatori di corrente continua che
forniscono ai loro morsetti di uscita, ai capi di una resistenza, una tensione avente qualità paragonabili alla forza elettromotrice di una pila campione.
Si chiamano sorgenti di tensione campione quei particolari stabilizzatori di corrente continua
che forniscono ai loro morsetti di uscita, ai capi di una resistenza, una tensione avente qualità
paragonabili alla forza elettromotrice di una pila campione: elevata costanza nel tempo, rispetto
alla temperatura e alla sorgente di alimentazione dello stabilizzatore.
Le sorgenti in oggetto sono nate dalla esigenza di poter disporre di sorgenti campione più robuste delle tradizionali pile Weston. Per tali sorgenti si sfruttano di solito le proprietà dei diodi
Zener. I diodi Zener sono diodi al silicio che, nella zona negativa della loro caratteristica
I = f(V), presentano un valore di tensione Vz al di là del quale la corrente inversa aumenta notevolmente per piccoli incrementi di tensione; la caratteristica diviene qui una retta quasi parallela
all’asse delle ordinate (Figura 2.2). La resistenza differenziale del diodo
dV
R d = ---------z
dI z
(2.1)
assume valori dell’ordine di qualche decina di ohm.
I valori di Vz sono dell’ordine di qualche volt. Il coefficiente di temperatura dei diodi Zener ha
la singolarità di annullarsi per un determinato valore di Vz; nei diodi Zener particolarmente studiati per le sorgenti campione, il coefficiente di temperatura viene reso prossimo a zero per una
certa gamma di valori di Vz.
Il circuito base di impiego di un diodo Zener è molto semplice (Figura 2.3): una tensione continua non stabilizzata VE è applicata al diodo, avente resistenza differenziale Rd, attraverso un
resistore RV. Ai capi del resistore RU si ottiene la tensione stabilizzata VU. Il fattore di stabilizzazione del circuito cioè il rapporto tra una variazione di VE e la conseguente variazione di VU
è dato dalla relazione
dV
VU
VU⎛
RV⎞
S = ---------E- ⋅ ---------= ------1 + -----⎝
V E dV U
VE
Rd ⎠
(2.2)
dove S può raggiungere in pratica valori intorno a 100.
Per ottenere valori più elevati è necessario porre in cascata più stadi del tipo descritto: con tre
stadi si possono raggiungere valori notevoli, intorno a 70000. Questo significa che, per una
variazione di VE di ±10%, la variazione conseguente di VU rimane compresa entro ±0.01%.
Valori del fattore di stabilizzazione ancora più elevati, con impiego di un numero minore di
diodi Zener, si possono ottenere con schemi di ponte. La Figura 2.4 rappresenta una sorgente di
tensione campione con schema di ponte a due diodi, preceduto da uno stadio in cascata. Si può
dimostrare che, se per il ponte vale la relazione
R 1 = R 2 = R d1 = R d2
(2.3)
43
I
Vz
V
Iz
Fig. 2.2
Caratteristica tensione-corrente di un diodo Zener
RV
VE
Fig. 2.3
RU
VU
Circuito base di impiego di un diodo Zener
la tensione d’uscita assume l’espressione
V z1 + V z2 R U
- ---------------------V U = ---------------------2
R U + R d1
(2.4)
la quale mostra come essa sia indipendente dalla tensione d’ingresso e dalle resistenze che formano il ponte. Il fattore di stabilizzazione di tale schema sarebbe teoricamente infinito, in realtà
risulta dell’ordine di 200000.
Il coefficiente di temperatura di queste sorgenti di tensione campione è molto piccolo, inferiore
a 0.01%/K.
44
2.4. Campioni di Resistenza
RV
R2
VE
Z1
Fig. 2.4
2.4.
VU
RU
Z2
R1
Tensione campione con schema di ponte a due diodi, preceduto da uno stadio in
cascata
Campioni di Resistenza
Una seconda grandezza elettrica che si presta facilmente ad essere rappresentata con un campione fisico, è la resistenza. I campioni di resistenza devono presentare una elevata stabilità in
funzione della temperatura e del tempo. I materiali che si possono impiegare per ottenere quei
requisiti non sono molti.
La manganina è la lega più pregiata, formata da rame (84%), manganese (12%) e nichel (4%)
con questi dati nominali:
resistività:
0.43 Ω mm2/m
forza elettromotrice:
+1 µV/K rispetto al rame tra 0 e 100 ˚C
coefficiente di dilatazione:
0.000016 K–1
punto di fusione:
960 ˚C
La variazione di resistività della manganina in funzione della temperatura tra 10 e 30 ˚C risulta
10 ppm/K.
Si usano anche altre leghe meno pregiate a base di nichel (75%), cromo (20%), alluminio
(2.5%), rame (2.5%) che hanno diverse denominazioni commerciali. Le caratteristiche nominali
della lega karma sono le seguenti:
resistività:
1.33 Ω mm2/m
forza elettromotrice:
+0.5 µV/K rispetto al rame
coefficiente di dilatazione:
0.000014 K–1
punto di fusione:
1400 ˚C
La variazione di resistività di queste leghe in funzione della temperatura è dello stesso ordine di
quella della manganina.
Molto diffusa è anche la costantana (rame, nichel, manganese) che ha caratteristiche molto
simili alla manganina, ma una forza elettromotrice rispetto al rame molto più elevata, 40 µV/K:
per questo viene usata per resistori di pregio minore e di valore piuttosto elevato (maggiore di
100 Ω).
45
I resistori campione sono costituiti da una certa lunghezza di filo o piattina di manganina
avvolto su un supporto rinchiuso in una custodia metallica.
I resistori campione sono costituiti da una certa lunghezza di filo o piattina di manganina
avvolto su un supporto rinchiuso in una custodia metallica. I resistori avvolti con filo hanno
valori da 1 Ω a 100000 Ω secondo le potenze di 10, mentre resistori di valore inferiore (generalmente da 0.1 Ω a 0.0001 Ω) sono avvolti con piattina.
I resistori campione hanno quattro morsetti: due per addurre corrente, due per prelevare tensione
e delimitare così esattamente il valore di resistenza; solo i resistori di valore elevato hanno talvolta solo due morsetti, in quanto la resistenza dei blocchetti terminali può ritenersi trascurabile
rispetto a quella del resistore.
Il supporto per l’avvolgimento del filo è solitamente un cilindro di ottone ricoperto di un sottile
strato isolante: ciò facilita la dissipazione del calore prodotto dal passaggio di corrente nel resistore; per questa ragione molto frequentemente la custodia del resistore è riempita di olio.
Se un resistore deve essere impiegato per misure in corrente alternata, esso deve presentare un
valore di reattanza (X) trascurabile. L’impedenza di un resistore di questo tipo viene solitamente
definita in termini di resistenza R e di costante di tempo τ, essendo
L
τ = --R
(2.5)
In questa relazione, L deve intendersi un’induttanza “equivalente” residua. Per ottenere valori
di τ molto piccoli (10–6 ÷ 10–8 s) si impiegano svariati metodi. Il più diffuso è l’avvolgimento
bifilare nel quale il filo resistente di lunghezza l viene ripiegato in due partendo dal punto l/2 e
avvolto mantenendo vicine, o addirittura intrecciate, le due metà. Poiché esse vengono percorse
in senso opposto dalla corrente di misura, i flussi da questa prodotti tendono ad annullarsi ottenendo in definitiva un valore d’induttanza molto piccolo (Figura 2.5).
Fig. 2.5
Campione di resistenza con avvolgimento bifilare
46
2.5. Campioni di Capacità
Se un resistore deve essere impiegato per misure in corrente alternata, esso deve presentare un
valore di reattanza trascurabile e pertanto si utilizza generalmente l’avvolgimento bifilare nel
quale il filo resistente viene ripiegato in due e avvolto mantenendo vicine, o addirittura intrecciate, le due metà.
Se l’avvolgimento bifilare è formato con un filo di lunghezza piuttosto notevole, può non essere
trascurabile la capacità tra i fili stessi. Con i valori di lunghezza di filo normalmente usati per i
resistori, si ha in genere una prevalenza di induttanza per valori di resistenza R < 100 Ω, una
prevalenza di capacità per valori di R > 100 Ω. Per ovviare a questo fatto si usano avvolgimenti
formati da più sezioni di resistenza poste in serie o parallelo; per R > 100 Ω sono formati da n
sezioni di resistenza R/n poste in serie: in questo caso l’induttanza totale rimane pressoché
uguale, ma viene notevolmente diminuita la capacità dell’avvolgimento.
Altri metodi di avvolgimento sono quelli di Chaperon, di Curtis e Grover, di Ayrton e Perry,
che non si descrivono per brevità.
Quando è necessario disporre di campioni di resistenza variabile si ricorre alle cassette di resistori generalmente di legno e con coperchio di materiale isolante dal quale sporgono i comandi
per la variazione del valore totale di resistenza del circuito.
Un tipo comune è la cassetta a spine, nella quale ogni resistore singolo ha i capi collegati a due
blocchetti di ottone disposti sopra al coperchio. Inserendo delle spine fra blocchetti adiacenti si
effettuano i collegamenti, includendo o cortocircuitando i resistori a seconda della disposizione
(Figura 2.6). Una cassetta con 16 resistori di valore rispettivamente 1, 2, 2, 5, 10, 20, 20, 50,
100, 200, 200, 500, 1000, 2000, 2000 e 5000 Ω disposti in serie permette di realizzare qualsiasi
valore di resistenza da 1 a 11110 Ω.
Fig. 2.6
2.5.
Campione di resistenza variabile realizzata con una cassetta a spine
Campioni di Capacità
Un condensatore reale presenta inevitabilmente differenze di comportamento agli effetti esterni
rispetto al condensatore ideale, schematizzabili tutte sotto forma di potenza attiva dissipata.
47
Un condensatore reale presenta inevitabilmente differenze di comportamento agli effetti esterni
rispetto al condensatore ideale, schematizzabili tutte sotto forma di potenza attiva dissipata. Tra
le cause di dissipazione di potenza attiva sono elencabili:
• conduttanza di dispersione diversa da zero;
• isteresi dielettrica;
• effetto Joule nei collegamenti e nelle armature;
• ossidazione delle armature;
• effetti di bordo.
Dal diagramma vettoriale emerge che lo scostamento dalle condizioni di funzionamento ideali
può essere espresso dal valore della tangente dell’angolo di perdita (Figura 2.7) definita da
P
tan ( δ ) = ---Q
(2.6)
Im
dove P e Q esprimono la potenza attiva e reattiva assorbite da condensatore reale.
I
δ
ϕ
V
Re
Fig. 2.7
Diagramma vettoriale di un condensatore reale
È evidente che quanto più ci si approssima alle condizioni ideali, tanto più piccolo è P, così
come tan(δ). I circuiti equivalenti di un condensatore reale (Figura 2.8) permettono di scrivere
nel caso serie
tan ( δ ) = ωCR s
(2.7)
1
tan ( δ ) = --------------ωCR p
(2.8)
e nel caso parallelo
Gran parte delle cause di dissipazione è da attribuirsi al dielettrico; per cui i minimi valori
dell’angolo di perdita (dell’ordine di 10–5) si ottengono con isolanti gassosi, notoriamente i
meno dissipativi. In tal modo si realizzano capacità fino a 0.001 µF, per tensioni fino a 10 kV,
con coefficienti di temperatura dell’ordine di 2 10–12 K–1.
48
2.5. Campioni di Capacità
R
G
C
C
Circuito Equivalente
Parallelo
Fig. 2.8
Serie
Circuiti equivalenti di un condensatore reale
I condensatori campione sono costituiti da due serie di armature metalliche fra le quali è interposto un isolante.
I condensatori campione sono costituiti da due serie di armature metalliche fra le quali è interposto un isolante. Nella forma più comune si tratta di fogli alternati sovrapposti nel seguente
ordine (chiamando A e B i due morsetti terminali): armatura A - isolante - armatura B isolante - armatura A - isolante - armatura B, eccetera (Figura 2.9).
A
Fig. 2.9
B
Campione di capacità
Per capacità maggiori si deve ricorrere ai dielettrici solidi: essi hanno pure rigidità dielettrica
elevata, a scapito sia del coefficiente di temperatura, sia dell’angolo di perdita (il cui valore sale
fino a 10–4).
Gruppi di condensatori così costruiti vengono riuniti in cassette a spine che permettono il loro
inserimento in parallelo per aumentare la capacità del complesso. Condensatori in aria sono di
uso molto comune quando si richiede la variazione continua della capacità. In tal caso si ha una
serie di armature fisse fra le quali sono interposte quelle mobili meccanicamente collegate fra
di loro e all’albero di comando. Durante la rotazione varia la superficie affacciata fra le armature
e cambia quindi la capacità. La legge di variazione dipende dal profilo assegnato alle armature
(Figura 2.10).
49
Fig. 2.10
Campione di capacità variabile
Per misure in alta tensione, si usano dei condensatori campione in gas compresso, che possono
sopportare tensioni anche di diverse centinaia di kilovolt.
Quando si debbono eseguire misure in alta tensione, si usano dei condensatori campione in gas
compresso (Figura 2.11), che possono sopportare tensioni anche di diverse centinaia di kilovolt.
Fig. 2.11
Campione di capacità per alta tensione
L’uso del gas compresso come dielettrico offre i vantaggi di una più elevata rigidità dielettrica
di minime perdite e di stabilità nel tempo. I gas più frequentemente usati sono l’azoto e l’anidride carbonica, compressi a 1 ÷ 1.5 MPa. Le armature di un condensatore presentano sempre
capacità parassite rispetto ad ogni conduttore circostante. Per limitarne gli effetti e per avere
capacità costante con la tensione, si muniscono i condensatori di elettrodi di guardia. Una delle
disposizioni preferite è schematizzata in Figura 2.12.
Il morsetto 3 permette l’accesso all’elettrodo di guardia che minimizza l’effetto di bordo. Affinché l’anello di guardia assolva alla funzione detta, è necessario che il suo potenziale sia prossimo a quello dell’elettrodo. Pertanto il morsetto di alta tensione sarà indubbiamente il morsetto
l, mentre il 2 ed il 3 andranno mantenuti a potenziali prossimi a quello di terra.
50
2.6. Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza
1
2
Fig. 2.12
2.6.
3
Campione di capacità a gas compresso con elettrodi di guardia
Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza
Gli induttori campione sono costituiti da filo avvolto su un supporto di materiale isolante per
evitare il formarsi di correnti di Foucault. La bobina viene racchiusa in una scatola pure isolante dalla quale sporgono i terminali dell’avvolgimento.
Gli induttori campione sono costituiti da filo avvolto su un supporto di materiale isolante per
evitare il formarsi di correnti di Foucault. La bobina viene racchiusa in una scatola pure isolante
dalla quale sporgono i terminali dell’avvolgimento (Figura 2.13). Nell’impiego di questi campioni bisogna tenere presente che, per quanto i conduttori siano abbondantemente dimensionati,
la resistenza ohmica non è mai nulla ed il suo valore deve essere considerato nella valutazione
dei parametri del circuito.
Fig. 2.13
Campione di induttanza
In modo analogo sono realizzati i campioni di mutua induttanza, costituiti da due avvolgimenti
concentrici terminanti su quattro morsetti. Un mutuo induttore, costituito da due avvolgimenti
concatenati strettamente fra di loro per minimizzare i flussi dispersi, presenta quattro morsetti,
due per ciascun avvolgimento, (Figura 2.14) fra i quali si determina la ben nota relazione
E 1 = jM I 1
(2.9)
51
con M coefficiente di mutua induzione, proporzionale al prodotto del numero di spire primarie
per il numero di spire secondarie.
Fig. 2.14
Campione di mutua induttanza
Qualora si connettano fra loro un morsetto primario ed uno secondario, l’induttanza totale della
serie così costruita sarà
L = L1 + L2 ±2 M
(2.10)
L’alternanza del segno dipende dal verso di circolazione di un avvolgimento rispetto all’altro.
Così la medesima costruzione può essere impiegata sia come induttore, sia come mutuo induttore.
Qualora si vogliano realizzare induttanze o mutue induttanze variabili, è necessario permettere
la rotazione reciproca degli assi delle bobine (Figura 2.15).
Fig. 2.15
Campione di mutua induttanza variabile
Il valore massimo dell’induttanza (o della mutua induttanza) si ha per α = 0˚; il massimo negativo per M si ha per α = 180˚. Sulla precisione ottenibile da simili costruzioni si può evitare di
dilungarsi al di là della pura considerazione della notevole entità dei flussi dispersi. Poiché le
scale vengono graduate per via empirica, si può ritenere che il limite dello 0.5 ÷ 1% non possa
essere facilmente migliorato.
52
2.7. Campioni di Tempo
2.7.
Campioni di Tempo
Un campione di tempo significa è normalmente una sorgente di segnali preferibilmente elettrici, aventi periodo predeterminabile, stabile nel tempo e con la temperatura di impiego, di piccolo ingombro ed elevata affidabilità.
Costruire un campione di tempo significa poter disporre di una sorgente di segnali preferibilmente elettrici, aventi periodo predeterminabile, stabile nel tempo e con la temperatura di
impiego, di piccolo ingombro ed elevata affidabilità.
I generatori primari di oscillazioni sono ancora oggi di natura prevalentemente meccanica, salvo
il ricorso a fenomeni atomici in tecnologie particolarmente raffinate e costose. Si premettono
quindi alcune considerazioni:
• nella realtà costruttiva, ogni fenomeno oscillatorio di natura meccanica è fortemente influenzato dalle dimensioni geometriche del corpo vibrante: minimizzare le dimensioni significa,
in generale, minimizzare i fenomeni dissipativi ed aumentare la frequenza propria di oscillazione;
• più elevata è la frequenza propria di oscillazione del generatore primario, minore incidenza
relativa ha la sua imprecisione nella scansione dei tempi, man mano che il periodo scandito
aumenta.
Il diapason viene impiegato, per eccitare circuiti in corrente alternata previsti per produrre scale
dei tempi e per controllarne la frequenza di funzionamento. Il periodo di risonanza vale
l2
T = ----------------Es
4k -----d
(2.11)
dove l è la lunghezza d’onda meccanica, E il modulo di elasticità del materiale, s lo spessore
della forcella, d la densità del materiale, k la costante, dipendente dalle dimensioni del diapason.
La temperatura influenza k, E, s e d in varia forma e misura, secondo particolari leggi di variazione.
I migliori diapason bimetallici ed in leghe speciali hanno coefficiente di temperatura per la frequenza
∆f
α = ----------f ∆T
(2.12)
dell’ordine di 10–5 ÷ 10–6 K–1. Si producono diapason vibranti con periodo proprio dell’ordine
di 10–1 ÷ 10–3 s.
I risuonatori al quarzo sono basati sull’effetto piezoelettrico, che determina un legame biunivoco e definito fra deformazioni e forza elettromotrice applicate e generate alle facce di cristalli
di particolare natura, fra i quali il quarzo è l’esponente tipico e di minor costo.
53
Il funzionamento dei risuonatori al quarzo si basa sull’effetto piezoelettrico, che determina un
legame biunivoco e definito fra deformazioni e forza elettromotrice applicate e generate alle
facce di cristalli di particolare natura, fra i quali il quarzo è l’esponente tipico e di minor costo.
Lo schema costruttivo generale di un risuonatore al quarzo è il seguente (Figura 2.16a), ove una
lamina di quel materiale, tagliata da una massa cristallina secondo piani paralleli opportunamente orientali rispetto agli assi cristallografici, è interposta fra due elettrodi alimentati elettricamente alla frequenza di risonanza meccanica della lamina stessa.
Cp
C
R
L
(a)
Fig. 2.16
(
b)
Schema costruttivo e circuito equivalente di un risuonatore al quarzo
È evidente che le condizioni di risonanza (frequenza elettrica di eccitazione uguale alla frequenza meccanica di vibrazione) vanno mantenute e rese stabili nel tempo. Le frequenze di risonanza serie e parallelo di un quarzo si possono determinare usando il circuito equivalente di
Figura 2.16b e risultano
⎧
1
⎪ f s = ------------------2π LC
⎪
⎪
C
⎨
1 + -----⎪
C
⎪ f p = ---------------------p
⎪
2π LC p
⎩
(2.13)
Lo schema di principio di un oscillatore può essere quello mostrato in Figura 2.17. Assunto il
circuito equivalente del risuonatore Q riportato in Figura 2.16b e ricordando che l’impedenza
equivalente di un circuito risonante è minima in condizioni di risonanza ( Z eq = R ), il risuonatore al quarzo si comporta come una resistenza variabile con la frequenza. Il circuito di
comando è così pilotabile ed il risuonatore si può considerare in funzionamento stabile solo in
una delle condizioni di risonanza di Q.
K
Q
–
LO
+
Fig. 2.17
Schema di principio di un oscillatore al quarzo
54
2.7. Campioni di Tempo
La stabilità in frequenza ottenuta è di 10–8 Hz; il campo coperto è da 5 kHz a 10 MHz circa, con
limitazioni dovute all’eccessivo aumento delle dimensioni, verso il basso, ed alla fragilità delle
piastrine, verso l’alto.
55
56
3.1. Generalità
3. Catene di Misura e
Funzioni di
Trasferimento
3.1.
Generalità
Il segnale che rappresenta la grandezza da misurare viene trattato in modo da poter esprimere
quest’ultima con uno o più valori numerici o di fornirne una appropriata rappresentazione.
Il complesso degli elementi interposti per ottenere detta rappresentazione costituisce una catena
di misura, come illustrato in Figura 3.1. La catena di misura più semplice è costituita da un solo
strumento, ma è assai frequente il ricorso a catene più complesse. In termini più generali si può
anche pensare che il singolo strumento sia dal punto di vista funzionale assimilabile ad una
catena di misura.
E(t)
Fig. 3.1
M
U(t)
Schema generale di una catena di misura
Il tipo di trattamento del segnale può variare in relazione alla natura e all’ampiezza della grandezza in esame, nonché al tipo di misura che si desidera condurre.
Ciò che è importante conseguire è la univocità della relazione tra la rappresentazione in uscita
della grandezza e il segnale che la rappresenta in ingresso.
Il caso più semplice di trattamento è quello per il quale i due segnali in ingresso e in uscita della
catena sono della stessa natura e in uscita tra loro legati da un fattore di conversione (quindi del
tipo y = k x), ma sono assai frequenti anche trattamenti governati da funzioni più complesse, ad
esempio relazioni di fase tra grandezze sinusoidali oppure grandezze in ingresso e uscita di
diversa natura.
57
3 Catene di Misura e Funzioni di Trasferimento
3.2.
Richiami sulla Trasformata di Laplace
Data una funzione f(t) definita nel dominio del tempo per t > 0 e identicamente nulla per t < 0
si definisce “Trasformata di Laplace” della f(t) una funzione F(s) definita nel dominio della
variabile complessa s = α + j ω,
∞
F (s) =
∫
f (t)e –st dt = L [ f (t) ]
(3.1)
0
Poiché la funzione F(s) si ottiene con un integrale esteso ad un intervallo infinito essa può convergere o non convergere.
Data una trasformata di Laplace F(s), i valori di s che rendono infinito il modulo di F(s) si
dicono poli, mentre i valori di s che annullano F(s) si dicono zeri di F(s).
Si può dimostrare che se l’integrale converge per s0 = 0 + j, esso converge anche per ogni valore
di s la cui parte reale è maggiore di 0. L’estremo inferiore dei valori di per cui l’integrale converge si dice ascissa di convergenza c (Figura 3.2).
jω
Ascissa di
Convergenza
c
Fig. 3.2
α
Ascissa di convergenza per la trasformata di Laplace
Con la trasformata di Laplace si è stabilita una corrispondenza univoca tra funzioni reali di
variabili reali trasformabili e funzioni complesse di variabile complessa.
È anche possibile applicare il procedimento inverso e cioè calcolare f(t) quando è nota F(s). Si
ha allora:
1
f (t) = -------2πj
a + jω
∫
F (s)e st ds = L –1 [ F (s) ]
(3.2)
a – jω
58
3.2. Richiami sulla Trasformata di Laplace
dove l’integrazione è effettuata lungo una retta parallela all’asse immaginario di ascissa (a > 0).
La corrispondenza tra f(t) e F(s) è biunivoca.
La funzione F(s) può sempre essere ricondotta a una funzione razionale del tipo
a0 + a1 s + a2 s 2 + … + am s m
F (s) = ------------------------------------------------------------------b0 + b1 s + b2 s 2 + … + bn s n
(3.3)
Nel caso in cui il grado m del polinomio al numeratore fosse maggiore del grado n del polinomio
al denominatore, si può effettuare il quoziente tra i due polinomi ottenendo una funzione
F (s) = A(s) + B(s)
(3.4)
nella quale B(s) è del tipo sopra indicato, mentre A(s) è un polinomio che ha come antitrasformata la funzione di Dirac (o sue derivate).
Dato che l’uso diretto dell’integrale di trasformazione e di antitrasformazione è complicato, si
ricorre ad apposite tabelle, che riportano le coppie funzione-trasformata di uso più comune.
Prima di ricorrere a dette tabelle, può essere conveniente scomporre la funzione razionale in s
in una serie di termini semplici usando lo sviluppo di Heavyside.
3.2.1. Proprietà della Trasformata di Laplace
• La trasformazione di Laplace è un’operazione lineare e vale
L [ k 1 f 1(t) + k 2 f 2(t) ] = k 1 L [ f 1(t) ] + k 2 L [ f 2(t) ]
(3.5)
• Traslazione nel dominio del tempo: se L [ f (t) ] = F (s) allora
L [ f (t – τ) ] = e –st F (s)
(3.6)
• Traslazione nel dominio di Laplace: se L [ f (t) ] = F (s) allora
L [ e at f (t) ] = F (s – a)
(3.7)
• Derivazione nel dominio di Laplace: se L [ f (t) ] = F (s) allora
L [ tf (t) ] = dF (s) ⁄ ds
(3.8)
• Derivazione nel dominio del tempo: se L [ f (t) ] = F (s) allora
L [ d f (t) ⁄ dt ] = sF (s) – f (0)
(3.9)
Se la funzione f(t) è discontinua per t = 0, ad f(0) occorre sostituire
f (0 +) = lim f (t)
t → 0+
(3.10)
La formula di derivazione è iterabile e può quindi essere utile per il calcolo della trasformata
di una qualunque derivata della funzione f(t), nota la sua trasformata F(s).
59
• Teorema del valore iniziale: se L [ f (t) ] = F (s) allora
f (0 +) = lim sF (s)
(3.11)
s→∞
• Teorema del valore finale: se L [ f (t) ] = F (s) e F(s) ha poli solo a parte reale negativa e
nell’origine (ma non su altri punti dell’asse immaginario o nel semipiano a parte reale positiva) allora
(3.12)
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
Nella Tabella 3.1 sono riportate le trasformate per alcune delle funzioni d’uso più frequente.
Funzione
Trasformata di Laplace
Impulso δ(t)
1
Scalino sca(t)
1
--s
Rampa ram(t) = tsca(t)
1
---s2
Parabola par(t) = t 2 sca(t)
1
---s3
Esponenziale e –at sca(t)
1
----------s+a
Seno sin ( ωt ) sca(t)
ω
----------------2
s + ω2
Coseno cos ( ωt ) sca(t)
s
----------------2
s + ω2
Tab. 3.1
Trasformate di Laplace per alcune funzioni di comune impiego
3.2.2. Risoluzione di Equazioni Differenziali
Mediante la trasformazione di Laplace, la risoluzione di equazioni differenziali lineari ed a
coefficienti costanti si riduce, nel senso che verrà in seguito precisato, alla risoluzione di equazioni algebriche.
• Con la trasformazione, il problema viene trasferito dal “dominio del tempo” al “dominio di
Laplace”; si sostituisce il problema originale (in cui l’incognita è una funzione del tempo)
con un problema equivalente in cui l’incognita è la trasformata dell’incognita di partenza,
che ha un livello di difficoltà inferiore al primo perché in esso compaiono equazioni algebriche anziché differenziali.
60
3.3. Funzione di Trasferimento
• Si risolve il problema equivalente nel dominio di Laplace determinando la trasformata
dell’incognita del problema originale.
• Si ritorna nel dominio del tempo mediante l’antitrasformazione.
Il problema potrebbe essere risolto anche direttamente restando nel dominio del tempo. Si pongono così le due alternative illustrate in Figura 3.3. Il procedimento che passa attraverso il
dominio di Laplace è utilizzato nei casi in cui la trasformata del segnale di ingresso è una funzione razionale.
Dominio del Tempo
Problema
Equivalente
Metodi Risolutivi di
Equazioni Algebriche
Trsasformazione
Soluzione del
Problema
Equivalente
Antitrasformazione
Dominio di Laplace
Metodi Risolutivi di
Equazioni Differenziali
Soluzione del
Problema
Problema
Fig. 3.3
3.3.
Risoluzione di equazioni differenziali nel dominio del tempo o nel dominio di
Laplace
Funzione di Trasferimento
Dato un sistema lineare con un ingresso ed una uscita, si dice “Funzione di trasferimento” G(s)
il rapporto tra la trasformata di Laplace del segnale di uscita U(s) e la trasformata di Laplace del
segnale di ingresso E(s), quando il sistema è in condizioni iniziali nulle:
U (s)
G(s) = ---------E(s)
(3.13)
61
La G(s) ha il significato fisico di trasformata di Laplace della risposta del sistema ad un segnale
di ingresso di tipo impulsivo (δ di Dirac) la cui trasformata è uguale a 1.
Ampiezza
Si ricorda che la funzione di Dirac è rappresentabile con un rettangolo δ(t) di durata τ e altezza
1 / τ e quindi di area 1. Se si fa tendere τ a 0, mantenendo l’area uguale a 1, l’ordinata 1 / τ tende
a ∞ (Figura 3.4).
1/τ
τ
Fig. 3.4
Tempo
Rappresentazione della funzione δ di Dirac
Si osserva che la risposta di un sistema ad una funzione impulsiva del tipo descritto può essere
ottenuta, sia pure con difficoltà, anche per via sperimentale.
È però in generale più semplice produrre l’eccitazione al gradino unitario (fronte infinitamente
ripido e poi valore costante unitario) che altro non è che l’integrale dell’impulso di Dirac.
La trasformata della risposta al gradino moltiplicata per il fattore s, dà ancora la funzione di trasferimento G(s).
Si ricordi che la funzione di trasferimento è una caratteristica del sistema ed è indipendente dal
segnale di ingresso.
In un circuito elettrico si hanno però più funzioni di trasferimento a seconda del punto in cui si
applica la forzante E(s) e del punto in cui si rileva il segnale di uscita U(s). Per rendersene conto
basta osservare il circuito di Figura 3.5, nel quale senza cambiare la posizione della forzante, si
assume una volta come uscita U1(t) e la seconda U2(t).
U1(t)
E(t)
Fig. 3.5
R C
U2(t)
Esempio di funzioni di trasferimento in un circuito elettrico
62
3.3. Funzione di Trasferimento
In generale i sistemi reali che interessano presentano funzioni di trasferimento dei due tipi
seguenti:
• Sistemi del primo ordine
µ
G(s) = -------------1 + sτ
(3.14)
µ
G(s) = -------------------------------------1
2Q
1 + -------s + ------s 2
ω0
ω 02
(3.15)
• Sistemi del secondo ordine
In tali espressioni, µ > 0 rappresenta il guadagno del sistema.
In entrambi i casi la G(s) è caratterizzata da G(0) = µ cioè il sistema trasferisce senza alterazioni
un segnale di ingresso costante nel tempo moltiplicandolo per µ. Poiché µ è costante, l’analisi
delle due funzioni può essere fatta utilizzando la forma ridotta (ponendo µ = 1).
3.3.1. Sistemi del Primo Ordine
Si analizza ora la G(s) per i sistemi del primo ordine che dal punto di vista elettrico possono
essere rappresentati con un circuito in cui ci sono resistenze R e induttanze L (ma non capacità
C) oppure resistenze R e capacità C (ma non induttanze L). Il parametro τ è detto costante di
tempo e definisce completamente il sistema. Ad esempio, per il circuito di Figura 3.6 la costante
di tempo è τ = R C (in secondi).
R
E(t)
Fig. 3.6
C
U(t)
Esempio di sistema del primo ordine: circuito RC
Si esamina ora il caso in cui E(t) è un gradino unitario cioè E(t) = 0 per t < 0 e E(t) = 1 per t > 1.
Trasformando nel dominio di Laplace si ottiene
1
E(s) = --s
(3.16)
1 1
U (s) = G(s)E(s) = -------------- --1 + sτ s
(3.17)
per cui si ha
Per passare al dominio del tempo bisogna antitrasformare la U(s). Conviene applicare il teorema
di Heavyside che consente di suddividere la funzione in più termini di tipo più semplice:
1 1
1 1⁄τ
1
1
U (s) = -------------- --- = --- – -------------- = --- – -----------------1 + sτ s
s 1 + sτ
s 1⁄τ+s
(3.18)
63
Si può ora facilmente antitrasformare, ottenendo
U (t) = L –1 [ U (s) ] = 1 – e –t ⁄ τ
(3.19)
In Figura 3.7 è riporta in grafico questa funzione confrontata con il gradino unitario.
1.2
1
Ampiezza
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Tempo
τ
Fig. 3.7
Risposta al gradino unitario di un sistema del primo ordine
Si noti il significato geometrico di τ che è la sottotangente, riferita all’ordinata E(t) = 1 della
funzione U(t). Essa rappresenta:
• il tempo dopo il quale U(t) = 0.632 = e–1;
• l’area compresa tra le due curve (tempo di risposta).
Se si considera invece la funzione a rampa E(t) = k t, la risposta è ancora una rampa con ritardo
costante τ rispetto alla rampa applicata, dopo un tempo abbastanza grande rispetto a τ stessa
(Figura 3.8).
3.3.2. Sistemi del Secondo Ordine
Si passa ora ad esaminare la funzione di trasferimento ridotta (µ = 1) per sistemi del secondo
ordine di cui si riporta per comodità l’espressione:
1
G(s) = -------------------------------------2Q
1
1 + -------s + ------s 2
ω0
ω 02
(3.20)
nella quale:
64
3.4. Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace
Ampiezza
τ
Tempo
Fig. 3.8
Risposta alla rampa di un sistema del primo ordine
• Q rappresenta il fattore adimensionale di smorzamento;
• ω0 rappresenta pulsazione caratteristica del sistema.
Si consideri ora il comportamento dinamico applicando uno scalino unitario.
A seconda che Q > 1, Q = 1, Q < 1 la risposta sarà aperiodica, critica o oscillatoria (Figura 3.9).
L’ampiezza massima della sovraelongazione è data da
UM = 1 +
( πQ )
– -------------------2
e 1–Q
(3.21)
che è pure una funzione di Q (Figura 3.10).
Per i sistemi del secondo ordine ha ancora significato il tempo di risposta (τr) come è stato definito per i sistemi del primo ordine.
Nel caso di risposta oscillatoria il tempo di risposta si calcola sommando algebricamente le aree
( τ r = τ 1 – τ 2 + τ 3 – τ 4 ), come indicato in Figura 3.11.
3.4.
Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace
Il metodo simbolico permette di passare immediatamente dalla funzione E(t) alla funzione E(s),
tenendo presente i teoremi di derivazione e integrazione dell’integrale di Laplace.
65
Q<1
Ampiezza
E(t)
Q=1
Q=2
Tempo
Fig. 3.9
Risposta al gradino unitario di un sistema del secondo ordine
In un circuito elettrico, i componenti R, C e L possono essere sostituiti con impedenze simboliche equivalenti.
1
Resistenze → R, Capacità → ------, Induttanze → s L
sC
(3.22)
Si veda in proposito la Tabella 3.2.
3.5.
Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale
In un sistema lineare a parametri concentrati, la risposta a una eccitazione sinusoidale è ancora
una sinusoide della stessa frequenza ma di ampiezza e fase diverse, come è ben noto dallo studio
dei circuiti a corrente alternata.
Si può dimostrare che, in generale, l’ampiezza della sinusoide in uscita si ottiene moltiplicando
il segnale in ingresso per il modulo della funzione di trasferimento calcolato ponendo s = j ω
dove ω = 2 π f è uguale alla pulsazione della forzante, mentre lo sfasamento è determinato
dall’argomento di G(j ω).
Dal punto di vista sperimentale è molto più comodo determinare la risposta in regime stazionario che all’impulso di Dirac o al gradino unitario, in quanto esistono generatori di funzioni sinusoidali a frequenza variabile molto semplici.
66
3.5. Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale
2
1.8
1.6
Ampiezza
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Fig. 3.10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Q
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Massima sovraelongazione nella risposta al gradino unitario in un sistema del
secondo ordine in funzione del parametro Q
1.4
1.2
τ2
τ4
Ampiezza
1
0.8
τ
1
τ3
0.6
0.4
0.2
0
Tempo
Fig. 3.11
Calcolo del tempo di risposta in un sistema del secondo ordine
67
Dominio
Componente
Tempo
Frequenza
v(t)
-------- = R
i(t)
v(s)
--------- = R
i(s)
Capacità
dv(t)
i(t) = C ----------dt
i(s) = sCv(s)
Induttanza
di(t)
v(t) = L ---------dt
v(s) = sLi(s)
Resistenza
Tab. 3.2
Impedenze simboliche equivalenti di resistenze, induttanze e capacità
Nel caso che gli zeri e tutti i poli si trovino nel semipiano negativo del piano complesso,
ampiezza e fase delle risposte e perciò il modulo e l’argomento di G(j ω) possono essere facilmente determinati.
Si consideri quale esempio la funzione di trasferimento
1
G(s) = -------------1 + sτ
(3.23)
con un ingresso sinusoidale E(t) = sin(ω t).
L’operatore G(j ω) assume la forma
1
G( jω) = ------------------1 + jωτ
(3.24)
il cui modulo è dato da
τ
1
1
- – j --------------------- =
G( jω) = ------------------ = -------------------2
2
1 + ω2τ2
1+ω τ
1 + jωτ
1
1 + ω2τ2
----------------------------- = ------------------------2
2
2
(1 + ω τ )
1 + ω2τ2
(3.25)
Normalmente G( jω) viene espresso in decibel (dB) e risulta quindi dato da
1
G( jω) dB = 20 log ( G( jω) ) = 20 log ⎛ -------------------------⎞
⎝
⎠
1 + ω2τ2
(3.26)
L’argomento di G(j ω) è invece dato da
ϕ = atan ( – ωτ )
(3.27)
Se ωτ « 1 sarà G( jω) ≅ 1 e ϕ = – ωτ . L’uscita ha quindi la stessa ampiezza dell’ingresso
rispetto alla quale si presenta però in ritardo di ω τ. Se invece ωτ » 1 sarà G( jω) ≅ 1 ⁄ ( ωτ ) e
ϕ = – π ⁄ 2 , cioè il sistema funziona da integratore approssimato (le due onde sono sfasate di
1 / 4 di periodo).
68
Poiché il circuito facilita la trasmissione delle frequenze basse, esso si comporta come un filtro
passa basso. La rappresentazione grafica del modulo e dell’argomento di G(j ω) è riportata in
Figura 3.12.
Modulo
1
0.5
0
Frequenza
Fase
0
-45
-90
Frequenza
Modulo [dB]
0
-5
-10
-15
-20
-25
Frequenza - Scala Logaritmica
Fase
0
-45
-90
Fig. 3.12
Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordine passabasso
Questi andamenti corrispondono a quelli di un circuito elettrico del tipo indicato in Figura 3.13.
69
R
E(t)
Fig. 3.13
C
U(t)
Circuito RC passa-basso
Se si considera invece il circuito riportato in Figura 3.14, la funzione di trasferimento è data da
sτ
G(s) = -------------1 + sτ
C
E(t)
Fig. 3.14
R
(3.28)
U(t)
Circuito RC passa-alto
Se si calcolano il modulo e la fase in regime sinusoidale, si ottiene
ωτ
G( jω) = ------------------------1 + ω2τ2
(3.29)
ωτ
G( jω) dB = 20 log ⎛ -------------------------⎞
⎝
⎠
1 + ω2τ2
(3.30)
1
ϕ = atan ⎛ -------⎞
⎝ ωτ⎠
(3.31)
Queste due funzioni hanno l’andamento riportato in Figura 3.15.
Per ωτ « 1 sarà G( jω) ≅ ωτ e ϕ = π ⁄ 2 , mentre per ωτ » 1 sarà G( jω) ≅ 1 e ϕ = 0 .
Questo circuito si comporta come un derivatore approssimato.
Poiché il circuito trasmette le frequenze più elevate esso agisce da filtro passa alto.
70
Modulo
1
0.5
0
Frequenza
Fase
90
45
0
Frequenza
Modulo [dB]
0
-10
-20
-30
-40
Fase
90
45
0
Fig. 3.15
Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordine passa-alto
71
72
4.1. Generalità
4. Strumenti Analogici
4.1.
Generalità
Tra tutte le classificazioni possibili, per gli strumenti analogici conviene fare riferimento a
quella per tipo di conversione:
• magnetoelettrica;
• elettromagnetica;
• elettrodinamica;
• ad induzione;
• termica.
Negli strumenti analogici, la grandezza di uscita è generalmente la deviazione angolare di un
indice solidale con un equipaggio che, per effetto della grandezza incognita, è forzato a ruotare
intorno ad un asse.
L’equipaggio mobile è sottoposto ad una coppia motrice, funzione della grandezza sotto misura.
Affinché lo strumento possa fornire una indicazione in condizioni di equilibrio statico, con
l’indice fermo in una posizione univocamente corrispondente alla entità del misurando,
sull’equipaggio mobile dovrà agire anche una coppia antagonista, funzione crescente della
deviazione, di solito di natura elastica. Per smorzare le oscillazioni intorno alla posizione di
equilibrio, sempre presenti con coppie antagoniste di tipo elastico, deve essere prevista una
coppia smorzante, funzione della derivata della grandezza sotto misura, di solito di natura
viscosa, che riduce la durata del transitorio meccanico. Purtroppo è presente anche una coppia
d’attrito che si cerca di minimizzare poiché attribuisce insensibilità e imprecisione allo strumento.
Portata di uno strumento analogico è la grandezza che applicata ai suoi morsetti fa arrestare
l’indice in fondo scala.
Scala di uno strumento analogico è la suddivisione dell’arco di cerchio che può essere percorso
dall’indice. Essa è solitamente tracciata in divisioni e numerata in modo da consentire una facile
lettura.
L’indice degli strumenti più pregiati è a coltello o a filo e sotto questi è previsto uno specchio
che consente di ridurre l’errore di parallasse che si commette nella lettura (Figura 4.1).
Uno strumento può avere più di una portata e la lettura non corrisponde necessariamente alla
ampiezza della grandezza sotto misura ma è a questa legata linearmente secondo una costante.
Costante di uno strumento è il rapporto tra la grandezza di fondo scala e il numero di divisioni
della scala. Nel caso di strumento a più portate si avranno tante costanti quante sono le portate.
73
4 Strumenti Analogici
Fig. 4.1
Indice degli strumenti analogici
Per pervenire al valore della grandezza misurata la lettura fatta sulla scala deve essere moltiplicata per la costante.
4.2.
Classe di Precisione
La precisione di uno strumento è definita dai limiti dell’errore espresso in percento di un valore
convenzionale. Il valore convenzionale coincide quasi sempre con il valore di fondo scala, cioè
con la portata. Per quanto riguarda la precisione, gli strumenti sono suddivisi in classi contraddistinte da un numero detto indice di classe. Le classi previste dalle Norme CEI sono:
• Classe 0.05, errore inferiore allo 0.05% del fondo scala;
• Classe 1, errore inferiore allo 1% del fondo scala;
• Classe 3, errore inferiore allo 3% del fondo scala.
Questi indici rappresentano i limiti di errore percentuale che uno strumento, appartenente ad una
certa classe, non deve superare, al fondo scala, in determinate condizioni di riferimento, indicate
dal costruttore oppure specificate dalle norme.
L’errore assoluto dello strumento, in qualunque punto della scala, non deve essere superiore a
Classe ⋅ Portata
ε = -----------------------------------------100
(4.1)
Ad esempio, un amperometro di classe 0.2 portata 5 A, in qualunque punto della scala non deve
avere un errore assoluto superiore a
0.2
ε = --------- 5 = ± 0.01 A
100
(4.2)
74
4.3. Comportamento degli Strumenti in Regime Stazionario e in Transitorio
Le condizioni di riferimento riguardano la temperatura ambiente, la posizione dello strumento,
il suo orientamento rispetto al campo terrestre, eventuali valori di induzione magnetica esterna,
la frequenza della corrente in misura (se si tratta di c. a.) eccetera. Facendo variare queste condizioni entro i limiti indicati dalle norme, l’errore d’indicazione dello strumento non deve ulteriormente variare oltre il limite stabilito dalla classe. Ad esempio, nel caso dell’amperometro,
sopra considerato, i limiti di variazione della temperatura ambiente sono di ±10 ˚C intorno alla
temperatura di riferimento di 20 ˚C: l’errore assoluto dello strumento, a 30 ˚C oppure a 10 ˚C,
non dovrà perciò essere superiore a 0.01 + 0.01 = ±0.02 A.
L’incertezza tipo che possiamo attribuire a uno strumento di una data classe di precisione si
ottiene assumendo una distribuzione rettangolare dell’errore delimitata dai limiti di classe e
risulta
ε
Classe ⋅ Portata
u = ------- = -----------------------------------------3
100 3
4.3.
(4.3)
Comportamento degli Strumenti in Regime
Stazionario e in Transitorio
Quando ad uno strumento analogico viene applicata una coppia motrice costante, l’indice tende
a porsi in movimento ed a raggiungere la condizione d’equilibrio stabile per cui si verifica la
uguaglianza tra coppia motrice e coppia resistente (o antagonista).
Lo spostamento dell’indice è retto dalla seguente equazione del moto nella quale per semplicità
si è trascurata la coppia di attrito:
d 2δ
dδ
J --------- + N ----- + Mδ = C m
2
dt
dt
(4.4)
nella quale:
• J è il momento di inerzia dell’equipaggio;
• N è la costante della coppia di smorzamento;
• M è la costante della coppia antagonista;
• Cm è la coppia motrice supposta indipendente da δ;
• δ è la deviazione dell’indice dello strumento;
• t è il tempo.
Si tratta di una equazione differenziale del secondo ordine che può essere risolta rispetto
all’incognita δ con il metodo della trasformata di Laplace, ricordando che δ = 0 a t = 0.
75
Si ottiene una espressione piuttosto complessa che è caratterizzata dalla pulsazione del sistema
ω0 che dipende dal valore che assume il coefficiente di smorzamento
N
γ = --------------2 MJ
(4.5)
Si può a questo punto rilevare l’analogia con quanto esposto nel Capitolo 3.3. per quanto
riguarda i sistemi del secondo ordine. Il sistema presenta quindi una funzione di trasferimento
che lega la grandezza elettrica in entrata alla grandezza meccanica in uscita (deviazione
dell’indice).
L’indice assumerà quindi la posizione di regime dopo un certo tempo e lo spostamento
dell’indice potrà essere oscillante, smorzato o aperiodico a seconda del valore di γ (Figura 4.2).
2
γ=0
1.8
1.6
1.4
δ/δ0
1.2
1
0.8
0.6
0.4
γ = 1.6
0.2
0
0
Fig. 4.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t/T0
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Andamento temporale della posizione dell’indice in funzione del valore di γ da 0 a
1.6 con passi di 0.2
Negli strumenti analogici si fa in modo che sia γ = 0.7 ÷ 0.8 per cui l’indice supera, sia pur di
poco, la posizione di riposo oscillando brevemente intorno a questa.
Quanto è stato esposto assumendo per semplicità Cm = Costante, può essere facilmente esteso
al caso di coppia motrice variabile nel tempo. Ad esempio, nel caso di coppia impressa sinusoidale di pulsazione ω, se si fa in modo che sia M » ω2, J » ω N e M » ω N, la deviazione
dell’indice seguirà e riprodurrà senza inerzia la coppia motrice istantanea applicata finché
ω « ω0 (registratori).
76
4.4. Strumenti Magnetoelettrici
Nel caso invece che sia ω » ω0, l’indice dello strumento non è in grado di seguire l’andamento
della grandezza e rimane fermo sulla posizione di zero.
Se la coppia motrice fosse variabile con valore medio non nullo, l’indice devierebbe in ragione
di detto valore medio.
4.4.
Strumenti Magnetoelettrici
L’equipaggio mobile di uno strumento magnetoelettrico è costituito da una bobina rettangolare
in filo di rame sottile, avvolta su un nucleo ferromagnetico di forma cilindrica immerso nel
campo magnetico generato da un magnete permanente. Le espansioni polari del magnete sono
sagomate in modo da avere traferro costante (Figura 4.3).
1) Magnete Permanente
2) Espansioni
3) Bobina Mobile
4) Nucleo Interno
5) Molla Antagonista
6) Dispositivo di Messa a Zero
7) Indice
8) Contrappesi dell’Indice
Fig. 4.3
Strumento magnetoelettrico
Se la bobina è percorsa da corrente I, sui suoi lati attivi si esercita una coppia motrice Cm data da
C m = BndlI = kI
(4.6)
nella quale:
• B è l’induzione magnetica;
• n è il numero delle spire della bobina;
• l è la lunghezza della bobina;
• d è il diametro della bobina.
Tale coppia è contrastata da una coppia resistente Cr di natura elastica (una molla, o i fili stessi
di adduzione della corrente alla bobina, tesi fra due vincoli) che vale
C r = Mδ
(4.7)
77
dove:
• δ è l’angolo di rotazione della bobina;
• M è la costante della molla.
In condizioni di equilibrio deve essere
Cm = Cr
(4.8)
Bndl
δ = ------------ I = k a I
M
(4.9)
da cui
in cui ka è detta costante amperometrica dello strumento. Come si vede, il legame fra δ ed I è
lineare per cui lineare è anche la scala di lettura. Per quanto detto al punto precedente, lo strumento magnetoelettrico fornisce una indicazione quando il valore medio delle grandezze non è
nullo e quindi è tipico per le misure in corrente continua.
Nella fase transitoria del passaggio della posizione δ = 0 alla posizione δ = ka I, la bobina si
muove con velocità angolare dδ ⁄ dt .
Poiché i lati attivi si muovono con velocità ( d ⁄ 2 ) ( dδ ⁄ dt ) entro il campo magnetico costante
descritto dal vettore B, nella bobina viene indotta una forza elettromotrice
dδ
E = Bldn ----dt
(4.10)
Se la bobina possiede una resistenza propria Rg ed è chiusa su un circuito di resistenza R, si
determina una corrente
E
i = ---------------Rg + R
(4.11)
che si sovrappone a quella applicata e che da luogo ad una coppia smorzante data da
B 2 l 2 d 2 n 2 dδ
dδ
C s = Bldni = ---------------------- ----- = N ----R g + R dt
dt
(4.12)
Tale coppia smorzante è nulla per R = ∞ (strumento a circuito aperto) e massima per R = 0 (strumento in corto circuito). Essa è nulla anche ad indice fermo.
Come esempio consideriamo un voltmetro magnetoelettrico. Esso è costituito da una struttura
del tipo di quella illustrata in Figura 4.3, ma in serie alla bobina mobile viene posta una resistenza R, come mostrato in Figura 4.4.
La deviazione dell’indice è proporzionale alla corrente che circola nella bobina ed è quindi data
da
V
δ = k a I = k a ---- = k v V
R
(4.13)
78
4.5. Strumenti Logometrici
I
R
V
Fig. 4.4
A
Voltmetro magnetoelettrico
Variando il valore della resistenza R è possibile ottenere con lo stesso strumento diverse portate
e diverse costanti kv. Normalmente nei voltmetri magnetoelettrici sono presenti diversi morsetti
per le diverse portate, come mostrato in Figura 4.5.
P2
I
R1
P3
R2
R3
P1
A
*
Fig. 4.5
4.5.
Voltmetro magnetoelettrico con diverse portate
Strumenti Logometrici
Una particolare applicazione di quanto sopra esposto è rappresentata dagli strumenti logometrici (Figura 4.6).
Fig. 4.6
Strumento logometrico
79
In questi strumenti la coppia di reazione elastica non è prevista in quanto l’equilibrio si ottiene
facendo agire sull’equipaggio mobile due coppie motrici di verso opposto, che si uguagliano in
dipendenza delle due correnti di alimentazione e della posizione angolare dell’equipaggio
stesso. Essendo le bobine di solito identiche, si vuole che lo strumento si arresti in posizioni
anche diverse dallo zero, come ogni strumento indicatore. Per fare questo, si sagoma il traferro
con forme opportune del nucleo, che porta solidali le due bobine disposte a 90˚.
Le coppie motrici sono date da
⎧ C m1 = k 1 I 1 cos ( δ )
⎨
⎩ C m2 = k 2 I 2 sin ( δ )
(4.14)
Uguagliando le due coppie si ottiene
I
tan ( δ ) = k ----1
I2
(4.15)
Come si vede l’indicazione dipende dal rapporto fra due grandezze elettriche. La sua naturale
applicazione è dunque l’impiego come ohmmetro.
Posto:
• Rc = Resistenza Campione;
• Rx = Resistenza Incognita;
• n1, n2 = Numero di Spire delle Bobine;
e trascurando le resistenze proprie delle bobine si ha che
⎧
E
⎪ I 1 = ----Rc
⎪
⎨
E
⎪ I = ----⎪ 2
Rx
⎩
(4.16)
n
I
R
-----x- = ----1 = ----1- tan ( δ )
n2
Rc
I2
(4.17)
da cui
Questi strumenti necessitano di notevoli coppie motrici e sono solitamente di precisione modesta.
80
4.6. Strumenti a Conversione Elettromagnetica
4.6.
Strumenti a Conversione Elettromagnetica
Negli strumenti a conversione elettromagnetica, detti anche a ferro mobile, il campo magnetico
è generato da una bobina fissa entro la quale si muove un pezzo di ferro dolce, variamente sagomato, che determina la deviazione di un indice su una scala (Figura 4.7).
Fig. 4.7
Principio di funzionamento di uno strumento a conversione elettromagnetica
L’energia magnetica in gioco nel sistema fisico chiuso definito dai confini dello strumento è
data da
1
W = --- L(δ)I 2
2
(4.18)
dove L(δ) è l’induttanza della bobina, che dipende dalla posizione del nucleo, cioè della deviazione δ. Il nucleo viene attirato entro la bobina e in assenza di coppia antagonista raggiungerebbe la posizione per cui è massima l’energia magnetica immagazzinata del sistema.
La coppia motrice che insorge è data da
1 dL
C m = --- ------ I 2
2 dδ
(4.19)
Poiché il fenomeno descritto avviene indipendentemente dalla legge di variazione nel tempo
della corrente, questi strumenti possono funzionare tanto in continua che in alternata (entro certi
limiti di frequenza).
La legge di variazione di L con δ può essere predeterminata modellando opportunamente il
pezzo di ferro dolce, per cui si può ottenere una scala di lettura prossima alla lineare anche se
nella formula la corrente compare al quadrato.
Se la bobina è eccitata con corrente alternata, la coppia motrice risulta proporzionale al valore
efficace, sia pure non rigorosamente.
Le parti mobili non sono interessate da corrente, per cui questi strumenti sono semplici e robusti; la precisione conseguibile è confrontabile con quella degli strumenti magnetoelettrici.
Una variante costruttiva di rilievo, praticamente la più usata, consiste nell’utilizzare come fonte
di coppia motrice non più l’attrazione bensì la repulsione tra corpi magnetizzati per induzione
(Figura 4.8).
81
1) Bobina
2) Nucleo Fisso
3) Nucleo Mobile
4) Molla Antagonista
5) Dispositivo di Messa a Zero
6) Smorzatore ad Aria
Fig. 4.8
Strumento a conversione elettromagnetica
La massima induttanza si ha quando le due lamine (una mobile e l’altra fissa), magneticamente
polarizzate in maniera omologa, si trovano alla massima distanza.
Un altro strumento elettromagnetico assai diffuso è il frequenzimetro a lamelle, impiegato
spesso nei quadri di controllo. Esso è costituito da una serie di lamelle con frequenze proprie di
risonanza meccanica poco diverse tra loro e note che vengono sottoposte a campo magnetico
variabile (Figura 4.9).
1) Bobina (Estesa per Tutta la Lunghezza della Scala)
2) Nucleo in Materiale Ferromagnetico
3) Serie di Lamelle Vibranti le cui Estremità Sono Fissate sul Supporto
4) Supporto
Fig. 4.9
Frequenzimetro a lamelle
L’elettromagnete, eccitato dalla tensione di cui si vuole misurare la frequenza, determina la
vibrazione di quella lamella che presenta frequenza propria uguale al doppio della frequenza di
alimentazione (infatti Forza di Attrazione ∝ B2).
Tali strumenti presentano al solito una ventina di lamelle, accordate di 0.5 Hz in 0.5 Hz intorno
alla frequenza centrale (di solito 60 Hz o 50 Hz).
82
4.7. Strumenti a Conversione Elettrodinamica
4.7.
Strumenti a Conversione Elettrodinamica
Gli strumenti a conversione elettrodinamica sono costituiti da due bobine, l’una fissa, di solito
sdoppiata, e l’altra mobile collegata all’indice (Figura 4.10).
Fig. 4.10
Strumento a conversione elettrodinamica
L’energia magnetica in gioco vale
1
1
W = --- L f I 2f + --- L m I m2 + M (δ)I f I m
2
2
(4.20)
dove Lf, Lm e M sono rispettivamente i coefficienti di autoinduzione e mutua induzione delle
bobine. Derivando rispetto a δ si ottiene l’espressione della coppia motrice:
dM
C m(δ) = I f I m -------dδ
(4.21)
L’andamento di M in funzione di δ è sinusoidale, ma se le deviazioni non eccedono i 45˚ intorno
alla posizione ove la coppia è massima (assi delle bobine ortogonali), si può ritenere che M vari
linearmente con δ per cui
dM
-------- = k
dδ
(4.22)
C m = kI f I m
(4.23)
e pertanto
Se la coppia antagonista è di natura elastica (Cr = m δ), all’equilibrio sarà Cm = Cr cioè
k If Im = m δ da cui
k
δ = ---- I f I m
m
(4.24)
83
Questa espressione è valida per i valori istantanei e, se le correnti sono continue, la deviazione
risulta costante.
In regime sinusoidale, se If e Im sono isofrequenziali e sfasate dell’angolo ϕ:
⎧ I f = I fM sin ( ωt )
⎨
⎩ I m = I mM sin ( ωt + ϕ )
(4.25)
I fM I mM
- [ cos ( ϕ ) – cos ( 2ωt + ϕ ) ]
C m(t) = k -----------------2
(4.26)
la coppia motrice è data da
che nel tempo assume l’andamento indicato nella Figura 4.11.
Cm(t)
I(t)
Ampiezza
V(t)
Tempo
Fig. 4.11
Andamento temporale della coppia motrice in uno strumento a conversione elettrodinamica
84
La equazione (4.26) può essere dimostrata agevolmente procedendo a ritroso:
1
1
--- [ cos ( β ) – cos ( 2α + β ) ] = --- [ cos ( β ) – cos ( 2α ) cos ( β ) + sin ( 2α ) sin ( β ) ] =
2
2
1
= --- { [ 1 – cos ( 2α ) ] cos ( β ) + sin ( 2α ) sin β } =
2
1
= --- { [ 1 – cos2 ( α ) + sin2 ( α ) ] cos ( β ) + 2 sin ( α ) sin ( β ) cos ( α ) } =
2
1
= --- [ 2 cos ( β ) sin2 ( α ) + 2 sin ( β ) sin ( α ) cos ( α ) ] =
2
(4.27)
= sin ( α ) [ cos ( β ) sin ( α ) + sin ( β ) cos ( α ) ] = sin ( α ) sin ( α + β )
Dalla equazione (4.26) risulta che la coppia istantanea è costituita da un termine costante e da
un termine sinusoidale di pulsazione doppia di quella delle grandezze impresse.
Introducendo per le correnti i valori efficaci al posto dei valori massimi si ottiene
C m(t) = kI f I m [ cos ( ϕ ) – cos ( 2ωt + ϕ ) ]
(4.28)
Si può osservare che il valore medio di questa funzione è proporzionale al prodotto scalare delle
due grandezze vettoriali If e Im
C m = kI f • I m
(4.29)
Si può agevolmente dimostrare che nel caso di correnti di frequenza diversa il valore medio
risulta nullo.
Per grandezze periodiche non sinusoidali, il valore medio della coppia corrisponde alla somma
dei valori medi dei prodotti relativi ad armoniche corrispondenti.
Uno strumento del tipo descritto è detto elettrodinamometro e deve considerarsi uno strumento
per corrente alternata adatto per diverse applicazioni.
Si deve osservare che in base a quanto è stato esposto nel Capitolo 3.3., le caratteristiche
dell’equipaggio mobile in relazione alla frequenza delle correnti determinano il comportamento
dello strumento ai transitori. Se la pulsazione della grandezza da misurare è molto piccola
rispetto alla pulsazione meccanica propria dell’equipaggio, quest’ultimo è in grado di seguire
l’andamento della coppia istantanea e potendosi ritenere la deviazione proporzionale alla coppia, la deviazione dell’indice risulta di tipo oscillatorio con asse di oscillazione sul valore
medio. In caso contrario, la deviazione dell’indice risulta stabilmente posizionata sul valore
medio.
Se si fa in modo che If corrisponda alla corrente di un circuito e Im sia proporzionale e in fase
con la tensione V del circuito stesso, la coppia media risulta
C m = kVI cos ( ϕ )
(4.30)
La proporzionalità tra tensione V e Im può essere molto semplicemente ottenuta ponendo in serie
alla bobina mobile una resistenza di adeguato valore di tipo antiinduttivo.
85
Lo strumento assume allora il nome di wattmetro e lo schema di principio è quello riportato
nella Figura 4.12.
I
V
Fig. 4.12
R
Strumento elettrodinamico utilizzato come wattmetro
In tale applicazione, la bobina fissa è costituita con grosse spire di grande sezione, mentre la
bobina mobile è realizzata con molte spire di filo sottile.
Si rimanda a quanto esposto più avanti per la definizione di potenze attiva, reattiva e apparente
nei circuiti a corrente alternata.
In linea di principio qualunque wattmetro può essere trasformato in varmetro: basta che Im sia
in quadratura con V. In queste condizioni si avrebbe infatti una coppia motrice media data da
C m = kVI cos ( ϕ – 90° ) = kVI sin ( ϕ )
(4.31)
Si può adottare lo schema indicato in Figura 4.13, per il quale
V
⎧ I V = -------------------------ZmR
⎪
Z + ----------------⎪
Zm + R
⎨
⎪
R
R
⎪ I = I ---------------- = V -----------------------------------------V
⎩ m
Zm + R
Z Z m + Z m R + ZR
Zm
(4.32)
If
R
Im
V
Z
Fig. 4.13
Strumento elettrodinamico utilizzato come varmetro
86
Perché Im sia in quadratura con V, basta che sia nulla la parte reale del coefficiente di V
nell’ultima relazione, cioè
Im(Z )Im(Z m) – Re(Z )Re(Z m)
R = ---------------------------------------------------------------------Re(Z ) + Re(Z m)
(4.33)
È stabilito così un legame che, rispettato, rende possibile la misura diretta di
Q = Im • I f = V × I
(4.34)
Si osserva che il comportamento di un varmetro così realizzato è corretto solo per una ben determinata frequenza.
Attualmente, meno frequente è l’impiego come amperometro, potendo la bobina fissa fungere
da derivatore per la bobina mobile (Figura 4.14).
If
I
Im
Fig. 4.14
Strumento elettrodinamico utilizzato come amperometro
Sarà dunque
⎧
Zf
⎪ I m = I ------------------Z f + Zm
⎪
⎪
Zm
⎪
⎨ I f = I ------------------Z f + Zm
⎪
⎪
Z f Zm
⎪ δ = I • I = -------------------------- I 2 = kaI 2
m
f
⎪
2
(Z f + Zm)
⎩
(4.35)
La scala di lettura risulta in tal caso quadratica.
Ancora da rilevare è l’influenza che può avere la frequenza sulla precisione dell’indicazione in
quanto essa influisce sul valore delle impedenze.
Lo strumento elettrodinamico può anche essere usato come voltmetro (Figura 4.15).
Detta Z l’impedenza equivalente della serie (bobina fissa, bobina mobile, resistore addizionale)
sarà:
1
δ = ------ V 2 = k v V 2
Z2
(4.36)
87
V
Fig. 4.15
R
Im = If
Strumento elettrodinamico utilizzato come voltmetro
Se la impedenza Z è sostanzialmente resistiva, l’indicazione è, entro certi limiti, indipendente
dalla frequenza. In questo caso anche la bobina fissa è realizzata con molte spire di filo sottile.
La scala dello strumento è quadratica.
4.8.
Strumenti ad Induzione
Gli strumenti ad induzione funzionano in base al fenomeno di induzione elettromagnetica e per
questo motivo funzionano esclusivamente con correnti alternate.
Anche se in linea di principio si possono realizzare voltmetri, amperometri, la tipica applicazione è quella del contatore di energia che è un wattmetro integratore.
Il wattmetro è costituito da un disco di rame o di alluminio imperniato su due pietre dure, che
porta la molla antagonista e l’indice.
Il disco può ruotare fra le espansioni polari di due elettromagneti i cui avvolgimenti sono percorsi rispettivamente dalla corrente di misura (Figura 4.16), e da una corrente proporzionale alla
tensione del circuito.
Fig. 4.16
Strumento a induzione
Il funzionamento può essere schematizzato come segue: l’elettromagnete 1 produce un flusso
Φv che attraversa il disco e vi genera una forza elettromotrice indotta che da luogo a sua volta a
correnti parassite; altrettanto fa l’elettromagnete 2. Come è noto, fra un flusso magnetico ed una
corrente elettrica si esercita una azione meccanica, ossia si generano delle forze. Orbene,
l’azione sul disco si esercita per effetto del flusso Φv sulla corrente I2 e del flusso Φa sulla cor-
88
4.8. Strumenti ad Induzione
rente I1. Poiché le correnti circolano nel disco ed i flussi emanano dai magneti che sono fissi, le
forze che si generano sulle correnti agiscono anche sul disco che è sollecitato a muoversi, contrastato dalla molla antagonista. Lo schema di distribuzione dei flussi e delle correnti è indicato
in Figura 4.17, dove ai flussi perpendicolari al piano del foglio corrispondono le correnti con
andamento circolare intorno all’asse dei circuiti magnetici.
Fig. 4.17
Distribuzione dei flussi e delle correnti in uno strumento a induzione
Per rendersi più chiaramente conto del funzionamento del wattmetro ad induzione, conviene
esaminare le grandezze in gioco in un istante qualsiasi, ad esempio mentre la corrente Iv è positiva e sta diminuendo e la Ia è pure positiva ma sta aumentando.
La corrente Iv che sta diminuendo induce sul disco una corrente I1 diretta nello stesso senso (per
la legge di Lenz tende ad opporsi alla diminuzione del flusso). La corrente Ia che sta aumentando induce invece sul disco una corrente I 2 diretta in senso contrario (che si oppone
all’aumento del flusso). In base alle leggi delle azioni elettromeccaniche, la I2 reagisce con il
flusso Φv e da luogo ad una forza F1 che si può scindere in due componenti, una perpendicolare
all’asse del disco ed una tangente ad esso. Questa ultima componente tende a far ruotare il disco
e altrettanto avviene per la corrente indotta I1 e per il flusso Φa.
L’azione totale delle due forze produce la rotazione del disco come indicato dalla freccia se le
due correnti hanno andamento diverso (una crescente e l’altra decrescente). Se fossero entrambe
crescenti o decrescenti, quindi in fase, le due forze generate sarebbero uguali e contrarie ed il
disco non potrebbe muoversi (Figura 4.18).
Fig. 4.18
Rotazione del disco di uno strumento a induzione
Si può quindi riassumere dicendo che la coppia Cm che si genera nel disco per effetto dell’interazione fra le due correnti I che percorrono gli elettromagneti e le componenti in quadratura
89
delle correnti indotte Ii sul disco stesso, è proporzionale al seno dell’angolo di sfasamento fra le
correnti:
C m = K 1 Φ v Φ a sin ( δ ) = K 2 I v I a sin ( δ )
(4.37)
In uno dei due avvolgimenti, collegato in serie, può essere inviata direttamente la corrente del
circuito, mentre l’altro, posto in parallelo può essere sottoposto alla tensione del circuito (il
valore della corrente Iv sarà perciò Iv = V / Z).
Poiché il circuito voltmetrico presenta induttanza elevata la corrente Iv è sfasata rispetto alla tensione V applicata di un angolo assai prossimo a un quarto di periodo. Se a sua volta si indica con
ϕ lo sfasamento tra la tensione V e la corrente Ia impresse, sarà:
(4.38)
δ = α–ϕ
La equazione (4.38) si potrà quindi scrivere (Figura 4.19) come
V
C m = K 2 I a ---- sin ( α – ϕ ) = K 3 I a V sin ( α – ϕ )
Z
(4.39)
V
Ia
ϕ
Φa
δ
Φv
α
δ
Fig. 4.19
Iv
ε
Diagramma vettoriale in uno strumento a induzione
Se ora si fa in modo che sia α = 90˚ si ottiene
C m = K 3 I a V sin ( 90° – ϕ ) = K 3 I a V cos ( ϕ ) = K 3 P
(4.40)
Uno strumento ad induzione del tipo descritto può quindi fornire una deviazione (angolo di rotazione del disco) proporzionale alla potenza attiva che transita nel circuito.
Non potendo essere la resistenza del circuito voltmetrico nulla, per ottenere lo sfasamento
richiesto tra tensione e corrente nella bobina voltmetrica, si deve ricorrere ad artifici circuitali.
Il sistema più usato è quello di collocare un anellino metallico in corto circuito attorno al
magnete (Figura 4.20) ed inoltre di fare sporgere il nucleo rispetto al disco di modo che una
parte del flusso si chiuda senza interessare il disco rotante.
90
4.9. Contatori ad Induzione
⎧
⎨
⎩
Φ
Φ1
Φ2
A
D
Fig. 4.20
Correzione dello sfasamento in uno strumento a induzione
Per effetto delle correnti indotte in questo anellino è possibile avere uno sfasamento del flusso
relativo anche superiore ai 90˚. Ciò permette, fra l’altro, di compensare anche lo sfasamento che
si produce nell’avvolgimento amperometrico per effetto della sua induttanza e che altrimenti
darebbe luogo ad un errore di fase. Negli strumenti più semplici l’anello viene sostituito da un
dischetto metallico che viene applicato in posizione eccentrica al di sotto di una espansione
polare: il comportamento è analogo a quello visto per l’anello.
Caratteristica peculiare degli strumenti a induzione è la stretta dipendenza dalla frequenza, in
quanto dalla frequenza dipendono sia per i valori delle forze elettromotrici indotte, sia quelli
delle impedenze.
Si tratta, tuttavia, di strumenti assai robusti, che possono sopportare forti sovraccarichi momentanei (la molla antagonista non è percorsa da corrente) e la loro scala si può sviluppare, a piacere
per quasi tutta l’intera circonferenza.
Essi non sono caratterizzati da autosmorzamento delle oscillazioni, per cui sulla periferia del
disco viene applicato anche un magnete permanente (Figura 4.16) che genera, durante il movimento, delle correnti indotte le quali hanno l’effetto smorzante desiderato.
4.9.
Contatori ad Induzione
Il contatore ad induzione deriva direttamente dal wattmetro sopra descritto, ma esso è privo
della molla antagonista, per cui il disco è libero di ruotare trascinando il numeratore
(Figura 4.21).
Con il disco in rotazione, il magnete permanente provoca una coppia frenante proporzionale alla
velocità angolare in quanto le correnti da esso indotte nel disco sono proporzionali alla velocità
di rotazione.
91
Fig. 4.21
Contatore a induzione
Poiché la potenza è proporzionale alla velocità angolare dello strumento, il numero di giri risulta
proporzionale all’energia transitata. Si analizza ora in dettaglio la formazione della coppia
motrice. Il diagramma vettoriale completo delle grandezze in gioco sul contatore è rappresentato nella Figura 4.22.
Nel circuito voltmetrico la corrente Iv è sfasata in ritardo rispetto alla tensione V di quasi un
quarto di periodo. Questa corrente produce nel circuito magnetico di tensione un flusso Φv ad
essa proporzionale e sfasato in ritardo di un piccolo angolo δv a causa delle perdite nel circuito
magnetico:
Φv = k 1 V
(4.41)
Il flusso Φv induce nel disco forze elettromotrici Ev proporzionali ad esso ed alla pulsazione ω
e quindi delle correnti indotte.
La corrente I del circuito di corrente, che supponiamo sfasata di un angolo ϕ rispetto alla tensione V, percorre la bobina di corrente e genera un flusso Φi pari a
Φi = k 2 I
(4.42)
sfasato in ritardo rispetto a I di un piccolo angolo δi causa le perdite nel circuito magnetico.
Questo flusso induce nel disco delle forze elettromotrici che a loro volta generano delle correnti,
in analogia a quanto detto sopra.
La coppia motrice risultante delle due coppie parziali può essere espressa con una relazione del
tipo
C m = K 1 Φ v Φ a sin ( α – ϕ )
(4.43)
Infine, facendo in modo che l’angolo α fra la tensione V applicata alla bobina voltmetrica e la
corrente Iv che la percorre sia di 90˚, l’equazione (4.43) si trasforma in
C m = K 1 Φ v Φ a sin ( 90° – ϕ ) = K 1 Φ v Φ a cos ( ϕ )
(4.44)
La coppia motrice agente sull’equipaggio mobile del contatore è quindi proporzionale al prodotto dei flussi voltmetrico e amperometrico, secondo una costante empirica K1.
92
V
I
Φi
δi
Iv
δv
ϕ
Φv
α
90˚
90˚
Ei
Ev
Fig. 4.22
Diagramma vettoriale in un contatore a induzione
Alla formazione della coppia antagonista concorrono più fenomeni.
Il disco in rotazione taglia il flusso costante esistente nel traferro del magnete permanente
(magnete freno). In esso si inducono quindi delle forze elettromotrici proporzionali al valore del
flusso costante ΦF tagliato ed alla velocità angolare ω del disco.
Proporzionali alla forza elettromotrice e alla velocità angolare, sono anche le correnti indotte
che reagendo col flusso daranno luogo ad una coppia frenante del tipo
C F = k 3 ωΦ F2
(4.45)
93
Le correnti indotte nel rotore dal flusso voltmetrico e dal flusso amperometrico danno luogo alla
coppia motrice, ma reagendo coi flussi che le hanno provocate danno anche origine a due coppie
frenanti che possono essere espresse con le relazioni
C Fv = k 4 ωΦ v2
C Fi = k 5 ωΦ i2
(4.46)
Non si deve poi dimenticare la presenza di una coppia di attrito meccanico (CA) che, salvo allo
spunto, in prima approssimazione può considerarsi proporzionale alla velocità angolare del
rotore:
C A = k6ω
(4.47)
La coppia antagonista globale sarà formata dalla somma di tutte quelle parziali sin qui nominate, e cioè
C a = C F + C Fv + C Fi + C A
(4.48)
All’equilibrio fra coppia motrice e coppia antagoniste Cm = Ca, la velocità angolare dell’equipaggio mobile sarà
ω = K 1 Φ v Φ a cos ( ϕ ) – a 0
(4.49)
Si verifica quindi per una ben determinata velocità angolare
ω = NVI cos ( ϕ ) = NP
(4.50)
nella quale N è una costante.
Introducendo il tempo t nei due termini della equazione (4.50), si ottiene
ωt = NPt
(4.51)
Risolvendo rispetto a P t che è l’energia W del circuito, si ottiene
n
W = ---N
(4.52)
L’energia misurata da un contatore è uguale al numero n di giri del disco, diviso per la sua
costante N, quest’ultima solitamente espressa in giri / kWh.
Le principali cause di errore nei contatori a induzione sono:
• la non linearità dei circuiti voltmetrico e amperometrico;
• la coppia frenante dovuta ai flussi voltmetrico e amperometrico;
• la coppia di attrito;
• il fattore di potenza del circuito;
• la frequenza;
• la forma d’onda della tensione e corrente;
94
• la temperatura.
L’errore globale di un contatore in funzione del carico a tensione, frequenza e fattore di potenza
costante assume l’andamento indicato in Figura 4.23.
V = 220 V
f = 50 Hz
T = 20˚ C
cosϕ = 1
cosϕ = 0.5 ritardo
3
ε [%]
2
1
0
50
100
150
200
250
300
350
I/In [%]
400
–1
Fig. 4.23
Curva di errore di un contatore a induzione
Per correggere la curva d’errore e avvicinarla nel miglior modo possibile all’asse di zero, il contatore, dispone di particolari dispositivi (Figura 4.24).
a) Regolazione Velocità Pieno Carico
b) Regolazione di Fase
c) Regolazione Velocità Piccolo Carico
d) Regolazione Velocità Sovraccarico
e) Fermo di Tensione
Fig. 4.24
Dispositivi di taratura in un contatore a induzione
95
L’aggiustamento delle velocità a pieno carico si effettua variando il flusso del magnete freno
che attraversa il disco per mezzo di un sistema meccanico a vite (a). In alternativa si può anche
ricorrere ad uno shunt magnetico.
Il dispositivo per la regolazione di fase può essere previsto sul circuito magnetico di corrente o
sul circuito magnetico di tensione. Nel primo caso esso è costituito da un piccolo avvolgimento
disposto sul ferro amperometrico, chiuso su una resistenza variabile, generalmente un filo
doppio di nichel-cromo munito di un cursore (b). In questo avvolgimento si induce una corrente
che tende a modificare la fase del flusso risultante amperometrico.
Il dispositivo di regolazione posto sul circuito magnetico di tensione può essere costituito da:
• un avvolgimento attraversato da tutto il flusso voltmetrico e funzionante in modo perfettamente analogo a quello descritto per il circuito di corrente;
• da lamine metalliche introdotte in traferri presenti sul circuito magnetico (c).
La compensazione della regolazione di velocità al piccolo carico è necessaria per compensare
la coppia di attrito che non è più trascurabile rispetto alla coppia motrice. Il dispositivo di regolazione produce in effetti una piccola coppia motrice supplementare, facendo reagire col flusso
voltmetrico le correnti indotte nel disco da un piccolo flusso voltmetrico derivato dal principale
e sfasato rispetto ad esso (Figura 4.25).
Fig. 4.25
Compensazione della regolazione di velocità al piccolo carico in un contatore a
induzione
Il dispositivo per la regolazione di velocità in sovraccarico è necessario in quanto i moderni contatori sono sovraccaricabili sino a 3 ÷ 4 volte e più il valore nominale di targa. Esso è generalmente costituito da uno shunt magnetico saturabile derivato sul circuito magnetico della bobina
di corrente e formato da due parti, una fissa ed una mobile (d).
Le variazioni della posizione reciproca fra parte fissa e parte mobile regolano l’intensità del
flusso derivato e quindi la coppia del contatore nella zona di sovraccarico.
Il dispositivo di regolazione della velocità al piccolo carico serve anche per vincere la coppia
d’attrito di primo distacco. Poiché il dispositivo di avviamento agisce sul flusso voltmetrico,
96
4.10. Effetti dell’Inserzione degli Strumenti: Autoconsumi
anche con carico nullo e il disco si metterebbe in rotazione anche in assenza di energia, i contatori sono muniti di un cosiddetto fermo di tensione costituito da due sottili linguette sporgenti
una dall’albero del disco e una dal magnete voltmetrico, che quando vengono a trovarsi a
distanza ravvicinata costituiscono un blocco (e).
4.10. Effetti dell’Inserzione degli Strumenti: Autoconsumi
L’inserzione di uno strumento di misura comporta sempre, in misura più o meno apprezzabile,
una alterazione delle condizioni del circuito, per cui la grandezza sotto misura non è più esattamente quella preesistente. L’entità di questa perturbazione deve essere oggetto di attento esame
in relazione alla scelta del metodo di misura e degli strumenti da utilizzare.
Si consideri ad esempio il caso della misura della forza elettromotrice di una pila (Figura 4.26).
R
V
V
E
Fig. 4.26
Autoconsumi degli strumenti nella misura della forza elettromotrice di una pila
È agevole intuire che, in certe condizioni, l’inserimento del voltmetro può modificare la tensione ai morsetti che risulta
r
V = E -----------R+r
(4.53)
Considerazioni analoghe possono essere svolte per la misura di una corrente.
Quando il risultato di una misura dipende dalle indicazioni di due strumenti è sovente necessario
considerare gli errori sistematici connessi con il metodo di misura scelto. A titolo di esempio,
si faccia riferimento allo schema di Figura 4.27 che rappresenta uno dei metodi utilizzabili per
determinare la resistenza di un bipolo passivo.
Si può osservare che mentre il voltmetro misura esattamente la tensione applicata al bipolo,
l’amperometro misura una corrente che è la somma di quella assorbita dal bipolo e di quella
richiesta dal voltmetro. Di conseguenza il rapporto Vm / Im non rappresenta esattamente il valore
(R) della grandezza incognita:
Vm
V
V
Vm
- < ------m- = R
R m = ------m- = ------------ = --------------I
V
Im
I + Iv
I + ------mRv
(4.54)
97
Im
I
A
Iv
V
Vm
V
Fig. 4.27
Misura di resistenza con voltmetro a valle
Il metodo usato comporta quindi un errore sistematico in meno, attribuibile all’autoconsumo del
voltmetro.
Si può assumere Rm = R solo nel caso in cui Rv « R.
Analogamente, se si esamina il circuito di Figura 4.28, si può concludere che il rapporto Vm / Im
fornisce un valore Rm in eccesso rispetto a R:
V + Ra I m V
V
R m = ------m- = ---------------------> ----- = R
Im
Im
Im
(4.55)
In questo caso è l’amperometro che misura esattamente la corrente che circola nel bipolo mentre
il voltmetro misura una tensione che è la somma di quella ai morsetti del bipolo aumentata della
caduta di tensione ai morsetti dell’amperometro. Si può assumere Rm = R solo nel caso in cui
Ra « R.
Im
I
A
Vm
Iv
V
V
Fig. 4.28
Misura di resistenza con voltmetro a monte
Trattandosi di errori di tipo sistematico, conoscendo le caratteristiche di autoconsumo degli
strumenti è possibile correggere i risultati della misura.
Ulteriori considerazioni nell’argomento verranno svolte nei prossimi paragrafi.
98
Appendice A – Identificazione degli Strumenti
99
100
101
102
5.1. Generalità
5. Metodi di Ponte
5.1.
Generalità
Prendono il nome di metodi di ponte alcuni metodi di misura basati su reti di resistori, induttori
e condensatori in cui il componente in misura rappresenta il componente incognito, mentre gli
altri elementi sono noti. Per il funzionamento dei ponti sono necessari una sorgente di alimentazione e un rilevatore di zero. Quando il ponte è in equilibrio, ossia quando due punti della rete
sono allo stesso potenziale, si può calcolare il valore dell’elemento incognito applicando semplici relazioni matematiche che legano i valori degli elementi noti della rete.
5.2.
Ponte di Wheatstone
Il ponte di Wheatstone è costituito da quattro resistori disposti come i lati di un quadrilatero
(Figura 5.1), le cui diagonali sono costituite rispettivamente da una sorgente di forza elettromotrice (pila) e da un galvanometro. Ra, Rb ed Rc sono tre resistenze di valore noto, mentre Rx è la
resistenza in esame.
B
Rc
Rb
Rg
C
Rx
A
Ra
D
E
Fig. 5.1
Ponte di Wheatstone
103
5 Metodi di Ponte
In base alla polarità della pila, si può sapere a priori che la corrente circolerà lungo i due rami
nel senso A-B-C oppure A-D-C; non è invece noto a priori il senso della corrente che attraversa
il galvanometro percorrendo la diagonale B-D, poiché esso dipende dalla differenza di potenziale fra i due nodi B e D. In particolare, la corrente può essere nulla se B e D si trovano al medesimo potenziale: questa è la condizione di equilibrio del ponte che si deve ricercare. L’assenza
di corrente sul lato B-D si controlla per mezzo del galvanometro. Il ponte di Wheatstone è infatti
un metodo di riduzione a zero.
In condizioni di equilibrio con B e D allo stesso potenziale, senza passaggio di corrente nel galvanometro, si applica il primo principio di Kirchhoff ai nodi B e D.
⎧Ia = I x
⎨
⎩Ib = Ic
(5.1)
Si applichi ora il secondo principio di Kirchhoff alle maglie A-B-D e B-C-D:
⎧ Ra I a = Rb I b
⎨
⎩ R x I x = Rc I c
(5.2)
⎧ Ra
Ib
⎪ ------ = ---Ia
⎪ Rb
⎨
Ic
⎪ Rx
----=
--⎪R
Ix
⎩ c
(5.3)
Si può quindi scrivere
Dividendo membro a membro la equazione (5.1) si ottiene
I
I
----b = ---cIa
Ix
(5.4)
Combinando la equazione (5.3) con la equazione (5.4) si ricava
R
R
-----a- = -----xRb
Rc
(5.5)
La resistenza incognita risulta quindi data da
R
R x = R c -----aRb
(5.6)
Questa espressione quando il ponte è in equilibrio permette di conoscere il valore della resistenza incognita una volta noti i valori delle altre tre resistenze inserite nel ponte. Si noti che
nell’espressione finale non entrano né le correnti circolanti, né la forza elettromotrice (che non
occorre quindi conoscere), né la resistenza della diagonale comprendente il galvanometro.
104
5.3. Ponte di Wheatstone a Filo
I lati A-B e A-D vengono chiamati bracci del ponte (resistori Ra ed Rb), il lato B-C è chiamato
lato di paragone (resistore Rc).
La misura si effettua applicando il resistore incognito al ponte (gli altri tre lati sono generalmente fissi) e regolando i bracci ed il lato di paragone, costituiti da resistori variabili, fino
all’azzeramento.
La condizione di maggior sensibilità del ponte si ottiene facendo in modo che Ra ed Rx, così
come Rb ed Rc, abbiano all’incirca il medesimo valore. La condizione ideale sarebbe che tutte
e quattro le resistenze avessero valori uguali o perlomeno molto vicini.
L’errore di misura di questi ponti è minimo quando si misurano resistenze di valore medio, comprese fra qualche ohm e qualche decina di kiloohm.
5.3.
Ponte di Wheatstone a Filo
Nel ponte di Wheatstone a filo i due bracci sono sostituiti da un unico filo calibrato collegato
agli estremi della pila e sul quale scorre un cursore che fa capo al galvanometro (Figura 5.2).
Rx
Rc
Rg
Ra
Rb
Sa
St
E
Fig. 5.2
Ponte di Wheatstone a filo
Esso funziona come il ponte esaminato in precedenza, solo che in questo caso i collegamenti
sono realizzati in altro modo: infatti i due bracci Ra ed Rb, anziché congiungersi sul nodo che fa
capo alla pila, hanno un estremo in comune sulla diagonale del galvanometro.
La ragione di questa diversa disposizione è evidente se si pensa che il filo calibrato ha una resistenza molto inferiore a quella di Ra ed Rb e per l’aumento delle sensibilità non sarebbe stato
opportuno inserire il galvanometro sull’altra diagonale dove si hanno cadute di tensione di
valore molto diverso.
Un’altra differenza rispetto al ponte a cassetta consiste nel fatto che ora il rapporto Ra / Rb varia
con continuità e non più per multipli di dieci come nel caso precedente.
105
5 Metodi di Ponte
Il vantaggio principale di questo sistema consiste nel fatto che la lettura dopo l’azzeramento si
riduce alla misura di una lunghezza, cioè la distanza del cursore dall’estremo A, che viene effettuata su un regolo millimetrato posto a fianco del filo.
Per effettuare la misura si dà a Rc, costituito da un normale resistore a cassetta, un valore che si
suppone prossimo a quello di Rx e poi si sposta il cursore fino ad azzerare il galvanometro. Se
il filo è ben calibrato e ben omogeneo, la sua resistenza è proporzionale alla lunghezza, per cui
è lecito scrivere (se St è la lunghezza totale del filo ed Sa la distanza del cursore dal punto A)
R
Sa
-----a- = --------------Rb
St – Sa
(5.7)
Sostituendo questa espressione nella equazione (5.6), si ottiene
Sa
R x = R c --------------St – Sa
(5.8)
Se la lettura viene effettuata quando il cursore si trova verso le estremità, anche un piccolo
errore nella valutazione della lunghezza Sa può dare un risultato di scarsa approssimazione, per
cui occorre cercare di mantenere il cursore verso il centro. Per ottenere questo risultato si deve,
dopo il primo azzeramento, variare la resistenza Rc in modo da ottenere l’equilibrio del ponte
in una posizione più favorevole.
Nonostante questi accorgimenti il metodo non ha la precisione del precedente ed inoltre può
essere convenientemente impiegato solo per resistenze il cui valore non superi il migliaio di
ohm. Esso viene tuttavia impiegato ancora per la semplicità e la speditezza con cui si può eseguire la misura.
5.4.
Doppio Ponte di Thomson
I ponti di misura finora esaminati non si prestano alla misura di resistenze molto piccole poiché
la presenza delle resistenze di contatto con valori dello stesso ordine delle resistenze da misurare
sarebbe fonte di errori di misura troppo elevati. Per queste resistenze viene invece impiegato
spesso il doppio ponte di Thomson, il quale ha la caratteristica fondamentale di fornire una indicazione indipendente da eventuali variazioni di corrente nel circuito sul quale è inserita la resistenza in prova (Figura 5.3) e pure indipendente entro larghi limiti dalle resistenze di collegamento e di contatto.
Il metodo del doppio ponte di Thomson si basa sul confronto tra le cadute di tensione provocate
dal resistore incognito Rx e da un resistore campione Rk dello stesso ordine di grandezza, collegati in serie fra loro e facenti capo alla batteria di alimentazione del ponte. Agli estremi di questi
due resistori sono derivati i fili che portano i resistori Ra, R a ′ , Rb ed R b ′ del ponte fra i quali è
inserito il galvanometro. Questi resistori hanno generalmente un valore superiore a quello di Rx
e di Rk e sono formati da resistori a decadi di valore variabile fra 0.1 Ω e 100 Ω. Poiché una
condizione di funzionamento del ponte è che R a ⁄ R b = R a ′ ⁄ R b ′ , i comandi di Ra ed R a ′ , a
regolazione continua, sono abbinati meccanicamente in modo che le due resistenze abbiano
sempre il medesimo valore. Lo stesso si fa per Rb ed R b ′ , la cui regolazione è a scatti, normal-
106
5.4. Doppio Ponte di Thomson
Ia
Ib
B
Rg
Ia´
Ib´
A
Ra
C
Ra´
Rb´
Rb
Rx
Rk
D
F
I
Fig. 5.3
E
I
Doppio ponte di Thomson
mente per i soli valori 1 Ω, 10 Ω e 100 Ω. Il circuito comprende anche i due tasti della pila e del
galvanometro.
Per l’azzeramento del ponte si procede a dare un valore a caso alle due resistenze Rb e R b ′ , dopo
di che si regolano le Ra ed R a ′ se non si raggiunge l’azzeramento si variano i valori delle Rb.
Quando il galvanometro è a zero (ponte in equilibrio) in esso non circola corrente; attraverso Ra
e Rb circola la medesima corrente, come pure attraverso R a ′ ed R b ′ . Si applica il secondo principio di Kirchhoff alle maglie A-B-C-D ed A-B-E-F e tenendo conto del senso delle correnti su
ciascun lato si può scrivere
⎧ R a I a – R a ′I a ′ – R x I = 0
⎨
⎩ R b I b – R k I – R b ′I b ′ = 0
(5.9)
⎧ R x I = R a I a – R a ′I a ′
⎨
⎩ R k I = R b I b – R b ′I b ′
(5.10)
ossia
Dividendo le due espressioni trovate fra loro si ottiene
R
R a I a – R a ′I a ′
-----x- = ------------------------------R b I b – R b ′I b ′
Rk
(5.11)
107
5 Metodi di Ponte
Ricordando ora che si era posta come condizione di funzionamento del ponte che fosse
R a = R a ′ ed R b = R b ′ l’espressione diventa
R
Ra ( I a – I a ′ )
-----x- = ---------------------------Rb ( I b – I b ′ )
Rk
(5.12)
avendo sostituito R a ′ con Ra ed R b ′ con Rb. Quando il ponte è in equilibrio valgono I a = I b
e I a ′ = I b ′ , per cui i termini fra parentesi al numeratore ed al denominatore sono uguali e si
elidono fra di loro per cui
R
R x = R k -----aRb
(5.13)
Un resistore variabile viene generalmente inserito sul circuito della pila: esso funge da regolatore della corrente che circola attraverso la Rx e la Rk dato che si tratta in genere di resistenze
molto basse. Compatibilmente con l’esigenza di non provocare un riscaldamento di questi due
resistori, la corrente deve essere mantenuta al valore più elevato possibile, poiché in tal modo
maggiori sono le cadute di tensione attraverso Rx ed Rk che, come si è visto, sono le grandezze
che vengono valutate dal ponte per eseguire la misura.
Inoltre è opportuno cercare di mantenere elevato il valore della resistenza dei quattro lati del
ponte poiché in tal modo si rende meno sensibile l’errore dovuto alle resistenze di contatto.
5.5.
Ponte di Kohlrausch
Il ponte di Wheatstone non può essere impiegato per la misura della resistività di elettroliti
poiché il passaggio di corrente continua attraverso soluzioni produce una polarizzazione che
provoca un aumento di resistenza. Come è noto la polarizzazione è dovuta alla formazione di
un velo isolante che circonda gli elettrodi ed è dovuto ai gas che si sviluppano durante la reazione elettrochimica.
Per questo genere di misure occorre quindi operare con corrente alternata la quale, grazie al
moto alternato delle cariche, non dà luogo al fenomeno della polarizzazione. Un ponte a filo alimentato in corrente alternata viene normalmente denominato come ponte di Kohlrausch: esso
reca, al posto del galvanometro magnetoelettrico un ricevitore telefonico o, meglio, un galvanometro che consente di rivelare le correnti alternate. L’alimentazione viene ottenuta da una
sorgente in corrente continua con l’interposizione di un rocchetto di Ruhmkorff oppure dalla
rete in corrente alternata con l’interposizione di un opportuno trasformatore riduttore
(Figura 5.4).
Il ricevitore telefonico permette di rivelare la corrente alternata mediante un ronzio a bassa frequenza (la frequenza della rete o del rocchetto), può essere sostituito, come abbiamo detto,
anche da un galvanometro a indice.
L’elettrolita da misurare viene generalmente disposto entro un tubo di vetro calibrato nel quale
sono inseriti due elettrodi di platino che servono per il collegamento ai morsetti del lato di ponte
dove va collocata la resistenza incognita.
108
5.6. Metodi di Ponte in Corrente Alternata
Galvanometro AC
R
~
Fig. 5.4
Ponte di Kohlrausch
L’impiego della corrente alternata impone che ci si debba premunire dagli effetti dell’induttanza
e della capacità: questo è uno dei motivi per i quali il ponte di Kohlrausch viene solitamente
realizzato secondo lo schema a filo poiché il filo si comporta quasi come una resistenza ideale.
Un ponte di questo genere ha precisione modesta soprattutto per la difficoltà di un perfetto azzeramento. La formula risolutiva è uguale a quella del ponte a filo.
5.6.
Metodi di Ponte in Corrente Alternata
Un condensatore ideale, sottoposto a differenza di potenziale alternata sinusoidale (V) assorbe
una corrente (Ic) sfasata di un angolo di 90˚ in anticipo rispetto alla differenza di potenziale. Il
modulo di tale corrente è definito da
I c = ωCV
(5.14)
in cui C è la capacità del condensatore e ω la pulsazione. In realtà il dielettrico è anche sede delle
seguenti perdite:
• per conduzione, in quanto il dielettrico non è perfetto e la resistività non è infinita;
• per isteresi dielettrica nei materiali polari poiché la polarizzazione delle molecole avviene a
spese di una certa energia;
• per scariche parziali, legate alla eterogeneità del materiale.
Un condensatore reale non è quindi schematizzabile con una capacità pura, per cui nello schema
equivalente è necessario introdurre un elemento dissipativo. Complessivamente risulta che la
corrente assorbita è sfasata rispetto alla differenza di potenziale di un angolo un po’ inferiore a
109
5 Metodi di Ponte
Im
90˚, la differenza rappresenta quello che viene definito angolo di perdita (δ). Il diagramma vettoriale di Figura 5.5 illustra quanto esposto.
I
R
G
Cp
δ
Cs
ϕ
V
Parallelo
Re
Fig. 5.5
Serie
Diagramma vettoriale e circuiti equivalenti di una capacità reale
In termini energetici si può dire che
P = Q tan ( δ ) = ωCV 2 tan ( δ )
(5.15)
Il termine tan(δ) è anche detto fattore di dissipazione ed esso varia, in generale, con la frequenza, la temperatura e la tensione. Nei buoni isolanti esso è anche notevolmente inferiore a
0.01. Si suole a volte indicare come fattore di perdita il prodotto ε tan(δ), dove ε è la permettività
(costante dielettrica) assoluta del materiale isolante. Nello schema equivalente, l’elemento dissipativo può essere posto in parallelo o in serie al condensatore come indicato in Figura 5.5. È
evidente che i parametri nei due schemi non sono gli stessi.
Per il circuito parallelo si può scrivere
Y = G + jωC p
(5.16)
G
tan ( δ ) = ----------ωC p
(5.17)
Per cui si ha
L’equivalente serie si ottiene passando alla impedenza equivalente
ωC p
1
1
1
G
- = R – j ---------Z = --- = ------------------------ = --------------------------- – j -------------------------2
2
2
2
2
2
ωC
Y
G + jωC p
G + ω Cp G + ω Cp
s
(5.18)
Nel circuito serie si ha
tan ( δ ) = RωC s
(5.19)
È evidente che ai morsetti esterni del condensatore i due schemi devono essere perfettamente
equivalenti. Tenuto conto della natura dei fenomeni si preferisce solitamente fare riferimento
all’equivalente parallelo.
110
Se si considera che l’angolo di perdita è sempre molto piccolo, si può peraltro rilevare che la
capacità equivalente serie è praticamente uguale alla capacità equivalente parallelo. Infatti,
essendo G « ω C, il termine immaginario della equazione (5.16) coincide con l’inverso del termine immaginario della equazione (5.18).
Il fattore di dissipazione tan(δ) è un indice importante della qualità di un materiale isolante utilizzato in corrente alternata. La sua determinazione, generalmente in funzione della tensione e
a frequenza costante, può in linea di principio essere effettuata con metodi di ponte o con metodi
wattmetrici.
Quando la tensione di prova è elevata e il tan(δ) piuttosto piccolo, il metodo di prova più adatto
è quello del ponte di Schering (o schemi equivalenti).
È tuttavia importante ricordare che, almeno in linea di principio, la potenza dissipata in un materiale isolante sottoposto a campo alternato può essere determinata anche con altri metodi.
Come già precisato, il fattore di dissipazione dipende dalla tensione, della frequenza e, in misura
a volte molto rilevante, dalla temperatura. Si tenga presente che il tempo di applicazione della
tensione di prova può pure influire sul valore di tan(δ). Nella conduzione delle misure è quindi
necessario fare molta attenzione a queste grandezze che devono essere scrupolosamente annotate.
Per quanto riguarda la temperatura, è necessario ricordare che la massa dell’oggetto in prova
può richiedere un tempo considerevole per raggiungere il regime termico (anche alcune ore). È
quindi opportuno seguire con molta cura quanto prescritto in proposito.
Un altro aspetto che può rivestire una certa importanza in questo tipo di misura, è l’effetto dei
bordi delle armature del condensatore equivalente. Esso si manifesta con un aumento del tan(δ)
per effetto delle correnti superficiali e della deformazione del campo con la formazione di piccoli volumi in cui la forza elettrica (gradiente) è molto intensa.
In certi casi (ad esempio prove su brevi spezzoni, giunto e terminali di cavo) può essere necessario predisporre anelli di guardia.
Come per le prove di tensione e le misure delle scariche parziali, attenzione deve essere posta
nella scelta e nell’applicazione dei terminali di prova.
5.6.1. Principio dei Ponti in Corrente Alternata
Si consideri lo schema di Figura 5.6 e si supponga di alimentare il sistema con una tensione
sinusoidale costante. I rami del ponte sono costituiti da impedenze generiche, al limite pure resistenze, capacità o induttanze. Lo strumento di zero G è del tipo a corrente alternata e dà indicazione nulla quando il ponte è in equilibrio, cioè quando i punti B e C sono allo stesso potenziale
e quindi lo strumento non è attraversato da corrente.
Delle quattro impedenze che costituiscono i bracci del ponte se ne consideri una incognita e le
altre note e, in parte, regolabili. Agendo su queste impedenze è possibile ottenere le condizioni
di equilibrio sopra menzionate.
111
5 Metodi di Ponte
A
Z2
Zx
~
C
B
G
Z3
Z4
D
Fig. 5.6
Schema di principio di un ponte in alternata
Sempre esaminando la Figura 5.6, si può dedurre subito che in equilibrio le correnti nelle impedenze Zx e Z3 sono uguali tra loro (Ix3) e così pure le correnti nelle impedenze Z2 e Z4 (I24). Si
possono allora scrivere le seguenti uguaglianze:
⎧
⎪ Z x I x3 = Z 2 I 24
⎨
⎪Z I = Z I
4 24
⎩ 3 x3
(5.20)
Dividendo membro a membro si ottiene
Z
Z
-----x- = -----2Z3
Z4
(5.21)
Nelle espressioni sopra indicate le frecce sopra i simboli stanno ad indicare che si parla di grandezze vettoriali e non scalari. Le grandezze diverrebbero scalari solo se i quattro bracci del
ponte fossero costituiti da un solo tipo di componente (sole resistenze, sole capacità o sole induttanze).
Si può osservare che il rapporto Z x ⁄ Z 3 è in generale rappresentabile con un numero complesso
costituito da parte reale e immaginaria e lo stesso può dirsi per il rapporto Z 2 ⁄ Z 4 . Ne consegue
che, per essere uguali, i due membri della equazione (5.21) devono avere uguali le parti reali, e
le parti immaginarie, come verrà ulteriormente chiarito in seguito.
5.6.2. Ponte di Schering
Il ponte di Schering viene impiegato in corrente alternata per misure di capacità e tan(δ). Esso
è adatto anche per misure in alta tensione. Lo schema di principio del ponte di Schering è rappresentato in Figura 5.7.
112
A
Rx
CN
Cx
~
C
B
G
R4
R3
C4
D
Fig. 5.7
Ponte di Schering
Il ramo contenente Rx e Cx rappresenta l’impedenza incognita espressa nelle sue due componenti equivalenti serie. Questa scelta è arbitraria in quanto si sarebbe potuto rappresentare
l’impedenza con elementi in parallelo, notevolmente diversi dai precedenti ma ancora equivalenti all’incognita, oppure con altri schemi anche più complessi.
Il ramo CN rappresenta una capacità pura di valore noto e fisso (condensatore campione). Le
resistenze R3 e R4 sono regolabili a gradini e così pure C4. Agendo su questi parametri è possibile raggiungere le condizioni di equilibrio che saranno date da
1
R x – j ---------ωC
1
1
------------------------x- = – j ------------ ⎛ ------ + jωC 4⎞
⎠
ωC N ⎝ R 4
R3
(5.22)
Con alcune semplificazioni si ottiene
C
R
1
1
-----x- – j ----------------- = ------4- – j -----------------R 3 ωR 3 C x
C N ωR 4 C N
(5.23)
L’uguaglianza è soddisfatta solo se sono uguali le parti reali e le parti immaginarie dei due
membri, cioè:
⎧ Rx
⎪ ------ =
⎪ R3
⎨
1
⎪ -----------⎪R C⎩ 3 x
C
------4CN
1
= -------------R4 C N
(5.24)
Si può osservare innanzitutto che l’equilibrio del ponte non dipende dalla frequenza.
113
5 Metodi di Ponte
Dalla seconda relazione della equazione (5.24) si ottiene immediatamente
R
C x = -----4- C N
R3
(5.25)
che fornisce una delle incognite, mentre dalla relazione si ricava
C
R x = ------4-R 3
CN
(5.26)
che è la seconda incognita.
Si deve però osservare che si preferisce normalmente esprimere le perdite non con Rx ma con
tan(δ), essendo δ l’angolo di cui differisce dal retto la fase della corrente assorbita dal condensatore incognito rispetto alla tensione ad esso applicata. Vale il diagramma vettoriale di
Figura 5.5.
Applicando semplici considerazioni trigonometriche e utilizzando la equazione (5.19) si ottiene
R3 C 4
Rx
- ωC x
tan ( δ ) = ---------- = R x ωC x = -----------CN
1
---------ωC x
(5.27)
Se si sostituisce ora nella equazione (5.27) la espressione di Cx data dalla equazione (5.25), si
ottiene
tan ( δ ) = ωR 4 C 4
(5.28)
Le due espressioni risolutive del ponte sono quindi le seguenti:
R4
⎧
⎪ C x = ------ C N
R3
⎨
⎪
⎩ tan ( δ ) = ωR 4 C 4
(5.29)
Si noti che se si vuole evitare il calcolo tan(δ), è sufficiente fare in modo che ω R4 sia multiplo
di 10. Per la frequenza di 50 Hz si ha ω = 2 π f = 314 s–l, per cui scegliendo R4 = 1/π o multipli
o sottomultipli decimali di detto valore, si ottiene quanto desiderato.
Si può anche osservare che il valore del tan(δ) è indipendente dal tipo di schema equivalente
assunto per la Zx.
Normalmente, essendo tan(δ) molto piccola, anche la Cx determinata con la formula sopra riportata è indipendente dallo schema equivalente scelto per Zx.
Nello schema a ponte descritto, un ruolo importante gioca lo strumento di zero che nelle versioni più moderne è di tipo elettronico con indicazione analogica o digitale. Si tratta di uno strumento selettivo in frequenza accordato sulla frequenza della sorgente usata per le prove.
114
5.6.3. Misura su Condensatori di Capacità Elevata
Quando si effettuano misure su condensatori (ad esempio, pezzature di cavi) di capacità e per
tensioni elevate, è necessario modificare lo schema originale del ponte in quanto la resistenza
R3 di Figura 5.7 non è in grado di portare la corrente che circola in Cx. Si deve allora inserire
uno shunt che derivi buona parte della corrente. In pratica si realizza lo schema di Figura 5.8
nella quale con s è indicata la resistenza letta su un filo resistivo (normalmente da 1 Ω) sul quale
il cursore si può spostare per ricercare la condizione di zero del galvanometro.
CN
Cx
Rx
B
~
Rv
G
N
s
G
R3
T
Fig. 5.8
R4
C4
Ponte di Schering per capacità elevate
La soluzione del circuito è più complessa di quella descritta al punto precedente in quanto si
deve trasformare la maglia B-G-T di Figura 5.8 da triangolo a stella per ottenere lo schema di
Figura 5.9.
CN
Cx
Rx
B
~
r´´
r´
r´´´
G G
R4
C4
T
Fig. 5.9
Circuito equivalente del ponte di Schering per capacità elevate
In questo schema si rileva una resistenza r´ in serie al galvanometro che non influisce sulla
misura, una resistenza r´´ in serie al condensatore Cx che teoricamente va ad influire sul valore
115
5 Metodi di Ponte
di tan(δ) rilevato sul ponte e una resistenza r´´´ che è quella che interessa per determinare il
valore di Cx.
All’atto pratico, dati i valori delle resistenze in gioco, la situazione è meno critica di quanto teoricamente appaia. Tralasciando le dimostrazioni, si arriva alle seguenti formule risolutive,
tenendo conto che il ponte è stato realizzato in modo tale che sia N + Rv + s = 100 Ω.
Per il fattore di dissipazione si ha:
100 – N – s
tan ( δ ) = ωR 4 ⎛ C 4 – C N ---------------------------⎞
⎝
R +s ⎠
(5.30)
3
che senza errori sensibili si può ritenere ancora uguale a
tan ( δ ) = ωR 4 C 4
(5.31)
se, come accade in pratica, CN « C4.
A seconda del valore che si attribuisce a R4, si ottiene una espressione più semplice:
• per R4 = 100/π, tan(δ) = 0.01 C4;
• per R4 = 1000/π, tan(δ) = 0.10 C4;
• per R4 = 10000/π, tan(δ) = C4;
nelle quali C4 è espresso in microfarad. Queste formule sono valide solo per la frequenza di
50 Hz.
Sul ponte della Tettex, che è il più diffuso, esiste anche la possibilità di derivare la C4 non da
tutta la R 4 ma da una parte. In tal caso la formula semplificata è sempre uguale a
tan(δ) = 0.001 C4, indipendentemente dal valore di R4.
Per quanto riguarda la capacità Cx si ha invece
C 4 R 4 ( 100 + R 3 )
C x = --------------------------------------N ( R3 + s )
(5.32)
nella quale Cx risulta espressa con la stessa unità di misura con cui è data CN, con tutte le resistenze espresse in ohm.
5.6.4. Misura in Alta Tensione e Regolazione dei Potenziali
Quando si effettuano misure di capacità o tan(δ) in alta tensione, bisogna prendere qualche precauzione per tenere conto delle capacità parassite in gioco. Nello schema di Figura 5.10 sono
state messe in evidenza tre capacità parassite, e precisamente:
• la capacità tra il cavo di collegamento tra Cx e R3 e la terra (C1);
• la capacità tra il cavo di collegamento tra CN e R4 e la terra (C2);
• la capacità tra l’armatura di bassa tensione del condensatore CN e gli anelli di guardia (C0).
Durante la misura, è bene che dette capacità parassite abbiano un valore definito, per cui è preferibile fare i collegamenti con cavetti schermati. La capacità C1 risulta in parallelo a R3, mentre
116
CN
C0
Cx
Rx
C1
~
C2
G
R4
R3
Fig. 5.10
C4
Ponte di Schering con capacità parassite
C2 e C0 risultano in parallelo a C4. Quindi i valori di tan(δ) dovrebbero essere corretti sommando a C4 i valori di C2 e C0 e poi detraendo il valore R3 C1. Come si vede l’uso del ponte
tende a complicarsi.
Esiste però la possibilità di eliminare gli effetti di C1, C2 e C0 usando un cavo a doppia schermatura, ponendo a terra la schermatura esterna e portando al potenziale del galvanometro quella
interna. Ciò può essere fatto utilizzando una sorgente ausiliaria regolabile in ampiezza e fase
(regolatore di potenziale) così come è schematizzato in Figura 5.11.
CN
C0
Cx
Rx
~
C1
C2
G
R3
Fig. 5.11
~
R4
C4
Ponte di Schering con compensazione dell’effetto delle capacità parassite
Quando lo schermo intermedio è allo stesso potenziale del galvanometro, la corrente assorbita
delle capacità parassite non è più fornita del ponte ma della sorgente ausiliaria utilizzata. In
questo modo, le capacità parassite non influenzano più la misura.
Nel ponte della Tettex la regolazione del potenziale può essere fatta automaticamente mediante
un apposito dispositivo.
117
5 Metodi di Ponte
5.6.5. Ponti Automatici
Il principio di funzionamento di un ponte automatico è illustrato in Figura 5.12. Il condensatore
da misurare Cx (e quindi eventualmente anche un cavo) è comparato con un condensatore campione CN per mezzo di un trasformatore di corrente differenziale di elevata precisione. I due
avvolgimenti N1 e N2 di questo trasformatore costituiscono i rami inferiori del ponte, rispettivamente dal lato di Cx e CN.
Fig. 5.12
Ponte di Schering automatico
Sul lato secondario un avvolgimento (N1) è collegato al rivelatore di zero, mentre gli avvolgimenti ausiliari N4 e N3 servono all’equilibrio fine per Cx (α) e all’equilibrio del tan(δ) (β).
I due avvolgimenti primari inducono dei flussi magnetici opposti nel nucleo. La differenza tra
questi due flussi dà luogo a un flusso di corrente nell’avvolgimento dell’indicatore di zero.
L’intensità di tale corrente è nulla allorché il ponte è in equilibrio, vale a dire quando si hanno
condizioni di uguaglianze delle fasi e dei moduli dei due flussi.
I parametri che possono essere regolati sono: il numero di spire, intensità dell’equilibrio fine,
intensità di equilibratura del tan(δ), gamma di misura. Essi sono determinati per mezzo di un
micro-calcolatore partendo dai dati provenienti dal rivelatore di zero. I valori reali di Cx e di
tan(δ), nonché della tensione di prova, sono calcolati a partire dai parametri di regolazione che
vengono indicati su un monitor alla fine di ciascun ciclo di equilibratura.
118
Il metodo descritto che facilita notevolmente il compito degli operatori, è anche adatto per prove
su cavi, o spezzoni di cavo. Per mezzo della tastiera e del monitor, l’operatore può dialogare con
l’apparecchio. Si introducono i valori della capacità campione CN, l’ordine di grandezza
dell’oggetto da controllare Cx (riduzione del tempo di compensazione), la lunghezza del cavo e
nel caso in cui si utilizzi anche un trasformatore di corrente esterno, il rapporto di trasformazione. Normalmente l’inserimento diretto dell’apparecchio è prevista fino a 10 ÷ 15 A.
Gli apparecchi di questo tipo sono generalmente previsti con uscita per trasmissione di dati in
forma digitale.
119
5 Metodi di Ponte
120
6.1. Generalità
6. Misure Industriali con
Strumenti Analogici
6.1.
Generalità
Le misure di tipo industriale sono quelle che si effettuano per il rilievo di grandezze su apparati,
macchine e impianti al fine di verificarne le condizioni di funzionamento o la rispondenza a specifiche tecniche.
Le misure di tipo industriale consentono in genere incertezze relativamente più elevate di quelle
che si ammettono nelle misure di laboratorio. Alcune misure possono essere indirette in quanto
la stima del misurando viene ottenuta dalla elaborazione delle indicazioni di due o più strumenti.
Le misure industriali possono essere effettuate con strumenti elettromeccanici analogici o con
strumenti elettronici analogici e digitali, con numerose possibili alternative.
In quanto segue si fa specifico riferimento a misure effettuate con strumenti elettromeccanici
analogici, tuttavia molte delle argomentazioni trattate valgono anche per strumenti digitali.
6.2.
Misure in Corrente Continua
Le misure in continua possono riguardare tensioni, correnti, resistenze e potenze. Le misure di
resistenza e potenza sono indirette in quanto ottenute dalla elaborazione delle indicazioni di
voltmetro e amperometro.
Nella trattazione seguente vengono considerate le misure di tensione, corrente, resistenza e
potenza in regime permanente (corrente continua) eseguite utilizzando strumenti magnetoelettrici.
Si presuppone che l’oggetto sottoposto a misura sia lineare (indipendente dal valore delle grandezze in gioco) e non sia polarizzabile (per cui sono escluse misure su semiconduttori e liquidi).
121
6 Misure Industriali con Strumenti Analogici
6.2.1. Misura delle Tensioni
Per la misura delle tensioni continue si può ricorrere all’uso di un voltmetro indicatore di tipo
magnetoelettrico dotato di resistenze addizionali.
Poiché l’indicazione di uno strumento magnetoelettrico è funzione del valore medio della corrente che attraversa la bobina mobile, la misura della tensione viene semplicemente ottenuta
facendo in modo che la corrente risulti proporzionale alla tensione applicata.
Essendo la bobina mobile realizzata con filo sottile di rame la cui resistività è funzione della
temperatura, per rendere trascurabile questa dipendenza, in serie alla bobine viene sempre montato un resistore a filo di materiale avente coefficiente di temperatura trascurabile (manganina)
e di valore più elevato di quello della bobina stessa, in modo che il di fondo scala venga raggiunto con ben definito valore intero della tensione (ad esempio, 50 mV).
Il complesso sopra descritto presenta allora una resistenza globale r che viene chiamata resistenza interna ed è dell’ordine delle decine di ohm.
Se lo strumento deve essere predisposto per misurare tensioni più elevate di quella sopra citata,
si pone in serie ad esso una ulteriore resistenza R, detta resistenza addizionale, secondo lo
schema indicato in Figura 6.1 (si ricorda che lo strumento fornisce una indicazione proporzionale alla corrente).
I
V
Fig. 6.1
R
VR
r
V
V0
Voltmetro magnetoelettrico con resistenza addizionale
Si possono allora scrivere le seguenti relazioni:
r+R
V = V 0 + V R = ( R + r )I 0 = ------------V 0
r
(6.1)
nella quale i simboli usati hanno significato ovvio.
La tensione applicata V è legata alla tensione V0 dal coefficiente
r+R
k V = -----------r
(6.2)
che è detto potere moltiplicatore della resistenza addizionale.
Per facilitare l’impiego dello strumento, all’interno dello stesso sono montate più resistenze
addizionali in serie, commutabili in modo da poter disporre di più portate (più poteri moltiplicatori). Normalmente non si superano per ragioni di sicurezza i 600 V con 3 o 4 portate.
122
6.2. Misure in Corrente Continua
Ad ogni portata è associata la costate strumentale per la quale si deve moltiplicare la lettura per
ottenere la grandezza cercata. Un voltmetro con più portate avrà quindi tante costanti quante
sono le portate. Gli strumenti magnetoelettrici descritti possono appartenere a classi di precisione anche fino a 0.1.
6.2.2. Misura delle Correnti
Per la misura delle correnti continue si può ricorrere all’uso di uno strumento indicatore di tipo
magnetoelettrico dotato di shunt.
Per la misura di correnti continue si possono utilizzare strumenti magnetoelettrici, ma poiché la
corrente che può essere sopportata dalla bobina mobile è molto piccola (qualche milliampere),
è solitamente necessario ricorrere all’impiego di derivatori (shunt) secondo lo schema di principio di Figura 6.2.
I
I0
IS
Fig. 6.2
S r
A
Amperometro con derivatore (shunt)
Si possono scrivere le relazioni seguenti:
⎧ SI = rI 0
⎪
⎪I = Is + I0
⎨
⎪
S
⎪ I = -----------I 0
r+S
⎩
(6.3)
per le quali il significato dei simboli può essere dedotto dalla Figura 6.2.
La corrente da misurare I è legata alla corrente I0 che attraversa lo strumento dal coefficiente
r+S
k A = ----------S
(6.4)
detto potere moltiplicatore dello shunt.
Con l’artificio descritto, uno stesso strumento può essere impiegato per misurare correnti da
pochi milliampere fino a diverse migliaia di ampere, precisando che esso deve essere tarato
assieme ai propri shunt. La classe di precisione del sistema può essere elevata (classe 0.1 o 0.2).
Bisogna porre attenzione agli effetti delle connessioni tra shunt e strumento che possono incidere sulla accuratezza della misura se la loro resistenza non è trascurabile rispetto a quella
interna dello strumento (che è solitamente dell’ordine di qualche ohm). In tal caso, il risultato
123
risulta affetto da errore sistematico (di segno noto, si misura in meno) ma non definito in
ampiezza. Di conseguenza risulta aumentata l’incertezza che grava sulla misura.
6.2.3. Misura delle Resistenze
Le misure di resistenza possono essere condotte ricorrendo a due strumenti magnetoelettrici,
un voltmetro e un amperometro corredati dei loro apparati ausiliari. La resistenza incognita
viene determinata indirettamente attraverso la elaborazione delle indicazioni dei due strumenti. La misura è affetta da errore sistematico.
Un dei modi più semplici per effettuare misure di resistenza è quello di ricorrere al metodo voltamperometrico che prevede l’impiego di due strumenti magnetoelettrici un voltmetro e un
amperometro. Si possono realizzare in alternativa i due schemi rappresentati in Figura 6.3.
IA
VA
IU
IA
A
V
Fig. 6.3
RA
A
IV
VU
RU
RA
V
V RV
V
VV
VV
RU
VU
RV
Misura di resistenza con metodo voltamperometrico
Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro a valle dell’amperometro.
Risulta immediato constatare che mentre il voltmetro è alimentato esattamente dalla tensione ai
capi dell’oggetto RU del quale si vuole determinare il valore di resistenza, la corrente misurata
dell’amperometro è la somma di quella che circola nell’utilizzatore e di quella assorbita dal
voltmetro. Nella misura di corrente si commette quindi un errore di tipo sistematico dipendente
dal metodo usato.
Si possono infatti scrivere le relazioni
⎧V V = V U
⎨
⎩I A = IU + IV
(6.5)
Quello che interessa determinare è il valore
VU
R U = ------IU
(6.6)
124
mentre invece si misura la resistenza RM data da
VU
VU
= ----------------R M = ------IA
IU + IV
(6.7)
IU < I A
(6.8)
Quindi, essendo
appare evidente che si commette un errore sistematico di segno negativo (si misura in meno).
L’errore è tanto minore quanto più elevato è il valore di IV.
In pratica, invece di R U si misura il parallelo tra R V (resistenza interna del voltmetro,
R V = V U ⁄ I V ) e RU, per cui il valore incognito risulta
RV R M
R U = -------------------RV – R M
(6.9)
Si osservi che se si pone R V = ∞ , si ha R U = R M .
In modo analogo si può trattare il caso del circuito con l’amperometro a valle del voltmetro. Si
possono scrivere le relazioni
⎧V V = V U + V A
⎨
⎩I A = IU
(6.10)
La resistenza misurata risulta quindi
VU
VU + V A
= -------------------- = RU + R A
R M = ------IU
IA
(6.11)
dove R A = V A ⁄ I U è la resistenza interna dell’amperometro. Si osservi che se si pone
R A = 0 si ha R U = R M .
L’errore sistematico che si commette in questo caso è positivo (si misura in più) a differenza di
quanto trovato per lo schema con il voltmetro a valle. Esso è tanto minore quanto più piccolo è
il valore di RA rispetto a quello della resistenza da misurare.
La scelta dello schema non è arbitraria e ci si deve orientare verso quello con voltmetro a monte
per la misura delle resistenze di basso valore (sotto i 10 Ω) e allo schema con amperometro a
monte per la misura di resistenze elevate (oltre i 1000 Ω). Nel campo intermedio possono essere
valide entrambe le alternative.
Si osserva infine che se si effettua la misura senza correggere il risultato dell’errore sistematico
è come se si operasse con strumenti di classe inferiore a quelle proprie in quanto l’errore sistematico viene in pratica inglobato in quello attribuito al caso aumentando quindi il grado di
incertezza.
In ogni occasione è necessario valutare l’opportunità o meno di effettuare la correzione
dell’errore sistematico.
125
La stima dell’incertezza che grava sulla stima della resistenza del misurando deve essere valutata in base alle incertezze tipo relative a tensione e corrente e determinando quindi l’incertezza
composta e quella estesa con le regole indicate nel Capitolo 1.
6.2.4. Misura delle Potenze
La misura della potenza che transita nella sezione di un circuito in corrente continua può essere
effettuata ricorrendo a due strumenti magnetoelettrici, un voltmetro e un amperometro corredati dei loro apparati ausiliari. La potenza incognita viene determinata indirettamente attraverso la elaborazione delle indicazioni dei due strumenti. La misura è affetta da errore sistematico.
Uno dei metodi classici per effettuare misure di potenza nei circuiti a corrente continua è quello
voltamperometrico che prevede l’impiego di un voltmetro e di un amperometro magnetoelettrici.
Analogamente a quanto esposto per le misure di resistenza, si possono realizzare in alternativa
i due schemi rappresentati in Figura 6.4.
IA
VA
IU
IA
A
V
Fig. 6.4
RA
A
IV
RU
VU
RA
V
V RV
V
VV
VV
RU
VU
RV
Misura di potenza con metodo voltamperometrico
Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro a valle dell’amperometro.
Risulta immediato constatare che il voltmetro misura esattamente la tensione ai capi dell’utilizzatore RU del quale si vuole misurare la potenza assorbita, mentre la corrente misurata
dell’amperometro è quella che circola nell’utilizzatore aumentata di quella assorbita dal voltmetro. Nella misura di corrente si commette dunque un errore di tipo sistematico.
Si possono infatti scrivere le solite relazioni
⎧V V = V U
⎨
⎩I A = IU + IV
(6.12)
126
Quello che interessa determinare è il valore
PU = V U I U
(6.13)
mentre invece si misura la potenza PM data da
V U2
P M = V U I A = V U ( I U + I V ) = V U I U + V U I V = P U + ------RV
(6.14)
nella quale RV è la resistenza interna del voltmetro.
Appare evidente che l’errore sistematico è positivo (si misura in più) ed è tanto minore quanto
più elevato è il valore di RV a parità di tensione (il voltmetro ideale è quello con R V = ∞ ).
L’errore sistematico espresso in valore relativo percentuale risulta immediatamente pari a
V U2 ⁄ R V
ε % = 100 -----------------PU
(6.15)
L’errore sistematico può essere corretto se è nota RV tramite la relazione
V U2
P U = P M – ------RV
(6.16)
In modo analogo si può trattare il caso del circuito con l’amperometro a valle del voltmetro. Si
possono scrivere le relazioni
⎧V V = V U + V A
⎨
⎩I A = IU
(6.17)
P M = V V I U = ( V U + V A )I U = V U I U + V A I U = P U + I U2 R A
(6.18)
La potenza misurata è data da
nella quale RA è la resistenza interna dell’amperometro (l’amperometro ideale è quello con
R A = 0 ).
L’errore sistematico che si commette è positivo (si misura in più) ed è tanto minore quanto più
piccolo è il valore di RA a parità di corrente.
L’errore sistematico espresso in valore relativo percentuale risulta
I U2 R A
ε % = 100 -----------PU
(6.19)
Il valore della potenza misurata può essere corretto se è nota RA tramite la relazione
P U = P M – I U2 R A
(6.20)
127
Si può concludere che in entrambi i casi considerati, la potenza misurata è più grande di quella
da determinare.
La scelta dello schema non è arbitraria e ci si deve orientare allo schema con voltmetro a monte
per la misura su circuiti di bassa resistenza e allo schema con amperometro a monte per la
misura su circuiti di resistenza elevata, analogamente a quanto visto per la misura delle resistenze.
Anche per le misure di potenza è in ogni occasione necessario valutare l’opportunità o meno di
effettuare la correzione dell’errore sistematico.
La stima dell’incertezza che grava sulla stima del misurando (potenza assorbita) deve essere
valutata partendo dalle incertezze tipo relative a tensione e corrente e determinando quindi
l’incertezza composta e quella estesa con le regole indicate nel Capitolo 1.
6.3.
Misura di Tensioni Alternate
Di una tensione alternata può essere richiesta la determinazione dei valori efficace, medio e di
cresta. Per misurare il valore efficace si usano strumenti elettromagnetici.
Di una grandezza alternata presentano significato tre valori: il valore efficace, il valore medio e
il valore di cresta la cui importanza varia a seconda del fenomeno in esame. I rapporti tra i tre
valori citati sono costanti e definiti solamente se l’onda della grandezza è sinusoidale nel qual
caso valgono le relazioni
VM =
2 2
2V e V m = ---------- V
π
(6.21)
essendo
• V il valore efficace;
• VM il valore di cresta;
• Vm il valore medio sul semiperiodo.
Per misurare il valore efficace di tensioni alternate (sinusoidali o meno) si può ricorrere a strumenti indicatori di tipo elettromagnetico.
Analogamente a quanto esposto per le misure in continua, alla parte fondamentale dello strumento vengono aggiunte resistenze addizionali per ottenere più portate (e quindi più costanti).
Lo schema che si impiega è lo stesso di Figura 6.1.
Le portate classiche variano da alcune decine ad alcune centinaia di volt, mentre tipiche sono le
classi di precisione 0.2 e 0.5.
128
6.3. Misura di Tensioni Alternate
Per misurare i valori medio e di cresta si possono usare strumenti magnetoelettrici con opportuni dispositivi ausiliari.
Se della tensione di cui si desidera misurare il valore medio, si deve operare in modo diverso,
tenendo presente quanto segue.
Premesso che il valore medio di una grandezza alternata esteso ad un intero periodo è nullo per
definizione, interessa a volte determinare il valore medio limitato ad un solo semiperiodo. Allo
scopo si può ricorrere all’uso di uno strumento magnetoelettrico al quale è stato applicato un
raddrizzatore. Lo schema di principio è quello di Figura 6.5.
V
Vi
Vu
Tensione
Vu
Vi
Tempo
Fig. 6.5
Voltmetro sensibile al valore medio sul semiperiodo di una tensione alternata
Nella bobina mobile dello strumento passa quindi una corrente unidirezionale periodica per cui,
se la frequenza meccanica propria dell’equipaggio mobile è notevolmente più bassa di quella
del segnale da misurare, la deviazione dell’indice risulta proporzionale al valore medio della
grandezza (Vm).
Vale la relazione
2
V m = --T
T ⁄2
∫
V M sin ( ωt ) dt
(6.22)
0
dove VM è il valore massimo della tensione, ω la pulsazione, T il periodo e t il tempo.
Sugli strumenti concepiti per misurare il valore medio, la scala è di solito tracciata moltiplicandola per π ⁄ ( 2 2 ) = 1.11 che è il fattore di forma relativo ad un’onda sinusoidale. In tal modo
la lettura dello strumento corrisponde al valore efficace della grandezza sinusoidale che ha
valore medio uguale a quello della grandezza misurata (taratura in valore efficace).
La presenza dei raddrizzatori fa si che questi strumenti abbiano classe di precisione non
migliore di 0.5.
La misura del valore di cresta di una tensione alternata, può essere ancora misurata, sotto certe
condizioni, con uno strumento magnetoelettrico utilizzando lo schema di Figura 6.6.
Il condensatore C, caricato attraverso i raddrizzatori, tende ad assumere il valore di cresta della
tensione applicata. Se lo strumento magnetoelettrico presenta resistenza interna elevata, tanto
129
Vd
C
V i I i = Id
Fig. 6.6
V Vu
Voltmetro sensibile al valore di cresta di una tensione alternata
che il prodotto R C risulti notevolmente superiore alla durata del semiperiodo dell’onda della
tensione, il condensatore si scarica poco durante il tempo in cui la tensione non è al valore di
cresta. Di conseguenza, l’indicazione dello strumento risulta praticamente proporzionale al
valore di cresta. Per ottenere il risultato richiesto è quindi opportuno che la resistenza interna
dello strumento sia molto elevata e il condensatore di capacità pure elevata.
6.4.
Misura di Correnti Alternate
Per la misura delle correnti alternate è in generale richiesto il valore efficace per cui si può
ricorrere all’impiego di strumenti elettromagnetici.
Negli amperometri elettromagnetici, la bobina viene realizzata con poche spire di sezione relativamente elevata. Molte volte la bobina è suddivisa in due parti uguali che possono essere collegate in serie o in parallelo per ottenere così uno strumento con due portate, come schematicamente indicato in Figura 6.7.
I
I
I/2
I
I
Connessione in Serie
Fig. 6.7
I
I
I/2
Connessione in Parallelo
Amperometro elettromagnetico
Gli amperometri elettromagnetici hanno normalmente portate non superiori a 10 A. Per misurare correnti più elevate si può ricorrere alla interposizione di trasformatori di corrente (descritti
nel Capitolo 11) in quanto l’uso di shunt non è possibile per la presenza di parametri non puramente ohmici.
Per misure di laboratorio dalla continua a 500 Hz sono abbastanza diffusi amperometri elettromagnetici in classe 0.2 e 0.5.
130
6.5. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale
6.5.
Misure di Potenza Attiva in Sistemi Monofase in
Regime Sinusoidale
Per la misura delle potenze attive in regime sinusoidale si può ricorrere all’uso di wattmetri
elettrodinamici. In un sistema ad N fili, la misura di potenza può essere condotta con N – 1
wattmetri. La misura è sempre affetta da errore sistematico di segno positivo.
In un circuito monofase in regime sinusoidale, la potenza istantanea (p) è uguale al prodotto dei
valori istantanei di tensione (v) e corrente (i)
p = vi = V M sin ( ωt ) I M sin ( ωt + ϕ )
(6.23)
nella quale VM e IM sono i valori di cresta delle grandezze in gioco, ω la pulsazione, ϕ l’angolo
di sfasamento esistente tra le due grandezze (ritardo della corrente sulla tensione) e t il tempo.
Sviluppando il prodotto si ottiene la relazione
p = VI cos ( ϕ ) + VI sin ( 2ωt + ϕ )
(6.24)
nella quale V e I rappresentano i valori efficaci rispettivamente di tensione e corrente.
Dalla equazione (6.24) si rileva che la potenza istantanea è formata da un termine costante
VI cos ( ϕ ) e da un termine sinusoidale a frequenza doppia VI sin ( 2ωt + ϕ ) .
Il valore che interessa, in quanto presiede agli scambi di energia, è il valore medio di p sul periodo (P) che si identifica con il primo termine
P = VI cos ( ϕ )
(6.25)
in quanto il secondo termine ha valore medio nullo. Gli andamenti della potenza istantanea e
della potenza media sono rappresentati Figura 6.8.
Lo strumento analogico classico per la misura della potenza attiva è il wattmetro elettrodinamico che fornisce una indicazione proporzionale al valore medio della potenza istantanea (si
veda anche quanto è già stato detto nel Capitolo 4). Alla bobina fissa viene inviata la corrente
(amperometrica) mentre quella mobile è sottoposta alla tensione (voltmetrica). La Figura 6.9
illustra le due possibili inserzioni.
I wattmetri di laboratorio hanno solitamente la bobina amperometrica realizzata con poche spire
di sezione relativamente elevata, suddivisa in due sezioni uguali che possono essere messe in
serie o parallelo (due portate amperometriche). La bobina voltmetrica è invece costituita da
molte spire di piccola sezione, associate alla quale sono più resistenze addizionali (più portate
voltmetriche).
Ad ogni combinazione tensione/corrente corrisponde una ben definita costante strumentale. La
costante (kW) dello strumento è determinata dal prodotto delle portate amperometrica e voltmetrica diviso per il numero delle divisioni della scala.
La misura effettuata con il wattmetro è affetta da errore sistematico la cui entità dipende
dall’autoconsumo dello strumento e il cui segno è sempre positivo (si misura sempre in più).
131
Tensione, Corrente, Potenza
v
p
i
P
Tv = Ti = 2 Tp
Tempo
Fig. 6.8
Andamenti della potenza istantanea e della potenza media in funzione del tempo
I
IU
I
W
W
RA
V
Fig. 6.9
IU
RV
RA
U
VU
V
RV
U
VU
Possibili inserzioni del wattmetro per misure di potenza attiva in sistemi monofase
Con riferimento alla Figura 6.9, nel caso in cui la voltmetrica è derivata a valle dell’amperometrica, si può osservare, in analogia a quanto esposto a proposito delle misure in continua, che la
tensione applicata allo strumento è esattamente quella esistente ai morsetti dell’utilizzatore,
mentre la corrente nell’amperometrica comprende anche la quota parte assorbita dalla voltmetrica.
Il wattmetro misura quindi una potenza (PM) più grande di quella realmente assorbita dall’utilizzatore (PU) secondo la relazione
2
PM
VU
= P U + ------RV
(6.26)
con un errore sistematico relativo dato da
V U2 ⁄ R V
ε % = 100 -----------------PU
(6.27)
132
6.5. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale
Il valore di PU si può trovare immediatamente se è noto il valore di RV (correzione dell’errore
sistematico), utilizzando la relazione
2
PU
VU
= P M – ------RV
(6.28)
In analogia a quanto detto sopra, si può trattare ora lo schema che prevede l’amperometrica a
valle della voltmetrica. Anche in questo caso il wattmetro misura in più
2
P M = PU + I U R A
(6.29)
con un errore sistematico relativo pari a
2
ε%
IU RA
= 100 -----------PU
(6.30)
L’errore sistematico può essere corretto se si conosce il valore di RA, utilizzando la relazione
2
PU = P M – I U R A
(6.31)
Si noti che, a differenza di RV, la resistenza RA non è indipendente dalla temperatura in quanto
la bobina amperometrica è di rame. Si deve infine osservare che le relazioni scritte sopra sono
sempre valide, ad esempio, anche quando nel circuito sono in gioco potenze reattive.
Il wattmetro è anche affetto da un altro errore sistematico attribuibile allo sfasamento tra la
tensione applicata alla voltmetrica e la corrente che attraversa la bobina stessa. Poiché è di
difficile valutazione, di esso si tiene implicitamente conto nella classe che caratterizza lo strumento.
Un’altra causa di errore sistematico, che è però di difficile valutazione, è dovuta al fatto che il
circuito voltmetrico non è puramente resistivo (prevale in genere l’effetto induttivo della bobina
voltmetrica) per cui la corrente nello stesso non è perfettamente in fase con la tensione. Un altro
parametro che può creare errori dello stesso tipo, è la mutua induttanza esistente tra le due
bobine. Anche se nella costruzione degli strumenti si fa in modo di ridurre al minimo le cause
di errore suddette, si deve considerare, in linea generale, la situazione rappresentata dal diagramma vettoriale di Figura 6.10.
Prescindendo dagli autoconsumi, la potenza misurata risulta
P M = VI cos ( ϕ – ε )
(6.32)
essendo ε l’angolo tra la tensione applicata alla voltmetrica e la relativa corrente.
L’errore sistematico relativo che si commette è dato da
P M – PU
VI cos ( ϕ ) cos ( ε ) + VI sin ( ϕ ) sin ( ε ) – VI cos ( ϕ )
- = 100 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ε % = 100 -------------------PU
VI cos ( ϕ )
(6.33)
133
V
IV
ϕ
ε
Fig. 6.10
I
Diagramma vettoriale relativo a misure di potenza attiva in sistemi monofase
Essendo l’angolo ε molto piccolo, si può assumere cos(ε) = 1 per cui semplificando, si ottiene
VI cos ( ϕ ) + VI sin ( ϕ ) sin ( ε ) – VI cos ( ϕ )
ε % ≅ 100 --------------------------------------------------------------------------------------------------- = 100 tan ( ϕ ) sin ( ε )
VI cos ( ϕ )
(6.34)
Si conclude osservando che l’errore sistematico che si commette non dipende solo dallo strumento ma anche dalle caratteristiche del circuito (sarebbe nullo per ϕ = 0 e infinito per ϕ = 90°).
Risulta pertanto che le misure a basso fattore di potenza possono risultare critiche per quanto
riguarda l’accuratezza raggiungibile. Ad esempio, per cos(ϕ) = 0.05 si ha
1
tan ( ϕ ) ≅ ----------------- = 20
cos ( ϕ )
(6.35)
Se l’errore proprio (di fase) del wattmetro fosse dello 0.2%, l’errore sistematico sulla misura di
potenza sarebbe del 4% (di valore positivo se il misurando è induttivo, negativo se è capacitivo).
Poiché il valore di ε non è noto e non è neppure costante, ne risulta che è impossibile procedere
alla correzione dei risultati per cui il problema finisce per ricadere nella valutazione dell’incertezza di cui il risultato della misurazione risulta affetto.
Si deve anche rilevare che in tali condizioni, la deviazione dell’indice dello strumento sarebbe
molto ridotta (meno del 10% della scala) per cui diverrebbero rilevanti anche le incertezze di
lettura.
Per le misure di potenza a basso fattore di potenza conviene ricorrere a wattmetri detti a basso
cos(ϕ).
Per ovviare al problema sopra descritto, si può ricorrere all’uso di wattmetri per basso cos(ϕ)
che sono strumenti più pregiati nei quali la molla antagonista è ridotta in modo che la portata
dello strumento sia pure ridotta. Ad esempio, un wattmetro per cos(ϕ) = 0.2 va in fondo con una
134
6.6. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale
potenza attiva pari a 1/5 di quella corrispondente al prodotto V I, essendo V la portata voltmetrica e I quella amperometrica.
La costante di uno strumento di questo tipo è data dal prodotto delle portate amperometrica e
voltmetrica, a sua volta moltiplicato per il grado di alleggerimento applicato alla coppia resistente (sullo strumento è solitamente indicato il valore di questa secondo fattore).
6.6.
Misure di Potenza Apparente in Sistemi Monofase in
Regime Sinusoidale
La misura della potenza apparente in un circuito monofase in regime sinusoidale si ottiene
combinando le indicazioni del voltmetro e dell’amperometro.
Poiché non esiste uno strumento analogico capace di fornire direttamente la potenza apparente,
occorre utilizzare uno degli schemi indicati in Figura 6.11.
IA
IA
I
I
A
A
V
Fig. 6.11
RU
VU
RA
V
V
V
VV
VV
RU
VU
Schemi per la misura della potenza apparente in sistemi monofase in regime sinusoidale
La grandezza da misurare viene ottenuta dal prodotto delle indicazioni di voltmetro (VV) e
amperometro (IA),
S = VVIA
(6.36)
In linea di principio, anche questa misurazione è affetta da errore sistematico per tenere conto
del quale non è possibile operare se non si conosce l’angolo di sfasamento tra tensione e corrente dell’oggetto sotto misura.
In generale questa la correzione non viene applicata in quanto la potenza apparente presenta
importanza notevolmente ridotta rispetto alla potenza attiva. Nella valutazione della incertezza
con la quale la grandezza cercata viene determinata si può tenere conto dell’errore sistematico.
135
L’incertezza di misura composta e quella estesa vengono stimate applicando le regole indicate
nel Capitolo 1.
6.7.
Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Monofase in
Regime Sinusoidale
Per la misura della potenza reattiva non si dispone di strumenti analogici che consentano di
rilevare direttamente la grandezza per cui si ricorre alla determinazione indiretta. Il procedimento più diffuso è quello di elaborare le indicazioni di wattmetro, voltmetro e amperometro.
Quando le grandezze sono sinusoidali, la determinazione della potenza reattiva potrebbe essere,
in linea di principio, effettuata ricorrendo ad un varmetro, che costruttivamente potrebbe essere
derivato da un wattmetro facendo in modo che la corrente nella voltmetrica sia in quadratura
con la tensione (Figura 6.12).
I
var
V
Fig. 6.12
U
Schema di principio di un varmetro monofase
Con uno strumento di questo tipo l’indicazione sarebbe data da
Q = VI cos ( 90° – ϕ ) = VI sin ( ϕ )
(6.37)
Per ottenere la condizione cercata si dovrebbe ricorrere ad artifici circuitali la cui validità
sarebbe limitata ad una sola frequenza (presenza contemporanea di condensatori, induttori e
resistori). Come si vedrà più avanti, il problema può essere affrontato in modo diverso nel caso
dei circuiti trifase con tensioni e correnti sinusoidali.
Generalmente, la determinazione della potenza reattiva Q viene perciò effettuata per via indiretta elaborando le indicazioni di wattmetro, amperometro e voltmetro (sono quindi necessari
tre strumenti)
Q =
S2 – P2 =
( VI ) 2 – P 2
(6.38)
dove P è la potenza attiva misurata con il wattmetro e S è la potenza apparente determinata dal
prodotto V I.
136
6.8. Misura del Fattore di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale
Questa misurazione include errori sistematici del tipo già discusso e dei quali, volendo si può
tenere conto apportando le opportune correzioni.
Per la stima della incertezza che grava sul risultato finale, si deve operare secondo quanto indicato al Capitolo 1.
6.8.
Misura del Fattore di Potenza in Sistemi Monofase in
Regime Sinusoidale
Per la misura del fattore di potenza si potrebbe ricorrere a strumenti analogici logometrici ma
si preferisce determinare la grandezza per via indiretta elaborando le indicazioni di wattmetro,
voltmetro e amperometro.
L’uso di strumenti logometrici del tipo descritto nel Capitolo 4 consentirebbe di effettuare la
misura diretta del fattore di potenza. La scarsa diffusione di questi strumenti è legati alla modesta accuratezza conseguibile, per cui in laboratorio si preferisce procedere con la determinazione indiretta.
Come per la potenza reattiva si parte dalle indicazioni di wattmetro, amperometro e voltmetro.
Tra le diverse possibili elaborazioni quella che si preferisce è la seguente:
P
cos ( ϕ ) = --S
(6.39)
nella quale P è la potenza attiva e S la potenza apparente.
Degli errori sistematici si può tenere apportando, se necessario, le opportune correzioni. Per la
stima della incertezza che grava sul risultato finale, si deve operare secondo quanto indicato al
Capitolo 1.
6.9.
Misure di Potenza Attiva in Sistemi Polifase in
Regime Sinusoidale
In un sistema qualsiasi a N fili, la potenza attiva si può misurare utilizzando N – 1 wattmetri.
Le considerazioni sviluppate nel seguito sono state per semplicità riferite ai sistemi trifase ma
esse possono essere ovviamente estese a qualunque sistema avente un numero di fasi qualunque.
In un sistema trifase, l’oggetto sotto misura può essere collegato a triangolo o a stella, oppure
essere costituito da più carichi misti in parallelo (anche monofase), mentre il sistema di alimentazione può essere a tre o quattro fili.
137
La misura della potenza attiva su sistemi trifase a quattro fili deve essere eseguita con tre wattmetri.
Il sistema trifase è a quattro fili quando si è in presenza di neutro attivo (Figura 6.13). La
potenza attiva si ottiene come somma delle potenze relative a ciascuna delle fasi.
I1
1
Z1
W1
R1
I2
2
Z2
W2
R2
I3
3
O
Z3
W3
R3
N
Fig. 6.13
Misura di potenza attiva in un sistema trifase a quattro fili
Dette E1, E2 ed E3 le tensioni di fase e I1, I2 e I3 le rispettive correnti, sfasate rispetto alle prime
degli angoli ϕ1, ϕ2, ϕ3 la potenza è data da
P = E 1 I 1 cos ( ϕ 1 ) + E 2 I 2 cos ( ϕ 2 ) + E 3 I 3 cos ( ϕ 3 )
(6.40)
La misura della potenza attiva sui sistemi trifase a tre fili può essere eseguita con tre o due wattmetri.
Per i collegamenti a stella e triangolo, la potenza attiva si può sempre ottenere come somma
delle potenze relative a ciascuna delle fasi, come indicato per i sistemi a quattro fili
P = E 1 I 1 cos ( ϕ 1 ) + E 2 I 2 cos ( ϕ 2 ) + E 3 I 3 cos ( ϕ 3 )
(6.41)
138
6.9. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
Si tenga presente che nel caso in oggetto sono indicate con E1, E2 ed E3 le tensioni di fase e con
I1, I2 e I3 le correnti di linea, mentre nel caso del triangolo le E1, E2 ed E3 corrispondono alle
tensioni concatenate e le I1, I2 e I3 alle correnti di fase.
Si vuole ora dimostrare che la potenza attiva sui sistemi trifase a tre fili può essere misurata con
solo due wattmetri. In quanto segue si fa per semplicità riferimento ad un circuito collegato a
stella, anche se le conclusioni hanno validità più generale.
Se si modifica lo schema di Figura 6.14a in quello di Figura 6.14b, separando cioè il centro
stella delle voltmetriche da quello del carico si ha, in generale, che i due centri stella non coincidono elettricamente. Ciò può essere dovuto a dissimmetrie nelle impedenze a valle della
sezione di misura o nelle resistenze addizionali dei wattmetri.
I1
1
I1
Z1
W1
1
W1
R1
R1
I2
2
I2
Z2
W2
2
R2
R2
3
O
Z3
W3
R3
R3
(a)
Fig. 6.14
O´
I3
Z3
W3
Z2
W2
O
I3
3
Z1
(b)
Misura di potenza attiva in un sistema trifase a tre fili
Con notazione vettoriale, la somma delle indicazioni dei tre wattmetri può essere scritta come
P = (E1 – H ) • I 1 + (E2 – H ) • I 2 + (E3 – H ) • I 3
(6.42)
avendo indicato con H il vettore di tensione esistente tra i due centri stella. Sviluppando si
ottiene
P = E1 • I 1 + E2 • I 2 + E3 • I 3 + H • (I 1 + I 2 + I 3)
(6.43)
139
Essendo il sistema a tre fili, la somma vettoriale delle correnti è per definizione nulla, ovvero
I1 + I2 + I3 = 0
(6.44)
per cui la potenza misurata coincide con quella assorbita dal carico.
Un ulteriore passo può essere fatto ponendo in corto circuito una delle voltmetriche (ad esempio
quella del wattmetro W3) la cui tensione diverrà nulla, mentre sulle due rimanenti voltmetriche
la tensione passa da quella di fase alla concatenata, valgono allora lo schema e il diagramma
vettoriale di Figura 6.15, che rappresentano l’inserzione di Aron (Figura 6.16).
1
E 1´
O´
E 2´
E3´
H
E1
V31
ϕ1
V12
O
I3
E2
ϕ3
I2 ϕ2
E3
3
Fig. 6.15
I1
2
V23
Diagramma vettoriale relativo all’inserzione di Aron per la misura della potenza
attiva in un sistema trifase a tre fili
I1
1
Z1
W1
R1
I2
2
Z2
W2
R2
I3
O
Z3
3
Fig. 6.16
Inserzione di Aron per la misura della potenza attiva in un sistema trifase a tre fili
140
6.9. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
In questo caso si può scrivere
P = (E1 – E3) • I 1 + (E2 – E3) • I 2 + (E3 – E3) • I 3
(6.45)
L’ultimo termine della equazione (6.45) è evidentemente nullo e per tanto si ottiene
P = E1 • I 1 + E2 • I 2 + E3 • (– I 1 – I 2)
(6.46)
I3 = – I1 – I2
(6.47)
P = E1 • I 1 + E2 • I 2 + E3 • I 3
(6.48)
che, essendo
diventa
come volevasi dimostrare.
Da quanto sopra esposto deriva un importante conclusione di validità generale: la potenza
attiva in un circuito ad N fili può essere misurata con N – 1 wattmetri.
La conclusione alla quale si è giunti è valida per qualsiasi sistema polifase (incluso il monofase
che ha due fili e per il quale la misura di potenza si effettua con un wattmetro), anche se non
simmetrico nelle tensioni e squilibrato nelle correnti. Come si vedrà più avanti, la regola è
valida anche nel caso di grandezze non sinusoidali.
La misura effettuata con l’inserzione di Aron può comportare che un wattmetro fornisca indicazione negativa per cui essa deve essere sottratta dall’altra indicazione. Sui sistemi simmetrici
ed equilibrati, ciò avviene per fattori di potenza inferiori a 0.5.
Si osservi infine che, come le precedenti, anche questa misura è affetta da errore sistematico che
può essere corretto. Per la determinazione delle incertezze composta ed estesa si devono applicare le regole indicate nel Capitolo 1.
Sotto l’aspetto delle incertezze, si fa presente che nel caso di circuito a fattore di potenza molto
basso, l’inserzione di Aron può comportare incertezze molto elevate in quanto i due termini dei
quali si deve effettuare la sottrazione hanno ampiezze poco diverse tra loro. Poiché l’uso di
wattmetri a basso cos(ϕ) non è adatto per lo schema in oggetto, per la misura si deve ricorrere
a tre wattmetri, misurando le potenze di ogni fase e sommandole (in questo caso l’uso di wattmetri a basso cos(ϕ) è possibile).
141
6.10. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Polifase in
Regime Sinusoidale
La misura della potenza apparente viene ottenuta indirettamente dalla elaborazione di più strumenti. Se i sistemi sono simmetrici nelle tensioni ed equilibrati nelle correnti la determinazione
delle potenza apparente può essere fatta seguendo i metodi già indicati per i sistemi monofase.
Se il sistema in oggetto è simmetrico nelle tensioni ed equilibrato nelle correnti, le potenze
apparente e reattiva possono essere determinate per via indiretta seguendo regole analoghe a
quelle adottate per i sistemi monofase.
Per la potenza apparente vale la relazione
S =
(6.49)
3VI
essendo S la potenza apparente trifase, V la tensione concatenata ed I la corrente di linea.
6.11. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Polifase in
Regime Sinusoidale
La misura della potenza reattiva viene ottenuta indirettamente dalla elaborazione di più strumenti. Se i sistemi sono simmetrici nelle tensioni ed equilibrati nelle correnti la determinazione
delle potenza reattiva può essere fatta seguendo i metodi già indicati per i sistemi monofase.
Per la potenza reattiva si opera in modo analogo a quanto fatto per la potenza apparente, ottenendo
Q =
S2 – P2
(6.50)
nella quale P è la potenza attiva totale e S la potenza apparente determinata come sopra.
Un metodo assai diffuso per la misura della potenza reattiva è quello che, verificate le condizioni di simmetria e equilibrio, si basa sull’uso di un wattmetro inserito come indicato in
Figura 6.17.
La potenza reattiva risulta infatti
Q =
3VI cos ( 90° – ϕ ) =
3VI sin ( ϕ )
L’indicazione del wattmetro deve essere moltiplicata per
(6.51)
3 al fine di ottenere il valore di Q.
Questo metodo che, come già detto, presuppone le condizioni di simmetria ed equilibrio del
sistema, può essere utilizzato solamente per misure indicative (ad esempio, sui quadri di cen-
142
6.11. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
Z1
1
Wc
1
E1
Z2
2
O
O
ϕ I
90˚ – ϕ
V = V23
E3
Z3
E2
3
2
3
Fig. 6.17
Inserzione di un wattmetro per la misura della potenza reattiva in sistemi trifase
simmetrici ed equilibrati
trale). Per misure di precisione, non si può infatti presumere che le condizioni richieste siano
verificate.
Se i sistemi sono simmetrici nelle tensioni e non equilibrati nelle correnti la determinazione
delle potenze suddette può essere fatta con l’inserzione Righi.
Nel caso di carico squilibrato ma tensioni ancora simmetriche, si può ricorrere alla inserzione
di Figura 6.18 (inserzione di Righi o dei tre wattmetri).
Essa viene realizzata inserendo due strumenti secondo lo schema di Aron già discusso ed il terzo
con la bobina amperometrica sulla fase rimasta libera e la voltmetrica derivata fra le due altre
fasi.
Indicando con Wa, Wb e Wc le indicazioni dei tre wattmetri e ricordando l’ipotesi di simmetria
si ha
⎧ W a = V I 1 cos ( ϕ 1 – 30° )
⎪
⎨ W b = V I 2 cos ( ϕ 2 + 30° )
⎪
⎩ W c = V I 3 cos ( ϕ 3 – 90° )
(6.52)
W a + W c = V I 1 cos ( ϕ 1 – 30° ) + V I 3 cos ( ϕ 3 – 90° )
(6.53)
Si procede quindi ottenendo
143
Z1
1
Wa
Z2
2
Wb
O
Z3
3
Fig. 6.18
Wc
Inserzione di Righi per la misura della potenza reattiva in sistemi trifase simmetrici
Utilizzando note formule trigonometriche del coseno della somma o differenza di angoli si
ottiene per il primo termine
cos ( ϕ 1 – 30° ) = cos [ ( ϕ 1 + 30° ) – 60° ] =
= cos ( ϕ 1 + 30° ) cos ( 60° ) + sin ( ϕ 1 + 30° ) sin ( 60° ) =
(6.54)
1
3
= --- cos ( ϕ 1 + 30° ) + ------- sin ( ϕ 1 + 30° )
2
2
e per il secondo termine
cos ( ϕ 3 – 90° ) = cos [ ( ϕ 3 – 30° ) – 60° ] =
= cos ( ϕ 3 – 30° ) cos ( 60° ) + sin ( ϕ 3 – 30° ) sin ( 60° ) =
(6.55)
3
1
= --- cos ( ϕ 3 – 30° ) + ------- sin ( ϕ 3 – 30° )
2
2
da cui sostituendo si ottiene
1
3
W a + W c = V I 1 --- cos ( ϕ 1 + 30° ) + ------- sin ( ϕ 1 + 30° ) +
2
2
(6.56)
1
3
+ V I 3 --- cos ( ϕ 3 – 30° ) + ------- sin ( ϕ 3 – 30° )
2
2
144
6.11. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
A questo punto è possibile mettere in evidenza la potenza reattiva Q cercata e la potenza attiva
P, ottenendo
1
W a + W c = --- [ V I 1 cos ( ϕ 1 + 30° ) + V I 3 cos ( ϕ 3 – 30° ) ] +
2
3
+ ------- [ V I 1 cos ( ϕ 3 – 30° ) + V I 3 sin ( ϕ 3 – 30° ) ] =
2
(6.57)
1
3
= --- P + ------- Q
2
2
Ricordando che, secondo l’inserzione Aron, la potenza attiva è espressa da
P = Wa + Wb
(6.58)
1
3
W a + W c = --- ( W a + W b ) + ------- Q
2
2
(6.59)
W a – W b + 2W c
Q = -------------------------------------3
(6.60)
si ha finalmente
ossia
Questa formula permette di determinare la potenza reattiva Q in base alle tre letture Wa, Wb e
Wc dei tre wattmetri.
La potenza apparente può allora essere determinata con la relazione
S =
P2 + Q2
(6.61)
Nel caso di sistemi non simmetrici, si deve procedere diversamente. Per la potenza attiva vale
quanto detto nel Capitolo 6.9., per cui le potenze si sommano aritmeticamente. Per la potenza
reattiva si effettua la somma algebrica dei contributi delle singole fasi, tenendo presente i segni
relativi (ci possono essere carichi induttivi e capacitivi). Per la potenza apparente si procede vettorialmente, o più comodamente applicando la relazione
S =
(
2
∑ P) + (∑ Q)
2
(6.62)
Se non è possibile effettuare misure sulle singole fasi, le potenze apparente e reattiva non possono essere determinate in modo univoco.
Se il sistema può essere considerato simmetrico e gli squilibri sulle correnti non sono vistosi, si
può operare facendo la media delle correnti rilevate sulle tre fasi e procedendo quindi come
indicato per i sistemi simmetrici ed equilibrati.
145
6.12. Potenze Attiva, Reattiva ed Apparente in Regime
Non-Sinusoidale
Le definizioni di potenze reattiva ed apparente in regime non-sinusoidale possono essere date
solo in forma convenzionale (senza significato fisico).
6.12.1. Potenza Istantanea
Si consideri per semplicità un circuito monofase in cui la tensione o la corrente, o entrambe le
grandezze, non siano sinusoidali. Se ciascun segnale viene scomposto in serie di Fourier, si
ottengono tanti termini di tipo sinusoidale di ampiezza e fase diversa. Non necessariamente tutte
le armoniche sono presenti, anzi nella maggioranza dei casi avviene esattamente il contrario.
La potenza istantanea (p) è sempre uguale al prodotto dei valori istantanei di tensione (v) e corrente (i), qualunque sia la forma dei segnali
∞
p = vi =
∞
∑ V sin ( iωt ) ∑ I sin ( iωt + ϕ )
i
i
i=0
i
(6.63)
i=0
nella quale i simboli hanno significato ovvio.
Se si sviluppa il prodotto, si ottiene un numero di termini molto elevato (a causa dei prodotti
incrociati). A titolo d’esempio, in Figura 6.19 sono stati tracciati i diagrammi di tensione, corrente e potenza istantanee per casi di tensione sinusoidale e di corrente distorta.
In Figura 6.19a la corrente ha un’armonica di terzo ordine, mentre in Figura 6.19b un’armonica
di quinto ordine. In entrambi i casi il valore medio della potenza istantanea è nullo, stando a
significare che nella sezione di misura non transita potenza attiva. Il fatto che siano però in gioco
correnti e tensioni implica automaticamente che nel sistema è in gioco potenza reattiva.
6.12.2. Potenza Attiva
La potenza attiva in regime non-sinusoidale è data dalla somma dei prodotti scalari tra tensione e corrente relativi alle singole armoniche.
Si consideri un circuito monofase in cui sia la tensione che la corrente non siano sinusoidali. La
potenza attiva viene definita come
∞
P =
∑ V I cos ( ϕ )
i i
i
(6.64)
i=0
dove con l’indice i sono state indicate le varie armoniche.
146
6.12. Potenze Attiva, Reattiva ed Apparente in Regime Non-Sinusoidale
v
p
i
P
Tempo
(a)
v
i
p
P
Tempo
(b)
Fig. 6.19
Tensione, corrente e potenza istantanea in caso si forma d’onda di tensione sinusoidale e forma d’onda di corrente non sinusoidale
Si presuppone quindi che le onde di tensione e corrente siano state scomposte in serie di Fourier
nelle varie sinusoidi aventi ordine di armonicità da 1 a ∞. La potenza attiva è quindi costituita
dalla sommatoria dei prodotti scalari (in senso vettoriale) di tutte le combinazioni di tensioni e
correnti sinusoidali aventi la stessa frequenza e secondo il relativo angolo di sfasamento.
Si noti che quanto esposto è valido anche se corrente e tensione contengono componenti costanti
(in questo caso ϕ = 0).
147
Per quanto riguarda il comportamento del wattmetro, è importante rilevare che ogni contributo
V i I i cos ( ϕ i ) produce una coppia motrice Ci e che l’equipaggio mobile è globalmente sollecitato
dalla somma delle singole coppie. Ne consegue che il wattmetro è sempre in grado di fornire
l’indicazione corretta della potenza attiva che transita nella sezione del circuito in cui si effettua
la misura (almeno nel campo delle frequenze industriali).
Tale proprietà è valida anche per i sistemi polifase per cui resta confermato che le misure di
potenza attiva su un sistema qualunque possono sempre essere effettuate con N – 1 wattmetri.
6.12.3. Potenza Reattiva
In presenza di tensioni e correnti non sinusoidali, la definizione di potenza reattiva non è univoca e può essere solamente convenzionale.
Si consideri ancora per semplicità un circuito monofase in cui sia la tensione che la corrente non
siano sinusoidali. Della potenza reattiva si possono definire tutti i contributi delle diverse coppie
armoniche di tensioni e correnti analogamente a quanto fatto per la potenza attiva:
∞
Q =
∑ V I sin ( ϕ )
i i
i
(6.65)
i=0
dove con l’indice i sono state indicate le varie armoniche.
Questa potenza reattiva Q è quindi costituita dalla sommatoria dei prodotti vettoriali di tutte le
combinazioni di tensioni e correnti sinusoidali aventi la stessa frequenza e secondo il relativo
angolo di sfasamento.
Si devono ora prendere in considerazione anche tutti i prodotti tra i termini non isofrequenziali
(i ≠ k),
D ik = V i sin ( iωt ) I k sin ( kωt + ϕ k )
(6.66)
Si osservi che il valore medio di questi termini è nullo (potenza attiva nulla). Ci si deve ora chiedere in quale modo mettere in conto tutti i contributi del tipo descritto. La risposta a questa
domanda è discussa nei paragrafi seguenti.
6.12.4. Potenza Apparente
In regime non sinusoidale non è possibile dare una definizione univoca della potenza apparente
poiché non si può ricorrere alla rappresentazione convenzionale (vettoriale).
È generalmente accettato considerare convenzionalmente come potenza apparente in un circuito monofase il prodotto dei valori efficaci di tensione e corrente
S = VI
(6.67)
148
6.13. Alcune Teorie sul Significato delle Potenze in Regime Non-Sinusoidale
Si osservi che tale definizione non ha un chiaro significato fisico. Analogamente si può dire
della definizione del fattore di potenza mediante la relazione
P
cos ( ϕ ) = --S
(6.68)
Si può ulteriormente notare che se si applica in regime non-sinusoidale la stessa formula che in
regime sinusoidale si applica alle potenze si constata che
S2 – P2 ≥ Q
(6.69)
6.13. Alcune Teorie sul Significato delle Potenze in Regime
Non-Sinusoidale
Sulle definizioni delle potenze in regime non sinusoidale numerosi sono stati i contributi da
parte di studiosi della materia. Il fatto che esistano diverse interpretazioni per gli stessi fenomeni sta a dimostrare la convenzionalità dei procedimenti seguiti.
6.13.1. Teoria di Budeanu
Budeanu esprime la potenza apparente mediante le tre componenti P, Q e D, mutuamente ortogonali (rappresentazione nello spazio). Con P si intende la potenza attiva definita da
∞
P =
∑ V I cos ( ϕ )
i i
i
(6.70)
i=0
nella quale V0 e I0 rappresentano le eventuali componenti continue di tensione e corrente (nel
qual caso ϕ0 = 0).
Con Q si rappresenta la potenza reattiva definita da
∞
Q =
∑ V I sin ( ϕ )
i i
i
(6.71)
i=0
Per il termine D Budeanu propone la definizione
∞
D2
=
∞
∑ ∑ [V
2 2
k Im
+ V m2 I k2 – 2V k V m I k I m cos ( ϕ k – ϕ m ) ] con m ≠ k
(6.72)
m = 0k = 0
che assume valore nullo quando tutte le armoniche di corrente sono proporzionali a quelle di
tensione e quando tutti gli sfasamenti relativi ϕi sono uguali.
149
La formula sopra riportata che esprime D è una pura espressione matematica ricavata estrapolando ai sistemi con onde deformate le formule classiche del regime sinusoidale e si può dimostrare che
S2 = P2 + Q2 + D2
(6.73)
Al termine D si da il nome di potenza reattiva deformante ma la grandezza non ha alcun significato fisico anche se associato a potenza reattiva.
6.13.2. Teoria di Shepherd e Zakikhani
Questi due ricercatori hanno proposto di scomporre la potenza apparente in tre termini detti
rispettivamente potenza apparente attiva (AR), potenza apparente reattiva (AX) e potenza apparente deformante (AD) che assumono le espressioni
⎧ 2
⎛
⎪ AR = ⎝
⎪
⎪
⎪ A2 = ⎛
⎨ X
⎝
⎪
⎪
⎪ A2 = ⎛
⎝
⎪ D
⎩
∑ V ⎞⎠ ∑ I
2
2
k cos ( ϕ k )
∑ V ⎞⎠ ∑ I
2
2
k sin ( ϕ k )
2
k
k
k
2
k
k
(6.74)
k
∑ V ⎞⎠ ⎛⎝ ∑ I ⎞⎠ + ⎛⎝ ∑ V ⎞⎠ ⎛⎝ ∑ I + ∑ I ⎞⎠
2
k
2
p
k
2
j
p
2
k
j
k
2
p
p
in cui le armoniche comuni ai due segnali sono indicate con il pedice k, mentre i pedici j e p
indicano, rispettivamente, le armoniche contenute solo nel segnale di tensione e solo in quello
di corrente.
6.13.3. Teoria di Sharon
Sharon propone di scomporre la potenza apparente in tre componenti ortogonali, costituiti dalla
potenza attiva
∞
P =
∑ V I cos ( ϕ )
i i
i
(6.75)
i=0
dalla potenza reattiva in quadratura S0 data da
∞
S 02
=
V2
∑I
2
2
i cos ( ϕ i )
(6.76)
i=0
150
6.14. Misure di Potenza su Circuiti Non Lineari di Tipo Induttivo
e dalla potenza reattiva complementare SC data da
SC = ⎛
⎝
∑ V ⎞⎠ ∑ I
2
j
j
1
+ --2
2
2
k cos ( ϕ k )
+ V 2⎛
⎝
∑ I ⎞⎠ +
2
p
p
k
(6.77)
∑ ∑ [ V I cos ( ϕ ) + V I cos ( ϕ ) ]
h k
h
k
k h
h
2
k
dove V è il valore efficace della forma d’onda di tensione e con h e k si indicano le armoniche
non comuni.
6.13.4. Teoria di Czarnescki
Nella teoria di Czarnescki il problema è affrontato dal punto di vista della compensazione delle
componenti armoniche della corrente reattiva, definita dalla somma delle componenti armoniche della corrente, in quadratura rispetto alle corrispondenti armoniche di tensione.
Nei sistemi con onde deformate non si riesce, mediante un condensatore o un induttore, ad
annullare la totale potenza non attiva. Al fine di compensare le componenti armoniche della corrente reattiva è necessario un circuito rifasatore che presenti, per ciascuna armonica, una suscettanza pari all’opposto di quella del carico per la frequenza considerata o che richiuda la corrente
armonica prodotta da quest’ultimo.
La scomposizione della corrente in tre componenti ortogonali porta ad individuare una porzione
della totale potenza apparente S che può essere compensata per mezzo di un circuito passivo
(potenza reattiva Qr) e della potenza diffusa Ds per la quale tale tipo di compensazione è inefficace.
Alla teoria di Czarnescki può essere data una formulazione matematica piuttosto complessa che
presenta poco interesse pratico. Si deve poi tenere presente che nei sistemi in esame si è sovente
in presenza di fenomeni armonici rappresentabili attraverso circuiti a corrente costante (di
armonica) per cui è più semplice ragionare per via intuitiva e per singole armoniche.
6.14. Misure di Potenza su Circuiti Non Lineari di Tipo
Induttivo
Per la misura della cifra di perdita in lamierini magnetici si può utilizzare l’apparecchio di
Epstein. Occorre fare attenzione nella determinazione delle potenze perché il circuito è non
lineare e pertanto occorre interpretare i risultati.
Quando le misure di potenza devono essere effettuate su circuiti non lineari si deve porre particolare attenzione nella interpretazione dei risultati ottenuti. Per chiarire i concetti conviene fare
riferimento ad una classica misurazione che viene effettuata per determinare la cifra di perdita
dei lamierini magnetici utilizzati nelle macchine elettriche nelle quali essi sono sottoposti a
magnetizzazione alternata. I suddetti lamierini presentano caratteristica B = f(H) non lineare e
151
non indipendente dalle vicissitudini a cui gli stessi vengono sottoposti (cicli di isteresi), come
si può notare nella Figura 6.20.
Fig. 6.20
Ciclo di isteresi di un materiale magnetico
Si deve anche tenere presente che essendo B e H interdipendenti, risulta che se B è sinusoidale
non lo può essere H e viceversa. Il primo caso è il più comune e corrisponde, ad esempio, all’alimentazione del circuito elettrico con tensione sinusoidale impressa per cui anche il flusso e
l’induzione nel circuito magnetico risultano sinusoidali. La forma del campo H (che è poi quella
della forza elettromotrice e della corrente di eccitazione) è invece appuntita. Se è invece sinusoidale H (corrente sinusoidale impressa), B risulta appiattita (Figura 6.21).
Fig. 6.21
Andamento dei campi B e H in presenza di isteresi e saturazione nel materiale
magnetico
La potenza magnetizzante (induttiva) perde allora significato preciso appunto perché B ed H
non sono entrambe sinusoidali. In tal caso si può convenzionalmente fare riferimento al valore
efficace HE ed assumere come potenza magnetizzante specifica per unità di volume
QV =
2πfBH E
(6.78)
152
e per unità di massa
2π
Q M = ---------- fBH E
γ
(6.79)
dove γ è la densità di massa (o peso specifico). Un secondo importante problema riguarda le perdite che sono da attribuire a due fenomeni distinti: isteresi e correnti parassite. A causa del fenomeno di isteresi, durante la magnetizzazione viene fornita al materiale una energia che non è poi
interamente restituita durante la smagnetizzazione. L’energia perduta che si trasforma in calore
è rappresentata, in una certa scala e per unità di volume, della superficie del ciclo di isteresi. Si
può perciò scrivere
w =
∫ H dB
(6.80)
integrale esteso a tutto il ciclo. Poiché questa è l’energia dissipata per ogni ciclo, per passare
alla potenza basta tenere conto della frequenza. Si è soliti esprimere le perdite per isteresi con
una relazione del tipo
PI = k I f Bn
(6.81)
dove kI è una costante e n un esponente che varia tra 2 e 3 con l’induzione stessa (esponente di
Steimetz). Per limitare le perdite per isteresi il lamierino viene ottenuto da una lega ferro-silicio,
con silicio intorno al 3.5%.Un’altra sorgente di perdite è dovuta al fatto che per la presenza di
un flusso alternato, nello stesso materiale magnetico si inducono forze elettromotrici. Essendo
poi il materiale buon conduttore, si ha anche la circolazione di correnti parassite. Le perdite per
correnti parassite sono proporzionali ai quadrati di induzione, frequenza e spessore del lamierino e inversamente proporzionale alla resistività del materiale. Per limitare le perdite per correnti parassite, i circuiti magnetici vengono laminati e si fa ricorso a leghe che permettono di
aumentare la resistività. L’isolamento superficiale dei lamierini è oggi ottenuto per ossidazione
diretta durante il processo produttivo. Analogamente a quanto detto per le perdite per isteresi,
si può usare per le perdite per correnti parassite una espressione del tipo
PP = k P f 2 B 2
(6.82)
Le perdite totali nel circuito magnetico possono quindi essere espresse con la formula binomia
PO = k I f B n + k P f 2 B 2
(6.83)
A titolo indicativo si può ricordare che a 50 Hz e 1.5 T, la cifra di perdita può variare da 0.8 a
2.0 W/kg, i valori più bassi sono quelli dei lamierini a cristalli orientati usati nei trasformatori
di potenza. In definitiva, ci si trova ad operare su un sistema fortemente induttivo con corrente
non sinusoidale (nell’ipotesi di tensione sinusoidale).
Per quanto riguarda le potenze apparente e magnetizzante in gioco nel circuito, si rammenta
quanto già discusso in merito a circuiti in cui le grandezze in gioco non sono sinusoidali (nel
caso in oggetto la corrente).
Per la potenza apparente si può assumere convenzionalmente il prodotto tra i valori efficaci di
tensione e corrente.
153
Per la potenza reattiva, se si segue l’interpretazione dalla al problema dal Budeanu, se ne
devono considerare due tipi: convenzionale e distorcente.
Si ricorda che in casi come quelli in oggetto non è possibile tracciare diagrammi vettoriali in
quanto le grandezze non sono sinusoidali ed il fattore di potenza che perde il suo significato.
6.14.1. Apparecchio di Epstein per la Determinazione della Cifra di Perdita
di Lamierini Magnetici
L’apparecchio di Epstein viene utilizzato per determinare la cifra di perdita dei lamierini
magnetici che rappresenta la perdita dissipata dalla massa di un chilogrammo di materiale
quando uniformemente eccitato a prefissati valori di induzione e di frequenza.
L’apparecchio si presenta come indicato in Figura 6.22. Lungo i tubi esterni sono avvolti
insieme ed uniformemente in modo da simulare un solenoide, due avvolgimenti detti rispettivamente primario e secondario. Ciascuno di detti avvolgimenti è costituito da un predeterminato
numero di spire (normalmente 600 spire).
Fig. 6.22
Apparecchio di Epstein
Per la prova si sceglie una prefissata massa di lamierini (normalmente 10 kg) tagliati in strisce
di lunghezza e larghezza pure prefissate (500 mm e 30 mm, rispettivamente).
Le strisce così ottenute devono essere disposte nei tubi in modo che i giunti che si formano
all’esterno siano alternati e stretti così da ridurre l’effetto dei traferri.
Il circuito che si realizza per la misura è quello rappresentato in Figura 6.23. Esso presenta il
particolare che il voltmetro e la voltmetrica del wattmetro sono eccitate dalla tensione fornita
dall’avvolgimento secondario con il che si ottengono due grossi vantaggi:
154
• si escludono dalla misura della potenza le perdite per resistenza che si verificano nell’avvolgimento alimentato (primario);
• la forza elettromotrice indotta nel secondario è direttamente legata alla induzione nel circuito
magnetico, che è ciò che interessa.
A
W
~
Fig. 6.23
V
Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein
Si devono utilizzare strumenti di buona qualità che consentano di misurare la tensione, la
potenza, la corrente e la frequenza, preferibilmente di tipo digitale in quanto caratterizzati da
autoconsumo trascurabile. Si deve anche tenere conto che il circuito risulta fortemente induttivo
per cui è necessario l’impiego d un wattmetro adatto per basso fattore di potenza.
Per l’alimentazione del circuito occorre una sorgente che per il momento si considera in grado
di fornire una tensione perfettamente sinusoidale.
Per applicare il procedimento si deve determinazione della sezione S del pacco di lamierini, per
cui detti M la massa dei lamierini (chilogrammi), γ il peso specifico del materiale magnetico ed
L la lunghezza totale del circuito magnetico, si ottiene
M
S = -----γL
(6.84)
nella quale si può assumere γ = 7.6 kg/dm3 e L = 2.00 m.
Poiché lo scopo della misura è quello di determinare la cifra di perdita all’induzione B e alla
frequenza f, si può determinare la tensione E che deve apparire ai terminali del secondario per
dette induzione e frequenza, che risulta
E =
2πNfBS
(6.85)
nella quale N è il numero delle spire dell’apparecchio.
Le misure vengono quindi condotte rilevando un certo numero di valori di potenza assorbita in
funzione della tensione a frequenza costante, ed effettuando l’interpolazione grafica dei punti
risultanti, in modo da escludere eventuali letture affette da errori grossolani.
Al valore di tensione determinato come sopra si determina quindi la potenza misurata PM.
155
Se l’autoconsumo delle voltmetriche non è trascurabile, si deve apportate alla potenza misurata
dedotta come sopra una correzione p data da
E2
p = -----RT
(6.86)
essendo RT il valore della resistenza dell’arco doppio costituito dalle resistenze interne del voltmetro e della voltmetrica del wattmetro.
Si ottiene infine il valore della potenza corretta PC
PC = P M – p
(6.87)
Il valore della cifra di perdita cercato C è data infine dalla relazione
PC
C = -----M
(6.88)
6.14.2. Separazione delle Perdite
Se si desidera effettuare la separazione delle perdite si può osservare che partendo dalla espressione che esprime la perdita misurata si può scrivere
PC
------- = k I B n + k P f B 2
f
(6.89)
dove il termine al primo membro rappresenta la perdita per ciclo.
P/f
La funzione scritta rappresenta una retta in funzione della frequenza, per cui con una prova a
induzione costante in funzione di f si può ottenere la ripartizione desiderata (Figura 6.24). Naturalmente le ordinate in corrispondenza della induzione di riferimento (ovvero della tensione di
riferimento) devono essere moltiplicate per f per ottenere i valori desiderati che in genere si
esprimono poi in frazione (o percentuale) delle perdite totali corrette.
kPfB2
kIBn
f
Fig. 6.24
Ripartizione delle perdite in un materiale magnetico
156
6.14.3. Misura delle Perdite con Tensione Non Sinusoidale
In laboratorio ci si trova a volte a dover effettuare la determinazione della cifra di perdita con
una sorgente di tensione di onda non perfettamente non sinusoidale. La misura risulta così
affetta da errore sistematico che può però essere corretto in base alle considerazioni seguenti.
Si deve preliminarmente chiarire che le perdite per isteresi e per correnti parassite che si manifestano nel lamierino seguono leggi diverse:
• le perdite per isteresi sono funzione del valore massimo dell’induzione BM in conseguenza
del fatto che dipendono dal ciclo di isteresi. Si deve anche tenere presente che l’esponente di
Steimetz è, come già precisato, variabile con l’induzione stessa;
• le perdite per correnti parassite sono invece, per la legge di Joule, proporzionali al quadrato
del valore efficace delle tensioni indotte nei lamierini e dipendono quindi dal valore efficace
dell’induzione BE.
Ne consegue che se l’onda di tensione non è sinusoidale si pone il problema di come elaborare
i risultati delle misure condotte in funzione della tensione.
Si può allora osservare che sarebbe necessario disporre di uno strumento che sia in grado di
misurare il valore massimo dell’induzione (o una grandezza proporzionale a questa) e di un altro
strumento in grado di misurare il valore efficace dell’induzione stessa (o una grandezza proporzionale a questa).
Per la misura del valore efficace non vi sono problemi poiché basta utilizzare, per quanto detto
sopra, un voltmetro a valore efficace.
Per la misura del valore massimo dell’induzione sono necessarie alcune ulteriori considerazioni, che verranno descritte nel Capitolo 6.15.2.
Per effettuare le misure è allora necessario inserire nel circuito anche un voltmetro a valore
medio, come indicato in Figura 6.25.
A
W
~
Fig. 6.25
VE
VM
Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein con tensione non sinusoidale
Per l’esecuzione dei rilievi sperimentali si procede nello stesso modo precedentemente indicato
prendendo come riferimento le indicazioni del voltmetro a valore medio (tarato in valore efficace). In questo modo, si misurano correttamente le perdite per isteresi e non quelle per correnti
157
parassite che sono proporzionali al valore efficace della tensione. Il contrario avverrebbe se si
prendessero come riferimento le indicazione del voltmetro a valore efficace.
Per poter procedere alla correzione dei risultati e riportarli al caso di onda sinusoidale, è necessario procedere alla suddivisione delle perdite facendo rilievi in funzione della frequenza e ad
induzione costante, come precedentemente illustrato.
Conviene esprimere i risultati in funzione del voltmetro a valore medio in quanto l’esponente
di Epstein non è costante (si opera ad induzione massima costante).
Per l’induzione prescelta si determinano correttamente le perdite per isteresi per ciclo, per risalire alla potenza corrispondente si deve moltiplicare per la frequenza in modo da ottenere il termine
PI = k I f Bn
(6.90)
Le perdite per correnti parassite cercate si ottengono moltiplicando l’ordinata corrispondente
del grafico lineare per la frequenza e per il quadrato del rapporto tra il valore della tensione a
cui le perdite devono essere riferite e l’indicazione del voltmetro a valore efficace, per ottenere
V 2
P PC = k P f 2 B E2 ⎛ ------N-⎞
⎝V⎠
(6.91)
nella quale V è indicazione del voltmetro a valore efficace e VN è tensione alla quale devono
essere riportate le perdite.
Le perdite riportate all’onda sinusoidale si ottengono poi sommando le quote dovute all’isteresi
e alle correnti parassite (quest’ultima corretta come detto sopra)
P = P I + P PC
(6.92)
6.15. Alcune Misure Particolari
La misura di alcune grandezze caratteristiche, come il valore di cresta di tensioni alternate elevate o il valore massimo dell’induzione magnetica, richiede metodi specifici.
6.15.1. Misura del Valore di Cresta di Tensioni Alternate Elevate
In Figura 6.26 è rappresentato uno schema adatto per la misurazione del valore massimo (di cresta) di una grandezza alternata particolarmente adatto per alta tensione.
Ad un condensatore per alta tensione, ad esempio in gas compresso, viene posto in serie un
dispositivo costituito da due diodi in controfase, un milliamperometro magnetoelettrico (o altro
strumento sensibile al valore medio) e un resistore di valore pari a quello della resistenza interna
del milliamperometro. Poiché il condensatore è di bassa capacità (dell’ordine delle centinaia o
migliaia di picofarad), la presenza del dispositivo aggiuntivo non influisce sul valore della cor-
158
v
C
mA
Fig. 6.26
Misura del valore di cresta di tensioni alternate elevate
rente e nemmeno sulla sua forma. In questo modo, la corrente istantanea di carica i del condensatore alimentato dalla tensione alternata v, che risulta
dv
i = C ----dt
(6.93)
viene raddrizzata dai due diodi che funzionano alternativamente.
Poiché, qualunque sia la forma della tensione da misurare, la corrente di carica si annulla in corrispondenza dei massimi della tensione (Figura 6.27) è possibile scrivere
i dt = C dv
(6.94)
L’integrale definito esteso per mezzo periodo della corrente dato da
2
δ = --T
T ⁄2
∫
0
2
i dt = --T
∫
VM
4C
C dv = ------- V M
T
–V M
(6.95)
risulta quindi proporzionale al valore massimo della tensione (VM).
Più esattamente, poiché il milliamperometro è percorso dalla corrente solamente per mezzo
periodo, la corrente media (Im) da esso indicata sarà data da
2C
I m = ------- V M = 2 fCV M
T
(6.96)
Si noti che la corrente indicata dallo strumento è funzione della frequenza.
6.15.2. Misura del Valore Massimo dell’Induzione Magnetica
In diversi tipi di misure industriali che coinvolgono grandezze magnetiche, come per esempio
nella misura della cifra di perdita di un materiale magnetico tramite il giogo di Epstein, si rende
necessario determinare il valore massimo dell’induzione magnetica.
159
i
T/2
v
Tensione, Corrente
Im
Tempo
Fig. 6.27
Andamento di tensione e corrente nel circuito per la misura del valore di cresta di
tensioni alternate elevate
Si dimostra che tale valore massimo è proporzionale al valore medio della tensione indotta
purché la forma d’onda della grandezza passi per lo zero due volte per periodo. Si considerino
le forme d’onda riportate Figura 6.28 che rappresentano i valori istantanei dell’induzione
magnetica b e la forza elettromotrice di autoinduzione o indotta e. Si può allora scrivere
dφ
db
e = – N ------ = – N ------ A
dt
dt
(6.97)
dove N è il numero di spire A la sezione dei circuito magnetico.
BM
b
e T/2
Tensione, Corrente
Em
–BM
Tempo
Fig. 6.28
Andamento di tensione e induzione magnetica nel circuito per la misura del valore
massimo dell’induzione magnetica
160
In forma diversa si può scrivere
e dt = – NA db
(6.98)
Il valore medio della tensione (Em) riferito al semiperiodo, misurato ad esempio con un voltmetro magnetoelettrico collegato come indicato in Figura 6.5, è dato da
Em
2
= --T
T ⁄2
∫
0
2
e dt = --T
∫
BM
2NA
– NA db = – ----------- 2B M = – 4 NAf B M
T
–BM
(6.99)
avendo indicato con T il periodo, con f la frequenza e con BM il valore massimo dell’induzione.
Questa relazione è valida in quanto la forza elettromotrice indotta è nulla quando è nulla la derivata dell’induzione, ovvero quando quest’ultima è massima.
Si tenga presente che se il voltmetro a valore medio è tarato in valore efficace per onda sinusoidale, il fattore di forma sarà dato dal rapporto tra il vero valore efficace della tensione e l’indicazione del voltmetro sensibile al valore medio, moltiplicato per 1.11.
Inoltre, si può osservare che per onda sinusoidale il valore efficace della forza elettromotrice
(E) sarebbe dato da
E = 1.11E m = – 4.44NAf B M
(6.100)
formula ben nota dall’elettrotecnica elementare.
161
162
7.1. Generalità
7. Strumenti Digitali
7.1.
Generalità
Negli strumenti indicatori digitali la lettura della grandezza da misurare è espressa in forma
numerica attraverso un certo numero di cifre (digit). Quanto sia più comodo leggere direttamente il numero cercato, invece di ricavarlo dalla posizione di un indice su una scala come nel
caso degli strumenti analogici, è sensazione comunemente acquisita.
L’indicazione sotto forma numerica permette sia di aumentare considerevolmente la velocità di
lettura, sia di eliminare l’errore umano nella valutazione del dato. Inoltre, con gli strumenti digitali è possibile pilotare direttamente sistemi di memoria, di stampa, di registrazione magnetica,
o interfacciarsi direttamente con un personal computer in modo da realizzare sistemi di misura
complessi.
Il problema di fondo di uno strumento digitale consiste nello stabilire una corrispondenza univoca tra la grandezza analogica di ingresso (continua sia nel tempo sia in ampiezza) e la grandezza digitale di uscita (discreta sia nel tempo sia in ampiezza). Il grado di discretizzazione del
segnale incide ovviamente sulla incertezza che caratterizza il risultato della misurazione.
Qualora il risultato della misurazione debba essere disponibile per la lettura di un operatore,
esso deve venire espresso in codice decimale; si deve quindi provvedere ad una riconversione
nel linguaggio comprensibile dall’utente (decodifica). Sia la codifica che la decodifica avvengono praticamente senza errori, così come la eventuale trasmissione a distanza, mentre errori
possono essere introdotti nella fase di conversione A/D, come ampiamente illustrato nel
Capitolo 9.
I dispositivi descritti nel Capitolo 8 (moduli analogici) e nel Capitolo 9 (convertitori A/D) vengono utilizzati per realizzare strumenti ad indicazione numerica, il cui schema a blocchi di principio è illustrato in Figura 7.1.
Nello schema di Figura 7.1 di possono identificate i seguenti blocchi circuitali:
• Condizionamento Analogico: elabora in modo analogico i segnali di ingresso in modo da renderli compatibili con i convertitori A/D; può contenere amplificatori, filtri, convertitori corrente/tensione, convertitori AC/DC;
• Convertitori A/D: convertono i segnali analogici in segnali digitali usando un Riferimento
variabile a seconda della portata scelta;
• Microprocessore: elabora l’informazione digitale;
• Base dei Tempi (Clock): fornisce la corretta temporizzazione al Microprocessore e ai Convertitori A/D;
• Memoria: memorizza i dati;
163
7 Strumenti Digitali
Memoria
Ingressi
Analogici
Riferimento
Condizionamento
Analogico
Convertitori
A/D
Microprocessore
Output
Base dei Tempi
(Clock)
Fig. 7.1
Schema a blocchi di principio di uno strumento digitale
• Output: converte i risultati della misurazione in un formato leggibile per l’utente; può essere
un display numerico o un monitor.
Il numero dei blocchi e la loro interconnessione varia con la funzione dello strumento e con la
sua classe di precisione.
7.2.
Multimetri
I multimetri (Figura 7.2) sono strumenti che, sfruttando i vantaggi della tecnologia digitale
(Figura 7.1), permettono di misurare diverse grandezze sia in corrente continua sia in corrente
alternata (tipicamente tensione, corrente e resistenza).
Fig. 7.2
Multimetri digitali
164
7.2. Multimetri
Per funzionare come voltmetro, il multimetro utilizza direttamente il convertitore A/D per tradurre la tensione di ingresso in forma digitale. Quando opera come amperometro, invece, il multimetro sfrutta un convertitore corrente/tensione per trasformare la corrente di ingresso in una
tensione di ampiezza adeguata per essere convertita in forma digitale. Il convertitore corrente/tensione può essere una semplice resistenza (shunt) oppure un circuito più complesso
basato su amplificatori operazionali.
Per funzionare come ohmmetro il multimetro dispone di una sorgente interna di corrente
costante e tarata che viene fatta fluire nel resistore in misura, producendo una caduta di tensione
proporzionale al valore di resistenza all’ingresso del convertitore A/D. Il valore numerico in
uscita al convertitore A/D viene elaborato dal microprocessore in modo da determinare il corretto valore di resistenza.
Per le misure in corrente alternata il multimetro può disporre di un semplice circuito raddrizzatore con misura del valore medio della tensione. Il dato di misura in questo viene espresso in
valore efficace moltiplicandolo automaticamente per il fattore di forma 1.11, supponendo la
grandezza sinusoidale. Il risultato è perciò corretto sino a che la forma d’onda della tensione o
corrente non presenta distorsioni. Per misurare correttamente il valore efficace, anziché un semplice circuito raddrizzatore, può essere utilizzato un circuito in cui il segnale d’uscita è legato a
quello di ingresso da una relazione avente una legge quadratica.
Ampiezza
Multimetri più moderni, infine, calcolano il valore efficace nel dominio digitale. Con il convertitore A/D si effettua il campionamento della forma d’onda di tensione a determinati intervalli
di tempo ottenendo un certo numero di valori istantanei V1, V2, …, Vn, nell’ambito di un periodo, come illustrato in Figura 7.3.
Vn
V1V2
Fig. 7.3
t
Calcolo del valore efficace nel dominio digitale
165
Il microprocessore dello strumento viene quindi usato per eseguire il calcolo del valore efficace
della grandezza, secondo la nota formula
n
∑V
2
i
i--------------=1 -
V eff =
n
(7.1)
La velocità di misura dei multimetri dipende dal numero di cifre che si vuole ottenere: un dato
a 7 1/2 cifre può richiedere 2 s per una misura, mentre dati a 3 1/2 cifre possono essere ottenuti
con sequenze di diverse migliaia di misure al secondo. L’incertezza di misura dei multimetri
può essere contenuta entro limiti molto modesti, inferiori a quella dei corrispondenti apparecchi
elettromeccanici, in quanto non vi sono parti meccaniche in movimento.
7.3.
Wattmetri
Nei wattmetri digitali, i segnali di tensione e di corrente vengono prima trasformati in valori
numerici corrispondenti a tanti valori istantanei di un periodo, come avviene per il calcolo del
valore efficace nei multimetri. Il microprocessore effettua poi il calcolo della potenza nel dominio del tempo.
Nei wattmetri in oggetto, i due segnali proporzionali alle tensioni e alle correnti entrano in convertitori A/D adeguatamente veloci, capaci di effettuare molte migliaia di conversioni al
secondo e pertanto di eseguire, su un’onda a 50 Hz, alcune centinaia di misure per ogni periodo
dell’onda stessa. I valori numerici forniti in uscita dai convertitori A/D rappresentano praticamente tanti valori istantanei Vi e Ii delle onde di tensione e di corrente che il microprocessore
provvede a moltiplicare per ottenere le potenze istantanee Pi che poi elabora opportunamente
per determinare la potenza media P nel periodo, secondo la formula
n
∑V I
i i
P =
i-----------------=1
-
n
(7.2)
Il valore di P, convertito in codice decimale, ossia in cifre secondo la nostra consueta numerazione, appare quindi all’operatore sul visore dello strumento. Gli analizzatori di potenza sono
strumenti adatti alla misura di tutti i parametri dei circuiti a corrente alternata. Lo strumento
misura la tensione e la corrente del circuito, trasforma i valori analogici in segnali di tipo digitale, effettua le operazioni matematiche necessarie ad ottenere i valori efficace e medio delle
tensioni, il valore efficace delle correnti, le potenze attiva, reattiva e apparente, nonché il fattore
di potenza, utilizzando le definizioni di ciascuna grandezza.
Lo schema a blocchi di un analizzatore di potenza è del tutto analogo a quello illustrato in
Figura 7.1. La Figura 7.4 offre una visione del pannello frontale di un tipico wattmetro digitale.
166
7.4. Strumenti per Misure di Frequenza e Intervalli di Tempo
Fig. 7.4
7.4.
Wattmetro digitale
Strumenti per Misure di Frequenza e Intervalli di
Tempo
Gli strumenti digitali per la misura di frequenze o intervalli di tempo si limitano a confrontare
una frequenza o un intervallo di tempo incogniti con una frequenza o un intervallo di tempo noti.
L’accuratezza della misura dipende essenzialmente dalla stabilità della frequenza o dell’intervallo di tempo noto, cioè dalla precisione e stabilità della base dei tempi dello strumento.
7.4.1. Strumenti per Misure di Frequenza e Periodo
Lo schema a blocchi di uno strumento per la misura di frequenza o periodo è illustrato in
Figura 7.5. Lo strumento è costituito da una base dei tempi (Clock), un circuito di condizionamento del segnale di ingresso (Formatore), un interruttore (Gate), un contatore di impulsi (Contatore) e un dispositivo di interfaccia col mondo esterno (Output). Il blocco Formatore ha il
compito di trasformare il segnale di ingresso in un onda quadra adatta ad essere utilizzata per
comandare il Gate e il Contatore.
Nel caso di misurazione di frequenza lo strumento conta il numero di periodi N del segnale di
ingresso (A) compresi in un periodo del segnale di riferimento (B). Il numero N è dato da
T
f
N = ------B- = -----ATA
fB
(7.3)
Se TB = 1 s, N rappresenta direttamente la frequenza del segnale di ingresso. In questo caso la
risoluzione della misurazione è tanto più elevata quanto più alta è la frequenza del segnale di
ingresso rispetto a quella del segnale di riferimento.
Nel caso di misurazione di periodo lo strumento conta il numero di periodi N del segnale di riferimento (A) compresi in un periodo del segnale di ingresso (B). Il numero N è dato da
T
N = ------BTA
(7.4)
167
Ingresso
Misurazione di Frequenza
Gate
Formatore
A
Contatore
B
TB
B
Clock
Output
TA
A
Misurazione di Periodo
Gate
Clock
A
Contatore
Ingresso
B
Fig. 7.5
TB
B
Formatore
Output
TA
A
Strumento digitale per misure di frequenza e periodo
Se TA = 1 s, N rappresenta direttamente il periodo del segnale di ingresso. In questo caso la risoluzione della misurazione è tanto più elevata quanto più alta è la frequenza del segnale di riferimento rispetto a quella del segnale di ingresso.
In generale per ottenere una misurazione di frequenza con una buona risoluzione conviene adottare una misurazione di periodo per frequenze fino a 100 kHz e una misurazione di frequenza
per frequenze superiori.
In aggiunta va ricordato che in entrambi i casi esiste una ambiguità naturale di ±1 sull’ultima
cifra significativa del conteggio, dovuta allo sfasamento esistente fra segnale di ingresso e
segnale di riferimento. La Figura 7.6 chiarisce questo concetto. Altri elementi di incertezza
nella misurazioni di periodi e frequenze sono l’incertezza della frequenza del segnale di riferimento e eventuali errori introdotti dal circuito Formatore nel condizionamento del segnale di
ingresso.
Se nello schema a blocchi di Figura 7.5 si sostituisce alla base dei tempi (Clock) un secondo
ingresso con un secondo Formatore, si esegue la misura del rapporto esistente fra le frequenze
dei due segnali di ingresso.
7.4.2. Strumenti per Misure di Intervalli di Tempo
La misurazione di intervalli di tempo è concettualmente simile alla misurazione di frequenze e
periodi, come illustrato in Figura 7.7. Tuttavia, in una misurazione di intervallo di tempo il periodo TB viene definito dalla combinazione di due impulsi ottenuti tramite due circuiti Formatori
168
7.4. Strumenti per Misure di Frequenza e Intervalli di Tempo
B
N = 25
A1
N = 24
A2
t
Fig. 7.6
Incertezza nel conteggio in misurazioni di frequenza e periodo
VStop
Formatore
Formatore
Start
Stop
Contatore
B
Gate
VStart
Generatore di ∆t
(sostanzialmente dei comparatori) a partire da due segnali di ingresso che definiscono gli istanti
di inizio (Start) e di fine (Stop) dell’intervallo di tempo.
A
Start
Stop
B
Clock
Fig. 7.7
Output
TB = ∆t
TA
A
Strumento digitale misure di intervalli di tempo
Il numero di periodi N del segnale di riferimento (A) compresi nell’intervallo di tempo considerato (B) è dato da
T
∆t
N = ------B- = ------TA
TA
(7.5)
In questo caso oltre agli elementi di incertezza già citati per le misurazioni di frequenza e periodo, occorre anche tener conto dell’incertezza con cui vengono generati dai circuiti Formatore
gli impulsi di Start e Stop, la quale tra l’altro dipende dall’ampiezza dei segnali VStart e VStop,
ovvero dall’entità degli eventi corrispondenti (fenomeno di “walk”), come illustrato in
Figura 7.8.
La risoluzione ottenibile in misurazioni di intervalli di tempo dipende ovviamente dalla frequenza utilizzata per il conteggio ( f A = 1 ⁄ T A ). Tanto più alta è fA, tanto maggiore è la risoluzione. Risulta pertanto difficile effettuare misurazioni precise di intervalli di tempo piccoli
169
Ampiezze
tp
A1
A2
t2
t1
Soglia
Area di Incertezza
t
Fig. 7.8
Incertezza sulla definizione dell’intervallo di tempo
(inferiori al nanosecondo), in quanto non è possibile utilizzare frequenze fA sufficientemente
elevate. In questi casi quindi si ricorre al metodo del “verniero temporale”, illustrato in
Figura 7.9.
T1 = 1/f1
n1
n1´
T2 = 1/f2
n2
∆t
tStart
Fig. 7.9
tStop
tm
t
Metodo del verniero temporale
In questo si utilizzano due contatori con segnali di clock leggermente diversi tra di loro (f1 e
f2 = f1 + ∆f). All’istante tStart viene fatto partire il contatore a frequenza f1 (contatore 1), mentre
all’istante tStop (contatore 2) viene fatto partire il contatore a frequenza f2. Il conteggio di
entrambi i contatori viene poi fermato quando impulsi di entrambi i clock si verificano contemporaneamente (tm). Nell’intervallo di tempo ∆t = tStop – tStart, il contatore 1 conta n1 impulsi,
mentre tra tStop e tm i due contatori contano rispettivamente n1´ e n2 impulsi. Pertanto vale la
relazione
n
n
n1 ′
t Start + -----1 + ------ = t Stop + -----2
f1 f1
f2
(7.6)
170
7.5. Incertezza di Misura in Strumenti Digitali
Sviluppando si ottiene
n
n1 ′ n2
- – ----∆t = t Stop – t Start = -----1 + -----f1 f1 f2
(7.7)
Se ∆f è piccolo n1´ = n2 e quindi
n
n2
n2 ∆ f
n
n
n
∆f
- = -----1 + n 2 ------------------------------ ≅ -----1 + -----------∆t = -----1 + -----2 – -----------------f 1( f 1 + ∆ f )
f1 f1 f1 + ∆f
f1
f1
f 12
(7.8)
Il primo termine dell’equazione (7.8) rappresenta una misura grossolana dell’intervallo di
tempo ∆t, mentre il secondo temine rappresenta un raffinamento della misura. La risoluzione
complessiva che si ottiene è la stessa che si otterrebbe usando una frequenza molto più alta di
f1. L’incertezza con questo metodo di misura è determinata dagli stessi fattori citati in precedenza con, in aggiunta, l’incertezza sulla rilevazione dell’istante tm in cui fermare il conteggio.
7.5.
Incertezza di Misura in Strumenti Digitali
I limiti di precisione di uno strumento digitale vengono solitamente espressi con due valori percentuali, uno riferito alla lettura ( ε̇ l ) e uno alla portata ( ε̇ p ). L’errore assoluto dello strumento
(ε) viene quindi determinato come
ε = ± ( ε̇ l Lettura + ε̇ p Portata )
(7.9)
L’incertezza assoluta (scarto tipo), assumendo distribuzione rettangolare quindi risulta
ε
u = ------3
(7.10)
ε
u̇ = --------------------------Lettura 3
(7.11)
mentre l’incertezza relativa è data da
Ad esempio, i limiti di precisione di un multimetro a 6 1/2 cifre sulla portata 300 mV in corrente
continua con lettura 250.0000 mV, ε̇ l = 30 ppm e ε̇ p = 8 ppm sono così determinati:
–6
–3
ε = ± ( 30 ×10 250 ×10
–6
–3
V + 8 ×10 300 ×10
–6
V ) = 7.5 ×10
V
(7.12)
L’incertezza assoluta e relativa risultano quindi rispettivamente
–6
–6
–6
–5
7.5 ×10 V
7.5 ×10 V
u = ---------------------------- = 4.33 ×10 V e u̇ = ------------------------------ = 1.732 ×10 = 17.32 ppm (7.13)
–3
3
250 ×10
3
171
172
8.1. Generalità
8. Moduli Elettronici
Analogici
8.1.
Generalità
Negli strumenti indicatori moderni il ricorso a componenti elettronici è assai frequente. Tra essi
vi sono alcuni moduli analogici alla cui descrizione è dedicato il presente capitolo.
I vantaggi che questi moduli presentano sono diversi:
• drastica riduzione degli autoconsumi, in quanto l’energia necessaria per la misurazione è fornita da una sorgente ausiliaria;
• aumento del numero delle funzioni, in quanto è facile adattare lo strumento alla misurazione
di più grandezze;
• possibilità di trasferimento del misurando ad altri sistemi, ad esempio per la registrazione di
grandezze in funzione del tempo;
• basso costo.
Il principale svantaggio sta principalmente nella relativa instabilità di alcuni componenti, specie
se gli stessi non sono di elevata qualità, il che rende necessario una più frequente verifica della
taratura.
Una categoria di strumenti che si è avvalsa dei vantaggi sopra ricordati è quella degli strumenti
analogici elettromeccanici che, come verrà trattato in seguito, finiscono per costituire strumenti
ibridi chiamati anche strumenti analogici attivi.
8.2.
Amplificatori
Gli amplificatori sono, in generale, dei doppi bipoli che, nel caso ideale, sono descritti dalla funzione di trasferimento
U (s)
G(s) = ---------- > 1
I (s)
(8.1)
dove U(s) ed I(s) denotano rispettivamente le grandezze di uscita e di ingresso. Queste grandezze devono ovviamente essere omogenee.
173
8 Moduli Elettronici Analogici
Il parametro G(s) rappresenta il guadagno dell’amplificatore ed è solitamente espresso in decibel
G(s)
dB
U (s)
= 20 log ⎛ ----------⎞
⎝ I (s) ⎠
(8.2)
Il guadagno è funzione della frequenza per cui si deve definire una larghezza di banda entro il
quale il segnale d’uscita è legato al segnale di ingresso in modo praticamente lineare. Convenzionalmente, come limiti della banda vengono assunte le frequenze a cui corrisponde la riduzione del guadagno a 1 ⁄ 2 = 0.707 volte il valore nominale (–3 dB).
In realtà, in uscita compaiono sempre segnali con frequenze diverse da quelle del segnale
d’ingresso (distorsione), a causa della non-linearità dei circuiti e della saturazione dell’amplificatore. La saturazione dell’amplificatore determina un limite superiore per le tensioni
d’ingresso e d’uscita, legate anche ai valori delle relative impedenze.
Il limite inferiore del segnale d’ingresso è imposto dal rumore, in particolare da quello dello
stadio d’ingresso, poiché dalla sua ampiezza dipende il segnale utile minimo che si può distinguere dal rumore stesso.
L’impedenza d’ingresso può raggiungere i 1010 ÷1015 Ω, mentre quella di uscita è normalmente
intorno a 103 Ω.
In questi sistemi, di norma a più stadi, si fa largo uso della retroazione il cui principio è quello
di riportare all’ingresso parte del segnale di uscita. La retroazione negativa, che è quella più utilizzata, si verifica quando il segnale di retroazione riduce quello di ingresso.
Vi
+
V i´
–
G(s)
Vu
H(s)
Fig. 8.1
Amplificatore retroazionato
Facendo riferimento allo schema a blocchi di Figura 8.1 e indicando con G(s) e H(s) le funzioni
di trasferimento, rispettivamente dell’amplificatore e della retroazione, la funzione di trasferimento complessiva del sistema è data da
U (s)
G(s)
G′(s) = ---------- = ------------------------------I (s)
1 + G(s)H (s)
(8.3)
Ciò deriva dal fatto che nel caso di retroazione negativa in cui H(s) assume valori inferiori a 1
vale la relazione
U (s) = G(s) [ I (s) – H (s)U (s) ]
(8.4)
174
8.3. Amplificatori Operazionali
In queste condizioni, si ottiene un miglioramento della stabilità, si riducono le distorsioni e il
rumore. Inoltre, si possono controllare e modificare le caratteristiche di risposta in funzione
della frequenza.
Se, come generalmente accade, il valore di G(s) è molto più elevato del valore di H(s), il valore
di G´(s) tende a 1 ⁄ H (s) , risultando perciò indipendente dalle caratteristiche dell’amplificatore
che non si ripetono mai da un amplificatore ad un altro e che sono poco stabili in funzione della
temperatura e del tempo.
8.3.
Amplificatori Operazionali
Fra gli amplificatori retroazionati esiste una categoria molto importante, quella basata sui cosiddetti amplificatori operazionali (Figura 8.2).
Ir
Zi
Vi
IA
A
Ii
Fig. 8.2
Zr
Vu
B
Amplificatore operazionale retroazionato in configurazione invertente
Se per l’amplificatore si suppone di essere nelle condizioni ideali di guadagno e impedenza di
ingresso infiniti, si può assumere VAB = 0 per cui il nodo A può essere considerato a potenziale
nullo.
Poiché in tali condizioni vale anche IA = 0, si può scrivere
V
V
I i = -----i = – I r = – ------r
Zi
Zr
(8.5)
V
Z
-----u- = – -----r
Vi
Zi
(8.6)
dalla quale si ricava
che evidenzia come il guadagno dipenda solo da Zi e Zr.
Analogamente, nel circuito di Figura 8.3, vale VAB = 0, per cui il nodo A può essere considerato
a potenziale pari a Vi. Conseguentemente, si può scrivere
Vi
V u = V i + -----Z
Zi r
(8.7)
175
e quindi si ottiene
V
Z
-----u- = 1 + -----r
Vi
Zi
Ir
Zi
Ii
Vi
Fig. 8.3
(8.8)
Zr
IA
A
Vu
B
Amplificatore operazionale retroazionato in configurazione non-invertente
Retroazionando gli amplificatori operazionali in modo opportuno, si ottengono moduli con Zi
dell’ordine di 108 Ω e con capacità di ingresso dell’ordine dei picofarad.
Nel caso particolare in cui le impedenze di ingresso e di retroazione siano puramente resistive
(Ri, Rr), si ottengono le relazioni
Vu
R
V
R
------ = – -----r e -----u- = 1 + -----r
Vi
Ri V i
Ri
(8.9)
che mettono in evidenza come il guadagno dipenda dalle sole resistenze e come si possano ottenere guadagni sia positivi sia negativi.
8.4.
Generatori di Tensione a Dente di Sega
I generatori di tensione a dente di sega sono circuiti assai importanti perché, come si vedrà nel
seguito, essi determinano la precisione di lettura di molti strumenti. In Figura 8.4a è mostrato
lo schema elettrico equivalente di un generatore di tensione a dente di sega. Caricando e scaricando periodicamente la capacità C mediante la chiusura e l’apertura degli interruttori A e B, si
ottiene una tensione VC data da
t
VC
– -------= E ⎛ 1 – e RC⎞
⎝
⎠
(8.10)
nella quale E è la tensione della sorgente.
In pratica, per ottenere un dente di sega lineare e non esponenziale, si realizza il circuito
mostrato in Figura 8.4b.
176
8.5. Alcuni Moduli Analogici
R
A
(a) E
C
B
C
Vu
B
(c)
A
(b)
R
C
E
Fig. 8.4
Vu
T1 T2
t
Generatore di tensione a dente di sega
Nel circuito di Figura 8.4b, se si suppone E rigorosamente costante e B aperto, quando si chiude
A, la tensione Vu assume l’andamento
1
V u = ⎛ – --------⎞
⎝ RC⎠
∫
T1
E dt
(8.11)
0
Dopo il tempo T1, A viene aperto e B contemporaneamente chiuso, per cui Vu scende repentinamente a potenziale nullo. La forma d’onda che si ottiene in uscita è indicata in Figura 8.4c. La
pendenza e il valore massimo del dente di sega dipendono da E, T1, R e C; la linearità da T1, R
e C; la stabilità da E, R e C; la frequenza da (T1 + T2).
Una elevata linearità può anche essere ottenuta caricando un condensatore C con corrente rigorosamente costante (I) per cui si ha semplicemente
I
V C = ---- t
C
8.5.
(8.12)
Alcuni Moduli Analogici
In alcuni strumenti vengono impiegati alcuni moduli analogici tipici che svolgono le funzioni
necessarie per effettuare l’elaborazione di dati.
8.5.1. Modulo Sommatore
Lo schema tipico di un sommatore è riportato in Figura 8.5. Si tratta di un amplificatore retroazionato al cui ingresso più segnali vengono applicati contemporaneamente.
177
Rn
Vn
In
R2
Ir
V2
I2
R1
It
V1
A
I1
Fig. 8.5
Rr
Vu
B
Modulo sommatore
Si può scrivere
n
∑I
It =
i
(8.13)
Vi
----Ri
(8.14)
i=1
e conseguentemente
n
It =
∑
i=1
Se le resistenze Ri sono uguali, risulta allora
1
I t = --R
n
∑V
(8.15)
i
i=1
Essendo poi
V
I t = – I r = – -----uRr
(8.16)
si può anche scrivere
R
V u = – -----r
R
n
∑V
i=1
n
i
= –k
∑V
i
(8.17)
i=1
178
Volendo invertire il segnale di uscita che in questo caso è di segno opposto a quello di ingresso,
basta prevedere un secondo amplificatore operazionale in configurazione invertente con guadagno unitario (Rr = Ri) in cascata al sommatore.
8.5.2. Modulo Logaritmico
Il modulo logaritmico si basa sulle caratteristiche intrinseche del diodo, per il quale può essere
scritta la relazione
qV
⎛ ---------d- ⎞
I d = I 0 ⎜ e kT – 1⎟
⎝
⎠
(8.18)
dove
• Vd è la tensione ai capi del diodo;
• I0 è la corrente di saturazione inversa;
• q è la carica dell’elettrone (1.6 10–19 C);
• k è la costante di Boltzmann (1.38 10–23 J/K);
• T è la temperatura assoluta della giunzione;
• Id è la corrente nel diodo.
Con uno schema del tipo indicato in Figura 8.6, essendo
⎧ V u = –V d
⎪
Vi
⎨
⎪ I i = I d = ----Ri
⎩
(8.19)
Vi ⎞
V u = α log ⎛ --------⎝R I ⎠
i 0
(8.20)
si può ottenere
che dimostra l’esistenza di un legame logaritmico tra la tensione di ingresso Vi e la tensione di
uscita Vu (la tensione in uscita è compressa rispetto a quella in ingresso).
Si deve osservare che il dispositivo presenta un notevole grado di incertezza non essendo la
caratteristica dei diodi ripetibile e costante.
8.5.3. Modulo Antilogaritmico
Con un ragionamento analogo al precedente e facendo riferimento alla Figura 8.7, si può realizzare un modulo antilogaritmico.
179
Id
Vd
Ri
Vi
A
Ii
Fig. 8.6
Vu
B
Modulo logaritmico
Ir
Rr
Vd
Vi
A
I i = Id
Fig. 8.7
Vu
B
Modulo antilogaritmico
Valgono infatti le relazioni
⎧V i = V d
⎨
⎩Ir = Ii = Id
(8.21)
per cui si ottiene
V u = Rr I 0
qV
---------i
e kT
(8.22)
8.5.4. Modulo Moltiplicatore
Il modulo moltiplicatore è un circuito che fornisce in uscita un segnale proporzionale al prodotto
tra due segnali di ingresso V1 e V2 (Figura 8.8).
V1
V2
Fig. 8.8
M
Vu = α V1 V2
Modulo moltiplicatore
180
Per realizzare un modulo di questo tipo, si può effettuare il prodotto passando per i logaritmi di
V1 e V2, sommandoli ed eseguendo infine l’antilogaritmo. Per fare ciò si può ricorre ad una combinazione dei moduli precedentemente descritti.
Una applicazione particolare del modulo moltiplicatore è quella che consente di ottenere il quadrato del segnale in ingresso secondo lo schema di Figura 8.9.
Fig. 8.9
V u = α V i2
M
Vi
Modulo moltiplicatore per realizzare il quadrato del segnale di ingresso
8.5.5. Modulo Estrattore di Radice Quadrata
Per estrarre la radice quadrata di un segnale si può ricorrere allo schema di Figura 8.10.
α V u2
Ir
M
Rr
Ri
Vi
A
Ii
Fig. 8.10
Vu
B
Modulo estrattore di radice quadrata
Si possono scrivere le seguenti relazioni
⎧ V i = Ri I i
⎪
⎪
V2
⎪ I r = – I i = α ------u
Rr
⎨
⎪
V u2
⎪
⎪ V i = αR i -----Rr
⎩
(8.23)
Vu = k Vi
(8.24)
per cui si ottiene
Si può rilevare che la tensione in uscita è proporzionale alla radice quadrata di quella in
ingresso, secondo la costante k.
181
8.5.6. Modulo Divisore
Lo schema del modulo divisore è riportato nella Figura 8.11.
V2
α Vu V 2
Ir
M
Rr
Ri
V1
A
Ii
Fig. 8.11
Vu
B
Modulo divisore
Si deducono facilmente le relazioni
⎧ V 1 = Ri I i
⎪
V uV 2
⎪
⎨ I r = α ------------Rr
⎪
⎪
⎩ I r = –I i
(8.25)
Rr V 1
- -----V u = – -------αR i V 2
(8.26)
per cui si ricava
8.5.7. Modulo Integratore
Il modulo integratore si basa sullo schema di Figura 8.12.
Ir
C
Ri
Vi
A
Ii
Fig. 8.12
Vu
B
Modulo integratore
182
Si possono scrivere le seguenti relazioni
⎧ V i = Ri I i
⎪
⎨
1
Q
⎪ V u = ---- = ---- I r(t) dt
C
C
⎩
(8.27)
V
I r = – I i = – -----i
Ri
(8.28)
1
V u = – --------- V i(t) dt
Ri C
(8.29)
∫
ma
Quindi si ottiene
∫
Si osserva che se il tempo di integrazione è limitato (ad esempio un semiperiodo di una grandezza alternata), l’espressione trovata divisa per la durata di integrazione fornisce il valore
medio della grandezza nell’intervallo considerato. Il comportamento del modulo dipende dal
prodotto Ri C che ha le dimensioni di un tempo.
8.5.8. Modulo Derivatore
Il modulo derivatore si basa sullo schema di Figura 8.13.
Ir
Vi
C
A
Ii
Fig. 8.13
Rr
Vu
B
Modulo derivatore
Si può scrivere
⎧ V u = Rr I r
⎪
⎨
dV i
dQ
⎪ I i = ------- = C -------dt
dt
⎩
(8.30)
I r = –I i
(8.31)
Essendo
183
si ottiene
dV
V u = – R r C --------i
dt
(8.32)
Anche in questo caso il comportamento del modulo dipende dal prodotto Rr C.
8.6.
Convertitori AC/DC
Come sarà esposto nel seguito, molte misurazioni, anche complesse, vengono ricondotte a
misure di tensioni continue, o unidirezionali, effettuate con strumenti di tipo digitale che normalmente funzionano con tensioni di ingresso non superiori a 10 V.
Nella maggior parte dei casi si rende quindi necessario il condizionamento dei segnali ed eventualmente la loro conversione. Sono perciò assai diffusi convertitori AC/DC per tensioni, correnti e potenze, per circuiti monofasi e trifasi a tre o quattro fili. Nel caso di misure di tensione
e corrente un ulteriore problema sorge in relazione al valore richiesto (efficace, medio oppure
massimo), specie quando sono in gioco grandezze non sinusoidali.
L’uscita di questi convertitori necessita solitamente di filtri per poter ottenere in uscita segnali
privi di componenti armoniche, il che rende questi apparecchi inadatti a misurazioni in regime
transitorio.
In alcuni strumenti, il convertitore AC/DC è incorporato, specie nel caso di apparecchi di basso
costo e di modesta classe di precisione.
Si illustrano nel seguito, a titolo di esempio, alcuni schemi con uscita analogica che utilizzano
amplificatori operazionali e adatti per la misura del valore medio (sul semiperiodo) e del valore
efficace di tensioni alternate.
8.6.1. Convertitori a Valore Medio
I convertitori che forniscono in uscita un segnale proporzionale al valore medio del segnale di
ingresso, sono generalmente costituiti da uno stadio raddrizzatore a singola (Figura 8.14a) o
doppia semionda (Figura 8.14b) posto all’ingresso di un amplificatore operazionale oppure da
un amplificatore retroazionato opportunamente (Figura 8.14c).
Questi moduli sono tipicamente utilizzati per la realizzazione di voltmetri sensibili al valore
medio della tensione. Come già ricordato, questi voltmetri risultano sensibili al valore medio
(sul semiperiodo) e sono tarati in valore efficace per onda sinusoidale. Ovviamente essi possono
essere utilizzati per misurare il valore efficace solo nel caso in cui si è certi che la forma d’onda
della tensione è sinusoidale.
8.6.2. Convertitori a Valore Efficace
Una convertitore che fornisce in uscita un segnale proporzionale al valore efficace del segnale
in ingresso è una combinazione dei moduli visti in precedenza secondo quanto indicato in
Figura 8.15.
184
8.6. Convertitori AC/DC
Vd
Vi
Vu
Ri
I i = Id
A
Vu
B
Vi
Ru
(a)
(c)
Vi
Vu
Ru
(b)
Fig. 8.14
Convertitore a valore medio
α Vu2
Vi
Vu´
M
C
Ri1
Rr
Vu´´
A
R1
B
M
Ri2
A
R2
Vu
B
Fig. 8.15
Convertitore a valore efficace
Per questo convertitore si può scrivere
2
⎧V u′ = V i
⎪
⎪
1
⎨ V u ′′ = – ----------R i1 C
⎪
⎪
⎩ V u = V u ′′
T ⁄2
∫
V u ′(t) dt
(8.33)
0
Si può osservare in particolare la presenza di un elevatore al quadrato, di un integratore ed infine
di un estrattore di radice quadrata. L’integrazione deve essere ovviamente fatta per la durata di
un periodo o, più generalmente, per un numero intero di periodi.
185
8.6.3. Moltiplicatore a Doppia Modulazione
Il moltiplicatore a doppia modulazione utilizza due modulatori, il primo serve a modulare il
segnale in ampiezza in modo proporzionale ad uno dei segnali in ingresso, il secondo modula
invece l’asse dei tempi in modo proporzionale al secondo segnale. Si può fare riferimento ai diagrammi di Figura 5.15.
V
T/2
+k2V2
k1V1
A1
Vu
t
–k2V2
A2
Ta
Tb
T
Fig. 8.16
Principio di funzionamento del moltiplicatore a doppia modulazione
Quello che interessa è determinare il valore medio delle due aree A1 e A2 diverse e di segno
opposto. In presenza di entrambi i segnali modulanti, valgono le relazioni
⎧
T
⎪ A 1 = k 2 V 2 ⎛⎝ --- + k 1 V 1⎞⎠
2
⎪
⎨
⎪ A = k V ⎛T
⎞
2 2 ⎝ --- – k 1 V 1⎠
⎪ 2
2
⎩
(8.34)
186
8.6. Convertitori AC/DC
dalle quali si ricava
A1 – A2
1
T
T
= --- k 1 V 1 ⎛ --- + k 2 V 2⎞ – k 1 V 1 ⎛ --- – k 2 V 2⎞
V u = -----------------⎝
⎠
⎝
⎠
T
T
2
2
2k 1 k 2
- V 1V 2
= ------------T
(8.35)
La tensione Vu risulta pertanto proporzionale al prodotto V1 V2.
Un dispositivo del tipo descritto si presta a determinare il valore della potenza in un circuito
qualsiasi, ma anche il valore efficace di una grandezza alternata, inviando ai due ingressi lo
stesso segnale.
La precisione ottenibile dipende dalla precisione con cui sono effettuate le due modulazioni. Per
la sua struttura il moltiplicatore in oggetto non è adatto per misurazioni in regime transitorio.
187
188
9.1. Generalità
9. Conversione
Analogico/Digitale
9.1.
Generalità
In un convertitore analogico/digitale, il problema di fondo consiste nello stabilire la corrispondenza tra la grandezza analogica di ingresso (che ha andamento continuo nel tempo) e la grandezza digitale d’uscita (che, in quanto numerica, ha andamento discreto, per gradini).
La corrispondenza deve essere univoca e il grado di dettaglio raggiunto nella discretizzazione
del segnale da esaminare determina l’incertezza della conversione. Questa incertezza non deve
essere confusa con quella del valore riguardante il misurando della quale è uno solo dei termini.
Un altro problema è la scelta del codice mediante il quale esprimere numericamente i dati che,
all’atto pratico, ricade sempre su quelli binari, cioè di quei metodi di numerazione, che impiegano due stati (lo stato 0 e lo stato 1).
Si osserva che la codifica avviene praticamente in assenza di errori, così come la eventuale trasmissione a distanza del segnale.
Negli strumenti che ricorrono a queste tecniche, l’incertezza della misura è fondamentalmente
legata alla fase di conversione A/D.
9.2.
Codici Binari
È a tutti noto che il sistema decimale esprime i numeri mediante dieci simboli (le cifre da 0 a
9), ordinati secondo le potenze intere decrescenti di 10. Ad esempio:
2
1
0
–1
683.21 = 6 ×10 + 8 ×10 + 3 ×10 + 2 ×10
–2
+ 1 ×10
(9.1)
Il sistema binario esprime invece i numeri mediante due simboli (i digit 0 e 1), ordinati secondo
potenze intere decrescenti di 2. Ad esempio, per il numero 100 in codice binario si ha
100 = 1100100 = 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 0 × 2 0
(9.2)
mentre lo stesso numero in codice decimale risulta
2
1
100 = 1 ×10 + 0 ×10 + 0 ×10
0
(9.3)
189
9 Conversione Analogico/Digitale
È evidente la differente lunghezza della parola che rappresenta il dato nei due sistemi, ma nel
secondo caso i digit sono soltanto due, contro i dieci del primo. Nel sistema binario i digit vengono detti bit (binary digits).
Con il sistema binario si possono formare codici diversi, con opportune combinazioni di gruppi
di bit. Uno dei più semplici è il NBCD (Natural Binary-Coded Decimal) che rappresenta ciascuno dei dieci digit del codice decimale con una diversa sequenza di quattro bit, come è illustrato in Tabella 9.1.
Tab. 9.1
N
Codice NBCD
N
Codice NBCD
0
0000
5
0101
1
0001
6
0110
2
0010
7
0111
3
0011
8
1000
4
0100
9
1001
Codice Natural Binary-Coded Decimal (NBCD)
Rimanendo nel campo dei codici BCD (Binary-Coded Decimal), nessuno impedisce di stabilire
altre corrispondenze fra gruppi di quattro bit e cifre decimali, che non siano quella naturale e
ricavabile direttamente dalla espressione generale
n
N =
∑d 2
i
i–1
(9.4)
i=1
dove di può assumere solo i valori 0 ed 1.
Esistono infatti altri sistemi che usano come dati i digit 0 ed 1: ad esempio il sistema ottale che
ordina i digit secondo potenze intere decrescenti di 8, usato nella tecnica dei calcolatori.
Se si esaminano le quartine del codice NBCD riportate Tabella 9.1, si nota che in alcuni passaggi da un decimale al successivo deve essere modificato lo stato di più di un bit. Ad esempio,
nel passaggio da 7 a 8 si deve cambiare lo stato di tutti i bit.
Questa non è un problema arbitrario, poiché in fase di conversione analogico/digitale è assai più
probabile l’introduzione di errori (dovuti a simultaneità di operazioni o a imperfezione dei circuiti) qualora il passaggio da una cifra alla successiva comporti il cambiamento di più di un bit
della quartina.
Sono perciò stati individuati altri codici, che realizzano quanto desiderato. Ad esempio, il
codice XS-3 Gray, prevede lo schema di Tabella 9.2.
Una regola mnemonica utile per scrivere le quartine del codice Gray è data dalla gabbia di Garnaugh illustrata in Figura 9.1.
Qualora si debba rappresentare in codice un’informazione alfanumerica, cioè contenente non
soltanto cifre ma anche lettere di alfabeto o simboli, e non sia più sufficiente una quartina di bit
190
9.2. Codici Binari
Codice XS-3 Gray
ABCD
0
0000
1
0001
2
0011
3
0010
4
0110
5
0111
6
0101
7
0100
8
1100
9
1101
10
1111
11
1110
12
1010
Codice XS-3 Gray
CD
Tab. 9.2
N
Fig. 9.1
00
01
AB
11
10
00
0
7
8
15
01
1
6
9
14
11
2
5
10
13
10
3
4
11
12
Gabbia di Garnaugh per il codice XS-3 Gray
per codificare univocamente ogni dato, si ricorre a codici che utilizzano gruppi di otto bit (detti
byte). Valga per tutti l’esempio del codice ASCII (American Standard Code for Information
Interchange) nel quale con soli 7 bit si esaurisce il messaggio, lasciando disponibile l’ottavo per
l’introduzione di un bit di controllo, assai utile nella fase di eventuale trasmissione a distanza
(controllo di parità).
191
9.3.
Campionamento e Quantizzazione
La digitalizzazione di un segnale analogico tempo-continuo coinvolge due processi di discretizzazione: un processo di discretizzazione nel dominio del tempo (campionamento) e un processo
di discretizzazione in ampiezza (quantizzazione).
Una delle fasi più critiche della trasformazione di un segnale analogico in uno digitale è quella
del campionamento che consiste nel convertire una grandezza variabile nel tempo in modo continuo in una discreta che rappresenti la prima in modo univoco e con la introduzione di errori
trascurabili.
Il procedimento ideale che può essere discusso per chiarire alcune concetti è illustrato
Figura 9.2. Un segnale analogico che varia in funzione del tempo viene moltiplicato per un
segnale di tipo impulsivo di ampiezza costante (ad esempio, unitaria) che si ripete con frequenza
preordinata e pure costante, detta frequenza di campionamento. Il periodo TS corrispondente
alla citata frequenza è detto intervallo di campionamento. Il risultato che si ottiene dal prodotto
è rappresentato ovviamente da una serie di impulsi modulati in ampiezza che rappresentano in
una certa misura il segnale analogico assegnato.
Un altro parametro che caratterizza il campionamento è la finestra di osservazione che corrisponde al tempo totale del campionamento
Affinché il segnale campionato sia una rappresentazione scevra da grossolane incertezze è
necessario che siano rispettate alcune regole fondamentali. Gli errori che si commettono sono
fondamentalmente dovuti a due fatti: l’incompatibilità tra le frequenze del segnale analogico e
quella di campionamento e il troncamento del segnale.
Nel primo caso lo spettro di frequenza del segnale campionato differisce da quello del segnale
analogico per la presenza di componenti armoniche spurie dovute alle sovrapposizione delle
“immagini” del segnale introdotte dal campionamento intorno ai multipli interi della frequenza
di campionamento. Per eliminare il fenomeno è necessario scegliere la frequenza di campionamento rispettando il teorema di Shannon secondo il quale detta frequenza deve essere almeno
pari a due volte la banda del segnale analogico, come illustrato in Figura 9.3.
Gli errori di troncamento si verificano invece quando la finestra di osservazione non contiene
tutto il segnale analogico originale (o un numero non intero di periodi di un segnale alternato),
in quanto vengono introdotte delle false discontinuità con la formazione di frequenze spurie
nello spettro (Figura 9.4).
Infine si deve tenere presente che un sistema reale non è in grado di generare una funzione di
Dirac, ma solo impulsi di durata finita.
Per ovviare alle difficoltà sopra ricordate, si usano allora sistemi di campionamento, detti
sample and hold, il cui principio di funzionamento è illustrato in Figura 9.5.
In questi circuiti si utilizzano interruttori rapidi (tempi di intervento dell’ordine dei nanosecondi) per escludere il segnale d’ingresso dal circuito di conversione per il tempo TS durante il
quale Vi è mantenuta dal condensatore C.
Il processo di discretizzazione in ampiezza o quantizzazione, a differenza del campionamento,
introduce inevitabilmente un’incertezza, detta errore di quantizzazione. Il segnale digitale in
uscita da un convertitore A/D, infatti, è per definizione costituito da un numero finito di bit (N)
che identificano 2N – 1 intervalli di quantizzazione, ciascuno di ampiezza ∆ / (2N – 1), dove ∆
192
X(t)
9.3. Campionamento e Quantizzazione
Segnale Analogico
Tempo Continuo
Impulsi di Campionamento
t
TS
XS(t)
S(t)
t
Segnale Analogico
Campionato
t
Fig. 9.2
Campionamento ideale
Spettro del Segnale Tempo-Continuo
B
f
fS
Spettro del Segnale Campionato
B
Fig. 9.3
fS
2 fS
3 fS
4 fS
5 fS
f
Spettro del segnale campionato
193
X(t)
TS
t
Errore di troncamento
Vu
Fig. 9.4
Vu
S1
Vi
C
TS
S2
t
Fig. 9.5
Principio di funzionamento del sample and hold
denota l’ampiezza massima del segnale (Figura 9.6). Pertanto, tutti i livelli analogici compresi
in un particolare intervallo di quantizzazione dopo la conversione A/D risultano indistinguibili,
provocando una perdita di informazione. L’entità dell’errore di quantizzazione risulta tanto
minore quanto maggiore è la risoluzione del convertitore A/D, definita dal numero N di bit in
uscita.
9.4.
Conversione A/D
Una volta campionato il segnale analogico, per completare il processo di conversione A/D
occorre stabilire in quale intervallo di quantizzazione si trovi ciascun campione, in modo da
ottenerne la rappresentazione numerica. Esistono numerose tecniche circuitali per effettuare
194
Nout
9.4. Conversione A/D
2N
i
0
∆
Fig. 9.6
Vin
Intervallo di Quantizzazione (Qi)
Quantizzazione di un segnale analogico
questa operazione. In generale, le diverse tecniche permettono di ottenere una elevata risoluzione con bassa frequenza di campionamento oppure una bassa risoluzione con una elevata frequenza di campionamento (il contenuto informativo per unità di tempo resta grossomodo
costante), come illustrato in Figura 9.7. A seconda dei casi, quindi, occorre scegliere la tecnica
di conversione che garantisce il miglior compromesso tra frequenza di campionamento e risoluzione.
Campionamento
100 kHz
10 kHz
1 kHz
100 Hz
8 bit
12 bit
16 bit
Risoluzione
Fig. 9.7
Trade-off tra risoluzione e frequenza di campionamento
Prima di considerare alcune tecniche di conversione A/D particolarmente adatte per gli strumenti di misura, è utile esaminare alcuni blocchi base di uso comune nei convertitori A/D.
195
9.4.1. Comparatori
Vi(t)
In ogni convertitore A/D è presente almeno un comparatore. Per illustrare a livello qualitativo
il principio di funzionamento di un comparatore si supponga che la grandezza di ingresso abbia
l’andamento descritto nel diagramma di Figura 9.8.
VT
Vu(t)
t
1
0
Fig. 9.8
t
Principio di funzionamento di un comparatore
Un comparatore riceve in ingresso un segnale analogico (Vi) e fornisce in uscita un segnale digitale (Vu) di livello “0” se Vi < VT oppure il livello di segnale “1” se Vi > VT. Esso costituisce
quindi un quantizzatore con risoluzione di un bit. Il segnale in uscita può essere un impulso o
un livello di tensione, a seconda dei casi.
L’incertezza legata alla operazione di comparazione dipende dalla sensibilità del comparatore,
cioè la minima variazione di Vi che determina la commutazione del livello del segnale di uscita
e dalla sua rapidità di risposta. La tecnologia attuale impiega nei comparatori circuiti amplificatori ad alto guadagno con ingresso differenziale, costituiti da circuiti integrati e quindi molto
stabili e sensibili, con buona velocità di risposta.
9.4.2. Contatori
Nella conversione analogico/digitale un ruolo importante hanno i sistemi di conteggio degli
impulsi (contatori di impulsi). Per questi sistemi si ricorre solitamente all’uso di catene di flipflop collegati in cascata.
Per comprendere qualitativamente il funzionamento di un contatore di impulsi, si può fare riferimento allo schema di Figura 9.9 nella quale per semplicità sono disposti in cascata solo tre
flip-flop (FF).
196
D
IN
FF
Ck
nQ
D
Q
Ck
FF
nQ
D
Q
Ck
FF
nQ
Q
Reset
Q1
Q2
Q3
0
IN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q1
Q2
Q3
Fig. 9.9
Contatore di impulsi asincrono
Il primo impulso inviato in ingresso al primo flip-flop (IN) provoca la transizione di Q1 che
passa dal livello “0” al livello “1”, senza che il secondo flip-flop cambi lo stato della propria
uscita. Quando un secondo impulso viene applicato al primo flip-flop, Q1 passa dallo stato “1”
allo stato “0”, mentre Q2 passa dallo stato “0” allo stato “1”. Con ragionamento analogo si può
comprendere cosa succede per il terzo flip-flop.
Si può osservare che in ragione del meccanismo descritto la catena è in grado di contare fino a
23 = 8 impulsi e che la parola digitale Q3 Q2 Q1 rappresenta la codifica binaria del numero di
impulsi ricevuti.
Più generalmente, un contatore con una cascata di N flip-flop può contare fino a 2N impulsi. Un
gruppo di flip-flop collegati funzionalmente come descritto sopra costituisce un modulo del
contatore.
A differenza del tipo di contatore descritto, che è detto asincrono, si può ricorrere al tipo in cui
gli impulsi da contare sono inviati contemporaneamente a tutti i flip-flop con il vantaggio di
ridurre i tempi di propagazione dei segnali (contatore sincrono) secondo lo schema di
Figura 9.10.
I contatori sono generalmente integrati da un dispositivo di azzeramento (Reset) che consente
automaticamente o manualmente di riportare ogni modulo alle condizioni iniziali.
197
D
FF
Ck
nQ
D
Q
Ck
FF
nQ
D
Q
Ck
FF
nQ
Q
IN
Reset
Q1
Q2
Q3
0
IN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q1
Q2
Q3
Fig. 9.10
Contatore di impulsi sincrono
9.4.3. Memorie
I sistemi di memoria hanno la funzione di raccogliere in forma ordinata le informazioni che
devono essere successivamente utilizzate. In esse possono essere immagazzinate anche le istruzioni per eventuali programmi di elaborazione dei dati.
Le memorie sono costituite da un numero, generalmente elevato, di celle ciascuna delle quali è
in grado di accogliere e conservare l’informazione di un solo bit. Un sistema di questo tipo è più
pregiato se molto veloce nell’acquisizione dei dati e a basso consumo.
Esistono due categorie fondamentali di memorie che si differenziano nel modo con il quale possono essere gestite. Un primo esempio è lo shift-register (registro a scorrimento) che utilizzando
un certo numero di flip-flop consente di ottenere memorie temporanee di limitata capacità. Lo
schema di questo tipo di memoria è illustrato in Figura 9.11.
Memorie con capacità molto più elevate sono ottenute ricorrendo a flip-flop raccolti in strutture
monolitiche da 16 a 1024 elementi, impiegando transistori MOS o logiche ELC.
Le memorie RAM (Random-Access Memory) sono volatili in quanto il loro contenuto può
essere letto, modificato e integrato da istruzioni. A differenza di quanto avviene negli shift-regi-
198
IN
D
Ck
D
FF
Ck
Q
D
FF
Ck
Q
FF
Q
Ck
Reset
Q1
Fig. 9.11
Q2
Q3
Shift-register
ster, le operazioni di scrittura e lettura sono indipendenti dalla posizione della parola. Nella
memoria RAM l’informazione è immagazzinata secondo una disposizione a righe e colonne e
può essere di tipo statico o dinamico (in questo secondo caso l’informazione resta in memoria
per un tempo limitato).
Le memorie ROM (Read-Only Memory) sono anch’esse realizzate in forma di matrice ma sulle
informazioni contenute non è possibile alcuna alterazione o istruzione, per cui esse mantengono
la configurazione ad esse data in origine (salvo cancellarne il contenuto).
Si ricorda che la capacità di una memoria può essere espressa in termini di numero di righe e
colonne, ma più frequentemente si preferisce esprimerla mediante il prodotto dei due termini
sopra indicati (ad esempio, 256 bit).
9.4.4. Conversione dal Codice Binario al Decimale
Qualora il risultato di una misurazione debba essere espresso visivamente in forma digitale è
necessario provvedere ad una transcodifica in modo che il risultato sia espresso in un linguaggio
comprensibile ad un normale operatore e cioè quello decimale.
Il passaggio risulta alquanto complesso dal punto di vista operativo anche se concettualmente
piuttosto semplice ed intuitivo. In pratica, si utilizzano catene di flip-flop, in numero opportuno
ed opportunamente collegati, a seconda del codice che si vuole convertire.
In tal modo è possibile trasformare il codice binario in una sequenza di quartine di bit (corrispondenti al codice BCD) e inviarla ad un opportuno dispositivo di visualizzazione. Negli strumenti moderni si usano diodi luminescenti o cristalli liquidi, che descrivono le cifre decimali
tramite sette segmenti che possono essere attivati o disattivati (Figura 9.12).
9.4.5. Circuiti di Interfaccia
La maggior parte dei sistemi numerici comprende un oscillatore che genera una sequenza continua di impulsi detta clock (di forma opportuna) distanziati l’uno dall’altro di un tempo TCk
costante: al solito si tratta di uno oscillatore al quarzo di buona precisione e stabilità.
La trasmissione dei dati in uscita da un convertitore A/D verso i blocchi di elaborazione successivi può avvenire attraverso un singolo canale di trasmissione (in serie), per cui per ogni informazione elementare è necessario un tempo TCk (trasmissione seriale).
199
Fig. 9.12
Display a sette segmenti
In alternativa, la trasmissione può essere effettuata per mezzo di n vie in parallelo, per cui la
durata di trasmissione si riduce a TCk, a scapito di una maggiore complessità delle connessioni
(trasmissione parallela).
Eventuale rumore presente in fase di trasmissione può far comparire impulsi spuri. Tra i vari
modi per rivelare questi disturbi, quello più semplice consiste nell’inserire, al termine di ciascun
messaggio, uno “0” o un “1” supplementare, a seconda che esso contenga un numero pari o
dispari di “1”. All’arrivo si controlla che il numero di “1” sia sempre pari (controllo di parità)
in quanto ciò è ritenuto sufficiente, considerando assai improbabile un doppio errore in un solo
passaggio.
9.4.6. Convertitori D/A
La conversione digitale/analogica rappresenta l’operazione inversa di quella analogico/digitale.
Negli strumenti essa si rende necessaria sia, come vedremo, nella realizzazione di alcuni convertitori A/D sia quando il misurando deve essere fornito in uscita in forma analogica, ad esempio per la rappresentazione analogica di una tensione sullo schermo di un oscilloscopio.
In generale è richiesto un segnale analogico sotto forma di tensione o corrente, per cui l’operazione consiste nel convertire le informazioni numeriche in tante unità di base del segnale di
uscita e di provvedere poi alla loro somma.
L’unità di base, espressa nell’unità di misura della grandezza analogica cercata, rappresenta il
minimo valore in uscita dal convertitore e quindi la sua risoluzione. Per una tensione si può scrivere la espressione
V
V u = -----r2N
N–1
∑b 2
i
i
(9.5)
i=0
nella quale bi è il singolo bit e può quindi essere 0 o 1, N è il numero di bit disponibili mentre
V r ⁄ 2 N è l’unità di base. Poiché il massimo di questa funzione si ha quando tutti i bit sono
uguali a 1, resta anche definito il valore di fondo scala della grandezza analogica (Vr).
Da quanto esposto appare evidente che tanto più elevato è il numero di bit, tanto migliore risulta
la risoluzione del segnale analogico. Questo aspetto, che incide notevolmente sul costo dello
strumento, è di fondamentale importanza quando si desideri ottenere un segnale analogico
affetto da modesta incertezza e con elevata definizione.
200
Un esempio di convertitore D/A è illustrato nello schema a blocchi di Figura 9.13 nel quale si
riconoscono:
• una sorgente interna di tensione continua di riferimento fortemente stabilizzata;
• un certo numero di interruttori analogici;
• resistori di precisione di valori diversi per pesare i singoli bit (in termini di corrente);
• un amplificatore operazionale sommatore.
IN
Registro
20 R
R
2–1 R
2–2 R
Vr
Vu
2–(N – 1) R
Fig. 9.13
Convertitore D/A
Gli interruttori analogici devono essere comandati da segnali controllati dai bit della parola da
convertire.
9.4.7. Convertitore A/D a Dente di Sega o a Rampa Lineare
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D a dente di sega o a rampa lineare è illustrato in
Figura 9.14. La tensione di ingresso Vi, opportunamente amplificata (A), viene confrontata, tramite un comparatore con una tensione a dente di sega (VS = k t).
La tensione di uscita del comparatore VC si trova al livello logico alto fintanto che A Vi > VS,
mentre passa al livello logico basso non appena A Vi = VS. Un contatore di impulsi determina il
numero di impulsi di clock di periodo TCk contenuti nell’intervallo di tempo ∆T in cui la tensione VC si trova al livello logico alto, fornendo in uscita un numero N a n bit dato da
AV
∆T
N = --------- = -----------i- = k N V i
T Ck
kT Ck
(9.6)
dove kN rappresenta la costante del convertitore A/D.
La risoluzione del convertitore è essenzialmente determinata dalla pendenza del dente di sega k
e dal periodo TCk del clock utilizzato. In particolare, per aumentare la risoluzione occorre ridurre
201
Vi
A Vi
A
VC
Generatore di
Dente di Sega
VS
Comparatore
Ck Contatore
R
N
Clock
Reset
VS
A Vi
t
VC
∆T
TCk
Ck
N
Fig. 9.14
t
Convertitore A/D a dente di sega o a rampa lineare
il più possibile sia k sia TCk. Supponendo di utilizzare la massima frequenza di clock possibile
(TCk minimo), quindi, il tempo massimo necessario per effettuare una conversione, dato da
AV i, max
∆T max = ------------------- = 2 n T Ck
k
(9.7)
crescerà al crescere della risoluzione richiesta (k diminuisce).
La linearità e la precisione della conversione dipendono ovviamente dalla linearità del dente di
sega e dalla costanza del periodo del clock. Nella maggioranza dei casi la pendenza della rampa
prodotta dal generatore di dente di sega rappresenta il contributo dominante all’incertezza del
convertitore, in quanto essa dipende tipicamente da una costante di tempo R C difficile da controllare.
202
9.4.8. Convertitore A/D a Doppia Rampa Lineare
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D a doppia rampa lineare è illustrato in Figura 9.15.
Questo convertitore è basato sullo stesso principio di funzionamento del convertitore a dente di
sega, ma è in grado di raggiungere prestazioni nettamente migliori, in quanto il risultato della
conversione viene reso indipendente dalla costante di tempo R C utilizzata per generare la
rampa lineare.
S2
Vi
–Vr
C
R
S1
Comparatore
Reset
Switch
Logica di EOC
Controllo
VR
Enable
Clock
Vm1
Segnale di Ingresso Vi
Reset
R
Enable
Ck Contatore
N
Segnale di Riferimento Vr
Vm2
k2
k1
T1
∆T1
t
∆T2
TCk
Nmax
N1
t
N2
Fig. 9.15
Convertitore A/D a doppia rampa
203
Il ciclo di conversione di un convertitore a doppia rampa lineare è diviso in due fasi distinte. In
una prima fase, tramite un modulo integratore, viene generata una rampa la cui pendenza è proporzionale al segnale di ingresso data da
V
V R = -------i- t = k 1 t
RC
(9.8)
All’inizio della seconda fase, dopo un intervallo di tempo prefissato T1, l’interruttore S1 viene
commutato connettendo l’ingresso dell’integratore alla tensione –Vr. L’uscita dell’integratore,
che nel frattempo ha raggiunto il valore
V
V R, max = V m = -------i- T 1 = k 1 T 1
RC
(9.9)
inizia quindi a scendere secondo l’equazione
V
V R = V m – -------r- t = V m – k 2 t
RC
(9.10)
Contemporaneamente viene abilitato un contatore di impulsi (Enable) pilotato da un opportuno
segnale di clock (Clock). Quando la tensione VR raggiunge lo zero il comparatore cambia stato
e il conteggio viene fermato. L’intervallo di tempo necessario a scaricare completamente la
capacità C si ricava dall’equazione
V m – k 2 ∆T = 0
(9.11)
V
-------i- T 1
V
Vm
k1T 1
RC
∆T = ------- = ----------- = --------------- = ------i T 1
Vr
V
k2
k2
-------rRC
(9.12)
e risulta pari a
Dalla equazione (9.12) si può notare come il valore di ∆T sia indipendente dalla costante di
tempo R C. Scegliendo T1 = 2n TCk, il codice digitale che si ottiene in uscita al convertitore
risulta
V T1
V
∆T
- = ------i 2 N
N = --------- = ------i -------V r T Ck
Vr
T Ck
(9.13)
La precisione del convertitore, quindi, in questo caso dipende solo dalla precisione con cui si
realizza la tensione di riferimento Vr, mentre la dipendenza dal periodo del clock e dalla costante
di tempo R C viene eliminata. Questo miglioramento della precisione del convertitore viene
ottenuto a spese di un periodo di conversione più lungo che non in un convertitore a dente di
sega. Il tempo necessario per ottenere il codice digitale in uscita risulta infatti pari a
∆T max = 2 n T Ck + 2 n T Ck = 2 n + 1 T Ck
(9.14)
204
L’interruttore S2 controllato dal segnale Reset permette di resettare completamente l’integratore
prima di iniziare un ciclo di conversione. Contestualmente viene resettato anche il contatore.
Una opportuna logica di controllo si occupa di generare tutti i segnali necessari al funzionamento del convertitore (Reset, Enable, Switch). Il segnale EOC, fornito dal contatore alla logica
di controllo viene utilizzato per identificate l’istante di tempo T1.
9.4.9. Convertitore A/D Incrementale
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D incrementale è illustrato in Figura 9.16. Gli elementi costitutivi di questo tipo di convertitore sono gli stessi presenti in un convertitore a doppia
rampa lineare, ovvero un integratore, un comparatore e un contatore. Il principio di funzionamento è tuttavia diverso.
fS
Reset
Vi
+
U
∫
–
Integratore
Latch
Comparatore
Reset
Q
Contatore
N
n
+Vr
Vf
–Vr
Fig. 9.16
Convertitore A/D incrementale
L’equazione che regola il comportamento di un convertitore incrementale, infatti, è data da
⎧U0 = V i
⎨
Q +1
⎩ U k + 1 = U k + ( V i – ( –1 ) k V r )
(9.15)
In pratica ad ogni colpo di clock (indice k) il comparatore verifica il segno del segnale di uscita
dell’integratore U, determinando se al colpo di clock successivo la tensione di riferimento Vr
deve essere sommata (U < 0) o sottratta (U > 0) al segnale di ingresso Vi. Trattandosi di un
anello di reazione negativa con elevato guadagno per le basse frequenze (per via dell’integratore), il segnale Vf tenderà ad uguagliare in media il segnale di ingresso Vi. Pertanto, il contatore,
accumulando il segnale digitale Q (legato a Vf a meno della tensione Vr), dopo 2n colpi di clock
fornirà in uscita una parola digitale N data da
2n – 1
N =
∑
k=0
n
nV
nV
Q k = 2 Q = 2 ------f = 2 ------i
Vr
Vr
(9.16)
205
dove Q e V f rappresentano i valori medi di Q e Vf. Ovviamente, il tempo di conversione risulta
pari a 2n periodi di clock. Il segnale Reset permette di azzerare l’integratore e il contatore prima
di ogni conversione.
9.4.10. Convertitore A/D ad Approssimazioni Successive
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D ad approssimazioni successive è illustrato in
Figura 9.17. Il circuito è costituito da un circuito di sample and hold, un comparatore, un convertitore D/A (DAC) e un blocco digitale denominato registro ad approssimazioni successive
(SAR).
ΦS
Comparatore
Vi
S&H
Registro ad
Approssimazioni
Successive
+
–
Vr
DAC
Fig. 9.17
ΦCk
n-bit
N
Convertitore A/D ad approssimazioni successive
Il principio di funzionamento di questo convertitore è basato sul metodo delle bisezioni, che
permette di determinare la parola digitale a n bit che rappresenta il segnale di ingresso in soli n
periodi di clock (contro i 2n periodi di clock dei convertitori a rampa lineare o incrementali).
All’inizio di ogni ciclo di conversione il segnale di ingresso Vi viene campionato dal sample and
hold. Successivamente, come illustrato in Figura 9.18, il segnale di ingresso viene confrontato
con la tensione analogica fornita dal DAC che corrisponde al bit più significativo. Se il segnale
di ingresso è di ampiezza inferiore rispetto al segnale fornito dal DAC significa che il bit più
significativo della parola digitale di uscita deve essere posto a “0”, altrimenti significa che esso
deve essere posto a “1”. Una volta stabilito il valore del bit più significativo, esso viene memorizzato dal registro ad approssimazioni successive e mantenuto. Si passa quindi al bit successivo, confrontando la tensione fornita dal DAC con e il segnale d’ingresso. In base alla decisione del comparatore si stabilisce se il bit in questione deve essere “0” o “1”, memorizzando
poi il risultato nel registro ad approssimazioni successive. Si procede in questo modo per n periodi di clock fino a che non vengono determinati tutti i bit.
I convertitori ad approssimazioni successive sono notevolmente più veloci rispetto ai convertitori a rampa lineare o incrementali. Tuttavia, essi presentano un incertezza maggiore, legata alla
precisione con cui si riescono a realizzare le tensioni di uscita del convertitore D/A. Con i convertitori ad approssimazioni successive è pertanto molto difficile superare i 12 bit di precisione.
206
Registro ad Approssimazioni Successive
MSB
LSB
Conferma?
CK 1
0
0
0
0
0
0
0
...
0
CK 2
1
0
0
0
0
0
0
...
0
S
Ipotizzato
CK 3
1
1
0
0
0
0
0
...
0
S
Confermato
CK 4
1
1
1
0
0
0
0
...
0
N
CK 5
1
1
0
1
0
0
0
...
0
S
CK 6
1
1
0
1
1
0
0
...
0
N
CK 7
1
1
0
1
0
1
0
...
0
?
Fig. 9.18
Principio di funzionamento di un convertitore A/D ad approssimazioni successive
9.4.11. Convertitore A/D Flash
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D flash è illustrato in Figura 9.19. Il principio di funzionamento di questo convertitore è molto semplice, in quanto si basa sulla definizione di quantizzazione. Il segnale di ingresso, infatti, in un convertitore a n bit viene confrontato con 2n tensioni di riferimento, tipicamente generate con una stringa resistiva, tramite 2n – 1 comparatori.
Le tensioni di riferimento corrispondono ai limiti dei singoli intervalli di quantizzazione. In
uscita ai comparatori si ottengono 2n – 1 segnali digitali a 1 bit. Tutti i segnali digitali corrispondenti a comparatori la cui tensione di riferimento è inferiore al segnale di ingresso saranno a “0”,
mentre gli altri saranno a “1”. Si ottiene quindi una rappresentazione digitale del segnale di
ingresso secondo un codice detto “termometrico” (per l’ovvia analogia con un termometro a
mercurio). Il codice termometrico può poi essere convertito tramite un semplice circuito logico
in un codice binario, in modo da ottenere la parola digitale di uscita N.
I convertitori A/D flash possono raggiungere velocità di conversione molto elevate in quanto
richiedono un solo periodo di clock per fornire il risultato in uscita. Tuttavia, per via della presenza di un numero elevato di componenti (2n resistori e 2n – 1 comparatori), ciascuno con le sue
tolleranze e non-idealità, l’incertezza associata a questi convertitori risulta elevata. Inoltre, si
può notare come la complessità del circuito cresca esponenzialmente con la risoluzione. Pertanto, la risoluzione massima raggiungibile con convertitori A/D flash risulta dell’ordine dei 6
bit.
9.4.12. Convertitore A/D Pipeline
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D pipeline è illustrato in Figura 9.20. Invece di operare in modo completamente parallelo come il convertitore flash, il convertitore pipeline sfrutta
il principio della catena di montaggio. In pratica il segnale di ingresso viene convertito in passi
successivi da k stadi posti in cascata. Mentre il primo stadio elabora il campione corrente del
segnale d’ingresso, il secondo stadio elabora ulteriormente il campione già elaborato dal primo
stadio nel periodo di clock precedente, e così via fino all’ultimo stadio. Ciascuno degli stadi produce un sottoinsieme dei bit che compongono la parola digitale di uscita. Il convertitore pipe-
207
Vr
Vi
Rd /2
Rd
(2n –2)
Rd
(2n –3)
(2)
+
+
+
+
Rd
(1)
Rd/2
Fig. 9.19
-
-
Convertitore da Codice Termometrico a Codice Binario
(2n –1)
bn–1
bn–2
bn–3
b2
b1
b0
+
Convertitore A/D flash
line, pertanto, a parte una latenza iniziale di k periodi di clock, fornisce in uscita una nuova
parola digitale per ogni periodo di clock, come il convertitore flash.
Ciascuno degli stadi converte in digitale il proprio segnale di ingresso con una data risoluzione
(j) e fornisce in uscita la corrispondente parola digitale a j bit, nonché un residuo che dovrà
essere poi convertito dallo stadio successivo. Il residuo si ottiene moltiplicando per 2j la differenza tra il segnale di ingresso dello stadio e il segnale di uscita a j bit convertito in analogico
da un convertitore D/A (errore di quantizzazione). I bit in uscita ai diversi stadi vengono poi
riallineati tramite opportuni registri in modo da costituire la parola digitale di uscita corrispondente a ogni campione del segnale di ingresso. La risoluzione di un convertitore pipeline risulta
limitata dall’accuratezza con cui si riescono a realizzare i fattori 2j necessari per generare il residuo, nonché dalla precisione dei convertitori A/D e D/A presenti nei singoli stadi. La massima
risoluzione ottenibile si aggira intorno ai 12 bit.
208
1
V i (nT)
2
ADC
+
Residuo
ADC
Residuo
+
Residuo
j
bkj–1,…,b(k–1)j+1, b(k–1)j
Campione n
Fig. 9.20
K
ADC
+
Residuo
j
b(k–1)j–1,…,b(k–2)j+1, b(k–2)j
Campione (n–1)
j
bj–1,…,b1, b0
Campione (n–K–1)
Convertitore A/D pipeline
209
210
10. Misure Automatiche con
Software

211
10 Misure Automatiche con Software
212
213
214
215
216
217
218
11.1. Generalità
11. Trasformatori di Misura
11.1. Generalità
I trasformatori di misura sono condizionatori di segnale di tipo elettromagnetico che inseriti su
sistemi funzionanti in corrente alternata permettono di riprodurre la grandezza sotto misura
(tensione o corrente) secondo uno determinato fattore di scala e senza apprezzabile scostamento
di fase.
I trasformatori in oggetto dispongono perciò di almeno due avvolgimenti (primario e secondario) ciascuno dei quali con almeno due terminali.
La grandezza da misurare viene applicata ai terminali del primario mentre ai terminali del
secondario vengono collegati gli strumenti di misura o gli apparati di protezione che costituiscono la prestazione dell’apparecchio.
I trasformatori di misura sono apparecchi che sui sistemi ad alta tensione assolvono anche
l’importante funzione di separare dielettricamente l’avvolgimento secondario da quello primario che può essere a tensione elevata.
Principalmente concepiti per funzionare in regime semistazionario (cioè sotto grandezze alternate), possono assicurare anche buoni requisiti in funzionamento transitorio quando destinati ad
alimentare apparecchi di protezione.
A seconda della funzione svolta e del principio di funzionamento si distinguono in:
• trasformatori di corrente (TA);
• trasformatori di tensione induttivi (TVI);
• trasformatori combinati di tensione e corrente (TVA).
• trasformatori di tensione capacitivi (TVC).
Ciascun tipo di apparecchio può essere destinato ad alimentare strumenti di misura oppure
apparecchi di protezione, in quanto diversi sono i requisiti richiesti.
Sovente si usano trasformatori di misura con più di due avvolgimenti destinati a svolgere funzioni diverse (misura o protezione) o che pur avendo due soli avvolgimenti possono svolgere
contemporaneamente, sia pure con qualche limitazione, le due funzioni.
Per regolamentare le caratteristiche e le prestazioni dei trasformatori di misura e i rapporti tra
costruttori e acquirenti, sono state messe a punto e sono disponibili diverse norme della IEC
(International Electrotechnical Commission) e del CENELEC (organismo dell’Unione Europea
che si occupa di normazione elettrica). Le norme emesse dal CENELEC (EN) sono automaticamente trasposte in norme nazionali (CEI).
219
11 Trasformatori di Misura
I trasformatori di misura sono caratterizzati da un certo numero di grandezze funzionali, dette
nominali, definite dalle norme citate, alle quali si farà riferimento nel seguito per quanto di utilità per il corso.
11.2. Trasformatori di Corrente
Il trasformatore di corrente, nella sua forma più semplice, è costituito da due avvolgimenti (primario e secondario) tra loro isolati e da un nucleo magnetico sul quale i suddetti avvolgimenti
sono avvolti.
L’avvolgimento primario deve essere attraversato dalla corrente da misurare e quindi collegato
in serie nel circuito, mentre l’avvolgimento secondario deve alimentare gli strumenti di misura
o le apparecchiature di protezione.
I circuiti alimentati dal trasformatore di corrente, inclusi i cavetti di collegamento, costituiscono
la prestazione dell’apparecchio che ne condiziona le prestazioni misuristiche.
Lo schema di inserzione del TA è rappresentato in Figura 11.1 assieme al modello circuitale che
può essere utilizzato per discutere il funzionamento dell’apparecchio.
A
A
A
Z2
Z1
I0
Y0
I2
A
I1
N1 N2
Primario
Secondario
I1 : corrente primaria
I 2 : corrente secondaria
I 0 : quota della corrente primaria utilizzata per la
magnetizzazione del nucleo magnetico
N1 : numero delle spire primarie
N2 : numero delle spire secondarie
Z1 : impedenza di dispersione del primario
Z2 : impedenza di dispersione del secondario
Y0 : ammettenza equivalente
A : prestazione alimentata
Fig. 11.1
Schema di inserzione e circuito equivalente dei trasformatori di corrente
In Figura 11.2 è invece riportato il diagramma vettoriale delle grandezze elettriche in gioco.
Con E2 è stata rappresentata la forza elettromotrice indotta nel secondario, necessaria per far circolare la corrente I2 negli apparecchi alimentati. Tale forza elettromotrice è prodotta dal flusso
220
magnetico che si stabilisce nel nucleo magnetico a sua volta creato da una quota parte della corrente primaria I1. La componente magnetizzante I0 cambia di valore al variare della corrente primaria e della prestazione collegata al secondario e non è lineare con le grandezze suddette a
causa della caratteristica di magnetizzazione del circuito magnetico in lega di ferro.
A
-K
NI
2
C
ε
B
I1
I0
0
ψ2
I2
φ
E2
I2 : corrente secondaria
I0 : corrente magnetizzante
E2 : forza elettromotrice indotta nel secondario
ε: errore d’angolo
BA: errore di rapporto (valore assoluto)
Fig. 11.2
Diagramma vettoriale di un trasformatore di corrente
La somma vettoriale della corrente I2 rovesciata e moltiplicata per il rapporto di trasformazione
k con la componente magnetizzante I0 rappresenta la corrente primaria I1.
Più precisamente, in ogni istante si deve verificare la seguente relazione vettoriale tra le forze
magnetomotrici
N 1I 1 = N 2I 2 + N 1I 0
(11.1)
nella quale N1 e N2 rappresentano rispettivamente il numero delle spire degli avvolgimenti primario e secondario.
Dividendo per N1, si ottiene
N2
+ I = kS I 2 + I 0
I 1 = ------I
N1 2 0
(11.2)
avendo indicato con kS il rapporto tra il numero delle spire del secondario e il numero di spire
del primario.
Si tenga presente che per facilitarne la discussione, il diagramma vettoriale è stato tracciato non
rispettando le proporzioni reali tra i moduli dei vettori (I0 molto più grande di quanto si verifica
in realtà).
Si osserva anche che la corrente primaria è impressa dal sistema (o può essere considerata tale),
per cui il diagramma vettoriale in esame cambia al variare di detta corrente.
A secondario aperto, la corrente primaria diventa tutta magnetizzante per cui la tensione indotta
nel secondario stesso può assumere valori molto elevati (anche migliaia di volt).
221
Per quanto detto sopra, il funzionamento ideale di un TA è quella con l’avvolgimento secondario in cortocircuito.
La non-linearità della componente magnetizzante, fa sì che nel diagramma vettoriale il rapporto
tra i moduli delle correnti primaria e secondaria non si mantenga costante. Inoltre, la corrente
secondaria rovesciata non è esattamente in fase con la corrente primaria.
Se si esamina lo schema di Figura 11.1, ci si può anche rendere conto che ai fini funzionali, la
resistenza e l’induttanza di dispersione dell’avvolgimento primario sono prive di influenza
(essendo la corrente primaria impressa).
L’errore di rapporto (o di corrente) è l’errore che il trasformatore introduce nella misura del
modulo di una corrente sinusoidale quando il rapporto di trasformazione si allontana da quello
nominale. Esso è definito in forma percentuale e in conformità con la normativa vigente, dalla
seguente espressione:
( k N I 2 – I 1 )100
η % = ----------------------------------I1
(11.3)
dove kN è il rapporto di trasformazione nominale, I1 la corrente primaria e I2 la corrente secondaria.
Si osserva che il rapporto di trasformazione nominale non coincide generalmente con il rapporto
tra le spire degli avvolgimenti e che, per quanto detto sopra, da esso si discosta anche il rapporto
di trasformazione reale.
Facendo ancora riferimento al diagramma vettoriale di Figura 11.2, si può dare una ulteriore
interpretazione al significato dell’errore di rapporto. Infatti, tenendo conto che I0 è molto piccola rispetto alle altre correnti, l’errore di rapporto può essere considerato in valore assoluto pari
alla differenza tra i moduli dei vettori I1 e I2, ovvero, senza commettere errore apprezzabile,
uguale al segmento CB.
Si definisce errore di angolo (o di fase) la differenza di fase tra le correnti primaria e secondaria,
assumendo il senso dei vettori in modo che l’angolo sia nullo per un trasformatore ideale.
Nel diagramma vettoriale di Figura 11.2, la differenza di fase suddetta è rappresentata
dall’angolo ε. L’errore d’angolo è convenzionalmente considerato positivo allorché il vettore
della corrente secondaria rovesciato risulta in anticipo su quello della corrente primaria.
L’errore d’angolo è usualmente espresso in centiradianti o in minuti. Tenendo presente che per
angoli molto piccoli l’espressione di ε in radianti può essere confusa con la corrispondente funzione sin(ε), l’errore di fase può essere indicato con 100 sin(ε), espressione che risulta sovente
di più facile utilizzazione.
Si tenga presente che le definizioni sopra riportate per gli errori di rapporto e di fase sono rigorose solamente se le correnti primaria e secondaria sono sinusoidali (non sarebbe altrimenti possibile tracciare il diagramma vettoriale).
Questa condizione è generalmente verificata o può essere considerata come tale (si veda avanti
quando si tratterà dell’errore composto), salvo nel caso di misure di correnti fortemente distorte
come quelle che vengono assorbite dagli impianti di conversione ac/dc.
222
11.2.1. Caratteristiche Nominali
Ogni trasformatore di corrente è caratterizzato da un certo numero di grandezze nominali che
ne definiscono la funzionalità.
La frequenza nominale è quella a cui tutte le caratteristiche funzionali sono riferite e per la quale
il TA è stato dimensionato, viene considerata costante, salvo casi eccezionali.
La corrente primaria nominale è quella a cui sono riferiti gli errori di rapporto e di fase e i limiti
di sovratemperatura ammessi. Si assegnano normalmente valori interi (ad esempio 10 A, 20 A,
100 A, 500 A, 1000 A, 5000 A).
La corrente secondaria nominale viene scelta in relazione alle caratteristiche delle apparecchiature da alimentare e sono normalizzati i valori di 5 A, 2 A, 1 A (più frequentemente usato il
primo valore).
Il rapporto di trasformazione nominale è dato dal rapporto tra la corrente primaria nominale e
la corrente secondaria nominale, per cui con una opportuna scelta della corrente nominale primaria si fa in modo che esso sia un numero intero, possibilmente multiplo o sottomultiplo di 10.
La prestazione nominale è quella a cui si fa riferimento per definire i limiti della classe di precisione. Si esprime in siemens o in voltampere (questi ultimi riferiti alla corrente secondaria
nominale).
La classe di precisione assume significato diverso a seconda che il TA sia destinato ad alimentare strumenti di misura o apparecchi di protezione, come viene meglio precisato in seguito,
assieme ad altre caratteristiche nominali specifiche per il tipo di impiego.
I trasformatori di corrente sono anche caratterizzati dai livelli di isolamento assegnati agli
avvolgimenti primario e secondario (il primo molto più importante del secondo), in relazione
alle caratteristiche della rete su cui essi possono essere impiegati. Il livello di isolamento del primario può imporre particolari soluzioni costruttive che possono incidere in misura notevole
sulle prestazioni misuristiche.
Il problema del coordinamento dell’isolamento e dei livelli di isolamento è materia discussa nel
corso di impianti elettrici, al quale si rimanda per eventuali approfondimenti. È tuttavia opportuno ricordare che al crescere della tensione del sistema sul quale l’apparecchio deve essere
installato è necessario aumentare le distanze tra gli avvolgimenti e verso massa introducendo
anche una maggior quantità di isolante.
Il sistema isolante principale tra primario e secondario può essere costituito da:
• isolante secco con conduttori smaltati e nastri di carta o di poliesteri, per le basse tensioni;
• resine epossidiche o poliuretaniche per la media tensione (sempre meno frequente l’uso di
carta impregnata di olio minerale);
• carta impregnata sotto vuoto con olio minerale o gas compresso (normalmente esafluoruro di
zolfo) per l’alta tensione; l’involucro per questi TA è solitamente di porcellana per consentire
l’installazione all’esterno.
Oltre a possedere le caratteristiche sopra menzionate, ogni TA deve essere in grado di sopportare, sotto gli aspetti termico e dinamico, correnti elevate per tempi brevi in caso di guasto (cortocircuiti in rete). Si individuano così la corrente termica di breve durata nominale e la corrente
dinamica nominale (quest’ultima, espressa con il valore di picco, è normalmente corrispondente
223
a 2.5 volte quella termica espressa in valore efficace). Non è raro che dette correnti siano
dell’ordine di 100 volte la corrente nominale, mentre la durata che si considera convenzionalmente è di 1 s.
Le principali caratteristiche del TA devono essere riportate sulla targa applicata in modo visibile
sull’apparecchio, mentre i morsetti primari e secondari devono essere contrassegnati in modo
da non avere difficoltà ad individuarne la corrispondenza. Sulla targa è anche indicata la norma
secondo il quale il TA è stato progettato, in modo da consentire di risalire alle prescrizioni che
per ragioni di spazio non possono essere riportati in targa.
In Figura 11.3 sono rappresentati due diversi trasformatori di corrente destinati ad impianti a
media e bassa tensione (le dimensioni non sono in proporzione reale).
(a)
Fig. 11.3
(b)
Forme costruttive di trasformatori di corrente utilizzati sugli impianti elettrici a
media (a) e bassa (b) tensione
11.2.2. Trasformatori per Misure
I trasformatori per misure sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sono caratterizzati
dalla classe di precisione che viene convenzionalmente indicata con il limite di errore di rapporto che l’apparecchio non deve superare quando funzionante a corrente nominale e con prestazione a cos(ψ) = 0.8 ritardo compresa tra il 25% e il 100% della nominale (per certe particolari applicazioni il fattore di potenza della prestazione può essere unitario).
Le classi di precisione normalizzate sono 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limiti di errore di rapporto e di
fase, fissati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati nella Tabella 11.1 e nella Tabella 11.2.
Si noti che gli errori relativi di corrente e quelli di fase tendono a crescere con il diminuire della
percentuale della corrente nominale.
I limiti di errore sono prescritti per un campo di corrente compreso tra il 5% e il 120% della
nominale per tutto il campo di prestazioni sopra citato.
In realtà, le norme impongono ulteriori requisiti di precisione nel caso di particolari applicazioni
(ad esempio, misure di grandi quantità di energia scambiate tra società elettriche), per i quali è
opportuno consultare le norme (IEC 60044-1 e CEI EN 600044-1).
La prestazione nominale può essere compresa tra 5 VA e 30 VA, con fattore di potenza pari a
0.8 ritardo, con tendenza verso i valori più bassi essendo sempre più diffusa la tendenza ad usare
224
Errore di corrente
(rapporto) in percento
Classe di
Errore d’angolo (±) alla percentuale della corrente
(±) alla percentuale
precisione
nominale sottoindicata
della corrente nominale
sottoindicata
Minuti
Centiradianti
5
20
100
120
5
20
100
120
5
20
100
120
0.1
0.4
0.2
0.1
0.1
15
8
5
5
0.45
0.24
0.15
0.15
0.2
0.75
0.35
0.2
0.2
30
15
10
10
0.9
0.45
0.3
0.3
0.5
1.5
0.75
0.5
0.5
90
45
30
30
2.7
1.35
0.9
0.9
1.0
3.0
1.5
1.0
1.0
180
90
60
60
5.4
2.7
1.8
1.8
Tab. 11.1 Limiti dell’errore di corrente e dell’errore d’angolo per i trasformatori di corrente
per misura
Errore di corrente
Classe di
Errore d’angolo (±) alla percentuale della corrente
(±) alla percentuale della
precisione
nominale sottoindicata
corrente nominale
sottoindicata
Minuti
1
5
0.2S
0.75
0.5S
1.5
Centiradianti
20 100 120
1
5
20 100 120
1
5
20 100 120
0.35
0.2
0.2
0.2
30
15
10
10
10
0.9
0.45
0.3
0.3
0.3
0.75
0.5
0.5
0.5
90
45
30
30
30
2.7
1.35
0.9
0.9
0.9
Tab. 11.2 Limiti dell’errore di corrente e dell’errore d’angolo per i trasformatori di corrente
di misura per applicazioni speciali
apparecchiature elettroniche il cui autoconsumo è molto modesto (si osserva che il costo di un
TA è fortemente influenzato, a parità di altre condizioni, dal valore della prestazione nominale).
L’andamento tipico delle caratteristiche di errore in funzione della corrente nominale e della
prestazione sono indicate in Figura 11.4, che si riferisce a un TA di classe 0.5 con prestazione
nominale di 20 VA.
Al fine di garantire un minimo di protezione per gli strumenti alimentati in caso di elevate sovracorrenti, è opportuno che il nucleo magnetico entri in saturazione. Viene perciò prescritto un
limite per il così detto coefficiente di sicurezza che per le correnti molto più elevate della nominale che si possono verificare in caso di guasto, a 10 volte la corrente nominale.
Per ottenere TA di elevate caratteristiche misuristiche, sono importanti le caratteristiche del
materiale magnetico utilizzato ed il suo grado di sfruttamento (induzione di lavoro) nonché un
buon accoppiamento tra primario e secondario. Conseguentemente, risulta che per ottenere i
225
+1.0
η%
+0.5
100 sen ε
20 VA 100 sen ε
5 VA
0
5 VA
20 VA
-0.5
-1.0
0
20
40
60
η%
80 100 120
I (%)
Fig. 11.4
Errori di rapporto η e d’angolo 100 sin(ε) per un trasformatore di corrente in
classe 0.5, prestazione 20 VA, per reti a media tensione
migliori risultati il prodotto N1 I1 alla corrente nominale deve essere di almeno 800 Asp, mentre
l’induzione di lavoro non deve superare 0.3 T.
Per i TA di precisione più elevata si utilizzano leghe ferromagnetiche speciali che presentano
caratteristiche molto ripide e con saturazione molto netta (caratteristica di forma quasi rettangolare).
11.2.3. Trasformatori per Protezioni
La funzione dei TA per protezioni si differenzia sostanzialmente da quelli per misura in quanto
per essi è richiesto il rispetto di limiti di errore di rapporto anche fino a correnti pari a 10 volte
la nominale, allo scopo di assicurare un minimo di precisione anche in presenza di correnti elevate come quelle di cortocircuito.
Per quanto riguarda il comportamento in transitorio alle correnti elevate, essendo la componente
magnetizzante non più lineare per effetto della saturazione, per caratterizzare il comportamento
misuristico del TA non è più possibile fare ricorso al diagramma vettoriale di Figura 11.2 per
definire gli errori di rapporto e di fase. La norma CEI EN 60044-1 introduce la definizione convenzionale di errore composto come segue:
100 1
ε c = --------- --Ip T
T
∫
( K N i s – i p ) 2 dt
(11.4)
0
dove:
• KN è il rapporto di trasformazione nominale;
• Ip è il valore efficace della corrente primaria;
• ip è il valore istantaneo della corrente primaria
• is è il valore istantaneo della corrente secondaria;
• T è la durata di un ciclo.
226
Si può osservare la Figura 11.5 nella quale l’andamento delle correnti in presenza di onde non
sinusoidali è chiaramente illustrato.
ip
is
i0
Fig. 11.5
Andamento delle correnti secondaria (is), primaria (ip) e magnetizzante (i0), in un
trasformatore di corrente quando il nucleo è in saturazione
Nel campo delle correnti di funzionamento normali, viene sempre richiesto il rispetto dei limiti
di errore indicati nella Tabella 11.3 che, come si vede, corrispondono a classi di precisione piuttosto scadenti, con prescrizioni limitate ad un campo ristretto di corrente nominale.
Classe di
precisione
Errore di corrente alla
corrente primaria
nominale
Errore d’angolo alla
corrente primaria
nominale
Errore composto alla
corrente limite primaria
nominale
%
Minuti Centiradianti
%
5P
±1
±60
±1.8
5
10P
±3
—
—
10
Tab. 11.3 Limiti di errore di corrente e di angolo per i trasformatori di corrente per protezione
Nei TA per protezione, il nucleo magnetico non è più realizzato con leghe speciali ma con normali lamierini in lega ferro-silicio la cui caratteristica di magnetizzazione presenta una saturazione meno marcata e più progressiva. Esso deve essere largamente dimensionato per consentire una buona risposta anche alle correnti elevate (il nucleo non deve saturare).
Le classi normalizzate dei TA per protezione sono numerose e si differenziano anche in relazione alle modalità con le quali i requisiti vengono verificati.
La norma CEI EN 60044-1 prevede quattro classi di TA che sono caratterizzate dalle seguenti
sigle:
• la prima cifra rappresenta il limite di errore composto ammesso per il TA quando collegato
con la prestazione nominale;
• la lettera P sta ad indicare che si tratta di TA per protezione;
• le lettere X e T, che seguono la lettera P, indicano invece particolari requisiti;
227
• la seconda cifra indica il valore della corrente espressa in per unità della nominale per cui i
requisiti di precisione devono essere rispettati.
Ad esempio, la sigla 5PX indica un TA con errore composto pari al 5% con i requisiti definiti
dalla lettera X.
Sui vari tipi di TA si possono fare alcune precisazioni. I TA delle classi P sono progettati solamente per rispettare i requisiti dell’errore composto come precedentemente definito che vengono verificati con prove a prestazione aumentata, in modo da aumentare la forza elettromotrice
indotta sul secondario e simulare le condizioni di sovracorrente.
I TA della classe PX devono ancora rispettare le prescrizioni dell’errore composto come i precedenti ma il nucleo magnetico deve presentare particolari caratteristiche di magnetizzazione.
In particolare la conoscenza della caratteristica di eccitazione (tensione di ginocchio), la resistenza dell’avvolgimento secondario, il rapporto spire e la resistenza della prestazione sono sufficienti per definire le prestazioni in transitorio. Viene implicitamente richiesto che la reattanza
di dispersione sia bassa (buon accoppiamento tra primario e secondario). Può essere prescritta
la costante di tempo del circuito secondario comprendente la prestazione e l'avvolgimento.
I TA della classe PR devono ancora rispettare le prescrizioni dell’errore composto come i precedenti ma il nucleo magnetico è in generale previsto con piccoli traferri per linearizzare la
caratteristica di magnetizzazione e limitare il flusso rimanente (magnetismo residuo).
Le prescrizioni dei TA per protezione sopra descritte mirano tutte ad assicurare un buon comportamento alle correnti elevate e alle richiusure degli interruttori in condizioni di guasto in rete.
La norma IEC 60044-6 imposta il problema in un modo diverso, in quanto i requisiti relativi alla
precisione in transitorio vengono verificati direttamente in transitorio, tanto che per le prove è
necessario ricorrere sovente a laboratori specializzati. Questo argomento, che non viene ulteriormente discusso, può essere approfondito consultando la norma sopra citata.
11.2.4. Trasformatori a Più Rapporti
Per allargare il campo di impiego dei singoli TA, si ricorre sovente ad apparecchi a più rapporti.
Per mantenere praticamente le stesse caratteristiche di precisione, la migliore soluzione consiste
nel suddividere l’avvolgimento primario in due sezioni che possono essere collegate in serie o
in parallelo (Figura 11.6). Il trasformatore è in questo modo caratterizzato da due correnti nominali, una doppia dell’altra, per le quali si ha lo stesso valore di forza magnetomotrice totale. In
queste condizioni gli errori di rapporto e di fase restano invariati a parità di valore percentuale
della corrente nominale.
I
I
Fig. 11.6
A
A
(a)
(b)
Trasformatore di corrente con due sezioni primarie
228
11.3. Trasformatori di Tensione Induttivi
In alcuni casi, peraltro piuttosto rari, le sezioni sono addirittura sei, con la possibilità di ottenere
tre rapporti nominali.
Si può anche agire sul numero di spire del primario, ma questa soluzione trova giustificazione
solamente per TA con correnti nominali modeste (non oltre i 50 A) e viene usata sui sistemi a
bassa tensione.
La scelta di agire sull’avvolgimento secondario cambiandone il numero di spire e facendo così
lavorare a differenti induzioni il nucleo magnetico, è pure a volte praticata, anche se sconsigliabile in quanto le caratteristiche di precisione risultano compromesse o penalizzate da una eccessiva riduzione della prestazione nominale.
Un’altra interessante applicazione riguarda la possibilità di montare nello stesso involucro più
nuclei con caratteristiche diverse, ad esempio, per misura e protezione. Questa soluzione, assai
diffusa per ragioni economiche per gli apparecchi destinati a reti ad alta tensione, prevede per
il TA un solo avvolgimento primario che eccita tanti nuclei quanti sono gli avvolgimenti secondari (Figura 11.7). Naturalmente le caratteristiche del nucleo magnetico possono essere diverse
a seconda del tipo di utilizzazione.
P
S1
Fig. 11.7
S2
I1
S3
Trasformatore di corrente con un avvolgimento primario e tre avvolgimenti secondari (tre nuclei magnetici distinti)
Il trasformatore di tensione, nella sua forma più semplice, è dotato di due avvolgimenti (primario e secondario) tra loro isolati e da un nucleo magnetico sul quale i suddetti avvolgimenti sono
avvolti.
La tensione da misurare deve essere applicata ai terminali del primario che deve essere quindi
collegato in derivazione nel circuito, mentre ai terminali dell’avvolgimento secondario devono
essere connessi gli strumenti di misura o le apparecchiature di protezione da alimentare.
I circuiti alimentati dal secondario del trasformatore di tensione, costituiscono la prestazione
dell’apparecchio.
Lo schema tipico di inserzione del TVI è indicato in Figura 11.8 assieme al modello circuitale
che può essere utilizzato per discutere il funzionamento dell’apparecchio.
In Figura 11.9 è riportato il diagramma vettoriale delle grandezze elettriche in gioco. Con E2 è
stata rappresentata la forza elettromotrice indotta nel secondario, mentre I2 è la corrente assorbita dalla prestazione. La forza elettromotrice è prodotta dal flusso magnetico che si stabilisce
229
V
Z2
Z1
Y0
V1
I1
V
I0
V2
I2
N1 N2
V1 : tensione primaria
V2 : tensione secondaria
I0 : corrente magnetizzante
I2 : corrente secondaria
N1 : numero delle spire primarie
N2 : numero delle spire secondarie
Z1 : impedenza di dispersione del primario
Z2 : impedenza di dispersione del secondario
Y0 : ammettenza equivalente
V : prestazione alimentata
Fig. 11.8
Schema di inserzione e circuito equivalente dei trasformatori di tensione induttivi
nel nucleo magnetico a sua volta creato da una corrente magnetizzante I0 fornita dalla rete di
alimentazione e presente sul primario.
La corrente primaria complessiva I1 è rappresentata dalla somma vettoriale della corrente
magnetizzante I0 e della corrente secondaria I2 riportata a primario secondo il rapporto inverso
delle spire dei due avvolgimenti.
Le correnti secondaria e primaria producono a loro volta cadute di tensione sulle rispettive
impedenze di dispersione, provocando variazioni del rapporto di trasformazione reale
dell’apparecchio in funzione della tensione e della prestazione.
Si osserva che nel diagramma vettoriale, per facilitarne la discussione, non sono state rispettate
le proporzioni reali tra i moduli dei vettori (cadute di tensione molto più grandi di quanto si verifica in realtà).
Poiché nel circuito la tensione primaria è impressa (o può essere considerata tale), il funzionamento ideale di un TVI è quella con secondario aperto.
L’errore di rapporto (o di tensione) è l’errore che il trasformatore introduce nella misura del
modulo di una tensione quando il rapporto di trasformazione si allontana da quello nominale.
Esso è definito, in forma percentuale, dalla seguente espressione:
( k N V 2 – V 1 )100
η % = --------------------------------------V1
(11.5)
230
A
B
Z1I1
C
V1
KN V2
E1= -KS E2
ε
I1‘
I0
0
I2
I1
φ
ψ2
V2
E2
Z2 I2
V1: tensione primaria
V2: tensione secondaria
Z2I2 e Z1I1: caduta di tensione
I1: corrente primaria
I2: corrente secondaria
I0: corrente magnetizzante
ε: errore d’angolo
BA: errore di rapporto (valore assoluto)
Fig. 11.9
Diagramma vettoriale di un trasformatore di tensione induttivi
dove kN è il rapporto di trasformazione nominale, V1 la tensione primaria e V2 la tensione secondaria.
Si osserva che anche in questo caso, il rapporto di trasformazione nominale non coincide generalmente con il rapporto tra le spire degli avvolgimenti e che, per quanto detto sopra, da esso si
discosta il rapporto di trasformazione reale.
Facendo ancora riferimento al diagramma vettoriale di Figura 11.9, l’errore di rapporto è rappresentato in valore assoluto dalla differenza tra i moduli dei vettori V1 e V2, per cui può essere
confuso con il segmento PB.
Si definisce errore di angolo (o di fase) la differenza di fase tra le tensioni primaria e secondaria,
assumendo il senso dei vettori in modo che l’angolo sia nullo per un trasformatore ideale.
Nel diagramma vettoriale di Figura 11.9 la differenza di fase suddetta è perciò rappresentata
dall’angolo ε.
L’errore d’angolo è considerato positivo allorché il vettore della tensione secondaria rovesciato
è in anticipo su quello della tensione primaria.
Analogamente a quanto definito per i TA, esso è usualmente espresso in centiradianti come
100 sin(ε) o in minuti.
Le definizioni sopra riportate per gli errori di rapporto e di fase sono rigorose solamente se le
tensioni primaria e secondaria sono sinusoidali ma questa condizione è più facilmente verificata
231
che per i TA in quanto la componente magnetizzante della corrente primaria non è molto
distorta (si lavora a induzione molto bassa, non oltre 0.5 T a tensione nominale.
Ogni trasformatore di tensione è caratterizzato da un certo numero di grandezze nominali che
ne definiscono il comportamento funzionale e che lo caratterizza in modo completo.
La frequenza nominale è quella a cui tutte le caratteristiche funzionali sono riferite e per la quale
il TVI è stato dimensionato, generalmente viene considerata costante.
La tensione primaria nominale è quella a cui sono riferiti, in particolare, gli errori di rapporto e
di fase e i limiti di sovratemperatura ammessi per gli avvolgimenti.
Si assegnano normalmente valori interi corrispondenti alle tensioni nominali delle reti, divisi
per 3 quando previsti per inserimento tra fase e terra (ad esempio, 1000 V, 20000 V,
100000 ⁄ 3 V, 400000 ⁄ 3 V).
La tensione secondaria nominale viene scelta in relazione alle caratteristiche delle apparecchiature da alimentare e sono normalizzati i valori di 100 V, 100 ⁄ 3 V, 100 ⁄ 3 V a seconda del
tipo di applicazione (più raramente, secondo le tecniche nordamericane si hanno i valori 110 V,
110 ⁄ 3 V, 110 ⁄ 3 V, e qualche volta anche 200 V).
Il rapporto di trasformazione nominale corrisponde al rapporto tra la tensione primaria nominale
e la tensione secondaria nominale. La tensione primaria nominale viene scelta in modo da ottenere rapporti nominali interi di più facile utilizzazione.
Come per i TA, anche per i TVI la prestazione nominale è quella a cui si fa riferimento per definire i limiti della classe di precisione. Si esprime in ohm o in voltampere (questi ultimi riferiti
alla tensione secondaria nominale).
La prestazione nominale può essere compresa tra qualche voltampere e 50 VA, con una tendenza verso i valori più bassi essendo sempre più diffusa la tendenza ad usare apparecchiature
elettroniche il cui assorbimento è molto modesto (si riduce il costo dell’apparecchio).
La classe di precisione assume significato diverso a seconda che il TVI sia destinato ad alimentare strumenti di misura o apparecchi di protezione, come viene meglio precisato in seguito.
I TVI sono caratterizzati anche dal fattore di tensione nominale che rappresenta la tensione che
l’apparecchio deve poter sopportare per un tempo definito quando in servizio si verificano condizioni anormali di funzionamento (ad esempio, guasto a terra di una fase).
I valori normali del fattore di tensione sono riportati nella Tabella 11.4.
I trasformatori di tensione induttivi sono anche caratterizzati dai livelli di isolamento assegnati
agli avvolgimenti primario e secondario. Come per i TA, le particolari soluzioni costruttive
imposte per l’isolamento possono incidere in misura notevole sulle prestazioni misuristiche.
Il sistema isolante principale tra primario e secondario può essere costituito da:
• isolante secco con conduttori smaltati e nastri di carta o di poliesteri, per le basse tensioni;
• resine epossidiche o poliuretaniche per la media tensione (sempre meno frequente l’uso di
carta impregnata di olio minerale);
232
Fattore di tensione
nominale
Durata
nominale
Modo di collegamento dell’avvolgimento primario e
condizioni di messa a terra della rete
1.2
continua
Tra le fasi in qualsiasi rete.
Tra il centro stella del trasformatore e la terra in qualsiasi
rete.
1.2
continua
Tra fase e terra in reti con neutro efficacemente a terra.
1.5
30 s
1.2
continua
1.9
30 s
1.2
continua
1.9
8h
Tra fase e terra in reti con neutro non efficacemente a
terra con eliminazione automatica del guasto di terra.
Tra fase e terra in reti con neutro isolato o in reti collegate a terra mediante bobina d’estinzione, senza eliminazione automatico del guasto di terra.
Tab. 11.4 Valori normali del fattore di tensione
• carta impregnata sotto vuoto con olio minerale o anche poliestere con gas compresso (normalmente esafluoruro di zolfo) per l’alta tensione; l’involucro è solitamente di porcellana per
consentire l’installazione all’esterno.
Ogni TVI deve poi essere in grado di sopportare senza danneggiarsi cortocircuiti diretti ai morsetti secondari quando alimentato alla tensione primaria, per la durata di 1 s. Si osserva che
questa prescrizione non è particolarmente severa, stante il dimensionamento imposto per altri
requisiti, a differenza di quanto avviene per i TA.
Tutte le principali caratteristiche devono essere indicate sulla targa applicata in modo visibile
sull’apparecchio. I morsetti primari e secondari devono essere contrassegnati in modo da non
avere difficoltà ad individuarne la corrispondenza.
In Figura 11.10 sono rappresentati due diversi trasformatori di tensione induttivi destinati ad
impianti a media tensione.
11.3.2. Trasformatori per Misure
I trasformatori per misure sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sono caratterizzati
dalla classe di precisione che viene convenzionalmente indicata con il limite di errore di rapporto che l’apparecchio non deve superare quando funzionante a tensione nominale e con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della nominale.
Le classi di precisione normalizzate sono 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limiti di errore di rapporto e di
fase, fissati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati nella Tabella 11.5.
Anche per i TVI le norme di recente emissione prevedono ulteriori requisiti di precisione nel
caso di particolari applicazioni (ad esempio, misure di grandi quantità di energia scambiate tra
società elettriche), per i quali è opportuno consultare direttamente le norme (IEC 60044-2 e CEI
EN 600044-2).
233
(a)
(b)
Fig. 11.10 Forme costruttive di trasformatori di tensione induttivi per impiego su reti a media
tensione: (a) inserzione tra fasi e (b) inserzione verso terra
Classe di precisione
Errore di tensione (di
rapporto) in percento (±)
Errore d’angolo (±)
Minuti
Centiradianti
0.1
0.1
5
0.15
0.2
0.2
10
0.3
0.5
0.5
20
0.6
1.0
1.0
40
1.2
3.0
3.0
nessuna prescrizione
Tab. 11.5 Limiti di errore di tensione e di angolo per i trasformatori di tensione induttivi per
misure
Si osserva che i limiti di errore sono prescritti per un campo di tensione limitato tra l’80% e il
120% della tensione nominale, per il campo di prestazioni sopra citato.
L’andamento tipico delle caratteristiche di errore in funzione della tensione nominale e della
prestazione sono indicate in Figura 11.11, che si riferisce a un TVI di classe 0.5 con prestazione
nominale di 60 VA.
Poiché il nucleo magnetico lavora ad induzione poco variabile, le caratteristiche del materiale
magnetico utilizzato sono meno importanti che per i TA per cui normalmente il nucleo è realizzato con normali lamierini magnetici in lega ferro-silicio.
11.3.3. Trasformatori per Protezioni
La funzione dei TVI per protezioni è quella di alimentare sistemi di protezione con il rispetto di
limiti di errore anche a tensioni di qualche percento della nominale.
Le classi di precisione normalizzate sono 3P e 6P. Le sigle indicate assumono il seguente significato:
234
+0.8
errori di rapporto
+0.6
errori di fase
+0.4
η%
15 VA
+0.2
100 sen ε
0
15 VA
60 VA
-0.2
-0.4
60 VA
-0.6
-0.8
70
80
90
100
110
120
130
V (%)
Fig. 11.11 Errori di rapporto η e d’angolo 100 sin(ε) per un trasformatore di tensione induttivo in classe 0.5, prestazione 60 VA, cos(ψ) = 0.8 R
• la prima cifra rappresenta il limite di errore di rapporto ammesso per il TVI a prestazione
nominale e prestazione pari al 25% della nominale, per tutte le tensioni comprese tra il 5%
della nominale e quella corrispondente al fattore di tensione nominale dato dalla
Tabella 11.4;
• la lettera P sta ad indicare che il TVI è per protezione.
I TVI per protezione devono rispettare i limiti per gli errori di rapporto e di fase indicati nella
Tabella 11.6.
Minuti
Centiradianti
3P
3.0
120
3.5
6P
6.0
240
7.0
Tab. 11.6 Limiti di errore di tensione e di angolo per i trasformatori di tensione induttivi per
protezioni
Qualche volta viene prescritto anche il rispetto di errori di rapporto e di fase al 2% della tensione
con valori per i limiti doppi di quanto indicato nella tabella citata.
Dal punto di vista costruttivo, il nucleo magnetico non si discosta molto da quello che si userebbe per un TVI per misura.
235
11.3.4. Trasformatori a Più Rapporti
Per allargare il campo di impiego anche per i TVI si fa a volte ricorso ad apparecchi a più rapporti anche se in misura meno frequente che per i TA. In pratica, per mantenere le stesse caratteristiche di precisione, la migliore soluzione consiste nel suddividere l’avvolgimento secondario in due sezioni che possono essere collegate in serie o in parallelo. Il trasformatore è in questo
modo caratterizzato da due tensioni secondarie nominali, ad esempio 100 V e 200 V.
Assai rari sono i casi in cui si ricorre a suddividere l’avvolgimento primario, sul quale limitatamente alle tensioni più basse si possono pure prevedere delle prese, agendo sul numero di spire
utili.
Un altro interessante aspetto da considerare riguarda la possibilità di montare sullo stesso
nucleo più avvolgimenti secondari ciascuno con la propria funzione. In queste condizioni le
caratteristiche di errore si influenzano tra di loro in quanto l’avvolgimento primario è comune.
In Figura 11.12 sono rappresentati gli schemi relativi ai due casi considerati.
(a)
(b)
Fig. 11.12 Trasformatore di tensione induttivo con il secondario in due sezioni uguali in serie
(a) e in parallelo (b)
Un’ultima soluzione costruttiva che si ritiene di dover ricordare è quella dei TVI trifasi per reti
a media tensione, largamente utilizzati nel Regno Unito mentre non fanno parte delle tradizioni
dell’Europa continentale (un trasformatore trifase costa meno di tre trasformatori monofasi che
svolgono funzioni equivalenti).
11.3.5. Trasformatori per Tensione Residua
Per l’alimentazione di particolari protezioni di terra su sistemi funzionanti con neutro isolato, si
ricorre a volte all’impiego di tre trasformatori monofasi con i primari collegati a stella ed i
secondari a triangolo aperto, secondo lo schema di Figura 11.13. Tra i terminali aperti del triangolo, la tensione è nulla quando il sistema è in condizioni normali di funzionamento, mentre
assume un valore diverso da zero quando una fase va a terra.
Il diagramma vettoriale di Figura 11.14 illustra quanto avviene in caso di guasto monofase a
terra netto. Si può notare che per avere a disposizione una tensione secondaria di 100 V quando
la tensione nominale primaria corrisponde a quella del sistema divisa per 3 , la tensione nominale secondaria di ciascun TVI deve essere di 100 ⁄ 3 V.
Per questo tipo di applicazione viene richiesto che i TVI abbiano un fattore di tensione relativamente elevato (per le reti a media tensione 1.9), mentre la durata relativa dipende dal tipo di
intervento delle protezioni (istantaneo o ritardato). In mancanza di questo ultimo requisito, al
236
11.4. Curve di Errore di TA e TVI Interpretate con il Diagramma di Moellinger
A
B
C
VR
Fig. 11.13 Schema di inserzione di tre trasformatori di tensione induttivi monofase per ottenere al secondario la tensione residua VR
A
A
E1
E3
0
VR
B
E2
C
B
Fig. 11.14 Formazione della tensione residua VR nel caso di andata a terra della fase C dello
schema di Figura 11.13 (si noti che V R = 3 E )
momento del guasto a terra (anche autoestinguente) si possono innescare fenomeni di ferrorisonanza dovuti al fatto che il circuito magnetico dei TVI che si trovano sulle fasi sane si satura.
11.4. Curve di Errore di TA e TVI Interpretate con il
Diagramma di Moellinger
I trasformatori di tensione e corrente vengono sottoposti alla verifica degli errori di rapporto e
di fase per constatare il rispetto delle prescrizioni in occasione del collaudo di accettazione. Tale
verifica viene effettuata normalmente in funzione della corrente (o tensione) primaria per i
valori di prestazione corrispondenti al 25% e al 100% della prestazione nominale con fattore di
potenza uguale a 0.8 ritardo (prestazione induttiva).
Quando si effettuano misure di grande precisione (ad esempio misura delle perdite su circuiti a
basso fattore di potenza) può rendersi necessario conoscere gli errori di rapporto e di fase in condizioni di prestazione diverse da quelle per cui sono state condotte le verifiche sopra descritte.
237
In questi casi si può procedere ad una nuova taratura dei trasformatori nelle condizioni che interessano, ma così facendo si finisce per complicare le procedure di prova soprattutto in termini
di tempo e di costi.
Si può allora ricorrere ai diagrammi di Moellinger che consentono di determinare gli errori per
qualsiasi valore di prestazione, noti i valori degli errori di rapporto e di fase per le prestazioni
usate nella verifica di collaudo. Detti diagrammi si basano sull’assunzione che il modello equivalente dell’apparecchio considerato si comporti linearmente al variare della prestazione entro
limiti non eccedenti la nominale, per ogni data condizione di alimentazione del primario.
Tralasciando la dimostrazione del metodo, che può essere effettuata anche per via grafica, si forniscono i criteri da seguire per le applicazioni pratiche.
Si può prendere come esempio un TVI che alla verifica di collaudo presentava gli errori riportati
nella Tabella 11.7. Per una determinata tensione, ad esempio la nominale, tali valori vengono
riportati su un diagramma cartesiano con in ascisse gli errori di fase (100 sin(ε) e in ordinata gli
errori di rapporto (η%). Vengono in questo modo definiti due punti A e B come rappresentato in
Figura 11.15 per la tensione nominale. Il segmento che unisce i due punti individua gli errori di
fase e rapporto per le prestazioni aventi lo stesso fattore di potenza e per la detta tensione. Il
punto corrispondente a prestazione nulla può essere facilmente determinato per estrapolazione,
prolungando in proporzione alla lunghezza del segmento (punto O).
Tensione (%)
Errori
Prestazione
Rapporto
100 sin(ε)
VA
cos(ψ)
100
+0.32
+0.12
20
1
100
–0.35
–0.09
5
1
Tab. 11.7 Errori di rapporto e di fase di un trasformatore di tensione induttivo alla verifica
di collaudo al 100% e al 25% della prestazione nominale
Per prestazioni con fattore di potenza diverso da quello per cui si dispongono i dati, si può
descrivere la differenza d’angolo prendendo come centro il punto O, muovendosi in senso antiorario se l’angolo cresce ed in senso antiorario se diminuisce. Nella Figura 11.15, è stato tracciato, come esempio, il segmento relativi a prestazioni puramente ohmiche e a cos(ψ) = 0.8 in
ritardo. Quanto descritto per i TVI può esser applicato integralmente anche per i TA.
11.5. Trasformatori di Misura Combinati
Per i trasformatori destinati ad impianti ad alta tensione e funzionanti all’aperto, si ricorre a
volte ai trasformatori di misura combinati, nei quali nello stesso involucro ceramico sono contenuti due apparecchi: un TA e un TVI. Questa soluzione che consente la riduzione dei costi di
primo acquisto (un solo involucro isolante) e di impianto (minore spazio occupato) è poco praticata in Europa.
238
11.6. Trasformatori di Tensione Capacitivi
+ 1.0
0.5
0
100 sen ε
ψ
A
0B
-0.5
-1.0
-1
0
η(%)
+1
A = punto a prestazione nominale cosψ = 0
B = punto al 25% della prestazione nominale
0 = punto a prestazione nulla
ψ = generico argomento della prestazione
Fig. 11.15 Determinazione degli errori di rapporto η e di fase 100 sin(ε) per una prestazione
qualsiasi, noti gli errori per due prestazioni note (diagramma di Moellinger)
Ciò che può essere critico per questi apparecchi è il rischio di interferenza tra i due sistemi elettromagnetici per cui le Norme IEC 60044-3 prescrivono, oltre alle normali prescrizioni già
discusse ai punti precedenti per i singoli apparecchi), delle prove atte a verificare che dette interferenze risultino trascurabili.
Si osserva infine che esistono due schemi alternativi di collegamento tra i due apparecchi che
prevedono il TA a monte o a valle del TVI (il primo schema è solitamente preferito).
I trasformatori di tensione capacitivi trovano largo impiego sui sistemi ad alta tensione (da
100 kV in su) in quanto meno costosi di quelli induttivi. Il vantaggio economico deriva anche
dal fatto che gli apparecchi possono essere utilizzati anche per la trasmissione di segnali per
telecomando tra sottostazioni vicine, impiegando come condensatore di accoppiamento il divisore di tensione capacitivo che fa parte dell’apparecchio.
Lo schema elettrico che permette di discutere il funzionamento di un TVC è quello riportato in
Figura 11.16a nella quale sono per il momento rappresentate solo i componenti principali.
Il divisore capacitivo, che consente di ridurre la tensione da misurare ad un valore compreso tra
10 kV e 15 kV disponibile tra la presa intermedia e la terra, presenta un fattore di scala kC dato
da
C1
k C = -----------------C1 + C2
(11.6)
dove C1 e C2 rappresentano le capacità della sezione di alta tensione e di bassa tensione del divisore.
239
C1
A
VP
L
C TR
C2
VS
V
VS
V
D
B
(a)
C1
L
VTH
TR
C
C2
D
(b)
Fig. 11.16 Schema di principio (a) e circuito equivalente secondo Thevenin (b) di un trasformatore di tensione capacitivo
La tensione primaria nominale del TVC è normalmente quella della rete sulla quale deve essere
inserito, divisa per 3 in quanto l’apparecchio viene inserito tra fase e terra.
Il reattore induttivo è realizzato con un avvolgimento montato su un nucleo magnetico e deve
presentare una resistenza per quanto possibile piccola (nelle considerazioni seguenti detta resistenza viene per semplicità considerata nulla).
Il terzo principale componente dell’apparecchio è rappresentato dal trasformatore di tensione
induttivo avente tensione primaria prossima a quella intermedia del divisore capacitivo, mentre
la tensione secondaria nominale è una delle tensioni normalizzate.
Per studiare il principio del TVC conviene applicare al circuito di Figura 11.16a il teorema di
Thevenin interrompendolo nel punto A. La tensione di Thevenin è allora quella che si manifesta
tra i punti A e B, mentre lo schema equivalente è quello di Figura 11.16b.
Nella XL è compresa anche l’impedenza di corto circuito del trasformatore induttivo che viene
per il resto considerato ideale.
Si deduce facilmente che se alla frequenza di lavoro si verifica la condizione X L = X C , il
sistema è in condizioni di risonanza serie. L’analisi del comportamento del TVC può quindi
essere eseguito confrontando le tensioni VD e VS che, in generale, differiscono in modulo e in
fase.
Il comportamento del TVC risulta fortemente influenzato dalle variazioni di frequenza. Le
caratteristiche di precisione dei TVC, per quanto ben curati costruttivamente, sono influenzate
da varie cause:
• i condensatori del divisore non sono perfetti in quanto possono variare di capacità per effetto
della temperatura (cambia il fattore di scala del divisore) e presentano un certo angolo di perdita; conseguentemente si modificano i parametri del circuito di Thevenin;
240
• l’induttore non è puro per cui si dovrebbe mettere in conto la sua resistenza e i contributi dissipativi del circuito magnetico;
• il trasformatore non è ideale e presenta propri errori di rapporto e di fase.
Gli ultimi due componenti, che costituiscono l’unità elettromagnetica, sono montati in un contenitore sigillato pieno di olio isolante.
Le definizioni degli errori di rapporto e di fase sono le stesse indicate per i TVI, ai quali si
rimanda tanto per la misura che per le protezioni.
L’errore di rapporto è perciò definito, in forma percentuale, dalla seguente espressione:
( k N V 2 – V 1 )100
η % = --------------------------------------V1
(11.7)
dove kN è il rapporto di trasformazione nominale, V1 la tensione primaria e V2 la tensione secondaria. Anche per i TVC il rapporto di trasformazione nominale non coincide generalmente con
il rapporto di trasformazione reale.
Particolare cura deve essere posta nel prevenire o limitare i fenomeni oscillatori che si verificano durante i transitori di tensione che, in alcuni casi, possono dar luogo a fenomeni di ferrorisonanza. Il transitorio più gravoso è rappresentato dall’apertura di un cortocircuito netto ai
morsetti secondari. Per questa ragione, si devono inserire dei dispositivi di smorzamento delle
suddette oscillazioni, come spinterometri, filtri, ecc.
Per rendersi conto di quanto affermato è sufficiente notare che se si provoca un cortocircuito tra
i punti C e D del circuito di Figura 11.16b, la corrente risulterebbe limitata solamente dai parametri dissipativi e che quindi i condensatori e l’induttanza verrebbero interessati da correnti e
tensioni molto elevate. Inoltre, essendo l’induttanza non lineare per la presenza del ferro, si possono innescare ferro-risonanze.
Un altro transitorio durante il quale si può verificare il non corretto funzionamento del TVC è
il brusco cortocircuito primario, in seguito al quale la tensione secondaria non si estingue immediatamente, per cui può risultare compromesso il corretto intervento delle protezioni alimentate.
Le recenti norme IEC 60044-5, dedicate ai TVC, possono essere consultate per eventuali approfondimenti sull’argomento.
La frequenza nominale, a cui tutte le caratteristiche funzionali sono riferite, è per i TVC di fondamentale importanza.
Alla tensione primaria nominale si assegnano normalmente valori interi corrispondenti alle tensioni nominali delle reti, divisi per 3 in quanto l’inserzione è tra fase e terra (ad esempio,
100000 ⁄ 3 V, 400000 ⁄ 3 V).
La tensione secondaria nominale viene scelta in relazione alle caratteristiche delle apparecchiature da alimentare e sono normalizzati i valori di 100 ⁄ 3 Ve 100 ⁄ 3 V (qualche volta
200 ⁄ 3 V) a seconda del tipo di applicazione.
Il rapporto di trasformazione nominale è dato dal rapporto tra la tensione primaria nominale e
la tensione secondaria nominale.
241
Come per i TVI, la prestazione nominale è quella a cui si fa riferimento per definire i limiti della
classe di precisione. Le prestazioni nominali normali sono comprese tra 10 VA e 100 VA, con
tendenza verso valori piuttosto bassi se vengono alimentati apparecchiature elettroniche a basso
consumo.
La classe di precisione assume diverso significato a seconda che il TVC sia destinato ad alimentare strumenti di misura o apparecchi di protezione.
I trasformatori di tensione capacitivi sono anche caratterizzati dai livelli di isolamento assegnati
al divisore capacitivo e all’avvolgimento secondario.
11.6.2. Trasformatori Capacitivi per Misure
I trasformatori capacitivi per misure sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sono
caratterizzati dalla classe di precisione che viene convenzionalmente indicata con il limite di
errore di rapporto che l’apparecchio non deve superare quando funzionante a corrente nominale
e con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della nominale.
Le classi di precisione normali sono 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limiti di errore di rapporto e di fase, fissati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati nella Tabella 11.8.
Minuti
Centiradianti
0.2
0.2
10
0.3
0.5
0.5
20
0.6
1.0
1.0
40
1.2
3.0
3.0
Tab. 11.8 Limiti di errore di tensione e di angolo per i trasformatori di tensione capacitivi per
misure
I limiti di errore sono prescritti per un campo di tensione limitato tra l’80% e il 120% della tensione nominale, per tutto il campo di prestazioni sopra citato.
In pratica, le costruzioni attuali consentono di realizzare TVC per misura in classe 0.5 che
garantiscono i requisiti di precisione indicati nella tabella citata, purché le variazioni di frequenza risultino contenute nel ± 0.25 Hz.
I requisiti di precisione per la classe 0.2 sono raggiungibili solamente in laboratorio in quanto
in servizio si verificano condizioni ambientali che influiscono sugli errori (inquinamento atmosferico superficiale, temperatura ambiente, funzionamento sotto pioggia, ecc.) sui cui effetti non
si hanno informazioni precise.
L’andamento tipico delle caratteristiche di errore in funzione della tensione nominale e della
prestazione sono indicate in Figura 11.17, che si riferisce a un TVC di classe 0.5 con prestazione
nominale di 60 VA.
242
+0.8
errori di rapporto
+0.6
errori di fase
+0.4
η%
15 VA
+0.2
100 sen ε
0
15 VA
60 VA
-0.2
-0.4
60 VA
-0.6
-0.8
70
80
100
90
110
120
130
V (%)
Fig. 11.17 Errori di rapporto η e d’angolo 100 sin(ε) per un trasformatore di tensione capacitivo in classe 0.5, prestazione 60 VA, cos(ψ) = 0.8 R
11.6.3. Trasformatori Capacitivi per Protezioni
La funzione dei TVC per protezioni è quella di alimentare sistemi di protezione con il rispetto
di limiti di errore anche a tensioni di qualche percento della nominale. Le classi di precisione
recentemente normalizzate sono due.
Le sigle indicate assumono il seguente significato:
• la prima cifra rappresenta il limite di errore di rapporto ammesso per il TVI quando collegato
con la prestazione nominale;
• la lettera P sta ad indicare protezione;
• la seconda cifra indica il valore della corrente espressa in per unità della nominale per cui i
requisiti di precisione devono essere rispettati.
Per i TVC viene richiesto il rispetto dei limiti di errore indicati nella Tabella 11.9 che, come si
vede appartengono a classi di precisione piuttosto scadenti.
Anche per i TVC si possono prevedere avvolgimenti secondari per utilizzazione a triangolo
aperto, analogamente a quanto detto per i TVI. Poiché questi apparecchi sono montati sulle reti
ad alta tensione funzionanti con neutro a terra, il fattore di tensione richiesto non supera normalmente 1.5.
11.6.4. Trasformatori Capacitivi a Più Rapporti
Per allargare il campo di impiego anche per i TVC si fa a volte ricorso ad apparecchi a due rapporti prevedendo l’avvolgimento secondario in due sezioni che possono essere collegate in serie
o in parallelo analogamente a quanto previsto per i TVI (Figura 11.12). Il trasformatore è in
questo modo caratterizzato da due tensioni secondarie nominali, ad esempio 100 ⁄ 3 Ve
200 ⁄ 3 V.
243
Classe di
precisione
Errore di tensione
(±) alla percentuale
della tensione nominale
sottoindicata
Errore d’angolo (±) alla percentuale della
tensione nominale sottoindicata
Minuti
Centiradianti
2
5
100
X
2
5
100
X
2
5
100
X
3P
6.0
3.0
3.0
3.0
240
120
120
120
7.0
3.5
3.5
3.5
6P
12.0
6.0
6.0
6.0
480
240
240
240
14.0
7.0
7.0
7.0
X è il fattore di tensione nominale (dato dalla Tabella 11.4) moltiplicato per 100
Tab. 11.9 Limiti di errore di tensione e di angolo per i trasformatori di tensione capacitivi per
protezioni
244
12.1. Generalità
12. Sensori e Trasduttori
12.1. Generalità
La trasduzione in elettrica di una grandezza non elettrica è di norma eseguita da un organo detto
sensore, sensibile alla grandezza che si vuole misurare, che viene collocato nel punto di misura.
I sensori possono essere distinti in
• sensori attivi, che forniscono in uscita un segnale elettrico attivo (tensione, corrente) ottenuto
mediante trasformazione di energia (meccanica, termica, luminosa, ecc.) in forma elettrica;
• sensori passivi, nei quali la grandezza da misurare influenza una grandezza elettrica passiva
(resistenza, capacità) alimentata da sorgenti esterne di energia.
Il segnale elettrico di uscita è quindi elaborato mediante una catena di componenti, che costituisce una vera e propria catena di misura.
12.2. Sensori Attivi
Un sensore attivo può sempre essere rappresentato dagli schemi equivalenti duali riportati in
Figura 12.1, dove
V = f (X ) e I = f (X )
(12.1)
e X rappresenta la grandezza da misurare.
Z
V
Fig. 12.1
I
Y
Schemi equivalenti di un sensore attivo
245
12 Sensori e Trasduttori
Raramente il legame fra V (o la duale I) ed X è lineare; sempre però sarà verificata la condizione
⎧ V (X ) = 0
per X = 0
⎨
I
(
X
)
=
0
⎩
(12.2)
poiché la relazione funzionale deriva da interazioni di tipo energetico.
12.2.1. Termocoppie
Le termocoppie sono sensori attivi di temperatura. Esse sono costituite da due fili di metalli
diversi, saldati insieme ad una delle estremità. Per effetto Seebeck, ogni giunzione di due
metalli diversi fornisce una forza elettromotrice direttamente dipendente dalla temperatura a cui
si trova.
Le termocoppie di comune impiego sono riportate in Tabella 12.1.
Sigla
Giunzione
Temperatura Massima di
Impiego
T
Rame/Costantana
371 ˚C
J
Ferro/Costantana
760 ˚C
E
Cromo/Costantana
871 ˚C
K
Nichel-Cromo/Alumel
1260 ˚C
R
Platino/Platino-Rodio (13%)
1482 ˚C
S
Platino/Platino-Rodio (10%)
1482 ˚C
Tab. 12.1 Termocoppie di comune impiego
Fili
della
Termocoppia
Fili
di
Compensazione
Giunto Freddo
Giunto Caldo
A
Fili di
Collegamento
Questi sensori sono assai robusti, di facile installazione e basso costo. Entro una certa fascia di
temperature, l’uscita è ragionevolmente lineare. Lo schema circuitale in cui il sensore è tipicamente inserito è riportato in Figura 12.2.
Strumento
di
Misura
B
Fig. 12.2
Termocoppia con circuito di lettura
246
Il Giunto Freddo deve essere termostato a 0 ˚C per avere misure assolute nel dominio della scala
centigrada, oppure in caso contrario le variazioni di temperatura dello Giunto Freddo devono
essere compensate automaticamente.
Poiché collegamenti di materiale diverso non influenzano la misura se le rispettive giunzioni
sono isoterme, spesso il Giunto Freddo è contenuto all’interno dello Strumento di Misura ed ivi
controllato in temperatura.
I Fili di Compensazione vengono introdotti qualora la distanza fra il Giunto Caldo e lo Strumento di Misura sia apprezzabile e sono costituiti dagli stessi materiali costituenti la termocoppia.
Si osservi che la termocoppia misura la temperatura del Giunto Caldo, non quella dell’ambiente
in cui la giunzione stessa è immersa.
Le cause di errore nella forza elettromotrice fornita dalle termocoppie sono fondamentalmente
tre:
• le modalità di applicazione del Giunto Caldo all’oggetto del quale si vuole rilevare la temperatura;
• la capacità termica del sensore;
• la trasmissione del calore attraverso i conduttori, per cui la termocoppia tende a raggiungere
l’equilibrio termico con tutto l’ambiente, non con il solo oggetto con cui il Giunto Caldo è a
contatto.
È quindi fondamentale scegliere la termocoppia da usare non solo sulla base della gamma di
temperatura, ma anche sulla base del tipo di impiego previsto, che ne determina le dimensioni
fisiche, il grado di calibrazione, il tipo di guaina protettiva, le condizioni ambientali d’uso. Le
termocoppie hanno bassa potenza d’uscita, e ciò significa che qualora lo Strumento di Misura
abbia bassa impedenza d’ingresso, si pongono particolari problemi.
In Figura 12.3 sono riportati gli andamenti delle forze elettromotrici prodotte dalle termocoppie
citate in funzione della temperatura.
12.2.2. Generatori Tachimetri
I generatori tachimetrici convertono la velocità di rotazione di un organo rotante in una forza
elettromotrice continua o alternata e sono essenzialmente dinamo o alternatori a magnete permanente.
A condizione che lo strumento di misura connesso al sensore sia a basso consumo, la forza elettromotrice prodotta è proporzionale con buona approssimazione alla velocità di rotazione. La
forza elettromotrice prodotta è dell’ordine di alcuni volt (piccole dimensioni sono necessarie per
ottenere una buona velocità di risposta).
Nel caso di alternatori, poiché l’erogazione di corrente può comportare elevate reazioni
d’indotto, a volte si preferisce rilevare la grandezza d’uscita con frequenzimetri numerici (ad
altissima impedenza d’ingresso) stabilendo perciò un legame fra velocità di rotazione e frequenza del segnale. Tale metodo però non è adatto a misure in transitorio.
247
60
B
Tensione [mV]
50
B
40
J
J
B J
F
H
F
B HJ
J
20
F
H
BJ
F
F
H
10
BJ F
H F
FHJ F
0B
F
F
30
0
Fig. 12.3
F
B
200
400
600
B
J
H
F
E
J
T
K
R
S
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Temperatura [˚C]
Forze elettromotrici prodotte da diverse termocoppie in funzione della temperatura
12.2.3. Sensori Fotoelettrici
I sensori fotoelettrici vengono utilizzati per misure di intensità luminosa. Questi sensori generano una corrente proporzionale alla potenza della radiazione luminosa incidente. Tra i sensori
fotoelettrici vale la pena di menzionare le celle fotovoltaiche (ad ossido di rame o al selenio),
che però presentano costanti di tempo piuttosto lunghe e mediocre stabilità. Pertanto, al giorno
d’oggi vengono più comunemente utilizzati dei fotodiodi (al silicio o al germanio), che generano correnti specifiche dell’ordine di 10 µA/mW con costanti di tempo dell’ordine di 10 ns.
Questi dispositivi sono però assai sensibili alla temperatura e la risposta è lineare solo se vengono polarizzati opportunamente.
12.2.4. Sensori Piezoelettrici
I sensori piezoelettrici convertono sforzi di trazione, compressione o di taglio in forze elettromotrici. Sottoponendo dei cristalli opportunamente tagliati a tali sforzi, sulle facce si originano
cariche elettriche dell’ordine di 10–9 C/N, che producono sulla capacità propria del cristallo e
su eventuali capacità esterne delle differenze di potenziale misurabili con strumenti ad alta
impedenza. Il materiale solitamente usato è il quarzo. Per un sensore piezoelettrico si definisce
sensibilità di carica la grandezza
C
Q
S C = ---- espressa in ---N
P
(12.3)
dove Q denota la carica elettrica generata e P la forza esercitata sul sensore.
248
Poiché
S
Q
V = ---- = -----C- P
C
C
(12.4)
dove V è la forza elettromotrice generata e C = CS + CC è la capacità equivalente dell’intero
sistema a monte del punto dove si rileva V (inclusi i cavi di collegamento e la capacità di
ingresso dello strumento di misura), la sensibilità in tensione del trasduttore è data da
S
S µ = -----CC
(12.5)
Si vede che Sµ varia con C e quindi con le condizioni di impiego (cavi di collegamento e strumento di misura), inoltre questi trasduttori hanno assai elevata impedenza d’uscita. Si interpongono perciò frequentemente fra sensore e strumento di misura degli opportuni amplificatori di
carica (integratori) come illustrato in Figura 12.4, i quali determinano una tensione d’uscita proporzionale alla carica Q (non alla tensione V) e svincolano così la sensibilità dalle variazioni di
C. Vale, infatti la relazione
dV
dV
C R --------u- = – ( C S + C C ) ------dt
dt
(12.6)
Q
V u = ------CR
(12.7)
e quindi
Amplificatore
Sensore
Q ~
Fig. 12.4
Cavo
CS
CC
V
Vu
Strumento
di
Misura
CR
Circuito per la lettura di sensori piezoelettrici
Questi trasduttori attivi hanno frequenze di risonanza elevate (10 MHZ) e quindi si prestano
bene a rilievi in regime dinamico. Inoltre sono molto robusti e di ridotte dimensioni. Essi sono
però sensibili alla temperatura ed all’umidità e sono difficili da calibrare in condizioni statiche.
249
12.3. Sensori Passivi
Supponiamo che una grandezza elettrica passiva (R, C, L, M) sia una funzione della grandezza
incognita X, rappresentabile con il suo sviluppo in serie intorno ad un determinato valore X0,
(12.8)
R = f (X ) = R0 [ 1 + A ( X – X 0 ) + … ]
Nel caso di una resistenza (R) si può, per un certo X0 conveniente, scrivere
(12.9)
∆R = k ∆ X
In tal caso, si tratta dunque di misurare variazioni di R, non il suo valore assoluto. Si dovranno
perciò usare metodi di misura caratterizzati da elevata sensibilità. Bisognerà altresì tenere conto
di eventuali variazioni di resistenza, non dipendenti da X.
Alimentazione
Poiché il sensore è passivo, necessita in ogni caso un generatore ausiliario di energia elettrica,
per cui lo schema equivalente sarà quello indicato in Figura 12.5.
Fig. 12.5
Ri
R = f(X)
V
Schemi equivalenti di un sensore passivo
12.3.1. Termometri
Lo schema di un termometro (o termosonda) a resistenza di platino illustrato in Figura 12.6 prevede un generatore di corrente costante I che alimenta la serie di R1, R2 e del resistore di platino
RPt. Ai morsetti di quest’ultimo si preleva la caduta di tensione che determina la tensione di
uscita Vu. I resistori R3 ed R4 sono inseriti per adattare l’impedenza allo strumento rilevatore, il
quale deve avere un’impedenza di ingresso assai elevata. In tali condizioni, ad una variazione
di temperatura di RPt corrisponde una variazione della resistenza e quindi della Vu.
R3
R1
RPt
R2
I
Vu
R4
Fig. 12.6
Termometro a resistenza di platino
250
Le resistenza equivalenti d’uscita di questi sensori sono dell’ordine di 102 Ω. Il campo di
impiego si estende fino a temperature dell’ordine di 850 ˚C.
Il platino altamente raffinato è praticamente incontaminabile chimicamente ed è meccanicamente ed elettricamente stabile, con legame praticamente lineare R = f(T). Anche deriva ed
errore di invecchiamento sono trascurabili. Il costo è però ben 8 ÷ 10 volte quello di una termocoppia. La lettura in uscita è proporzionale alla temperatura assoluta, per cui non sono necessarie operazioni di termostatazione. Le dimensioni ed il montaggio determinano le condizioni di
trasmissione ed accumulo del calore e perciò la costante di tempo del sensore.
Sensori in rame e nichel sono meno costosi, ma hanno un campo di funzionamento lineare più
ridotto e sono meno stabili.
1 termistori sono resistori realizzati con semiconduttori aventi coefficiente di temperatura elevato e negativo,
R = Ae
B
– --------------------(T – T 0)
(12.10)
Con essi si realizzano sensori molto sensibili e con elevata velocità di risposta. La tecnologia
dell’invecchiamento artificiale permette di ottenere elementi di buona stabilità, con resistività
elevate (100 ÷ 103 Ωm). Essi però vanno tarati singolarmente perché difficilmente riproducibili.
12.3.2. Estensimetri
Gli estensimetri vengono impiegati per convertire una deformazione in una variazione di resistenza. Se ne impiegano di due tipi: a filo ed a semiconduttore.
Estensimetri a Filo
Gli estensimetri a filo o “strain gauges”, sono placchette da incollare direttamente sul pezzo
assoggettato a deformazione; sono costruiti con fili molto sottili di materiale conduttore con
resistività ρ che, se assoggettati a trazione, aumentano la loro resistenza elettrica. Essi infatti
aumentano la loro lunghezza L e vedono diminuire la loro sezione S, per cui la loro resistenza,
ρL
R = ------S
(12.11)
aumenta, stabilendo un legame fra ∆R e la sollecitazione che l’ha determinata.
Entro la base di misura B il filo viene ripiegato “a griglia” in modo che ∆R risulti dalla deformazione contemporanea di più sezioni affiancate di conduttore (Figura 12.7).
Tipicamente, vengono impiegati materiali conduttori ad alta resistività, come:
• Karma (Ni + Cr + Al + Fe),
• Isoelastic (Ni + Cr + Fe + Mo),
• Cromel-C (Ni +Cr + Fe),
ridotti in fili di sezione contenuta, correntemente del valore di 1.13 ÷ 4.9 µm2.
251
F
F
Pezzo Sotto Misura
Adesivo
Supporto
Adesivo
Filo Estensimetrico
Coperchio
Fig. 12.7
Estensimetro a filo
La sensibilità o “gauge factor” di questi dispositivi è definito come
∆R ⁄ R
G f = --------------∆L ⁄ L
(12.12)
ossia il rapporto fra le variazioni relative di resistenza e di lunghezza.
Si può dimostrare che
G f = 1 + 2ν
(12.13)
dove ν denota il modulo di Poisson del materiale, nella ipotesi che sotto sforzo non si abbiano
variazioni di resistività. Questo non è sempre vero, perché i valori di Gf superano agevolmente
il valore 1.5 ÷ 1.8 che dovrebbe essere invalicabile (poiché ν = 0.25 ÷ 10.40 in tutti i materiali
metallici). Pertanto si deve riconoscere che
∆ L ∆ρ
∆R
∆L
------- = ------- + 2ν ------- + -----L
R
L
ρ
(12.14)
ovvero che, sotto sforzo meccanico, la resistenza del filo varia anche per effetto di una variazione di resistività ∆ρ, il cui contributo è assai considerevole (piezoresistività). Il valore dei
gauge factor è pertanto
∆ρ L
G f = 1 + 2ν + ------ ------ρ ∆L
(12.15)
Anche qui è importante il coefficiente di temperatura.
252
In definitiva i requisiti per avere un buon estensimetro sono i seguenti:
• elevata resistività;
• piccola sezione;
• basso coefficiente di temperatura;
• elevato ∆R allorché avviene la deformazione (elevato Gf);
• elevata corrente di assorbimento;
• elevata resistenza meccanica;
• trascurabile isteresi elastica.
Il valore della corrente nominale è determinato dalla quantità di calore dissipabile, poiché non
si possono superare temperature di esercizio che, anzitutto, danneggerebbero supporto e adesivo. Di norma In = 15 ÷ 20 mA.
L’isteresi elastica dell’estensimetro definisce il campo entro cui la risposta è lineare. Va notato
che, sotto questo aspetto, il punto debole dell’estensimetro è l’adesivo. Questo infatti deve
assolvere la funzione fondamentale di trasmettere al filo estensimetrico la deformazione del
pezzo senza alterarla, e quindi avere, teoricamente, modulo elastico infinito. In secondo luogo
esso deve conservarsi isotropo, al fine di mantenere lo stesso legame fra sforzo e deformazione
in ogni direzione, in un intervallo ampio di temperature di funzionamento. In terzo luogo esso
contribuisce all’isolamento verso massa del filo estensimetrico (una resistenza finita verso
massa si tramuta in una variazione apparente di deformazione). Oggi si impiegano adesivi in
grado di soddisfare questi requisiti, ciascuno per un opportuno campo di temperature e di deformazioni.
Gran parte dei problemi sopra esposti pare in via di soluzione con l’evolversi della tecnologia
costruttiva, che oggi ha condotto alla quasi completa sostituzione dei fili con le lamine (fogli di
lamierino dello spessore di alcuni micron) su cui sono incisi o fotoincisi i conduttori estensimetri.
Estensimetri a Semiconduttore
Gli estensimetri a semiconduttore sfruttano fondamentalmente l’effetto delle piezoresistività,
poiché essa è oltremodo accentuata per alcuni semiconduttori drogati con impurità trivalenti
(tipo p) o pentavalenti (tipo n), nei quali la tensione meccanica determina una variazione del
salto di energia fra le bande di valenza e di conduzione.
In questi tipi di estensimetri, il valore di Gf è 50 ÷ 60 volte più grande rispetto al caso degli
estensimetri a filo. Le dimensioni sono molto piccole (fino a spessori di 0.013 mm e larghezza
di 0.51 mm), i campi entro cui Gf è costante sono molto ristretti e la sensibilità alla temperatura
è assai alta. Si possono però, con notevole cura nell’installazione, misurare deformazioni anche
di 10–1 µm, cioè cento volte più piccole di quelle rilevabili con i tipi a filo, ma non si possono
superare i 2000 µm, circa 1/3 del limite massimo per i tipi a filo.
I circuiti elettrici utilizzati per misurare le variazioni di resistenza degli estensimetri derivano
dal ponte di Wheatstone.
253
12.3.3. Sensori Capacitivi
I sensori capacitivi convertono generalmente spostamenti in variazioni di capacità. Essi possiedono svariate forme costruttive, per cui è utile ricordare (Tabella 12.2) le espressioni della capacità in funzione dei parametri geometrici per diversi tipi di condensatori.
Tipo
Tipo
Capacità
d
Condensatore piano
a N armature
S
( N – 1 )εS
C = -----------------------d
S
S
C = -----------------d1 d2
----- + ----ε1 ε2
ε
d1 d2
Condensatore piano
con più dielettrici
ε1 ε2
δ
Condensatore piano
a settore circolare
ε, d
ε ( R 2 – r 2 )δ
C = ---------------------------2d
R
r
d ε
L
Condensatore cilindrico
D
2πεL
C = ------------- con D » d
D
log ---d
πεL ( D + d )
d
C = ----------------------------- con D – d « --2( D – d )
2
Tab. 12.2 Espressione della capacità in funzione dei parametri geometrici per diversi tipi di
condensatore
254
Spesso in un sensore capacitivo una armatura del condensatore è costituita dal pezzo di cui si
vuole misurare lo spostamento; in tal caso si determina una forza attrattiva fra le armature, che
nel caso di un condensatore piano a due armature vale
1 C2V 2
F = --- ------------2 d
(12.16)
il che fa preferire sensori differenziali, per le quali la forza F risultante è nulla se l’elemento
mobile è centrato, e minimizzabile senza grosse difficoltà per piccoli spostamenti (Figura 12.8).
+V
+F
–F
C1 = C0 + ∆C
C2 = C0 – ∆C
∆d
0
F = 0 per ∆d = 0
–V
Fig. 12.8
Sensore capacitivo differenziale
Il segnale fornito (variazione di capacità) può essere istantaneo (misura del tempo di carica e
scarica) o continuo nel tempo. Nel secondo caso, le tecniche circuitali usate per ottenere un
segnale di tensione o corrente da una variazione di capacità possono essere di diversi tipi.
Circuiti a Modulazione di Ampiezza
Il circuito più semplice per la rilevazione di variazioni di capacità è un ponte in corrente alternata (Figura 12.9) dove può essere variabile solo Cx oppure sia Cx sia C3 quando si utilizzano
sensori differenziali. Questo circuito ha però grossi problemi di schermatura, raddrizzamento e
amplificazione e pertanto è assai poco usato.
R1
Vu
~
R2
Fig. 12.9
Cx
C3
Ponte in alternata per la rilevazione di variazioni di capacità
Prestazioni molto migliori si ottengono con il circuito di Figura 12.10.
255
I
R1
R2
R3
C1
~V
Vu
R1
C2
R2
–I
R3
Fig. 12.10 Circuito per la rilevazione di variazioni di capacità
Esso è governato dalla relazione
jωaV ∆CR 3
V u = R 3 I = ----------------------------------------------------------a + b – a 2 b + ja ( a + 2b )
(12.17)
dove C 1 = C 0 ± ∆C , C 2 = C 0 −
+ ∆C , a = R 1 ωC 0 e b = R 2 ωC 0 .
Circuiti a Modulazione di Frequenza
I circuiti per la rilevazione di variazioni di capacità basati sulla modulazione di frequenza sono
usati in telemetria, in casi particolari. Essi forniscono in uscita una tensione continua di alcuni
volt.
Circuiti Risonanti
Circuiti per la rilevazione di variazioni di capacità possono essere realizzati formando reti LRC
risonanti (con C variabile). Questi circuiti forniscono in uscita un segnale alternato con frequenza proporzionale alla capacità da misurare. Essi raggiungono buone prestazioni purché si
riesca a stabilizzare la frequenza di risonanza.
Circuiti a Diodi
Fra i migliori circuiti a diodi per la rilevazione di variazioni di capacità si segnale il circuito a
doppio T di Lion (Figura 12.11) che converte un segnale alternato in segnali continui di alto
livello (±5 V in campo di funzionamento lineare), fornendo una tensione di uscita
V u = k(C1 – C2)
(12.18)
Esso è alimentato con una tensione V a frequenza di 1.3 MHz, e lo strumento di misura può
essere di impedenza di ingresso non elevata (millivoltmetro magnetoelettrico). Questo circuito
va però messo bene a punto poiché la linearità della risposta è a scapito della sensibilità, fuori
dal campo ottimale di funzionamento. Va osservato che, finora, linearità ha significato legame
256
R2
R1
C1
~V
C2
Vu
Fig. 12.11 Circuito a doppio T di Lion
lineare fra C e Vu, mentre in questo caso linearità significa assicurare un rapporto lineare fra ∆L
e ∆C. Nel caso di una capacità differenziale piana (Figura 12.12) valgono le relazioni
S
C 1 = ε -------------d – d0
S
C 2 = ε --------------d + d0
(12.19)
2d 0
∆C = C 1 – C 2 = εS ---------------d 2 – d 02
+V
C1
C2
d0
d
d
0
–V
Fig. 12.12 Sensore capacitivo differenziale piano
Dall’equazione (12.19) si nota come il legame fra d0 e ∆C sia lineare solo per d 0 « d . In questo
caso, infatti, si ottiene
2kεSd
V u = k ∆C = -----------------0d2
(12.20)
I trasduttori di spostamento di tipo capacitivo sostituiscono vantaggiosamente quelli di tipo resistivo e induttivo (resistori variabili di tipo potenziometrico) fondamentalmente per la possibilità
di funzionare senza collegamento elettrico con l’organo mobile e per la massa molto ridotta (e
quindi basso tempo di risposta in condizioni dinamiche). Essi necessitano però di strumenti ad
alta impedenza di ingresso per elaborare il segnale, per cui sono sconsigliabili quando i cavi di
collegamento debbano essere molto lunghi e quindi sensibili ai disturbi esterni.
257
La dipendenza dalle variazioni di temperatura è limitata all’influenza di T sulla permettività del
dielettrico ε, assai sensibile spesso anche alle variazioni di umidità. Da ultimo, va detto che la
variazione di capacità è spesso legata alla variazione di ε; tipico è l’impiego nelle misure di
livello, dove il dielettrico liquido è l’unico “organo” mobile del condensatore.
12.3.4. Sensori Induttivi
I sensori induttivi sono impiegati per misure di spostamento e si basano sulla variazione di
induttanza di una bobina in funzione della riluttanza del circuito magnetico concatenato, o sulla
variazione di mutua induttanza fra due circuiti elettrici magneticamente concatenati.
A questo secondo gruppo appartengono i sensori più usati: si tratta o di veri e propri trasformatori ad accoppiamento variabile (Figura 12.13) in cui
V u = ∆E = k ∆ L
(12.21)
∆L
E1
V ~
Vu
E2
Fig. 12.13 Sensore induttivo
Essi vengono impiegati per misure differenziali, sono lineari per piccoli ∆L, ma presentano tensioni residue di origine parassita.
Alternativamente si possono utilizzare macchine elettriche trifasi (SYNCRO), ottime per telemisure di tipo analogico. Collegando fra loro gli statori di due macchine asincrone trifasi identiche, avvolgendo in monofase i rotori ed alimentandoli in parallelo, questi assumeranno la
medesima posizione angolare (Figura 12.14). Pertanto, si ha una vera e propria trasmissione a
distanza di spostamenti angolari, con ottimi livelli di potenza meccanica disponibile per il
comando eventuale di servomeccanismi.
258
δ
V ~
Fig. 12.14 Macchina elettrica trifase usata come sensore induttivo (SYNCRO)
259
260
13.1. Generalità
13. Oscilloscopi
13.1. Generalità
L’oscilloscopio è uno strumento comunemente utilizzato per l’analisi di segnali variabili nel
tempo. In genere il segnale misurato è una tensione, anche se introducendo convertitori o trasduttori è possibile analizzare ogni genere di grandezza.
Gli oscilloscopi sono di diversi tipi a seconda della misura da eseguire, della frequenza e
dell’ampiezza del segnale da misurare. Inoltre un segnale variabile nel tempo può essere analizzato in tempo reale (oscilloscopio tradizionale) o memorizzato per essere ripreso successivamente (oscilloscopio a memoria).
Lo schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio tradizionale è illustrato in Figura 13.1.
Tramite un interruttore è possibile selezionare se rappresentare la variabile Y in funzione di
un’altra variabile X o in funzione del tempo. Nel caso venga rappresentata Y in funzione del
tempo, un opportuno circuito, detto Base dei Tempi, genera un segnale di tensione a dente di
sega VdX = k t che scandisce il CRT in direzione orizzontale. Il segnale da misurare VY, invece,
viene elaborato in modo da ottenere una tensione VdY = kY VY tale da deflettere il fascio elettronico in direzione verticale. Sul CRT viene, quindi, rappresentata l’evoluzione del segnale VY
durante l’intervallo di tempo definito da VdX, come illustrato in Figura 13.2. Un opportuno
segnale detto “trigger”, permette di sincronizzare la scansione verticale con quella orizzontale,
in modo da mostrare sullo schermo un forma d’onda stabile (qualora ovviamente il segnale sia
periodico).
VY
Canale Y
Y
VdY
Base dei
Tempi
VX
Fig. 13.1
Canale X
X
CRT
VdX
Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio analogico tradizionale
261
13 Oscilloscopi
CRT
Y – Segnale da Analizzare
a
a
b
b
X – Base dei Tempi
Fig. 13.2
Principio di funzionamento dell’oscilloscopio con base dei tempi
Nel caso in cui venga rappresentato il segnale VY in funzione di un segnale esterno VX, si utilizza
una tensione VdX = kX VX invece del segnale generato dalla Base dei Tempi, in modo da produrre
un’opportuna deflessione del fascio elettronico in direzione X. In questo caso, quindi, sul CRT,
viene rappresentata l’evoluzione del segnale Y in funzione del segnale X senza alcuna informazione temporale, come mostrato in Figura 13.3.
13.2. Tubo a Raggi Catodici
L’elemento base di un oscilloscopio per uso generale analogico o digitale è il tubo a raggi catodici (CRT). In un oscilloscopio analogico, infatti, esso permette di rappresentare visivamente
l’andamento di un segnale nel dominio del tempo o in funzione di un altro segnale. In un oscilloscopio digitale, invece, esso è utilizzato come monitor (anche se in realtà in questo caso è possibile utilizzare anche displays di altro tipo, per esempio dispositivi a cristalli liquidi).
Come illustrato in Figura 13.4, un tubo a raggi catodici è costituito da un cannone elettronico,
composto a sua volta da un catodo e da una serie di griglie o lenti, dalle placchette di deflessione
e da uno schermo su cui viene visualizzata la forma d’onda.
Esistono anche tubi catodici speciali che permettono di visualizzare due segnali allo stesso
tempo. Essi sono in genere basati su tre tecniche: tecnica a doppia traccia (un singolo sistema
262
13.2. Tubo a Raggi Catodici
Y – Segnale da Analizzare
CRT
X – Segnale da Analizzare
Principio di funzionamento dell’oscilloscopio in modalità XY
Filamento
Primo Anodo Anodo Focalizzatore
Griglia di Controllo
Secondo Anodo
–(VA + VG)
0
0
–V
Placchette di Deflessione Y
–VA
Schermo
Fig. 13.3
Placchette di Deflessione X
Catodo
Crossover
Luminosità
Fig. 13.4
Fuoco
Astigmatismo
Simmetria Cilindrica
Tubo a raggi catodici (CRT)
di deflessione viene commutato tra i due segnali), tecnica dual gun (vi sono due cannoni elettronici e due sistemi di deflessione ma un singolo schermo) e tecnica dual beam (vi è un singolo
cannone elettronico ma il fascio viene diviso in due da apposite placchette, vi è poi una singola
263
13 Oscilloscopi
coppia di placchette di deflessione orizzontale seguita da due coppie di placchette di deflessione
verticale).
13.2.1. Cannone Elettronico
All’interno del cannone elettronico il fascio di elettroni viene generato e focalizzato. Gli elettroni, infatti, si comportano sotto molti aspetti in modo simile a un raggio luminoso, in quanto
essi possono essere rifratti, riflessi e focalizzati tramite lenti. Le lenti elettroniche, però, a differenza di quelle ottiche, sono costituite da campi elettrici opportunamente sagomati, invece che
da materiali con proprietà ottiche diverse.
Gli elettroni, emessi per effetto termoionico dal catodo (a potenziale –VA) riscaldato da un apposito filamento, vengono accelerati verso il primo anodo (a potenziale 0) dalla differenza di
potenziale VA. La griglia di controllo (a potenziale –VA – VG), posta tra il catodo e il primo
anodo, determina il numero di elettroni che costituiscono il fascio, permettendo così di controllare la Luminosità dello schermo. La dimensione del foro denominato “crossover” nella griglia
di controllo, invece, determina la dimensione geometrica del punto luminoso sullo schermo.
L’anodo focalizzatore (a potenziale –V) ha la funzione di concentrare il fascio di elettroni,
mentre il secondo anodo (a potenziale 0) introduce una ulteriore accelerazione. Il controllo del
Fuoco viene normalmente posto sul secondo anodo in modo da non interferire con l’azione
dell’anodo focalizzatore. Il controllo dell’Astigmatismo (normalmente non accessibile) è invece
connesso a un ulteriore anodo.
La griglia di controllo, oltre a determinare la luminosità dello schermo, può anche essere utilizzata, tramite opportuni circuiti (Circuiti Asse Z), per bloccare il fascio di elettroni tra una scansione dello schermo e la successiva (Figura 13.5a). Alternativamente, questa stessa funzione
può essere realizzata tramite opportune placchette di spegnimento che deviano il fascio al di
fuori dello schermo (Figura 13.5b).
Griglia di Controllo
Primo Anodo
Filamento
Fascio Deviato
Catodo
Impulso di Sblocco
Circuiti
Asse Z
(a)
Schermo
Placchette di Spegnimento
(b)
Livello di Interdizione
Dalla Base dei Tempi
Luminosità
Fig. 13.5
Interdizione del fascio elettronico tra una scansione e l’altra dello schermo tramite
griglia di controllo (a) o placchette di spegnimento (b)
264
13.3. Base dei Tempi
13.2.2. Placchette di Deflessione
Il fascio di elettroni generato e focalizzato dal cannone elettronico deve, poi, essere indirizzato
verso le coordinate desiderate sullo schermo. Questa funzione viene svolta dalle placchette di
deflessione (X e Y). Negli oscilloscopi, in genere, si utilizza la deflessione elettrostatica, realizzata tramite placchette parallele a cui è applicata una differenza di potenziale. Ovviamente, si
potrebbe ottenere lo stesso risultato anche utilizzando due coppie di bobine (deflessione magnetica), come nei televisori.
13.2.3. Schermo
Luminosità
Lo schermo di un CRT è costituito da una lastra di vetro (in genere il tubo a vuoto stesso) sulla
cui parete interna vengono depositate sostanze (fosfori) che, colpite dagli elettroni emettono
radiazioni luminose visibili. L’energia degli elettroni incidenti, infatti, in parte viene dissipata
sotto forma di calore, in parte ionizza il materiale e in parte eccita il materiale provocando
un’emissione luminosa per un certo periodo di tempo, come illustrato in Figura 13.6.
Corrente del Fascio
100%
90%
10%
Tempo di Formazione
Fluorescenza
Tempo di Decadimento
Fosforescenza
Uscita Luminosa Complessiva
t
Fig. 13.6
Comportamento dello schermo colpito dal fascio di elettroni
Lo schema a blocchi della Base dei Tempi è illustrato in Figura 13.7. Il blocco più importante è
ovviamente il Generatore di Rampa che genera il segnale per il canale X, mentre gli altri blocchi
servono per controllare e selezionare le diverse modalità di funzionamento. Il Circuito di Prelievo è in realtà parte del canale verticale.
265
13 Oscilloscopi
Selettore di Sweep Mode
Auto / Trigger / Single
Segnale di Ingresso (Y)
Circuito di
Prelievo
Canale Y
8
Circuito
Auto
Level Slope (+/–)
INT
EXT
1
LINE
220 V
10
Generatore
di Trigger
2
6
7
9
3
Generatore 4
di Gate
Circuito di
Hold-Off
5
Canale X
Generatore
di Rampa
10 V
Selettore di Trigger
Fig. 13.7
Circuito di
Ripristino
Circuiti Asse Z
Time / Division
Schema a blocchi della Base dei Tempi
13.3.1. Modalità di Funzionamento
Nella base dei tempi esistono tipicamente tre modalità di funzionamento (triggered, auto e
single-sweep) che possono essere selezionate tramite il Selettore di Sweep Mode.
Modo Triggered
La modalità di funzionamento triggered viene in genere utilizzata per visualizzare segnali periodici. La Base dei Tempi, infatti, viene avviata da un opportuno segnale di trigger, sincrono col
segnale da visualizzare (Y), permettendo così di ottenere sullo schermo una traccia stabile. Tramite un selettore (Selettore di Trigger) è possibile scegliere se prelevare il segnale di trigger dal
segnale Y, da un segnale esterno oppure dalla tensione di linea (per esempio 220 V, 50 Hz).
In questa modalità di funzionamento il blocco chiamato Circuito Auto è disabilitato, mentre il
Generatore di Trigger fornisce in uscita un impulso ogni qual volta il segnale selezionato (INT,
EXT o LINE) attraversa una determinata soglia (controllo Level) con una determinata pendenza
(controllo Slope), come mostrato in Figura 13.8 (segnali 1 e 2). Il segnale ottenuto dal Generatore di Trigger viene fornito in ingresso al Generatore di Gate, che è costituito da un circuito
bistabile (stati A e B) con uno terzo stato C metastabile indotto dal segnale generato dal Circuito
di Ripristino (segnale 7). Quando nel segnale di trigger (2) compare un impulso negativo tale
da portare la tensione in ingresso al Generatore di Gate al di sotto della tensione di soglia V1
(segnale 3), il circuito bistabile commuta dallo stato A allo stato B, avviando così il Generatore
di Rampa (segnali 4 e 5).
Il segnale in uscita dal Generatore di Gate viene fornito ingresso ai Circuiti Asse Z in modo da
sbloccare il fascio elettronico, mentre il segnale in uscita dal Generatore di Rampa viene fornito
in ingresso al Canale X e allo stesso tempo al Circuito di Hold-Off che a sua volta fornisce in
uscita una rampa con pendenza diversa (segnale 6). Questa rampa rappresenta il segnale di
ingresso al Circuito di Ripristino che è normalmente costituito da un trigger di Schmidt con
266
1
Level
Slope –
2
Stato C
Stato A
Stato A
V1
3
V2
Stato B
1
1
0
0
4
5
VS
6
VR
1
0
0
7
8
Fig. 13.8
Forme d’onda della base dei tempi in modalità di funzionamento triggered
soglie VS e VR. Quando la rampa raggiunge la tensione VS, l’uscita del Circuito di Ripristino
cambia di stato (segnale 7), portando il Generatore di Gate nello stato C. L’uscita del Generatore di Gate, quindi, cambia stato e il Generatore di Rampa viene azzerato (segnali 3, 4 e 5).
267
13 Oscilloscopi
Mentre il Generatore di Gate si trova negli stati B e C, gli impulsi di trigger eventualmente
sopravvenuti vengono ignorati.
A questo punto, la rampa in uscita dal Circuito di Hold-Off inizia a scendere (segnale 6).
Quando essa raggiunge la tensione VR, il Circuito di Ripristino cambia nuovamente stato
(segnale 7), riportando così il Generatore di Gate nello stato iniziale A. Conseguentemente,
quando compare il successivo impulso nel segnale di trigger, il ciclo ricomincia, provocando
una nuova scansione orizzontale dello schermo. Nella modalità di funzionamento triggered,
quindi, la Base dei Tempi si comporta come un circuito monostabile.
Modo Auto
La modalità di funzionamento auto ovvia agli inconvenienti che presenta la modalità di funzionamento triggered quando il segnale di trigger è assente o molto lento (in genere per frequenze
inferiori a 40 Hz). In questa modalità di funzionamento il Circuito Auto è attivo. Esso riceve in
ingresso un impulso generato dal Circuito di Ripristino (segnale 8), nonché il segnale di uscita
del Generatore di Trigger (segnale 10). Qualora non compaia alcun un impulso di trigger per
un determinato tempo (generalmente 25 ms, fissato da un circuito monostabile), l’impulso
generato dal Circuito di Ripristino viene direttamente fornito in ingresso al Generatore di Gate
attraverso un interruttore (S), come mostrato in Figura 13.9 (segnale 9). Pertanto, una volta terminato un ciclo di funzionamento della Base dei Tempi (rampa e hold-off), inizia automaticamente un nuovo ciclo, provocando così una continua scansione dello schermo. Il primo impulso
al Generatore di Gate viene fornito manualmente quando si seleziona il modo auto. Nella
modalità di funzionamento auto, quindi, la Base dei Tempi si comporta come un circuito astabile.
Circuito Auto
Monostabile
T = 25 ms
Level Slope (+/–)
10
Generatore
di Trigger
Fig. 13.9
2
8 Circuito di
Ripristino
1 25 ms 1
0
S
7
9
3
Generatore
di Gate
Schema a blocchi semplificato della Base dei Tempi in modalità auto
Modo Single-Sweep
La modalità di funzionamento single-sweep viene in genere utilizzata per visualizzare segnali
non periodici. In questo caso, infatti, in modalità triggered o auto si otterrebbe una traccia non
stabile sullo schermo. In modalità single-sweep, pertanto, vengono inibiti tutti gli impulsi di
trigger successivi al primo, provocando una singola scansione dello schermo. Questo viene ottenuto inibendo il cambiamento di stato del segnale in uscita al Circuito di Ripristino (segnale 7)
quando la rampa in uscita dal Circuito di Hold-Off (segnale 6) scende al di sotto della tensione
VR. Il Generatore di Gate, quindi, dopo la prima scansione rimane nello stato C finché l’utente
non decide di effettuare un nuova scansione.
268
13.3.2. Generatore di Trigger
Il Generatore di Trigger ha il compito di trasformare il segnale selezionato tramite il Selettore
di Trigger in una serie di impulsi con caratteristiche predefinite (ampiezza, durata e ritardo). Lo
schema a blocchi del Generatore di Trigger è illustrato in Figura 13.10.
Level Slope
Segnale di Trigger
DC
AC
HFR
1
Circuito a
Isteresi
Derivatore
LFR
Generatore di Gate
Selettore di Accoppiamento
Fig. 13.10 Schema a blocchi del Generatore di Trigger
Esso è sostanzialmente costituito da un Circuito ad Isteresi (trigger di Schmidt o circuito a
diodo tunnel), che determina l’attraversamento da parte del segnale di trigger del livello di tensione Level con pendenza Slope, seguito da un Derivatore, che trasforma il gradino in uscita dal
Circuito ad Isteresi in un singolo impulso di ampiezza e durata costanti. Il Circuito ad Isteresi
è connesso al segnale di trigger tramite quattro sezioni di accoppiamento (DC, AC, HFR e
LFR), selezionabili tramite il Selettore di Accoppiamento:
• accoppiamento in DC (continua): il segnale di trigger passa inalterato;
• accoppiamento in AC (alternata): passano solo le componenti spettrali del segnale di trigger
con frequenza maggiore di fL (tipicamente 10 Hz);
• accoppiamento HFR (reiezione delle alte frequenze): passano solo le componenti spettrali
del segnale di trigger con frequenza minore di fH (tipicamente 30 kHz);
• accoppiamento LFR (reiezione delle basse frequenze): passano solo le componenti spettrali
del segnale di trigger con frequenza maggiore di fH (tipicamente 30 kHz).
13.3.3. Generatore di Gate
Il Generatore di Gate è sostanzialmente un circuito bistabile che viene attivato (set) dal Generatore di Trigger e disattivato (reset) dal Circuito di Ripristino. Esso è in genere realizzato tramite un diodo tunnel, come mostrato in Figura 13.11.
Data una corrente di polarizzazione IB, il diodo tunnel può presentare due diversi valori stabili
di tensione (VA e VB). Quando il Generatore di Gate si trova nello stato A (in attesa di trigger),
nel diodo fluisce la corrente IB (l’interruttore S è chiuso) e VP = VA. Quando si presenta un
impulso di trigger di ampiezza sufficiente, la tensione ai capi del diodo diviene maggiore di VH,
portando il Generatore di Gate nello stato B. Successivamente il segnale proveniente dal Circuito di Ripristino apre l’interruttore S, interrompendo la corrente nel diodo e portando il Gene-
269
Generatore di Trigger
13 Oscilloscopi
Diodo Tunnel
I
V
Circuito di
Uscita
G
VP
It
S
VRi
Generatore di Rampa
Circuito di Ripristino
IB
I
VA
IB
It
VB
VH
VP
V
VL
VRi
A
B
C
t
t
t
Fig. 13.11 Schema a blocchi e principio di funzionamento del Generatore di Gate
ratore di Gate nello stato C. In Figura 13.11 si può notare che, quando il Generatore di Gate si
trova negli stati B e C, gli impulsi di trigger non producono alcun effetto. Quando l’interruttore
S viene richiuso, infine, il Generatore di Gate si porta nuovamente nello stato A e il ciclo può
ricominciare.
13.3.4. Generatore di Rampa
Il Generatore di Rampa è normalmente un integratore di Miller con resistenza (R) o capacità
(C) variabile tramite il controllo Time / Division. Inoltre, vi è un interruttore che permette di
azzerare l’integratore al termine di ogni scansione.
270
13.3.5. Circuito di Hold-Off
Il Circuito di Hold-Off, il cui diagramma a blocchi è illustrato in Figura 13.12, preleva una frazione (β VI) della tensione in uscita dal Generatore di Rampa e la fornisce in ingresso al Circuito di Ripristino (trigger di Schmidt) attraverso l’interruttore S1 (VH = β VI), caricando il condensatore CH.
S2
VI
CH
S1
β VI
VH
VH
Circuito di
Ripristino
Time / Division
VRi
Generatore di Gate
Generatore
di Rampa
I
VS
VR
t
VRi
t
Fig. 13.12 Diagramma a blocchi del Circuito di Hold-Off
Quando la tensione VH all’ingresso del Circuito di Ripristino raggiunge la soglia di scatto del
Circuito di Ripristino (VH = VS), l’uscita del Circuito di Ripristino (VRi) cambia stato, chiudendo l’interruttore S2 e aprendo S1. Il condensatore CH viene, quindi, scaricato a corrente
costante (I), dando luogo a una rampa con pendenza negativa. Il valore di CH viene determinato
dal controllo Time / Division insieme ai valori di capacità e resistenza del Generatore di Rampa,
in modo da mantenere costante il rapporto tra il tempo di salita (ts) e il tempo di discesa (td) della
rampa stessa. Siccome il tempo di discesa della rampa deve essere molto più breve del tempo
di salita (ts / td ≅ 1000), il valore di CH è in genere molto minore del valore di C.
Quando la tensione VH scende al di sotto della soglia di riscatto del Circuito di Ripristino (VR),
l’uscita del Circuito di Ripristino cambia nuovamente stato, riportando il Circuito di Hold-Off
nelle condizioni iniziali.
271
13 Oscilloscopi
13.4. Canale Verticale (Y)
La funzione principale del Canale Verticale è di portare il segnale d’ingresso al livello di tensione necessario a deflettere opportunamente il fascio elettronico. Lo schema a blocchi del
Canale Verticale è mostrato in Figura 13.13. Esso è sostanzialmente costituito da un Selettore
di Ingresso che determina il tipo di accoppiamento (AC, DC o GND) e da una catena di attenuatori e amplificatori, il cui guadagno è determinato dal controllo V / Division.
V / Division Coarse
CRT
AC
VY
GND
V / Division Fine
K1
Attenuatore
Y
K2
V1
Amplificatore
Y
V2
a
DC
Posizione
Selettore di Ingresso
Polarità
K3
Base dei Tempi
Fig. 13.13 Schema a blocchi del Canale Verticale
L’ampiezza a della traccia visualizzata sullo schermo (numero di divisioni) risulta data da
a = K 1K 2K 3V Y
(13.1)
dove K1, K2 e K3 rappresentano il guadagno (o l’attenuazione) dei diversi blocchi della catena.
Variando uno qualsiasi di questi parametri (in genere K1 a scatti a K2 in modo fine), è quindi
possibile variare l’ampiezza della traccia.
L’accoppiamento GND permette di connette l’ingresso Y a massa in modo da determinare lo
zero del segnale. Tramite il controllo Posizione, è poi possibile aggiustare verticalmente il
livello di zero in modo da porre la forma d’onda da visualizzare al centro dello schermo.
13.4.1. Attenuatore
Il primo stadio del Canale Verticale è un attenuatore programmabile (Attenuatore Y). L’Attenuatore Y deve avere due caratteristiche fondamentali: attenuare il segnale indipendentemente
dalla frequenza e presentare un’impedenza d’ingresso indipendente dall’attenuazione selezionata (l’impedenza d’ingresso dell’Attenuatore Y è anche l’impedenza d’ingresso dell’oscilloscopio). Pertanto, per soddisfare questi requisiti è necessario utilizzare un attenuatore compensato. Esso è costituito da una serie di sezioni (Figura 13.14) che possono essere inserite o disinserite a seconda dell’attenuazione richiesta. Le capacità C1, C2 e C3 permettono di mantenere
l’attenuazione costante al variare della frequenza del segnale. La rete costituita da Rin e Cin (terminazione) rappresenta l’impedenza d’ingresso dell’Amplificatore Y.
272
R1
C1
C3
R2
Rin
C2
Sezione
Cin
Terminazione
Fig. 13.14 Sezione e terminazione di un attenuatore compensato
13.4.2. Amplificatore Y
La caratteristica più importante dell’Amplificatore Y è di avere una elevata frequenza di taglio,
in quanto essa determina la banda passante dell’intero oscilloscopio (B), ovvero la massima frequenza di segnale visualizzabile. Per massimizzare B senza degradare il guadagno, pertanto,
l’Amplificatore Y è normalmente costituito da più stadi in cascata, come mostrato in
Figura 13.15.
Beam Finder
Attenuatore
V / Division Fine
Adattatore di
Impedenza
Preamplificatore
Differenziale
Posizione
Polarità
Linea di
Ritardo
Amplificatore
Finale Y
Placchette di Deflessione
Base dei Tempi
Fig. 13.15 Schema a blocchi dell’Amplificatore Y
Il primo stadio è in genere un Adattatore di Impedenza, che funge da terminazione per l’Attenuatore Y. Il segnale differenziale ottenuto in uscita dall’Adattatore di Impedenza viene fornito
in ingresso a un Preamplificatore Differenziale (secondo stadio), il cui guadagno può essere
variato tramite il controllo V / Division Fine, in modo da determinare accuratamente l’ampiezza
del segnale sullo schermo. Inoltre, il controllo Posizione permette di aggiungere una componente continua al segnale, determinando così la posizione verticale della traccia sullo schermo.
Infine, il controllo Polarità consente di invertire di segno il segnale (sfasamento di 180˚).
Il terzo stadio dell’Amplificatore Y è in genere un Linea di Ritardo. Essa è necessaria in tutti gli
oscilloscopi con banda superiore a 10 MHz per equalizzare i ritardi del Canale X e del Canale
Y, permettendo così di visualizzare il fronte di attacco del segnale. Infatti, se il ritardo del
Canale X (tdX) fosse superiore al ritardo del Canale Y (tdY), il fronte di attacco del segnale non
verrebbe visualizzato, con conseguente perdita di informazione (per questo motivo generalmente la Linea di Ritardo viene dimensionata in modo da ottenere tdY leggermente maggiore di
273
13 Oscilloscopi
tdX). La Linea di Ritardo può essere realizzata a parametri concentrati, a parametri distribuiti
o, più comunemente, con circuito stampato.
Infine, l’ultimo stadio dell’Amplificatore Y è l’Amplificatore Finale Y che pilota le placchette
di deflessione verticale (elevata amplificazione).
13.4.3. Oscilloscopio a Doppia Traccia
Nell’analisi dei segnali nel dominio del tempo è spesso importante poter visualizzare due forme
d’onda contemporaneamente (per esempio i segnali d’ingresso e di uscita di un circuito). Quasi
tutti gli oscilloscopi, pertanto, prevedono questa possibilità (oscilloscopi a doppia traccia). Per
realizzare oscilloscopi a doppia traccia, oltre alle tecniche dual beam e dual gun che prevedono
la duplicazione di parte del tubo a raggi catodici e del Canale Y, esistono anche soluzioni basate
su circuiti di commutazione che, richiedendo meno circuiti addizionali, risultano più economiche e quindi molto più diffuse. Lo schema a blocchi del canale verticale (Canale Y) di un oscilloscopio a doppia traccia con circuiti di commutazione è illustrato in Figura 13.16.
Selettore di
Ingresso
Base dei Tempi
VY, A
VY, B
Posizione A
Attenuatore
A
Polarità A
Preamplificatore
A
Circuito di Commutazione
Amplificatore
di Trigger
Selettore di
Ingresso
Linea di
Ritardo
A
A+ B
B
Selettore Trigger
Attenuatore
B
Preamplificatore
B
Amplificatore
Finale Y
Circuito
Pilota
TA
V / Division B
Posizione B
Polarità B
V / Division A
A
B
ALT
CHOP
Mode A + B
Base dei Tempi (ALT) Circuiti Asse Z (CHOP)
Fig. 13.16 Schema a blocchi del Canale Y di un oscilloscopio a doppia traccia
La struttura del circuito è analoga a quella di un oscilloscopio a singola traccia. Tuttavia, i primi
stadi del Canale Y (Selettore, Attenuatore e Preamplificatore) vengono duplicati per poter prelevare i due segnale d’ingresso (VY, A e VY, B). I segnali in uscita dal Preamplificatore A e dal
Preamplificatore B vengono poi combinati tramite un Circuito di Commutazione e forniti in
ingresso a una singola Linea di Ritardo e quindi a un singolo Amplificatore Finale Y. Il controllo
Selettore Trigger permette di selezionare il segnale di trigger da inviare alla Base dei Tempi (A,
B o A + B). Inoltre, un apposito Circuito Pilota gestisce la commutazione tra i segnali. Agendo
274
sul Circuito Pilota tramite il controllo Mode è possibile selezionare se visualizzare il segnale A
(modalità A), il segnale B (modalità B), la somma dei due segnali (modalità A + B) oppure
entrambi i segnali utilizzando alternativamente la modalità alternate (modalità ALT, normalmente utilizzata per frequenze superiori a 30 kHz) o la modalità chopped (modalità CHOP, normalmente utilizzata per frequenze inferiori a 500 Hz). È possibile anche visualizzare la differenza dei due segnali, invertendo il segnale A o il segnale B tramite il controllo Polarità e selezionando la modalità A + B.
Modalità Alternate
VY, B
t
Trigger
t
Rampa
t
Gate
t
TA
VY, A
In modalità alternate i segnali A e B vengono visualizzati alternativamente sullo schermo in
scansioni successive (durante una scansione dello schermo viene visualizzato il segnale A e
durante la scansione seguente il segnale B), come mostrato in Figura 13.17. Se i segnali sono
correlati in frequenza è sufficiente prelevate il segnale di trigger indifferentemente dal segnale
A o dal segnale B. Se i segnali non sono correlati in frequenza, invece, è necessario prelevare il
trigger dal segnale da visualizzare (A + B, come in Figura 13.17). In modalità alternate è
comunque possibile ottenere forme d’onda stabili sullo schermo anche in presenza di segnali
scorrelati in frequenza. Un apposito segnale (TA), fornito dalla Base dei Tempi provoca la commutazione del Canale Y dal segnale A al segnale B o viceversa (tramite il Circuito Pilota).
t
t
Fig. 13.17 Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia in modalità alternate
275
13 Oscilloscopi
Modalità Chopped
VY, B
t
Chopper
t
Rampa
t
Asse Z
VY, A
In modalità chopped i segnali A e B vengono visualizzati alternativamente sullo schermo
durante la medesima scansione, come mostrato in Figura 13.18. Ovviamente, in questo caso,
per avere una traccia stabile, i due segnali devono essere correlati in frequenza. Inoltre, la frequenza di commutazione tra un segnale e l’altro (determinata dal Circuito Pilota, normalmente
circa 1 MHz) deve essere molto superiore alla frequenza dei segnali stessi. La modalità chopped, quindi, viene generalmente utilizzata per segnali lenti.
t
t
Fig. 13.18 Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia in modalità chopped
Per evitare che i transitori di commutazione tra un segnale e l’altro appaiano sullo schermo,
occorre inviare appositi impulsi ai Circuiti Asse Z (oltre al segnale di Gate) in modo da bloccare
il fascio elettronico in corrispondenza delle commutazioni. Il segnale di Chopper viene generato
dal Circuito Pilota.
276
13.5. Canale Orizzontale (X)
13.5. Canale Orizzontale (X)
V / Division Coarse
VX
Attenuatore
X
Base dei
Tempi
V / Division Fine
Preamplificatore
X
Posizione
Polarità
Beam Finder
Amplificatore
Finale X
Horizontal Display
Lo schema a blocchi del Canale Orizzontale è illustrato in Figura 13.19. Esso è costituito
dall’Attenuatore X (analogo all’Attenuatore Y), da un Preamplificatore X (analogo al Preamplificatore Y) e da un Amplificatore Finale X (analogo all’Amplificatore Finale Y). Tramite un
selettore (controllo Horizontal Display), la rampa generata dalla Base dei Tempi viene connessa
all’Amplificatore Finale X in alternativa al segnale fornito dal Preamplificatore X. I controlli
del Canale Orizzontale (V / Division, Posizione e Polarità) sono analoghi a quelli del Canale
Verticale.
Fig. 13.19 Schema a blocchi del Canale Orizzontale
13.6. Oscilloscopio Digitale
Al giorno d’oggi, grazie al progresso delle tecnologie integrate, gli oscilloscopi analogici per
applicazioni generiche, sono stati quasi completamente soppiantati dagli oscilloscopi digitali,
come è del resto accaduto in molti altri casi (per esempio i multimetri o gli analizzatori di armoniche). La tecnologia digitale, infatti, offre prestazioni e funzioni indiscutibilmente superiori a
parità di costo. Benché il principio di funzionamento di un oscilloscopio digitale non differisca
di molto da quello di un oscilloscopio analogico (i controlli sono gli stessi, come pure i blocchi
base), le architetture interne nei due casi sono sostanzialmente diverse.
Lo schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio digitale è illustrato in Figura 13.20. Esso
è costituito fondamentalmente da un Circuito di Ingresso (come nell’oscilloscopio analogico),
da un Convertitore A/D, da un Microprocessore, da una Memoria e dallo Schermo (con i relativi
Convertitori D/A e Amplificatori Finali).
Il segnale da analizzare viene convertito in forma digitale, memorizzato, elaborato dal Microprocessore ed infine visualizzato sullo Schermo. I vantaggi di un oscilloscopio digitale sono
innumerevoli. Innanzitutto, grazie alla possibilità di memorizzare il segnale, è possibile visualizzare chiaramente anche forme d’onda non periodiche o molto lente. Inoltre, l’elaborazione
digitale del segnale permette di includere nell’oscilloscopio numerose funzioni di misura (cursori sullo schermo, misure di frequenza, trasformata di Fourier, operazioni matematiche, zoom)
tipicamente non disponibili in oscilloscopi analogici. Infine, siccome lo Schermo è gestito diret-
277
13 Oscilloscopi
Volt / Division
VY
Convertitore
A/D
Circuito di
Ingresso
Clock
fS
Memoria
Convertitori
D/A X e Y
Base dei
Tempi
Time / Division
Interfaccia
Utente
Microprocessore
Ricostruzione e
Elaborazione
Amplificatori
Finali X e Y
Schermo
Fig. 13.20 Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio digitale
tamente dal Microprocessore, è possibile realizzare facilmente oscilloscopi con numerosi canali
(tipicamente quattro).
13.6.1. Convertitore Analogico/Digitale
La conversione analogico/digitale del segnale da analizzare è la caratteristica peculiare di un
oscilloscopio digitale. La precisione (risoluzione) e la velocità (frequenza di campionamento)
del Convertitore A/D, infatti, determinano le prestazioni dell’intero oscilloscopio. La digitalizzazione di un segnale analogico tempo-continuo coinvolge due processi di discretizzazione: un
processo di discretizzazione nel dominio del tempo (campionamento) e un processo di discretizzazione in ampiezza (quantizzazione).
In base al teorema di Shannon, il processo di campionamento non comporta perdita di informazione purché la frequenza di campionamento fS sia almeno il doppio della banda del segnale da
convertire (frequenza di Nyquist), come mostrato in Figura 13.21. In pratica, per non avere perdita di informazione le “immagini” del segnale introdotte dal campionamento intorno ai multipli
interi di fS non si devono sovrapporre. La banda passante B di un oscilloscopio digitale risulta,
quindi, limitata dal massimo valore di fS (B = fS / 2).
Il processo di discretizzazione in ampiezza o quantizzazione, invece, introduce inevitabilmente
un errore, detto errore di quantizzazione. Il segnale digitale in uscita da un Convertitore A/D,
infatti, è per definizione costituito da un numero finito di bit (N) che identificano 2N – 1 intervalli di quantizzazione, ciascuno di ampiezza ∆ / (2N – 1), dove ∆ denota l’ampiezza massima
del segnale (Figura 13.22). Pertanto, tutti i livelli analogici compresi in un particolare intervallo
di quantizzazione dopo la conversione A/D risultano indistinguibili, provocando una perdita di
278
13.7. Probe
Spettro del Segnale Tempo-Continuo
B
f
fS
Spettro del Segnale Campionato
B
fS
2 fS
3 fS
4 fS
5 fS
f
Fig. 13.21 Campionamento di un segnale analogico tempo-continuo
Nout
informazione. L’entità dell’errore di quantizzazione risulta tanto minore quanto maggiore è la
risoluzione del Convertitore A/D, definita dal numero N di bit in uscita. Ovviamente, il segnale
minimo rivelabile da un oscilloscopio digitale è legato alla risoluzione del Convertitore A/D.
2N
i
0
∆
Vin
Intervallo di Quantizzazione (Qi)
Fig. 13.22 Quantizzazione di un segnale analogico
In oscilloscopi a larga banda, per soddisfare il teorema di Shannon vengono in genere utilizzati
n convertitori A/D in parallelo che campionano il segnale in n istanti successivi, come illustrato
in Figura 13.23. Gli n segnali digitali così ottenuti vengono poi ricombinati in modo da produrre
un unico segnale campionato a frequenza più alta.
13.7. Probe
Il probe o sonda di un oscilloscopio è costituito da un cavetto coassiale completato ad un
estremo da un sistema divisore e all’altro da un connettore per il collegamento all’ingresso
dell’oscilloscopio (Figura 13.24).
279
13 Oscilloscopi
1
Vin
Convertitore
A/D
2
Convertitore
A/D
Multiplexer
Nout
n
Convertitore
A/D
Unità di
Controllo
Fig. 13.23 Convertitore A/D per oscilloscopi a larga banda
Fig. 13.24 Probe dell’oscilloscopio
I1 cavo coassiale ha la funzione di proteggere dai disturbi esterni il segnale da inviare all’oscilloscopio, ma costituisce un carico per il circuito di misura e può produrre fenomeni di attenuazione.
Per evitare che il carico costituito dal cavetto e dalla impedenza di ingresso dell’oscilloscopio
influiscano sulla misura, è necessario aumentare l’impedenza vista al terminale del probe
mediante opportuni artifici.
Per chiarire le idee si consideri il caso di un generatore di impulsi con resistenza interna
Rg = 50 Ω e capacità di uscita Cg = 20 pF, come indicato in Figura 13.25.
Con questi parametri la risposta del sistema non è più rettangolare ma esponenziale. Convenzionalmente si indica con tr il tempo necessario al segnale per passare dal 10% al 90% del valore
di cresta, per cui nel caso considerato tr è dato da
t r = 2.2C g R g = 2.2 ns
(13.2)
Se si considera ora anche l’impedenza di ingresso dell’oscilloscopio, il circuito si modifica
come indicato in Figura 13.26a. Se la resistenza Ri è elevata (ad esempio 1 MΩ), il circuito può
280
13.7. Probe
90%
Rg
50 Ω
Cg
20 pF
10%
tr
Fig. 13.25 Circuito equivalente di un generatore di impulsi
essere semplificato come illustrato in Figura 13.26b, in cui Cg e Ci sono considerate in parallelo.
Conseguentemente il tempo tr diviene
(13.3)
t r = 2.2 ( C g + C i )R g = 13 ns
Generatore
Oscilloscopio
(a)
Rg
50 Ω
Cg
20 pF
(b)
Rg
50 Ω
Cg + Ci
120 pF
Ci
100 pF
Ri
1 MΩ
Fig. 13.26 Circuito equivalente di un generatore di impulsi connesso a un oscilloscopio
Gli effetti della resistenza e della capacità introdotti dal cavetto e dell’oscilloscopio possono
essere ridotti inserendo un resistore (R1) in serie con il conduttore nel cavo coassiale. Questo
resistore viene collocato sulla testa del probe come indicato in Figura 13.27.
C1
11.1 pF
Probe + Cavetto
R1
9 MΩ
Ccomp
Oscilloscopio
Cc
Ci
100 pF
Ri
1 MΩ
Fig. 13.27 Circuito equivalente del probe dell’oscilloscopio
281
13 Oscilloscopi
Con l’inserimento del resistore R1 un segnale a bassa frequenza che giunge all’ingresso
dell’oscilloscopio risulta attenuato nel rapporto
Ri
k = ----------------R1 + Ri
(13.4)
Di solito questo rapporto viene scelto in modo che sia un numero intero (1:10 oppure 1:50). Per
ottenere una corretta risposta in funzione della frequenza (mantenere l’attenuazione costante) è
però necessario includere nel circuito anche delle capacità come indicato in Figura 13.27. La
capacità Ccomp detta di compensazione può essere adattata e si fa in modo che risultino uguali i
seguenti rapporti:
⎧
Ri
⎪ k R = ----------------R1 + Ri
⎪
⎨
C1
⎪
--------------------------------------------------⎪kC = C
+
C
+
C
+
C
1
i
c
comp
⎩
(13.5)
dove kR rappresenta l’attenuazione per le basse frequenze e kC quella per le altre frequenze.
In questo modo con i parametri di Figura 13.27 la resistenza totale è di 10 MΩ e la capacità
totale di 10.3 pF. È evidente il vantaggio che si ottiene se si confrontano questi valori con quelli
propri dell’oscilloscopio (Ri = 1 MΩ e Ci = 100 pF).
13.8. Taratura di un Oscilloscopio
L’oscilloscopio è uno strumento per la misurazione di segnali nel dominio del tempo. Il processo di taratura di un oscilloscopio (indifferentemente analogico o digitale), pertanto, deve
necessariamente prevedere la verifica di tutti i parametri che determinano la qualità della misurazione nel dominio del tempo.
In particolare, è necessario verificare la precisione della risposta dell’oscilloscopio in ampiezza
e in fase (ovvero la funzione di trasferimento) su tutta la banda di funzionamento dello strumento. Inoltre, è necessario verificare l’uniformità della risposta in frequenza tra i diversi canali
dell’oscilloscopio, nonché l’uniformità dei ritardi introdotti dallo strumento sui diversi canali e
nella Base dei Tempi. Infine è necessario verificare la precisione e la stabilità con cui viene prelevato il segnale di trigger. Tutti questi parametri vanno, ovviamente, verificati in tutte le condizioni di funzionamento dello strumento (tipicamente con diverse ampiezze dei segnali e con
diversa selezione dell’accoppiamento dei segnali di ingresso e di trigger).
Per la verifica della funzione di trasferimento dell’oscilloscopio può essere utilizzato un analizzatore di rete (network analyzer) di elevata precisione, in grado di generare e misurare segnali
sinusoidali di frequenza e ampiezza variabili. Un generatore di impulsi e un oscilloscopio di
precisione più elevata dello strumento sotto taratura possono invece essere utilizzati per la verifica dei ritardi.
282
13.8. Taratura di un Oscilloscopio
Le caratteristiche di linearità dell’oscilloscopio possono infine essere verificate alternativamente tramite analisi armonica di segnali sinusoidali oppure tracciando la caratteristica di trasferimento ingresso/uscita in continua.
Queste considerazioni, abbastanza generali, vanno poi precisate e specificate a seconda del
modello e della casa costruttrice dell’oscilloscopio.
In generale, comunque, le case costruttrici di strumenti forniscono, oltre a un servizio di taratura, anche tutte le procedure da utilizzare per effettuare una corretta taratura dell’oscilloscopio.
283
13 Oscilloscopi
284

1.2. Sistema Internazionale di Unità di Misura

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