Novità sui numeri primi e le questioni di C. Caldwell

Transcript

- NOVITA’ SULLA TEORIA DEI NUMERI (Le nostre proposte di soluzioni alle questioni di C.
Caldwell)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli,
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we will show our solutions to the open questions about prime
numbers on website http://primes.utmedu/notes/conjectures/ .
Introduzione/Riassunto
In questo lavoro riepilogativo riportiamo in sintesi, con
riferimenti finali per eventuali approfondimenti le nostre soluzioni
o proposte di soluzione, totali o parziali, ai problemi sui numeri
primi ufficialmente ancora aperti in Teoria dei numeri, e indicati
1
da C. Caldwell nel suo famoso sito:
http://primes.utmedu/notes/conjectures/ .
Qui di seguito esse sono sinteticamente tradotte,
esponendo poi le nostre proposte di soluzione, e infine
anche quelle, ancorché parziali, sull’ipotesi di Riemann e la
fattorizzazione veloce – non accennate nell’elenco di
Caldwell, pur essendo anch’esse importanti, ancora aperte
e anch’esse concernenti i numeri primi.
I nostri relativi lavori per ogni problema sono indicati nei
riferimenti finali e pubblicati sul nostro sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/ salvo diversa indicazione,
per una più facile reperibilità e consultazione.
“ Congetture sui Numeri Primi e Questioni Aperte“
1) Congettura di Goldbach : ogni pari n > 2 è la
somma di due primi
2) Problema di Goldbach sui Numeri dispari: ogni
2
dispari n > 5 è la somma di tre primi…
3) Ogni numero dispari è invece la differenza di due
primi. (pari; “dispari” è errato, poiché la differenza tra due
numeri primi, tranne il 2 iniziale, è sempre pari, N.d.A.A.)
4) Per ogni numero pari 2n ci sono infinite coppie di
numeri primi consecutivi con differenza 2n .
(ancora qui la congettura di Polignac, N.d.A.A.)
5) Congettura dei primi gemelli: ci sono infiniti
numeri primi gemelli
6) Ci sono infiniti numeri primi di forma n^2 + 1 ?
(Congettura e numeri di di Landau, N.d.A.A.)
7) I numeri primi di Fermat sono finiti?
8) C’è sempre un numero primo tra n^2 e (n+1)^2 ?
(Congettura di Oppermann, N.d.A.A.)
3
La prima questione riguarda la famosa congettura di
Goldbach, da noi affrontata con qualche buon risultato:
il ruolo dei multipli dispari di 3 nella formazione delle
coppie di Goldbach, ora totalmente compresa.
I multipli dispari di 3 facilitano la formazione delle
coppie di Goldbach per N = 6n, poichè si eliminano
tra di loro facilitando la formazione delle coppie di
Goldbach tra i numeri primi, mentre per N = 6n + 2
tale formazione viene ostacolata. Alcuni multipli di
3 si accoppiano con altrettanti numeri primi,
diminuendo così il numero totale delle coppie di
Goldbach, maggiore (circa il doppio e anche di più)
per i numeri pari multipli di 6, per i quali i multipli
dispari di 3, e degli altri successivi numeri primi si
accoppiano tra loro e così anche i numeri primi, formando
così più coppie di Goldbach che per i numeri pari 6n + 2 e
4
quindi non multipli di 6.
Esempio per N = 210, numero primoriale poiché
2*3*5*7 =210
TABELLA
p+ q=
N
1 + 209 ( = 210 )
3
207 multipli dispari di 3
5
7
9
11 199 entrambi primi: coppia di Goldbach, 11+199=210
13 197 entrambi primi: coppia di Goldbach … …
15 195 multipli dispari di 3
23 187 23 primo, 187 composto = 11*17
41 169 41 primo, 169 composto =13^2
43 167 entrambi primi:coppia di Goldbach … …
5
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
101
103
105
151 entrambi primi: coppia di Goldbach … …
149 entrambi primi : coppia di Goldbach … …
143 67 primo, 143 composto = 11*13
131 entrambi primi: coppie di Goldbach … …
127 entrambi primi:coppie di Goldbach … …
121 9 primo, 121 = 11^2
109 entrambi primi:coppia di Goldbach … …
In totale abbiamo:
• 19 coppie di Goldbach
• 15 coppie di multipli dispari di 3
• 4 coppie miste primi/composti
su un totale di 52 coppie di numeri dispari con somma 210, con
52 ~ 210/4 = 52,5 (4 poiché si eliminano le coppie di numeri pari
e la metà delle coppie di numeri primi, simmetriche rispetto
all’altra metà, considerate nella tabella, poiché, per esempio,
6
103+107=107+103=210)
15 coppie di multipli dispari di 3 poiché 210/4*3 = 17,5 ~ 15
4 coppie rimanenti di numeri misti primi/composti
Per N = 208 e 212, con lo stesso procedimento, si hanno invece
rispettivamente 7 e 6 coppie di Goldbach, non essendoci i fattori
3, 5, e 7 con i loro multipli dispari e il loro ruolo favorevole alla
formazione delle coppie di Goldbach. Esempi simili si possono
fare facilmente per tutti i fattoriali e soprattutto per i
primoriali, con risultati analoghi.”
Riferimenti
1) I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione
definitiva della congettura di Goldbach (nuove evidenze
numeriche)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
2) ESTENSIONI DELLE CONGETTURE, FORTE E
DEBOLE, DI GOLDBACH (a k = primi , con N e k
entrambi pari o dispari)
3) PROOF OF GOLDBACH'S CONJECTURE THROUGH
THE abc CONJECTURE
7
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
La seconda questione riguarda la congettura debole
di Goldbach, con n dispari come somma di tre numeri
primi p, q ed r tali che:
n=p+q+r
Facciamo un solo esempio, per N’ con N’ = n dispari = 63:
per r = 3, S = N’ – r = 63 – 3 = 60, con le coppie di Goldbach
per S = 60 abbiamo G(S) = G(60) = 6 coppie di Goldbach p + q,
cosicché avremo le seguenti 6 terne per r = 3:
r +p+q
= N’ = 63
3 + 7 + 53 =
63
3 + 13 + 47 …
3 + 17 + 43 …
3 + 19 + 41 …
3 + 23 + 37 …
3 + 29 + 31 =
63
e abbiamo le prime sei terne di primi la cui somma è N = 63;
Per r = 5, S = N’ – r = 63 – 5 = 58, G(58) = 4
r+p+q=N
5 + 5 + 53
5 + 11 + 47
5 + 17 + 41
5 + 29 + 29
e abbiamo altre quattro terne;
per r = 7, S = 63 - 7 = 56, con tre coppie di Goldbach:
r + p + q = N’
7 + 3 + 53 R (ripetizione della 3 + 7 + 53)
7 + 13 + 43
7 + 19 + 37
abbiamo altre tre terne;
8
per r = 11, S = 63 – 11 = 52, con tre coppie di Goldbach:
r + p + q = N’
11 + 5 + 47 R (ripetizione di 5 +11 + 47)
11 + 11 + 41
11 + 23 + 29
e abbiamo altre tre terne;
per r = 13, S = 63 – 13 = 50, con quattro coppie di Goldbach
r + p + q = N’
13 + 13 + 37
13 + 19 + 31
abbiamo altre quattro terne;
per r = 17, S = 63 – 17 = 46, con quattro coppie di Goldbach
r + p + q = N’
17 + 5 + 41 R (ripetizione della 5 + 17 + 41
17 + 17 + 29
17 + 23 + 23
abbiamo altre quattro terne ;
per r = 19, S = 63 – 19 = 44, con tre coppie di Goldbach;
r + p + q = N’
19 + 3 + 41 R (ripetizione della 3+19+41)
abbiamo altre tre terne :
per r = 23, S = 63 – 23 = 40, con tre coppie di Goldbach
più brevemente:
per r = 29 , S = 63 – 29 = 34, con quattro coppie di Goldbach;
per r = 31, S = 63 – 31 = 32, con due sole coppie di Goldbach;
31 + 3 + 29 R (ripetizione della 3+29+31)
9
Per r = 37, S = 63 – 37 = 26, con tre coppie di Goldbach;
37 + 7 + 19 R (ripetizione della 7 + 19 + 37 )
per r = 41, S = 63 – 41 = 22, con tre coppie di Goldbach;
per r = 43, S = 63 - 43 = 20, con due coppie di Goldbach;
43 + 3 + 17 R ( ripetizione della 3 + 17 + 43)
per r = 47, S = 63 - 47 = 16, con due coppie di Goldbach;
47 + 3 + 13 R ( ripetizione della 3 +13 +47)
47 + 5 + 11 R (ripetizione di 5 + 11 + 47)
per r = 53, S = 63 – 53 = 10, con due coppie di Goldbach;
per r = 59, S = 63 - 59 = 4, con una sola coppia di Goldabch;
59 + 2 + 2
Il numero primo 61 precedente N’ = 63 non si considera, essendo
la loro differenza S = 63 – 61 = 2, minore del minimo 4 per la
congettura di Goldbach, e che ovviamente non ha nessuna coppia
di Goldbach.
In totale abbiamo quindi 49 terne di numeri primi r + p + q = 63.
dalle quali togliere quelle ripetute (30 terne poco più della metà),
e contrassegnate con la lettera R (Ripetizione/permutazione di una
terna precedente) per essere, le rimanenti 19 terne, tutte diverse
l’una dall’altra, e quindi terne effettive che soddisfano la
congettura di Goldbach debole per un qualsiasi numero dispari
N’ > 7, che nel nostro esempio è N’ = 63.
Le diciannove terne effettive e rimaste sono quindi quelle scritte
in corsivo:
3 + 7 + 53 = 63
3 + 13 + 47 …
3 + 17 + 43 …
3 + 19 + 41 …
3 + 23 + 37 …
10
3 + 29 + 31 …
5 + 5 +53 …
5 + 11 + 47 …
5 + 17 + 41 …
5 + 29 + 29 …
7 + 13 + 43 …
7 + 19 + 37 …
11 + 11 + 41 …
11 + 23 + 29 …
13 +13 + 37 …
13 + 19 + 31 …
17 + 17 + 29 …
17 + 23 + 23 …
59 + 2 + 2 … = 63
Il procedimento ovviamente è identico per qualsiasi numero
dispari N’ > 7
Riferimento
1) “NOVITA ‘ SULLA CONGETTURA DEBOLE DI
GOLDBACH”
Gruppo “B.Riemann”
Francesco Di Noto,Michele Nardelli
2) Congettura debole di Goldbach già dimostrata.
Ne consegue la congettura forte (accenni alla
fattorizzazione alla Fermat e alla RH1)
11
3) From the weak Goldbach’s Conjecture to the strong
Conjecture (hints to the RH1)
La terza questione è inesatta, poiché la differenza tra due
numeri dispari (e quindi anche tra numeri primi) è sempre
pari, (vedi successiva questione sulla congettura di
Polignac), a meno che uno dei due numeri primi sia 2 pari,
ma questo la terza questione non lo specifica.
La quarta questione riguarda anch’essa la congettura
di Polignac, estensione della congettura dei numeri
gemelli tramite la differenza q - p = 2 alla differenza
D = q – p = 2n, ottenuta anche dalle forme p = 6m +1e
q = 6n +1 : D = q – p = 6n +1 - (6m + 1) = 6n - 6m + 1 + 1
= 6(n – m) +2 = 6r + 2, oppure 6r se i segni sono diversi; (D
12
per non confonderla con la semidifferenza d = D/2 relativa
alla successiva. “fattorizzazione veloce):
in ogni caso 6r + 2 e 6r sono sempre pari.
Da questa formula è escluso il numero primo 2,
perché pari, e la differenza tra un numero dispari e un
numero pari è sempre dispari; ma tutti gli infiniti numeri
primi sono dispari, con la sola eccezione del 2, che non è di
forma 6 n + 1; neanche il 3 lo è, però è dispari e anche
primo, e quindi rientra nella congettura di Polignac, che
riguarda due numeri primi non consecutivi.
Le differenze pari tra due numeri primi consecutivi si
chiamano invece gap, e i gap più grandi non superano mai
il quadrato del logaritmo del numero primo più piccolo, per
via della congettura di Cramer – Shank, da noi dimostrata
(Rif.1)
13
Per esempio un piccolo gap notevole è 127 - 113 = 14,
mentre tra i primi consecutivi vicini la differenza media è 6,
vicina e poco superiore al logaritmo di 100 = 4,6, mentre
per numeri primi prossimi a 1000 la differenza media è 6,90,
con una media successiva e più uniforme di (4,6 + 6,90) /2
= 5,75 ≈ 6 per tutti i numeri primi da 100 a 1000.
14 è invece più grande di 6, ed è normale per numeri di
sette cifre, quindi sopra il milione, per il quale il logaritmo
naturale è 13,81 ≈ 14 = differenza media .
1) “PROOF THAT THEMAXIMUN GAP BETWEEN TWO
CONSECUTIVE PRIME NUMBERS IS BETWEEN n AND
n/ln2 “
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco
Di Noto
2) Vari sulla fattorizzazione ed i numeri RSA
3) DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI
14
POLIGNAC
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto
La quinta questione riguarda i numeri primi gemelli
(vedi precedente questione 4) sulla congettura di Polignac,
e relativi riferimenti) , cioè i numeri primi consecutivi con
differenza 2, connessi alle forme dei numeri primi 6k + 1
quando k è condiviso dai due numeri primi gemelli per
esempio 17 e 19 per k = 3, poiché 6*3 - 1 = 17 e
6*3 + 1 = 19.
Ai numeri gemelli è legata la questione, ormai da noi
risolta delle quadruple di numeri primi (ma anche quintuple
e sestuple) con più coppie di numeri gemelli in piccoli
intervalli numerici .
1) MAX NUMERI PRIMI E ANCHE GEMELLI
Ing. Pier Francesco Roggero
15
2)” INFINITA’ DEI NUMERI PRIMI DI SOPHIE
GERMAIN E DEI NUMERI PRIMI GEMELLI
Gruppo “B. Riemann”
3) “QUADRUPLE DI NUMERI PRIMI TRAMITE LE
FORME 6K + 1 E LORO INFINITA’
La sesta questione riguarda i numeri di Landau, di forma
L(n) = n2+ 1. Non abbiamo un lavoro su questa questione,
ma da una rapida tabella che riportiamo, concludiamo che
essi sono infiniti.
Numeri di Landau fino a 10 000
2 5 17 37 101 197 257 401 577 677 1297 1601
2917 3137 4357 5477 7057 8101 8837
16
“Tabella dei numeri di Landau fino a N =10^n
n
10^n
Numeri di
Landau
fino a 10^n
Stima
logaritmica
a*n e (ln 10^n)
log(10^n)
1
10
a(L)
2
2
100
4
3
1 000
10
3n + 1
6,90 < 10
10 ≈ 1,44
3
4
10 000
19
4n + 3
?
…
9,21< 19
19 ≈ 2 ln(10^4)
4
5n + ?
…
5
…
100 000
…
2n
2,30 > 2
1
2n
4,60 > 4
2
Osservazioni:
I numeri di Landau fino a 10^n sono sempre maggiori del
ln (10^n), salvo che nei primi due valori, il che significa che
vanno più veloci del logaritmo di n(10^n) e quindi sono
17
infiniti.
Per log (10^n) il numero dei numeri di Landau a(L) supera fin dal
primo valore il log (10^n), e prosegue con la stima
approssimativa a(L) ≈ log (10^n)^2, con valori reali leggermente
in eccesso a tale stima molto attendibile, infatti:
a(L)
2
4
10
Log(10^n)
1
2
3
10
4
19
…
19
…
≈
Log(10^n)^2
1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 9 ≈
4^2 =16 ≈
Questo ci permette di stimare a(L) con qualsiasi esponente n di
10^n: a(10^n) ≈ n^2,
con a(n) > n^2 già a partire da n = 3
(per n = 1 ed n = 2 si ha la parità).
Poiché n^2 cresce con n, ed anche un po’ più velocemente, i
numeri di Landau sono infiniti.
Riferimento
1) “I PROBLEMI DI LANDAU - Congettura e infinità dei
Numeri di Landau di forma n2 + 1 (dimostrazione ed
18
estensione a forme numeriche simili)”
La settima questione riguarda i numeri primi di Fermat
(se siano infiniti oppure no).
Abbiamo risolto anche questa questione (Rif.1)
elencata da Chris Caldwell nelle sue “Primepages”,
e la sua soluzione sembra essere negativa. Su questo
argomento, e la possibile non infinità di tali numeri primi,
abbiamo letto una recente notizia, tratta dal libro di Ian
Stewart” La bellezza della verità – Storia della simmetria”
(Einaudi) pag. 148:
“… quali sono i numeri di Fermat? I primi tre li abbiamo già
visti: 3, 5 e 17. I due successivi sono molto più grandi, 257 e
65 537.
E poi basta, non se ne conoscono altri. Nessuno è mai riuscito
19
a dimostrare che esistono, oppure che non esistono. Per quel
che se ne sappia, il prossimo, eventuale numero di Fermat
deve essere maggiore o uguale a (2^33554432) + 1, con
33554432 = 2^25 , che ha più di dieci milioni di cifre.” Noi
invece lo abbiamo dimostrato, e quindi questo presunto nuovo
e grande numero di Fermat non esiste proprio.
1) PROOF THAT THE FERMAT PRIME NUMBERS
ARE ONLY ‘THE FIRST FIVE’ AND ALL THE OTHER
NUMBERS ARE COMPOSITE”.
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli1,2, Francesco
Di Noto
2) A POSSIBLE PROOF OF FERMAT’S LAST THEOREM
THROUGH THE ABC RADICAL
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco
Di Noto
L’ottava questione riguarda la congettura di
20
Oppermann, (Rif.1.1) anche questa da noi risolta,
considerano che al crescere di n l’intervallo tra due
quadrati successivi si fa sempre più ampio, anche il
logaritmo di n (frequenza media dei numeri primi) cresce
e quindi tra di essi c’è sempre più spazio per sempre più
numeri primi. Anche qui, non esiste contro esempio
O(n) = 0, con O(n) il numero di numeri primi tra n^2 ed
(n+1)^2. Per esempio, per n = 100, tra 10 000 e 10 201
ci sono 2n+1 = 2 x 100 + 1 = 201 numeri , e poiché il
logaritmo naturale di 10 000 è ln 10 000 = 9,21 dividendo
201 per 9,21 abbiamo circa 201 / 9,21 = 21, 82 ≈ 21
numeri primi; in realtà ce ne sono 23 (dal 10 007 al 10
193). Ma già a cominciare dai numeri n più piccoli, per
esempio 2. tra 4 e 9 ci sono i due numeri primi 5 e 7, per n
3 tra 9 e 16 ci sono i due numeri primi 11 e 13, per n = 4 tra
21
16 e 25 ci sono i tre numeri primi 17, 19, e 23, e così via al
crescere di n, il numero O(n) cresce sempre con n, con
qualche piccola irregolarità, per esempio per n = 5 tra 25 e
36 ci sono soli due numeri primi 29 e 31, mentre per n = 4
tra 16 e 25, già visto ce ne sono già tre, uno in più dei due
numeri primi tra 25 e 36.
Riferimenti
1) PROOF OF ANDRICA’S CONJECTURE AND
MINIMUM GAP BETWEEN TWO CONSECUTIVE PRIMES
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
che contiene una dimostrazione della congetturta di
Oppermann, vedi indice.
Index:
1. PROOF OF ANDRICA’S
CONJECTURE ................................................................................................. 3
2. MINIMUM GAP BETWEEN TWO SUCCESSIVE PRIME NUMBERS SO THAT
THERE IS ALWAYS AT LEAST ONE PRIME
NUMBER .................................................................................................................. 8
3. PROOF OF THE LEGENDRE’S, OPPERMANN’S, CRAMER’S AND
BROCARD’S CONJECTURES......12
4. CONCLUSION AND SOME MATHEMATICAL CONNECTIONS WITH STRING
THEORY………………….18
22
Tra le otto questioni ancora aperte indicate da Chris
Caldwell nel suo elenco, mancano ancora però la
Fattorizzazione veloce (sottoproblema del problema del
millennio P = NP), l’ipotesi di Riemann, e la congettura
di Levy.
Per quanto riguarda la fattorizzazione veloce, o almeno più
veloce di quella classica (N/p = q con p tentativi)
conosciamo già l’algoritmo di fattorizzazione alla Fermat,
basato sulla nota formula N + d^2 = s^2 , con N = p*q, p =
s – d e q = s + d con d tentativi, dove d è semidifferenza
d = (q - p)/2 e q la semisomma s = (p + q)/2, e qui c’è la
connessione con la nostra soluzione di Goldbach: S = 2s
come somma p + q.
E’ molto efficiente solo con i prodotti di due numeri molto
vicini tra loro, tipo numeri gemelli, cugini e sexy, ma non
23
abbiamo ancora un modo efficace per poterli distinguere
conoscendo solo N; un possibile buon riconoscimento può
essere la parte decimale della radice quadrata n di N, cioè
n = √N: se è molto alta, cioè superiore a 0,9, meglio ancora
se 0,9999… ecc., i due fattori primi sono molto vicini, e
l’algoritmo di Fermat fattorizza N con pochi tentativi
essendo la loro differenza d piccola, anche se N è molto
grande, per es. un numero RSA.
Per esempio, il prodotto N = 101*103=10403, con
n = √ 10403 =101,995 con parte decimale alta, 0,995, che
tradisce questa possibilità, e relativa facilità di
fattorizzazione con l’algoritmo di Fermat, e anche più
semplicemente andando a ritroso a partire da n; il primo
numero intero è 101, che è p di p*q = N = 101*103.
Esempio simile 101*107 = 10807 con n = 103,956 dove p
ora è il numero primo precedente a 103, e cioè 101.
24
Questa potrebbe essere una lontana conseguenza della
congettura di Legendre e di Andrica, che studieremo meglio
in seguito.
Riferimento
1) Ipotesi su p < n come possibile percentuale di n = √N per
una fattorizzazione più veloce
(Gruppo “B.Riemann”)
2) Vari articoli sulla fattorizzazione
Per quanto riguarda invece l’ipotesi di Riemann, invece,
abbiamo proposto una soluzione per l’ipotesi equivalente
RH1 = RH , e per la funzione di Landau come ipotesi RH
equivalente anche questa, ed altre già pubblicate sul nostro
sito ..
25
Riferimenti
1) Vari: articoli sull’ipotesi di Rieman, già pubblicati .
Un ‘altra questione aperta è la congettura di Levy, da noi
trattata, anche come ipotesi RH equivalente.
Tale ormai ex congettura è paragonabile alla congettura
forte di Goldbach come formula di calcolo
L(N) ≈ G(N) ≈ N / (lnN)^2
e alla congettura debole di Goldbach .
Come caso particolare N = p + 2q, scrivibile anche come
N = p + q + q e quindi come somma di tre primi (la
congettura debole di Goldbach e la congettura di Levy
consentono le ripetizioni).
Riferimento
1) “Congettura di Levy come ipotesi RH equivalente
e relativo grafico comet”
26
CONCLUSIONE
Tutte le questioni aperte elencate da Caldwell sono quindi
ormai da noi parzialmente o totalmente chiuse, con le
nostre proposte di soluzione accennate in questo lavoro e da
approfondire con la lettura dei vari riferimenti specifici o
generali.
Invece i problemi del Millennio connessi ai numeri primi e
ancora aperti per ora sono solo questi:
- P = NP con fattorizzazione veloce come caso
particolare o sottoproblema;
-
Ipotesi di Riemann, RH
- Congettura di Birch e Swinnerton – Dier, alla base della
crittografia basata sulle curve ellittiche (ECC), così come
27
la crittografia RSA è basta sulla fattorizzazione veloce di
N = p*q, con N numero RSA con centinaia di cifre.
E le nostre soluzioni parziali o totali per alcune delle
suddette otto questioni ancora aperte, potrebbero benissimo
spianare un po’ la strada, in futuro, a questi altri grossi
problemi matematici connessi ai numeri primi; mentre gli
altri problemi del millennio riguardano com’è noto,
l’algebra, la topologia, la fisica, ecc.
Riferimenti per la congettura di Birch e Swinnerton –
Dyer
1) “LA CONGETTURA DI BIRCH E SWINNERTON
– DYER E I NUMERI CONGRUENTI”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
2) “Congettura sulle curve ellittiche con punti razionali
28
connessi ai numeri di Fibonacci. (Possibili
conseguenze per la congettura di Swinnerton – Dyer e la crittografia ECC).
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
Riferimenti generali per tutte le questioni aperte,
già pubblicati o in corso di pubblicazione
(tutti sul nostro sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/ ,
salvo diversa indicazione)
1.2) “IL CONCETTO MATEMATICO DI
“ABBONDANZA” E IL RELATIVO GRAFICO
PER LA RH1”
(Gruppo B. Riemann)
29
1.3)” I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione
definitiva della congettura di Goldbach (nuove evidenze
numeriche)”
2) “Breve Statistica sui numeri RSA” sul sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/ sezione Teorie
di stringa e teoria dei numeri
3.1) “Congettura di Levy proposta di soluzione della
congettura e ipotesi RH equivalente di Levy”
ing. Rosario Turco, prof. Maria Colonnese, Dr. Michele
Nardelli, prof. Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, prof.
Annarita Tulumello
Sul sito eprints.bice.rm.cnr.it/813/1/Levy.pdf
30
Rif 4 - “Numero RSA - 2048: una previsione sulla stima
approssimativa dei suoi fattori p e q –“
4.1)”Ipotesi su p < n come possibile percentuale di n = √N
per una fattorizzazione più veloce”
(Gruppo “B.Riemann”)
5.1) “La funzione di Landau come ipotesi RH
equivalente II (La nostra proposta di dimostrazione
empirica con tabelle e grafico comet; ulteriori
connessioni con le partizioni di numeri)”
Francesco Di Noto e Michele Nardelli
5.2) “IPOTESI SULLA VERITA’ DELLE CONGETTURE
SUI NUMERI PRIMI CON GRAFICI COMET E CONTRO
31
ESEMPI NULLI” (Legendre, Goldbach, Riemann…)”
Michele Nardelli ,Francesco Di Noto,
Sul sito eprints.bice.rm.cnr.it/813/ - 16k –
Riferimenti classificati per argomenti principali (Goldbach,
fattorizzazione e Riemann):
a) Sulle congetture di Goldbach
1a) “ I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione definitiva
della congettura di Goldbach (nuove evidenze numeriche)”
2a) “CONCETTO MATEMATICO DI “ABBONDANZA” E
IL RELATIVO GRAFICO PER LA RH1 “
Francesco Di Noto, Michele Nardelli (Gruppo B. Riemann)
3a) “NOVITA ‘ SULLA CONGETTURA DEBOLE DI GOLDBACH”
Gruppo “B.Riemann”
Francesco Di Noto,Michele Nardelli
4a) “TEORIA COMPUTAZIONALE DEI NUMERI E IL
32
PROBLEMA P = NP: i tempi di calcolo per la fattorizzazione come
sottoproblema di P = NP, in particolare per i numeri RSA con la
congettura forte “ p’ primo minimo = 2n/3 ≈ 67% di n = √N”
5a) ESTENNSIONI DELLE CONGETTURE, FORTE E DEBOLE,
DI GOLDBACH (a k = primi , con N e k entrambi pari o dispari)
Francesco Di Noto, Michele Narde
6a) “ IL TEOREMA FONDAMENTALE DELLA
FATTORIZZAZIONE”
Gruppo “B.Riemann”*
7a) “FATTORIZZAZIONE VELOCE COME PROBLEMA NP
(NON POLINOMIALE)”
Gruppo “B.Riemann”*
8a) “ PROBLEMI NP: LE APPROSSIMAZIONI DELLA NATURA
E QUELLE DEI MATEMATICI “
9a) Alcuni metodi noti di fattorizzazione veloce (crivello quadratico,
33
radici quadrate di 1 mod N, algoritmo di fattorizzazione di Fermat, di
Pollard, congettura debole e forte e ipotesi percentuale per i numeri
RSA con un attendibile rapporto q/p ≈ 2)
10a) “Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1 “
11 a) TAVOLE ARITMETICHE PER ALCUNE
CONGETTURE E TEOREMI SUI NUMERI PRIMI
(Goldbach, Goldbach debole, Polignac, Teorema
fondamentale della fattorizzazione. Possibili
connessioni con la crittografia RSA)
b) Sulle ipotesi RH equivalenti
1b) “IPOTESI SULLA VERITA’ DELLE CONGETTURE SUI
NUMERI PRIMI CON GRAFICI COMET E CONTRO ESEMPI
NULLI (Legendre, Goldbach, Riemann...) ”
Michele Nardelli ,Francesco Di Noto
34
2b) “La funzione di Landau come ipotesi RH equivalente II (La nostra
proposta di dimostrazione empirica con tabelle e grafico comet;
ulteriori connessioni con le partizioni di numeri) “
Francesco Di Noto e Michele Nardelli
3b) “Ipotesi sulle funzioni zeta per altre serie numeriche simili alla
serie dei numeri primi”
(I “parenti poveri” dei numeri primi : numeri fortunati, numeri di Polignac,
numeri di Cramer ecc. Analogie con i numeri primi, relative funzioni zeta con
probabile parte reale ½ anche per essi).
4b) “Congettura di Levy come ipotesi RH equivalente e relativo
grafico comet “
5b) “Ipotesi RH equivalenti, le funzioni σ(n), φ(n), (n) e le forme
numeriche 6k + 1 (Accenno finale alla relazione Fattorizzazione
veloce – RH) “
6b) Congettura generale sulle possibili infinite
35
funzioni zeta , compresa quella di Riemann
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
c) Sulla fattorizzazione e i numeri RSA
1c) “Connessione tra ipotesi RH e crittografia RSA: un mito da
sfatare
2c) “Ipotesi su p < n come possibile percentuale di n = √N per una
fattorizzazione più veloce “
3c) “I numeri semiprimi e i numeri RSA come loro sottoinsieme”
4c) “I NUMERI RSA : UNA PICCOLA STATISTICA SUI
RAPPORTI r = q/p E RELATIVE OSSERVAZIONI “
Francesco Di Noto , Michele Nardelli
5c) “INFINITE ESTENSIONI DEI NUMERI PRIMI DI SOPHIE
GERMAIN (connessioni con test di primalità e fattorizzazione veloce)
36
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
6c) PROPOSTA DI FATTORIZZARE IL
NUMERO RSA- 2048
cercando p tra il 70 % e il 71% della sua radice quadrata,
corrispondente ad un rapporto r = q/p ≈2)
Gruppo “B. Riemann
Nardelli Michele, Francesco Di Noto
FINE
37

Novità sui numeri primi e le questioni di C. Caldwell

Transcript

Documenti analoghi

Numeri pari (quasi tutti)

Da affiggere sulla porta d`ingresso

MATEMATICA CON I NUMERI PRIMI E LE FORME 6k+1 e

Gemelle Nardelli - Social Express Italia

OLYMPE DE GOUGES: - Comune di Codogno

Compiti per le vacanze - marcello de vita .net

CIRCONTACT E MARCO SILVESTRI (PALI E DISPARI

un tema che fa discutere: la primalita` del numero uno

I NUMERI PRIMI

VARIAZIONI GOLDBACH: PROBLEMI CON NUMERI PRIMI