Slides - Dipartimento di Matematica e Applicazioni "Renato

Metodi di simmetrizzazione e applicazioni
Giornata di presentazione del dottorato
Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”
19 maggio 2015
Francesco Della Pietra
Metodi di simmetrizzazione e applicazioni
Giornata di presentazione del dottorato
Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”
19 maggio 2015
Angelo Alvino
Vincenzo Ferone
Ester Giarrusso
Anna Mercaldo
Cristina Trombetti Guido Trombetti
Basilio Messano
Maria Rosaria Posteraro
Carlo Nitsch
Roberta Volpicelli
Barbara Brandolini
Francesco Chiacchio
Nunzia Gavitone
Francesco Della Pietra
Gianpaolo Piscitelli
Metodi di simmetrizzazione
Ottimizzazione di forma
Migliori costanti in
diseguaglianze funzionali
Angelo Alvino
Vincenzo Ferone
Anna Mercaldo
Cristina Trombetti
Carlo Nitsch
Barbara Brandolini
Francesco Chiacchio
Francesco Della Pietra
Nunzia Gavitone
Equazioni alle derivate parziali
di tipo ellittico e parabolico
Angelo Alvino
Vincenzo Ferone
Ester Giarrusso
Anna Mercaldo
Guido Trombetti
Basilio Messano
Maria Rosaria Posteraro
Roberta Volpicelli
Gianpaolo Piscitelli
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Simmetrizzazione di insiemi
Ω
Ω#
Area(Ω) = Area(Ω# )
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Simmetrizzazione di insiemi
Ω
Ω#
Area(Ω) = Area(Ω# )
Tra tutte le figure piane di fissata area, il cerchio ha il perimetro più piccolo.
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Simmetrizzazione di funzioni
u # (x)
u(x)
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Simmetrizzazione di funzioni
u # (x)
u(x)
t
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Simmetrizzazione di funzioni
u # (x)
u(x)
t
{x : u(x) > t}
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Simmetrizzazione di funzioni
u # (x)
u(x)
{x : u # (x) > t}
{x : u(x) > t}
t
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Simmetrizzazione di funzioni
u # (x)
u(x)
{x : u # (x) > t}
{x : u(x) > t}
t
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Simmetrizzazione di funzioni
u # (x)
u(x)
{x : u # (x) > t}
{x : u(x) > t}
t
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Simmetrizzazione di funzioni
u # (x)
u(x)
max u
{x : u # (x) > t}
{x : u(x) > t}
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Simmetrizzazione di funzioni
u#
u
Riordinamento sferico decrescente, u #
(1) u # è a simmetria radiale decrescente
(2) |{x ∈ Ω# : u # (x) > t}| = |{x ∈ Ω : |u(x)| > t}|
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Simmetrizzazione di funzioni
u#
u
p
Conservazione della norma L
Se p ≥ 1, si ha
Z
Ω
|u|p dx =
Z
Ω#
|u # |p dx
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Simmetrizzazione di funzioni
u#
u
p
Conservazione della norma L
Se p ≥ 1, si ha
Decrescita dell’energia
Se u è a supporto compatto,
Z
Ω
Z
Rn
|u|p dx =
2
Z
|u # |p dx
Ω#
|∇u| dx ≥
Z
Rn
|∇u # |2 dx
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Ottimizzazione di forma
Lord Rayleigh (1877)
Tra tutte le membrane elastiche di densità costante e fissata area,
la membrana circolare ha la frequenza principale più piccola
[Faber 1923, Krahn 1925]
6/14
Ottimizzazione di forma
Lord Rayleigh (1877)
Tra tutte le membrane elastiche di densità costante e fissata area,
la membrana circolare ha la frequenza principale più piccola
[Faber 1923, Krahn 1925]
λ(Ω) =
[frequenza
principale di Ω]
6/14
Ottimizzazione di forma
Lord Rayleigh (1877)
Tra tutte le membrane elastiche di densità costante e fissata area,
la membrana circolare ha la frequenza principale più piccola
[Faber 1923, Krahn 1925]
λ(Ω) =
=
[frequenza
min
ϕ|∂Ω =0
Z
Ω
Z
|∇ϕ|2 dx
Ω
ϕ2 dx
principale di Ω]
Z
|∇u|2 dx
Ω
= Z
u 2 dx
Ω
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Ottimizzazione di forma
Lord Rayleigh (1877)
Tra tutte le membrane elastiche di densità costante e fissata area,
la membrana circolare ha la frequenza principale più piccola
[Faber 1923, Krahn 1925]
λ(Ω) =
=
[frequenza
min
ϕ|∂Ω =0
Z
Ω
Z
|∇ϕ|2 dx
Ω
ϕ2 dx
principale di Ω]
Z
|∇u|2 dx
Ω
= Z
u 2 dx
Ω
≥
Z
ZΩ#
|∇u # |2 dx
(u # )2 dx
Ω#
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Ottimizzazione di forma
Lord Rayleigh (1877)
Tra tutte le membrane elastiche di densità costante e fissata area,
la membrana circolare ha la frequenza principale più piccola
[Faber 1923, Krahn 1925]
λ(Ω) =
=
[frequenza
min
ϕ|∂Ω =0
Z
Ω
Z
|∇ϕ|2 dx
Ω
ϕ2 dx
principale di Ω]
Z
|∇u|2 dx
Ω
= Z
u 2 dx
Ω
≥
Z
ZΩ#
|∇u # |2 dx
# 2
(u ) dx
≥ λ(Ω# )
Ω#
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Ottimizzazione di forma
Lord Rayleigh (1877)
Tra tutte le membrane elastiche di densità costante e fissata area,
la membrana circolare ha la frequenza principale più piccola
[Faber 1923, Krahn 1925]
Congettura di Pólya-Szegö
La frequenza principale di una membrana poligonale di N lati di
fissata misura è minima per il poligono regolare
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Alcuni contributi recenti
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Alcuni contributi recenti
• Forme ottimali per la stabilità della diseguaglianza isoperimetrica
- A. Alvino, V. Ferone, C. Nitsch,A sharp isoperimetric inequality in the plane,
J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 13 (2011), no. 1, 185-206.
- A. Alvino, V. Ferone, C. Nitsch, A sharp isoperimetric inequality in the plane
involving Hausdorff distance, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat.
Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 20 (2009), no. 4, 397-412.
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Alcuni contributi recenti
• Forme ottimali per la stabilità della diseguaglianza isoperimetrica
• Forme ottimali per la diseguaglianza isoperimetrica relativa
- L. Esposito, V. Ferone, B. Kawohl, C. Nitsch, C. Trombetti, The longest
shortest fence and sharp Poincaré-Sobolev inequalities, Arch. Ration. Mech.
Anal. 206 (2012), no. 3, 821-851.
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Alcuni contributi recenti
• Forme ottimali per la stabilità della diseguaglianza isoperimetrica
• Forme ottimali per la diseguaglianza isoperimetrica relativa
• Forme ottimali per l’energia elastica di una curva
- V. Ferone, B. Kawohl, C. Nitsch, The elastica problem under area constraint,
preprint.
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Alcuni contributi recenti
• Forme ottimali per la stabilità della diseguaglianza isoperimetrica
• Forme ottimali per la diseguaglianza isoperimetrica relativa
• Forme ottimali per l’energia elastica di una curva
• Forme ottimali in presenza di funzionali anisotropi o con pesi
- F. Brock, A. Mercaldo, M.R. Posteraro, On isoperimetric inequalities with
respect to infinite measures Rev. Mat. Iberoam. 29 (2013), no. 2, 665-690.
- F. Chiacchio, G. di Blasio, Isoperimetric inequalities for the first Neumann
eigenvalue in Gauss space Ann. l’Institut H. Poincaré (C) 29, 199-216 (2012).
- F. Della Pietra, N. Gavitone, Relative isoperimetric inequality in the plane: the
anisotropic case, J. Convex Anal. 20 (2013), 157-180.
- F. Feo, J. Martin, M.R. Posteraro, Sobolev embedding into BMO and
weak-L∞ for 1−dimensional probability measure, J. Math. Anal. Appl. 422
(2015), 478-495.
- A. Ferone, R. Volpicelli, Convex rearrangement: equality cases in the
Pólya-Szegö inequality, Calc. Var. PDEs 21 (2004), 259-272.
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Alcuni contributi recenti
• Forme ottimali per la diseguaglianza isoperimetrica relativa
- L. Esposito, V. Ferone, B. Kawohl, C. Nitsch, C. Trombetti, The longest
shortest fence and sharp Poincaré-Sobolev inequalities, Arch. Ration. Mech.
Anal. 206 (2012), no. 3, 821-851.
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Alcuni contributi recenti
• Forme ottimali per la diseguaglianza isoperimetrica relativa
- L. Esposito, V. Ferone, B. Kawohl, C. Nitsch, C. Trombetti, The longest
shortest fence and sharp Poincaré-Sobolev inequalities, Arch. Ration. Mech.
Anal. 206 (2012), no. 3, 821-851.
Curva bisecante e corda bisecante
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Alcuni contributi recenti
So we want to have big Fourier coefficients, but sti
Which set maximizes An2 + Bn2 ? For n = 3
So one can understand that the term A32 + B32 is th
Conjecture: the optimal function is c = ĉ above.
The resulting set is the one above (the Auerbach tr
• Forme ottimali per la diseguaglianza isoperimetrica relativa
- L. Esposito, V. Ferone, B. Kawohl, C. Nitsch, C. Trombetti, The longest
A. Pratelli (Pavia)
shortest fence and sharp Poincaré-Sobolev inequalities, Arch. Ration. Mech.
Anal. 206 (2012), no. 3, 821-851.
Playing with Fourier serie
• Tra tutti i domini convessi di data area, il disco massimizza la lunghezza della
curva bisecante più corta
• Tra tutti i domini convessi di data area, il triangolo di Auerbach massimizza
la lunghezza della corda bisecante più corta
Solution to the Auerbach Conjecture
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Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
8/14
Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
8/14
Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
8/14
Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
Figura 1: Due esempi di insiemi di larghezza costante
dove E # è una sfera tale che |E # | = |E|.
Per n = 2 essa si scrive nella maniera seguente:
4⇡|E|  P er(E)2 .
Osservazione 1.1 Una questione abbastanza delicata nella diseguaglianza isoperimetrica riguarda il caso dell’uguaglianza e l’unicità del dominio ottimale (la sfera).
Il fatto che il minimo sia raggiunto solo in corrispondenza della configurazione più
simmetrica probabilmente sembra essere evidente, ma, in generale, non è per niente
scontato. A tal proposito richiamiamo brevemente una diseguaglianza di tipo isoperimetrico per la quale non si può fare la stessa affermazione. Si può, ad esempio,
provare la diseguaglianza seguente
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of the oldest problems in the calculus of variations. I present also a collection of eight tricks on how to prove symmetry for solutions of PDE or of variational problems; and
one of the tricks solves a problem left open in [2].
gles. For circular objects all these shadows are
long, but are circles the only objects having this pr
Intuition might suggest this, however the answer
nitely no, as Figure 1 shows. A regular (2N + 1
"rounded" by circular arcs of suitable radius. Mec
engineers know the left part of Figure l a from the
engine; and the shape corresponding to N = 3 is u
the 50p coin in Britain. Curves bounding such cro
tions have long been known as curves of constant b
see [23].
Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
No S y m m e t r y
Example 1. Cylinders of Constant Thickness
Imagine that a producer of horizontal circular objects like
pizzas, buttons, or CD's wants to monitor their circular
Figure 1. (a) C u r v e s o f constant breadth
(b) P r o o f o f an isoperimetric result.
Figura 1: Due esempi di insiemi di larghezza costante
* Dedicated to Wolfgang Wendland on the occasion of his 60th birthday, September 1996.
dove E # è una sfera tale che |E # | = |E|.
MATHEMATICAL
INTELLIGENCER
9 1998seguente:
SPRINGER-VERLAGNEWYORK
Per n = 2 essa1 6si THE
scrive
nella
maniera
4⇡|E|  P er(E)2 .
Osservazione 1.1 Una questione abbastanza delicata nella diseguaglianza isoperimetrica riguarda il caso dell’uguaglianza e l’unicità del dominio ottimale (la sfera).
Il fatto che il minimo sia raggiunto solo in corrispondenza della configurazione più
simmetrica probabilmente sembra essere evidente, ma, in generale, non è per niente
scontato. A tal proposito richiamiamo brevemente una diseguaglianza di tipo isoperimetrico per la quale non si può fare la stessa affermazione. Si può, ad esempio,
provare la diseguaglianza seguente
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Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
Teorema di Blaschke-Lebesgue
Tra tutti i domini piani convessi di larghezza costante, il triangolo di Reuleaux ha
area minima
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Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
In tre dimensioni?
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Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
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Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
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Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
8/14
Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
8/14
Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
8/14
Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
8/14
Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
8/14
Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
8/14
Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
Problema
Tra tutti i solidi convessi di larghezza costante, quali minimizzano il volume?
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Un problema aperto sui convessi di larghezza costante
Problema
Tra tutti i solidi convessi di larghezza costante, quali minimizzano il volume?
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reFigure
6: Meissner
body body
MV with
edges edges
meeting
in a vertex
(left)
6: Meissner
MV rounded
with rounded
meeting
in a vertex
Congettura: I corpi di Meissner
Meissner
body body
MF with
edges edges
surrounding
a facea(right)
and Meissner
MF rounded
with rounded
surrounding
face (right)
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Equazioni alle derivate parziali: un risultato classico
(P)
(
−∆u = f (x)
in Ω
u=0
su ∂Ω
dove Ω è un aperto limitato di R , e ∆u(x) =
n
n
X
∂xi xi u(x).
i=1
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Equazioni alle derivate parziali: un risultato classico
(P)
(
−∆u = f (x)
in Ω
u=0
su ∂Ω
dove Ω è un aperto limitato di R , e ∆u(x) =
n
n
X
∂xi xi u(x).
i=1
Problema
Tra tutti i problemi del tipo (P), in corrispondenza
di quali dati si ha la “soluzione più grande”?
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Equazioni alle derivate parziali: un risultato classico
(P)
(
−∆u = f (x)
in Ω
u=0
su ∂Ω
dove Ω è un aperto limitato di R , e ∆u(x) =
n
n
X
∂xi xi u(x).
i=1
Ipotesi: il riordinamento di f e la misura di Ω sono fissati.
Problema
Tra tutti i problemi del tipo (P), in corrispondenza
di quali dati si ha la “soluzione più grande”?
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Equazioni alle derivate parziali: un risultato classico
(P)
(
−∆u = f (x)
in Ω
u=0
su ∂Ω
(
−∆v = f # (x)
v =0
dove Ω è un aperto limitato di R , e ∆u(x) =
n
n
X
in Ω#
su ∂Ω#
∂xi xi u(x).
i=1
Ipotesi: il riordinamento di f e la misura di Ω sono fissati.
Problema
Tra tutti i problemi del tipo (P), in corrispondenza
di quali dati si ha la “soluzione più grande”?
9/14
Equazioni alle derivate parziali: un risultato classico
(P)
(
−∆u = f (x)
in Ω
u=0
su ∂Ω
(
−∆v = f # (x)
v =0
dove Ω è un aperto limitato di R , e ∆u(x) =
n
n
X
in Ω#
su ∂Ω#
∂xi xi u(x).
i=1
Ipotesi: il riordinamento di f e la misura di Ω sono fissati.
Problema
Tra tutti i problemi del tipo (P), in corrispondenza
di quali dati si ha la “soluzione più grande”?
Si ha:
u # (x) ≤ v (x) ∀x ∈ Ω# .
[Talenti 1976]
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Alcuni contributi recenti...
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Alcuni contributi recenti...
• Estensioni a operatori più generali (ellittici e parabolici) lineari e non lineari
- A. Alvino, R. Volpicelli, B. Volzone, Sharp estimates for solutions of parabolic
equations with a lower order term J. Appl. Funct. Anal. 3 (2008), 61-88.
- B. Brandolini, C. Trombetti, Comparison results for Hessian equations via
symmetrization, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 9 (2007), 561-575.
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Alcuni contributi recenti...
• Estensioni a operatori più generali (ellittici e parabolici) lineari e non lineari
• Estensione ad altre condizioni al bordo
- A. Alberico, A. Cianchi, Borderline sharp estimates for solutions to Neumann
problems Annales Acad. Sci. Fennicae Math. 32 27-53 (2008).
- B. Brandolini, C. Nitsch, P. Salani, C. Trombetti, Serrin-type overdetermined
problems: an alternative proof, Arch. Rat. Mech. Anal. 190 (2008), 267-280.
- F. Della Pietra, G. di Blasio, Blow-up solutions for some nonlinear elliptic
equations involving a Finsler-Laplacian, preprint.
- V. Ferone, E. Giarrusso, B. Messano, M.R. Posteraro, Isoperimetric inequalities
for an ergodic stochastic control problem, Calc. Var., 46 (2013), 749-768.
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Alcuni contributi recenti...
• Estensioni a operatori più generali (ellittici e parabolici) lineari e non lineari
• Estensione ad altre condizioni al bordo
• Applicazioni a risultati di esistenza e unicità: dato in L1 e crescita
sopralineare nel gradiente
- A. Alvino, M.F. Betta, A. Mercaldo, Comparison principle for some classes of
nonlinear elliptic equations, J. Differential Equations 249 (2010),3279-3290
- A. Alvino, V. Ferone, A. Mercaldo, Sharp a priori estimates for a class of
nonlinear elliptic equations with lower order terms, Ann. Mat. Pura Appl., to
appear
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Alcuni contributi recenti...
• Estensioni a operatori più generali (ellittici e parabolici) lineari e non lineari
• Estensione ad altre condizioni al bordo
• Applicazioni a risultati di esistenza e unicità: dato in L1 e crescita
sopralineare nel gradiente
...e problemi aperti:
• Unicità per soluzioni deboli di problemi al bordo con particolari termini di
ordine inferiore
• Stime ottimali per alcuni problemi di contorno con crescita sopralineare nel
gradiente
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Riferimenti bibliografici
V. Ferone, Diseguaglianze di tipo isoperimetrico e applicazioni, Boll. Unione
Mat. Ital. (9) 1 (2008), 539-557.
G. Trombetti, Metodi di simmetrizzazione nelle equazioni alle derivate
parziali, Boll. Unione Mat. Ital. (8) 3-B (2000), 601-634.
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Contesto scientifico: progetti di ricerca
Progetti in corso
• PRIN (Progetto di rilevante interesse nazionale, MIUR), resp. locale
Vincenzo Ferone;
• Progetto STAR (Sostegno Territoriale alle Attività di Ricerca, Compagnia di
San Paolo), resp. Carlo Nitsch;
• Progetto FIRB (Futuro in Ricerca, MIUR), resp. locale Nunzia Gavitone;
• Progetti finanziati dalla Regione Campania (Legge 5), resp. Anna Mercaldo,
Carlo Nitsch, Maria Rosaria Posteraro, Roberta Volpicelli
• Progetto GNAMPA, resp. Francesco Della Pietra
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Contesto scientifico: collaborazioni
“Vicini di casa”
SUN: Adele Ferone, Giuseppina di Blasio
Napoli Parthenope: Francesca Betta, Filomena Feo, Bruno Volzone
Napoli - CNR: Angela Alberico
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Contesto scientifico: collaborazioni
“Vicini di casa”
SUN: Adele Ferone, Giuseppina di Blasio
Napoli Parthenope: Francesca Betta, Filomena Feo, Bruno Volzone
Napoli - CNR: Angela Alberico
Estero
Italia
Brescia
Catania
Cagliari
Firenze
Milano
Pisa
Roma
Salerno
Torino
Le Havre, Francia
Marsiglia, Francia
Nancy, Francia
Parigi, Francia
Poitiers, Francia
Rouen, Francia
Colonia, Germania
Erlangen, Germania
Karlsruhe, Germania
Lipsia, Germania
Lisbona, Portogallo
Praga - Rez, Rep. Ceca
Barcellona, Spagna
Madrid, Spagna
Valencia, Spagna
Sydney, Australia
Osaka, Giappone
Sendai, Giappone
Tokyo, Giappone
Bucknell - Penn., USA
Missouri, USA
Oregon, USA
San Diego, USA
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Grazie per l’attenzione!
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