Esempio di percorso Formativo 1

Formazione Matematica
Luisa Rossi, Paolo Teruzzi, Lorella Carimali
Il Progetto
• Obiettivo: proposta di un percorso per valutare le
competenze relative all’Asse Matematico, acquisite nel
biennio
• Ambito: biennio degli istituti tecnici
• Destinatari: docenti formatori di Matematica
Nome relatore
2
Le Competenze di Base
• Utilizzare tecniche e procedure del calcolo aritmetico ed
algebrico in contesti reali, con eventuali rappresentazioni
grafiche
• Analizzare figure geometriche del piano e dello spazio
individuando invarianti e relazioni
• Individuare le strategie appropriate per la soluzione di
problemi
• Rilevare, analizzare e interpretare dati riguardanti
fenomeni reali, sviluppando deduzioni e ragionamenti,
fornendo adeguate rappresentazioni grafiche anche con
l’ausilio di strumenti informatici
Nome relatore
3
I Problemi
• Problemi di ottimizzazione: la
lattina della birra più economica
• Problemi di crescita: come
investire al meglio il proprio capitale
• Proporzionalità diretta e crescita
polinomiale: raggio e circonferenza;
aree, volumi, … andamenti grafici
• Proporzionalità inversa: tempo e
velocità a percorso costante
Nome relatore
4
Strumenti e Metodi
• Algebra
e Geometria: conoscenze e abilità per
sviluppare percorsi trasversali e risolvere problemi
• Leggi delle Scienze: saper identificare la legge
adeguata al problema da risolvere
• I metodi: tessuto concettuale, ragionamento logicodeduttivo, metodo geometrico, stima del calcolo, …
• Strumenti informatici: software di calcolo e grafici,
statistiche, diagrammi
Nome relatore
5
Problema 1
• Volendo produrre una lattina cilindrica, con
assegnato volume, determinarne il raggio di
base affinché sia la più economica
Unico dato: il volume V, assegnato
Quale raggio di base R ???
Nome relatore
6
Problema 2
• Abbiamo guadagnato tanto! dalla produzione
di lattine ottimali ... come investire al meglio il
nostro guadagno in banca?
I dati:
1) il capitale iniziale C,
2) Il tasso di interesse i
assegnato
Bastano questi dati per conoscere il proprio capitale
dopo un anno ???
Nome relatore
7
Problema 3
• Grande crisi: la banca fallisce e hai perso
tutto!!! Decidi di cambiare lavoro e apri un
garden center. Hai poco spazio espositivo e
devi cercare di sfruttarlo al meglio, per avere
sempre la merce che ti viene richiesta
I dati:
1) Bancale di N giacinti
2) Costo per giacinto c
Come implementare al meglio la quantità di prodotti da
vendere ???
Nome relatore
8
Problema 4
• I giacinti si esauriscono presto: ci sono molti
compratori! Bisogna ripetere la fornitura. Il
Il
Il tragitto è sempre lo stesso ma non sempre si
ha voglia di correre.
I dati:
1) La lunghezza s del percorso
2) La velocità v di cammino
In quanto tempo t ritornerai con i fiori ???
Nome relatore
9
Lo sviluppo: Problema 4
• Legge
di proporzionalità inversa
Proporzionalità inversa
12
k
Y=
X
10
Y
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
X
Che legame intercorre tra il
tempo t e la velocità v, fissato
il percorso S da compiere?
Nome relatore
s
t=
v
10
Problema 3
• Legge
di proporzionalità diretta
Y = kX
Come fioraio devi vendere N
vasetti al prezzo di 3 Euro l’uno.
Proporzionalità diretta
20
18
16
Quale ricavo R ?
14
Y
12
10
8
6
4
2
R = 3N
0
0
2
4
6
X
Nome relatore
11
Problema 3…puoi vendere di più!
• Crescita
polinomiale
Y = kX
n
Vendi vasi di primule disposte in
un quadrato con N vasi per lato al
prezzo di 4 Euro l’uno.
Crescita quadratica n=2
20
Quale è ora il ricavo R ?
18
16
14
Y
12
R = 4N
10
8
2
6
4
2
0
0
2
4
6
X
Nome relatore
12
Problema 3… vendite in ulteriore aumento!
• Crescita
polinomiale
Y = kX
n
Oggi al mercato si comprava molto bene
e mi hanno consegnato N vassoi con NxN
giacinti. Riesco a vendere a 4 Euro al
vaso.
Crescita polinom iale n=3
20
18
16
Quanto ricavo R ?
14
Y
12
10
8
R = 4N
3
6
4
2
0
0
2
4
6
X
Nome relatore
13
Confronto di crescite polinomiali
Hai N giacinti su un’asse; un
vassoio quadrato con N vasi per
lato di primule, un insieme di N
vassoi sovrapposti di giacinti.
Devi vendere perché non
invecchino e cedi al prezzo di un
Euro al vaso.
Confronta il ricavo R delle tre
partite?
Crescite polinom iali
9
8
7
6
5
Y
Y = kX
n
4
3
2
1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
X
Nome relatore
14
Problema 2
• Interesse
semplice: Guadagni 100 Euro (g) e hai trovato una
banca che in un anno ti concede il 100% di interesse .
Che capitale C hai dopo un anno?
C = 100 + 100 = 200
C = g + g = 2g
• Guadagno
maggiore!! Il successivo guadagno di 100 Euro lo
investi allo stesso interesse ma decidi di ritirarlo a metà anno e
reinvestirlo allo stesso tasso. Cioè alla fine del sesto mese investi 150
Euro allo stesso interesse e al termine dell’anno avrai ….. Euro!!
C = (100 + 50) + 0.5 (150) = 225
1  1
1  
1  1 

 1
C =  g + g  +  g + g  =  g + g 1 +  = g 1 + 
2  2
2  
2  2 

 2
Nome relatore
2
15
Problema 2: investimento capitale
• Interesse
composto: Ti sei accorto che questo “giochetto del
reinvestimento potresti
quotidianamente!
farlo
ad
intervalli
più
2,5
2
2
1,5
1,5
1
1
n
Interesse com posto
Guadagno m aggiore
2,5
...anzi
 1
C = g 1 + 
 n
C’è allora una crescita esponenziale!!!!
Interesse sem plice
brevi
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0,5
0,5
0
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
t e mpo [ f r a z i oni di a nno]
1
1,2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
t e mpo [ f r a z i oni di a nno]
Nome relatore
1
1,2
0
0,5
1
1,5
t emp o [ f r az i o ni d i anno ]
16
Problema 1
• Si tratta di un semplice problema di
ottimizzazione: la lattina più economica a
parità di volume V (ad es. 0,33 cc.)
• Il costo maggiore è quello dell’alluminio del
quale la lattina è prevalentemente costituita
• Conviene dunque rendere minima la
superficie cilindrica
Fissato V, detti x il raggio della base, h l’altezza
y
2
A( x) = area totale =
2{
πx
area dei cerchi di base
V = π hx
2
⇒
V
h= 2
πx
2{
πhx
+
area della superficie laterale
200
y = A( x)
150
100
2V
A ( x ) = 2π x 2 +
x
50
?
0
1.25
2.5
3.75
5
x
Nome relatore
17
La soluzione
Non avendo a disposizione i metodi dell’analisi matematica,
ci affidiamo ad un utilizzo ragionato di una calcolatrice
tascabile e approssimiamo al meglio il valore minimo
SORPRESA: si trova che l’altezza è pari al diametro di base!
V V  2π 
h= 2 =  
πx π  V 
2/3
V
=2
= 2x
2π
3
V = 330 cm3
h = 2x = 7.48
COMMENTI
Nome relatore
18
….e le volpi? Perché?
Nome relatore
19
….e le volpi? Perché?
Nome relatore
20
1. Quali competenze, quali conoscenze
Utilizzare tecniche e procedure del calcolo aritmetico ed algebrico,
forma grafica
Abilità
Comprendere il significato di potenza; calcolare potenze e applicarne le proprietà
Risolvere brevi espressioni nei diversi insiemi numerici
Risolvere sequenze di operazioni e problemi sostituendo alle variabili letterali i valori
numerici.
Semplificare espressioni letterali .
Comprendere il significato logico-operativo di rapporto e grandezza derivata
Impostare uguaglianze di rapporti per risolvere problemi di proporzionalità
Risolvere problemi utilizzando equazioni di primo grado e verificare la correttezza dei
procedimenti utilizzati e l’attendibilità dei risultati ottenuti
Rappresentare graficamente equazioni di primo grado e di secondo grado
Individuare la necessità di utilizzo di un’equazione di grado superiore al primo.
Conoscenze
Gli insiemi numerici N, Z, Q, R ; rappresentazioni, operazioni, ordinamento.
Espressioni algebriche, principali operazioni : monomi, polinomi, prodotti notevoli,
scomposizioni e frazioni algebriche .
Equazioni e intere e frazionarie di primo e secondo grado .
Nome relatore
21
2. Quali competenze, quali conoscenze
Confrontare ed analizzare figure geometriche, invarianti e relazioni
Abilità
Riconoscere i principali enti, figure e luoghi geometrici
Individuare le proprietà essenziali delle figure e delle trasformazioni, riconoscerle in
situazioni concrete
Disegnare figure geometriche con semplici tecniche grafiche e operative
In casi reali di facile leggibilità risolvere problemi di tipo geometrico, e ripercorrerne le
procedure di soluzione
Visualizzare gli oggetti geometrici nello spazio e risolvere semplici problemi quantitativi
Utilizzare lo strumento algebrico come linguaggio per rappresentare formalmente gli
oggetti della geometria elementare e passare da una rappresentazione ad un'altra in
modo consapevole e motivato.
Realizzare costruzioni geometriche elementari utilizzando strumenti diversi (riga e
compasso, software di geometria,…)
Comprendere i principali passaggi logici di una dimostrazione (catene deduttive)
Dimostrare semplici teoremi
Conoscenze
Gli enti fondamentali della geometria
Il piano euclideo: poligoni e loro proprietà
Le isometrie nel piano: simmetrie, rotazioni, traslazioni
Perimetro ed area dei poligoni
Il metodo delle coordinate: il piano cartesiano
Nome relatore
22
3. Quali competenze, quali conoscenze
Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi
Abilità
Progettare un percorso risolutivo strutturato in tappe
Formalizzare il percorso di soluzione di un problema attraverso modelli
algebrici e grafici
Riconoscimento di grandezze e variabili matematiche in un problema
complesso di vita quotidiana
Tradurre dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa
Riconoscere situazioni problematiche e fenomeni diversi riconducibili a
uno stesso modello matematico
Conoscenze
Le fasi risolutive di un problema e loro rappresentazioni con diagrammi
Tecniche risolutive di un problema che utilizzano frazioni, proporzioni,
percentuali, formule geometriche, equazioni e disequazioni di primo grado
ed equazioni di secondo grado.
Nome relatore
23
4. Quali competenze, quali conoscenze
Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli
stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando
consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da
applicazioni specifiche di tipo informatico
Abilità
•
•
•
•
•
•
•
Raccogliere, organizzare e rappresentare un insieme di dati
Rappresentare classi di dati mediante istogrammi e diagrammi
Leggere e interpretare tabelle e grafici in termini di corrispondenze fra
elementi di due insiemi
Riconoscere una relazione tra variabili, in termini di proporzionalità diretta o
inversa e formalizzarla attraverso una funzione matematica
Rappresentare sul piano cartesiano il grafico di una funzione
Valutare l’ordine di grandezza di un risultato
Elaborare e gestire semplici calcoli attraverso un foglio elettronico
Conoscenze
Significato di analisi e organizzazione di dati numerici
Il piano cartesiano e il concetto di funzione
Funzioni di proporzionalità diretta, inversa e relativi grafici, funzione lineare
Semplici applicazioni che consentono di creare, elaborare un foglio
elettronico con le forme grafiche corrispondenti
Nome relatore
24