Soluzione - Mathesis di Pescara

Transcript

Settima Edizione
“Giochi di Achille e la tartaruga”
15-DIC-2011 - Chieti
Il Responsabile coordinatore dei giochi:
Prof. Agostino Zappacosta – Chieti
tel. 0871 – 65843 (cell.: 340 47 47 952)
e-mail:[email protected]
Soluzioni Cat. M1 (Alunni di prima Media)
Quesito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Risposta
esatta
E
B
C
D
E
E
E
D
A
A
3h30m
8
(*)
14
43
100
Vale
punti
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
8
8
12
12
(*) Soluzione quesito 13: uno di questi 29 numeri: 106; 206, 306; 406; 506; 706; 806; 906;
217; 317; 417; 517; 617; 817; 917;
128; 328; 428; 528; 628; 728; 928;
139; 239; 439; 539; 639; 739; 839.
Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta
sbagliata vale 0 punti.
Quesito 1 (vale 4 punti)
[Chi è meno giovane?]
Dei miei cinque compagni ho le seguenti informazioni:
1) Carla è nata un mese prima di Luciano, ma tre mesi dopo di Eva.
2) Luciano è nato 5 mesi prima di Gianni ma quattro mesi dopo di Eva;
3) Gianni è nato sette mesi dopo Anna;
4) Anna è nata 2 mesi dopo di Eva ma due mesi prima di Luciano.
Sapendo che Luciano è nato nel mese di settembre 2000, chi (dei cinque) è nato prima?
A) Carla;
B) Luciano;
C) Gianni;
D) Anna;
E) Eva.
Soluzione Quesito 1: E) Eva
Per semplicità con una M indichiamo un mese. Così la seguente scrittura:
Carla M Luciano sta a significare che Carla è nata un mese prima di Luciano oppure (è la stessa
cosa) che Luciano è nato un mese dopo Carla.
Adesso bisogna ricostruire tutte le informazioni:
1) Eva M M M Carla M Luciano;
2) Eva M M M M Luciano M M M M M Gianni;
3) Anna M M M M M M M Gianni;
4) Eva M M Anna M M Luciano.
Ed ecco la ricostruzione:
1) Eva M M
M Carla M Luciano;
2) Eva M M
M
M Luciano M M M M M Gianni;
3)
Anna M
M
M M M M M Gianni;
4) Eva M M Anna M
M Luciano.
Si vede subito chela meno giovane è Eva (in quanto è nata prima).
Soluzioni_M1_VII-Ed._15-12-2011_Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga
[Il mago dei numeri – CH-ITALIA]Pag. 1
[Quanti bastoncini?]
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Per costruire la prima figura abbiamo adoperato 5 bastoncini. Per la seconda figura abbiamo adoperato qualche
bastoncino in più. Per la terza figura, ancora altri bastoncini. Continuando a costruire figure nello stesso modo, quanti
bastoncini saranno necessari per la cinquantesima figura?
A) 250;
B) 201;
C) 246;
D) 205;
E) nessuno dei precedenti.
Soluzione Quesito 2: B) 201 bastoncini.
Passando dalla figura 1 alla 2 si devono aggiungere 4 bastoncini Per passare dalla figura 2 alla 3 se
ne devono aggiungere altri 4. Per passare dalla figura 3 alla 4 se ne devono aggiungere altri 4.
E così via. Quindi per passare dalla figura 1 alla figura 50, devo aggiungere per 49 volte 4
bastoncini. Quindi 49x4 = 196 saranno i bastoncini da aggiungere ai 5 iniziali. Quindi 5+196= 201.
[Ma dove sta la verità?]
Qual è l’affermazione falsa?
A) la somma di tre numeri dispari è un numero dispari; B) la somma di tre numeri pari è un numero pari;
C) la somma di 4 numeri pari non è un numero pari;
D) la somma di cinque numeri pari non è un numero dispari;
E) la somma di cinque numeri dispari non è un numero pari.
Soluzione Quesito 3: C).
A) è vera: la somma di tre numeri dispari dà sempre un numero dispari.
B) è vera: la somma di tre numeri pari dà sempre un numero pari.
C) è falsa: la somma di 4 numeri pari dà sempre un numero pari. Invece l’alternativa C)
dice che non è un numero pari.
D) è vera: la somma di cinque numeri dispari dà sempre un numero dispari che non è pari.
E) è vera in quanto cinque numeri dispari danno per somma sempre un numero dispari che non è un
numero pari.
[Combinazioni orologio-calendario
20
09
20
09
Ora
Minuti
Giorno
Mese
20
09
Anno
Questo orologio digitale oltre ad indicare le ore ed i minuti, indica la data (giorno, mese ed anno).
[Negli orologi digitali le ore vanno da 00 a 23, mentre i minuti vanno da 00 a 59].
Nell’esempio riportato sopra l’orologio indica le ore 20:09 del 20 settembre del 2009.
Partendo dalla sinistra notiamo che il numero 2009 si ripete per tre volte.
Dal 2000 al 2040 quante volte si verifica questo fatto? Attenzione: sono in tutto 41 anni.
A) 40;
B) 41;
C) 42;
D) 12;
E) nessuno dei precedenti
Soluzione Quesito 4: D) 12 volte.
Per l’anno 20 00 non possiamo formare il mese 00 (che non esiste).
Dall’anno 2013 non abbiamo il 13° mese e quindi è impossibile formare il numero richiesto, dopo il
2013. Restano solo 12 possibilità (dal 2001 al 2012) (vedi tabella).
Anno
2000
2001
2002
……
2011
2012
2013
…..
2040
Ora-minuti
20 – 00
20 – 01
20 – 02
…..
20 – 11
20 – 12
20 – 13
………
20 – 40
Giorno-mese
20 – ??
20 – 01
20 – 02
……
20 – 11
20 – 12
20 – 13 ??
…………
20 – 40??
Anno
20 – 00
20 – 01
20 – 02
…..
20 – 11
20 – 12
20 – 13
……..
20 – 40
Osservazioni
Impossibile
Possibile
Possibile
Possibile
Possibile
Possibile
Impossibile
Impossibile
Impossibile
[Quante disposizioni diverse?]
Nella griglia formata da 12 caselle bisogna mettere questi tre simboli:
♦, ♥, ♣, in modo che:
1) non ci sia più di un simbolo nella stessa colonna;
2) ci sia almeno un simbolo per ogni riga;
3) siano presenti tutti e solo i tre simboli. In quanti modi diversi posso disporre i tre
simboli? A) 12;
B) 36;
C) 24;
D) 48;
E) Nessuna delle precedenti.
Soluzione Quesito 5: E) 144 combinazioni diverse.
♦ in una delle 4 caselle del prima riga; il secondo simbolo ♥, si può inserire
in ciascuna delle tre caselle restanti della seconda riga e il terzo simbolo ♣ in una delle due caselle
Inserendo il simbolo
a disposizione nella terza riga. In tutto 4x3x2 = 24 combinazioni.
Tenendo conto che i tre simboli possono presentare un ordine diverso in 6 modi diversi:
♦, ♥, ♣; ♦, ♣, ♥; ♣, ♦, ♥; , ♣, ♥, ♦;
♥, ♣, ♦. Avremo in tutto 24x6 = 144 combinazioni diverse.
♥, ♦, ♣;
[Dadi magici]
Quanto vale la somma dei numeri nascosti (che non si
vedono), in questi quattro dadi?
Nota: qualsiasi dado di forma cubica presenta sulle sue
sei facce i numeri da 1 a 6.
A) 84;
B) 64;
C) 44;
D) 30;
Soluzione Quesito 6: E) 55.
La somma dei sei numeri presenti sul primo
dado è uguale a: 1+ 2 + 3 +4 +5 +6 = 21;
La somma dei sei numeri presenti sul secondo
dado è uguale a: 1+ 2 + 3 +4 +5 +6 = 21;
La somma dei sei numeri presenti sul terzo dado è uguale a: 1+ 2 + 3 +4 +5 +6 = 21.
La somma dei sei numeri presenti sul quarto dado è uguale a: 1+ 2 + 3 +4 +5 +6 = 21.
La somma dei numeri presenti su tutti e quattro i dadi è uguale a 21x4 = 84.
I numeri visibili sono 3, 2, 1, 5, 4, 2, 6, 3, 1 e 2; la somma è uguale a 3+2+1+5+4+2+6+3+1+2 =
29. La somma dei numeri nascosti sarà pertanto: 84 - 29 = 55.
[La sveglia che …. Non vuole camminare!!!]
Una sveglia ha le lancette ferme. Quante volte nel corso del primo bimestre dell’anno 2011 ha segnato l’ora esatta?
A) Due volte;
B) 2011 volte;
C) 59 volte;
D) Mai;
E) 118 volte.
Soluzione Quesito 7: E) 118 volte.
Nel corso di un giorno (formato da 24 ore), l’orologio dà due volte l’ora esatta.
Il primo bimestre dell’anno 2011 è formato da 59 giorni (31 giorni di gennaio e 28 giorni di
febbraio; 31+28 = 59). Quella sveglia perciò, nel corso del primo bimestre, ha segnato per 118 volte
(59x2) l’ora esatta.
[Attenzione alla media aritmetica!!!]
Fabio dopo i primi tre compiti di matematica, ha una media aritmetica di 7. Se al quarto compito ha preso 5 quale sarà
la nuova media?
A) 5.5;
B) 6;
C) 7;
D) 6.5;
E) nessuna delle precedenti.
Soluzione Quesito 8: D) 6.5 (sei e mezzo).
Come si sa, la media aritmetica dei voti si trova eseguendo la divisione tra la somma dei voti e il
numero dei voti. Nell’effettuare la media precedente (pari a 7) questo risultato è venuto fuori dopo
aver diviso la somma dei tre voti per 3.La somma dei tre voti era quindi 21 (7x3).
A questo totale debbo aggiungere il quarto voto (5) e ottengo 26 (21+5) che rappresenta la somma
di 4 voti. La nuova media sarà 26:4= 6.5 (sei e mezzo).
[ore … simmetriche!?!?]
Sul quadrante di un orologio digitale le ore ed i minuti vengono indicati ciascuno con due cifre (da “00” a “23”per le
ore e da “00” a “59” per i minuti). Durante le 24 ore della giornata, quanti numeri simmetrici vedremo sul quadrante
considerando le 4 cifre? (l’ordine è quello usuale: le prime due cifre da sinistra indicano .le ore; le altre due cifre poste a
destra indicano i minuti). Nota Bene: Un numero è simmetrico quando le cifre equidistanti dagli estremi sono uguali:
così: 03:30; 12:21; 23:32 sono ore simmetriche. Per indicare mezzanotte si adoperano quattro zeri 00:00 e non 24:00.
A) 16;
B) 23;
C) 17;
D) 24;
E) nessuna delle precedenti.
Soluzione Quesito 9: A) 16.
00 -00; 01-10; 02-20; 03-30; 04-40; 05-50;
10-01; 11-11; 12-21; 13-31: 14.41; 15-51;
20-02; 21-12; 22-22; 23-32.
I numeri che si possono adoperare per le ore sono da 00 fino a 23. Però non possono finire per 6, 7,
8 o 9 i cui simmetrici andrebbero oltre il 59 dei minuti. Perciò 06:60 non va bene perché i minuti si
fermano a 59 per ricominciare da 00. Lo stesso vale per 07:70; 08:80 e 09:90; 16:61; 17:71: 18:81:
19:91 che sono tutti da escludere.
[Mattoni su …. 4 dita!!!]
Questo atleta, oltre a sollevare il suo corpo, è capace di sollevare
anche 5 mattoni. Si sa che mezzo mattone più due mattonelle pesano
come un mattone. Una mattonella pesa 800 grammi. Sapendo che il
suo peso corrisponde a 25 mattoni, qual è il peso (in kg) che l’atleta
riesce a sollevare stando in equilibrio su quattro dita?
A) 96 kg;
B) 86.4kg;
C) 96.4 kg;
D) 96.6 kg;
Soluzione Quesito 10: A) kg 96.
Se mezzo mattone equivale a due mattonelle, un mattone
equivarrà a 4 mattonelle. Un mattone, perciò pesa 4x800
= 3200 g = 3.2 Kg. Il peso dell’atleta + 5 mattoni corrisponde al peso di 30 mattoni (25+5).
Perciò l’atleta riesce a sollevare 96 kg (30x3.2).
[Ma la testa dove ce l’hai? ….. E adesso pedala!!!!]
Beniamino si sta godendo le vacanze al mare lungo la costa abruzzese, nei
pressi di San Vito Chietino. Il 3 luglio, compleanno di un suo amico decide di
tornare in bicicletta al suo paese (Guardiagrele) dove l’amico lo aspetta.
Senonchè a metà strada, si accorge di aver dimenticato la chiave della casa di
Guardiagrele. Allora torna indietro per riprendere la chiave lasciata nella casa
al mare. Ripresa la chiave, ritorna al paese. Sapendo che la distanza tra le due
case è esattamente di 30 km, che la sua velocità media è stata di 20 km all’ora
e che ha perso mezz’ora per le soste, quanto tempo ha impiegato Beniamino
complessivamente per tornare dal mare a Guardiagrele? (Indicare solo ore e
minuti).
Soluzione Quesito 11: 3 ore e 30 minuti (tre ore e mezza).
La distanza tra le due abitazioni è di 30 km. Quando si accorge di non avere la chiave ha già
percorso metà strada che corrisponde a 15 km. Per tornare alla casa sul mare deve rifare questi
quindici km. Infine per tornare al paese deve percorrere i trenta km che separano le due abitazioni
(quella delle vacanze e quella principale). I km percorsi saranno perciò: 15+15+30 = 60 km.
Beniamino in un’ora percorre 20 km. Per percorrere l’intero tragitto impiegherà esattamente
tre ore: (3h = 60 km : 20 km orari). Aggiungendo la mezz’ora persa per le soste Beniamino
complessivamente per tornare dal mare a Guardiagrele ha impiegato tre ore e mezza?
[attenzione a non rompere le damigiane!!!]
Una damigiana quando è piena di vino pesa 64 kg. Se invece è piena a metà persa 36 kg.
Quanto pesa (in kg) la damigiana vuota? Nota Bene: 1 litro di vino pesa 1 chilo.
Soluzione Quesito 12: kg 8.
Se dalla damigiana piena togliamo la metà del vino, la quantità tolta è pari a kg (64-36) = 28 kg.
Se la metà è 28 Kg, tutto il vino contenuto dalla damigiana piena sarà kg (28x2) = 56 kg.
La damigiana vuota peserà: kg (64-56) = 8 kg. Oppure in alternativa:
La damigiana vuota peserà: kg (36-28) = 8 kg. Abbiamo applicato sempre la stessa formula
(tara = peso lordo – peso netto): nella prima soluzione alla damigiana piena; nella seconda
soluzione alla damigiana riempita a metà.
[Alla pesca …. del numero!!!]
Se in un numero di tre cifre (tutte diverse tra loro) scambio tra di loro due cifre a piacere il numero che ottengo aumenta
di 54. Tra i tanti numeri possibili, indicatene uno solo.
Soluzione Quesito 13: uno dei 29 numeri indicati nella tabella che (esclusi quelli sottolineati).
In tutto i numeri possibili sono 29. Bastava indicarne uno solo tra quelli indicati in tabella e non
sottolineati (nei numeri sottolineati qualche cifra si ripete)
Affinchè il numero ottenuto superi di 54 quello da cui sono partito, lo scambio può avvenire solo tra
la cifra delle unità e quella delle decine.
La cifra delle unità deve superare di 6 quella delle decine: abbiamo solo quattro casi: 06, 17, 28 e 39
A ciascuna di queste coppie possiamo mettere la terza cifra (delle centinaia) a piacere (da 1 a 9)
Perciò i numeri di tre cifre con questa proprietà saranno 36 (9x4 = 36).
Se invece voglio che le cifre del numero siano tutte diverse, come in questo caso, allora, saranno di
meno. 36 - 7 = 29. Dall’elenco della tabella bisogna eliminare quei numeri che presentano due cifre
uguali (sono quelli sottolineati). Da notare che sono sempre due per ogni colonna esclusa la prima
che presentando lo “0” presenterà una doppia cifra solo con 606, non potendo lo zero stare al posto
delle centinaia (006)!!
Nella tabella che segue, l’asterisco (*) indica la cifra delle centinaia.
*06
1 06 - 1 60;
2 06 – 2 60
3 06 – 3 60
4 06 – 4 60
5 06 – 5 60
6 06 – 6 60
7 06 – 7 60
8 06 – 8 60
9 06 – 9 60
*17
1 17 - 1 71;
2 17 – 2 71
3 17 – 3 71
4 17 – 4 71
5 17 – 5 71
6 17 – 6 71
7 17 – 7 71
8 17 – 8 71
9 17 – 9 71
*28
1 28 - 1 82;
2 28 – 2 82
3 28 – 3 82
4 28 – 4 82
5 28 – 5 82
6 28 – 6 82
7 28 – 7 82
8 28 – 8 82
9 28 – 9 82
*39
1 39 - 1 93;
2 39 – 2 93
3 39 – 3 93
4 39 – 4 93
5 39 – 5 93
6 39 – 6 93
7 39 – 7 93
8 39 – 8 93
9 39 – 9 93
[Furbizia e Malizia a braccetto !!!]
Alla morte di Malizia Benigno (un contadino della Provincia di
Chieti) i due figli Astuto e Furbetto, tra gli altri beni, ereditano
diverse pecore che vengono date ai due ma non in parti uguali.
Un giorno Astuto dice a Furbetto:
“Se mi cedi due delle tue pecore, io ne avrò il doppio di quelle che
rimangono a te.”
Furbetto ci pensa e risponde:
“Se invece sei tu a darmi due delle tue pecore, avremo
ciascuno lo stesso numero di pecore.”
Quante pecore possiede Astuto?
(è un numero minore di venti)
Soluzione Quesito 14: 14.
Furbetto all’inizio ha 4 pecore in meno rispetto a quelle che ha Astuto. Infatti dice che con due
pecore ricevute dal fratello avrebbe lo stesso numero di pecore di Astuto (che nel frattempo
rimarrebbe con due pecore in meno rispetto a quelle possedute inizialmente).
Quindi basta passare in rassegna tutte le coppie di numeri (ciascuno minore di 15) tali che
differiscano di quattro: il primo numero indica le pecore di Furbetto ed il secondo numero indica
quelle possedute da Astuto.
2-6: 3-7; 4-8; 5-9; 6-10; 7-11; 8-12; 9-13 e 10-14; 11-15.
Riscriviamo le stesse coppie dopo lo scambio di due pecore (al primo numero sottraiamo 2 che
aggiungiamo al secondo numero della coppia. Perciò avremo.
0-8; 1-9: 2-10; 3-11; 4-12; 5-13; 6-14; 7-15; 8-16 e 9-17.
L’unico scambio che produce una coppia in cui il secondo numero è doppio del primo è la coppia
(8-16). Ma questa coppia deriva dalla coppia iniziale (10,14) dove il secondo numero indica proprio
le pecore possedute da Astuto.
Aprite bene gli occhi!!!
Devi contare tutti i quadrati raffigurati,
di qualunque dimensione. Quanti sono?
Soluzione Quesito 15: I quadrati sono 43.
16 quadrati piccoli (1x1) (fig. 1)
17 quadrati (2x2); (fig. 2-3-4)
4 quadrati medi (3x3); (fig. 5)
5 quadrati (4x4); (fig. 6)
1 quadrato grande (6x6). (fig. 7)
In tutto 43 = (16+17+4+5+1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Fig. 1: Quadrati 1x1 = 16
Fig. 2: Quadrati 2x2: 4 + 9 = 13
Fig. 3: Quadrati 2x2: = 2
Fig. 4: Quadrati 2x2:= 2
Fig. 5:Quadrati 3x3: 2x2 = 4
Fig. 6:Quadrati 4x4: 2x2+1=5
Fig. 7: Quadrati 6x6: = 1.
[Ma quanto costa …… ricoprire un tavolo !!!]
La figura a fianco mostra una delle sette banconote entrate in vigore dal 1°
gennaio 2002 in quelle nazioni europee che hanno aderito alla moneta comune.
Franco vuole ricoprire con banconote da 5.00 euro il piano rettangolare della sua
scrivania (dimensioni 120 cm x 62 cm).
Qual è il numero minimo di banconote da 5 € che gli permette di ricoprire tutto il
piano (evitando sovrapposizioni o zone scoperte)?
formato:120 mm x 62 mm
Soluzione Quesito 16: 100 banconote da 5.00 euro.
Prima soluzione:
Mettendo 10 banconote accostate in modo da far combaciare il lato più corto ricopriamo una parte
di tavolino della lunghezza di 120 cm (120 mm x 10 = 1200 mm = 120 cm) e larghezza 62 mm.
(nella figura: una striscia orizzontale).
Formando, in tutto dieci di queste strisce, avremo ricoperto tutto il tavolino. Infatti 62 mm x 10 =
= 620 mm = 62 cm. In tutto abbiamo adoperato10x10 cioè 100 banconote da 5.00 €.
Seconda soluzione:
Mettendo 10 banconote accostate in modo da far combaciare il lato più lungo ricopriamo una parte
di tavolino della lunghezza di 62 cm (62 mm x 10 = 620 mm = 62 cm) e larghezza 120 mm.
(nella figura: una striscia verticale).
Formando, in tutto dieci di queste strisce, avremo ricoperto tutto il tavolino. Infatti 120 mm x 10 =
= 1200 mm = 120 cm. In tutto abbiamo adoperato10x10 cioè 100 banconote da 5.00 €.
cm 62
120 cm

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