Fondamenti e didattica della matematica - Geometria

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Fondamenti e didattica della matematica Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze
della Formazione - Università Milano Bicocca a.a. 2007-2008
1 ottobre 2007
Marina Bertolini ([email protected])
Dipartimento di Matematica F.Enriques
Università degli Studi di Milano
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 1/?
Contenuti del corso
Geometria
Definizione e Proprietà delle figure geometriche
enti geometrici fondamentali
figure geometriche piane: alcune definizioni e
proprietà
Misura
cosa significa misurare una grandezza
aree di figure geometriche piane
Trasformazioni geometriche
isometrie e loro proprietà
similitudini e loro proprietà
Bibliografia
Alcuni testi consigliati:
M. Cazzola, Per non perdere la bussola, Ed.
Decibel-Zanichelli, 2001.
M. Dedo’, Trasformazioni geometriche, Ed.
Decibel-Zanichelli, 1996.
V. Villani, Cominciamo dal punto, Ed. Pitagora,
Bologna, 2006.
Ma spesso è difficile confinare la matematica in un solo
libro di testo. Potrà essere necessario rivedere concetti
che già possedete (magari con uno spirito critico
diverso), e in questo caso potranno venirvi incontro altri
testi che di volta in volta vi suggerirò.
Enti geometrici fondamentali
Punto
Retta
Piano
Le definizioni servono a chiarire il significato dei
termini che si usano in un determinato contesto, al
fine di evitare ambiguità e fraintendimenti.....Gli enti
fondamentali della geometria sono il punto, la retta,
il piano. Perchè i matematici non ne precisano il
significato mediante opportune definizioni?(V.Villani)
Quante rette passano per un punto fissato...?
Quante rette passano per due punti fissati...?(chiodi
e filo)
Postulato: Due punti distinti determinano una e una
sola retta passante per essi.
Quanti piani passano per un punto fissato...?
e per due punti fissati...? (porta e cardini)
e per tre punti fissati (non allineati)...? (tavolino a tre
gambe)
Postulato: Tre punti distinti e non allineati
determinano uno e un solo piano passante per essi.
Se una retta e un piano hanno due punti in
comune...?
Per quali altre superficie vale questa proprietà?
Quanti piani contengono una retta fissata...?
Quanti piani contengono una retta fissata e un punto
fuori di essa...?
Posizioni reciproche
Come si intersecano due rette in un piano?
Come si possono intersecano due rette nello
spazio?
...e un piano e una retta?
Come si possono intersecare due piani nello spazio?
Proprietà delle figure geometriche
Quando facciamo geometria concentriamo l’attenzione
su particolari proprietà delle figure. Spesso le proprietà
che andiamo a considerare importanti sono diverse a
seconda del contesto.
Consideriamo ad esempio la seguente figura
è un quadrato
il lato è lungo 5 quadretti
ha area 25
ha quattro lati
ha quattro angoli retti
Quali di queste proprietà
sono riconoscibili anche in
questa figura?
E quali in questa?
Definizioni
Spesso il primo passo da compiere è quello di dare delle
definizioni.
Proviamo a dare la definizione di quadrato:
Definizione – Chiamiamo quadrato un quadrilatero con
tutti i lati e tutti gli angoli uguali.
Vi sarete accorti che molti di voi avranno pensato a
qualcosa di diverso.
Non sempre c’è un solo modo per definire qualcosa. . .
può succedere che due definizioni apparentemente
diverse siano in realtà equivalenti.
Quadrati?
figura geometrica piana con 4 lati uguali
è una figura piana che è un quadrilatero con 4 lati
uguali e 4 angoli retti.
quadrilatero avente 4 lati uguali paralleli a 2 a 2, 4
angoli retti, 2 diagonali uguali
poligono regolare con 4 lati uguali
quadrilatero (poligono con 4 lati) regolare
figura geometrica con 4 lati uguali e diagonali uguali
Ancora sulle definizioni. . .
Diagonali
Proviamo a rispondere al seguente quesito:
Un quadrilatero ha . . . diagonali. Un pentagono ha
. . . diagonali. Un esagono ha . . . diagonali.
Un cubo ha . . . facce, . . . vertici, . . . spigoli e . . .
diagonali.
Una piramide a base esagonale ha . . . facce, . . .
vertici, . . . spigoli e . . . diagonali.
Per rispondere è fondamentale concordare su cosa si
voglia chiamare “diagonale”!
Diagonali
Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un
qualsiasi segmento che unisce due vertici non
consecutivi.
Un triangolo non ha diagonali.
Quadrilateri
Un quadrilatero ha due diagonali.
Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici
non consecutivi
Pentagoni
Un pentagono ha cinque diagonali
Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici
non consecutivi
Esagoni
Quante sono?
Un esagono ha
6·3
2
diagonali
Diagonali di un poligono
Se assumiamo come definizione di diagonale
consecutivi.
allora un poligono di n lati ha esattamente
n · ( n − 3)
2
diagonali.
Se diamo una definizione diversa (cioè non equivalente)
di diagonale, questa formula potrebbe perdere di
significato.
Diagonale ???
Consideriamo la seguente definizione
qualsiasi segmento che unisce due vertici.
In questo caso anche i lati devono essere
considerati diagonali e quindi un quadrato ha sei
diagonali e un poligono di n lati ha esattamente
n·(n−3)
2
+n =
n·(n−1)
2
diagonali.
Il caso tridimensionale
Vorremmo tradurre al caso tridimensionale la definizione
data nel caso bidimensionale
consecutivi.
traduciamo ‘poligono’ con ‘poliedro’
abbiamo però due modi diversi di tradurre
l’espressione ‘non consecutivi’
che non appartengono allo stesso lato
che non appartengono alla stessa faccia
Queste due possibilità danno origine a due definizioni
non equivalenti. . .
Diagonali del cubo
Giusto o sbagliato?
Abbiamo quindi due possibili definizioni non equivalenti di
diagonale in un poliedro
un qualsiasi segmento che unisce due vertici non
appartenenti alla stessa faccia
un qualsiasi segmento che unisce due vertici non
appartenenti allo stesso lato
Nessuna delle due definizioni è di per sé quella giusta o
quella sbagliata: ci sono contesti in cui ha senso
utilizzare l’una piuttosto che l’altra.
Per questo prima di porre la domanda “quante sono le
diagonali di un cubo?” occorre specificare qual è il
quadro di riferimento.
Quiz televisivi
Mi è capitato di sentire la seguente domanda
Qual è il numero massimo di angoli retti che
può avere un trapezio?
Questa è proprio una domanda a cui non si può dare
risposta se non si risolve l’ambiguità della definizione di
trapezio
un trapezio è un quadrilatero che ha almeno due lati
paralleli
un trapezio è un quadrilatero che ha due e solo due
lati paralleli
Di nuovo, queste definizioni non sono equivalenti e
entrambe sono da considerarsi giuste o sbagliate a
seconda del contesto.
Definizioni, Proprietà e Proprietà caratterizzanti
Quadrilateri
Chiamiamo quadrilatero un poligono (convesso)
con 4 lati.
Chiamiamo trapezio un quadrilatero avente due e
solamente due lati paralleli.
Chiamiamo trapezio isoscele un trapezio avente i
lati obliqui uguali.
Proprietà: In un trapezio isoscele le diagonali sono
uguali.
Avere le diagonali uguali è una proprietà
caratterizzante dei trapezi isosceli nell’insieme dei
quadrilateri? e nell’insieme dei trapezi?
Parallelogrammi
Chiamiamo parallelogramma un quadrilatero
avente i lati opposti paralleli.
Proprietà: In un parallelogramma i lati opposti sono
congruenti.
Proprietà: In un parallelogramma gli angoli opposti
sono congruenti.
Proprietà: In un parallelogramma le diagonali si
tagliano a metà.
Parallelogrammi
Le tre proprietà elencate sopra sono caratterizzanti
per i parallelogrammi nell’insieme dei quadrilateri.
Infatti vale che:
se un quadrilatero ha i lati opposti congruenti è
un parallelogramma
se un quadrilatero ha gli angoli opposti
congruenti è un parallelogramma
se un quadrilatero ha le diagonali che si tagliano
a metà è un parallelogramma
Quadrati
Proprietà 1: In un quadrato le diagonali sono uguali.
Proprietà 2: In un quadrato le diagonali sono
perpendicolari.
La proprietà 1 è caratterizzante per i quadrati?
No, vale per esempio anche per i rettangoli
La proprietà 2 è caratterizzante per i quadrati?
No, vale per esempio anche per i rombi
Se le considero entrambe contemporaneamente?
Si, infatti un se un parallelogramma ha le
diagonali perpendicolari e congruenti è un
quadrato
Misura
A cosa serve misurare?
Misurare una grandezza è un procedimento che
permette di associare alla grandezza un numero e quindi
di operare con le grandezze in modo preciso e rigoroso.
Come facciamo a misurare?
Il modo migliore per introdurre il concetto di misura è
proporre una attività pratica di misurare.
Immaginiamo di procedere alla misurazione di lunghezza
e larghezza della stanza in cui ci troviamo, utilizzando
vari campioni
un metro
un pezzo di corda
una sciarpa
un foglio di carta
...
Come facciamo a misurare?
Se vogliamo ad esempio misurare la lunghezza di questa
stanza, l’operazione di misura equivale a valutare il
rapporto tra la lunghezza che vogliamo misurare e la
lunghezza di un campione (quante volte il campione sta
nella stanza).
Questo procedimento è quello che si effettua sempre
quando si deve misurare una grandezza.
Se il campione non è contenuto un numero intero di volte
(avanza un pezzettino), suddividiamo il campione in parti
uguali più piccole e procediamo con questo nuovo
campione. Procediamo alla stessa maniera, fino a che
non otteniamo un campione contenuto un numero intero
di volte.
Ma è sempre possibile?
Questa procedura ha un termine?
Piano pratico/concreto
Il procedimento ha sempre termine nella pratica
perché quando la misurazione ha una
approssimazione sufficiente ci si ferma;
perché lo strumento di misura non ci permettere di
suddividere ulteriormente il campione.
Piano teorico/astratto
Dal punto di vista teorico
il procedimento ha termine se e solo se la
grandezza da misurare e il campione hanno un
sottomultiplo comune;
per esempio se:
G = 3u
oppure anche se:
u
3
G = 3( ) = ( ) u
5
5
in altre parole, il procedimento ha termine se e solo
se la misura è espressa da un numero razionale.
Piano teorico/astratto
Nel caso in cui il procedimento abbia termine, le due
grandezze (cioè la grandezza da misurare e il campione)
sono dette commensurabili.
ATTENZIONE: esistono coppie di grandezze per cui il
procedimento non ha termine, ad esempio
il lato e la diagonale del quadrato sono grandezze
incommensurabili.
Diagonale del quadrato
Notiamo che l’espressione incommensurabili non
significa affatto che non si può misurare o non si può
determinare
con il compasso
disegniamo il
riportiamo la
1 quadrato con lato
3 lunghezza della
di lunghezza 1
diagonale sulla
retta
2
la diagonale ha
√
lunghezza 2
0
√
1
2
Approssimazioni di numeri reali
I numeri razionali sono densi nei numeri reali. Questo
significa che ogni numero reale può essere approssimato
in maniera efficiente da un numero razionale.
Questo giustifica il fatto che quando effettuiamo una
misurazione possiamo essere sicuri che, anche se la
procedura non dovesse aver termine, raggiungiamo
comunque un livello in cui l’approssimazione è adeguata.
√
Vediamo proprio il caso di 2. Consideriamo una
approssimazione
con due cifre decimali: il numero reale
√
2 è compreso tra i numeri
√ razionali 1, 41 e 1, 42, quindi
il punto corrispondente a 2 sarà uno dei punti compresi
tra il punto corrispondente a 1, 41 e il punto
corrispondente a 1, 42.
Approssimazioni di numeri reali
Se effettuiamo un disegno molto ingrandito, siamo in
grado di percepire la differenza tra 1, 41 e 1, 42 e quindi
l’approssimazione a due cifre non è sufficiente a √
permetterci di individuare
√ il punto corrispondente a 2
2
1, 41
1, 42
2
1
Se il disegno è di dimensioni “normali” non siamo più in
grado
√ di percepire la differenza
1, 41 2 1, 42
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Qui l’approssimazione
a
una
cifra
è
più
che
sufficiente
e
√
possiamo assumere 2 = 1, 4.
Misurazioni
Ma come possiamo valutare
l’approssimazione della misurazione?
Qual è un margine di errore “accettabile”?
Il margine di errore è principalmente determinato
dallo strumento utilizzato.
Ad esempio se misuriamo il foglio di carta A4 con un
righello, possiamo ottenere una misura “a meno di
un millimetro”
La nostra misurazione del foglio A4 sarà perciò
21, 0 ± 0, 1 cm di larghezza e 29, 7 ± 0, 1 cm di
altezza
Misurazioni
In altre parole, scrivendo che la larghezza è
21, 0 ± 0, 1 cm
intendiamo che la misura “esatta” è un valore compreso
tra 20, 9 cm e 21, 1 cm
È anche possibile valutare l’errore percentuale, cioè
confrontare l’errore nella misurazione con la grandezza
che si vuole misurare.
0, 1
21
Un errore dello 0, 5% è intrinseco nella misurazione che
stiamo effettuando.
Misurazioni
Se passiamo a considerare le aree, l’errore riportato
nelle misurazioni lineari si ripercuote sull’area
Si ha infatti
la misura della larghezza è un valore compreso tra
20, 9 cm e 21, 1 cm
la misura dell’altezza è un valore compreso tra
29, 6 cm e 29, 8 cm
Applicando la formula dell’area del rettangolo si ha
la misura dell’area è un valore compreso tra
20, 9 × 29, 6 = 618, 64 cm2 e
21, 1 × 29, 8 = 628, 78 cm2
con un margine di errore di 10, 14 cm2
(ovvero ±5, 07 cm2 ).
Misurazioni
Un errore di ±0, 1 cm nella misurazione delle lunghezze
ci porta un errore di ±5 cm2 nella misurazione dell’area
Una volta valutato l’errore della misurazione ci rendiamo
conto che la misura dell’area è 623 ± 5 cm2 .
quindi non avrebbe senso esprimere l’area del foglio A4
con questi numeri:
623, 403
623, 7
619, 5
Infatti la parte decimale è del tutto irrilevante.

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