Dall`analisi del testo alla ricerca di una soluzione

A
PROBLEMI E MATEMATICA B
ATTRIBUIRE UN SIGNIFICATO A RAPPRESENTAZIONI MATEMATICHE DATE Le nozioni matematiche di base vanno fondate e costruite partendo da si‐
tuazioni problematiche concrete che scaturiscono da esperienze reali del fanciullo PROBLEMI E MATEMATICA
Si apprende meglio attraverso la soluzione di problemi
(problem solving):
invece di iniziare la trattazione di un argomento con una
serie di definizioni, di teoremi e di corollari, si parte da
problemi la cui matematizzazione e risoluzione porta
alla scoperta di un concetto
o allo sviluppo di una teoria
l'itinerario didattico per la soluzione dei problemi matematici dovrebbe articolarsi in tre momenti fondamentali: presa di coscienza del problema ↓
scoperta della soluzione ↓
verifica
APPROCCIO AL PROBLEMA
5. VERIFICA E
INTERPRETAZIONE RISULTATI
1.CORRETTA COMPRENSIONE DEL TESTO
4.TROVARE LA SOLUZIONE
DEL PROBLEMA
2. RICERCA IPOTESI DI
RISOLUZIONE
3. PASSAGGIO DAL
LINGUAGGIO VERBALE
AL LINGUAGGIO MATEMATICO PRIMA DIFFICOLTA’‐PRIMO OBIETTIVO:
CORRETTA COMPRENSIONE TESTO
La forma in cui viene presentato il problema è uno dei fattori di riuscita o di insuccesso dell'alunno ... Le parole adoperate correntemente dai maestri. .. non sono sempre capite in modo perfetto da tutti gli alunni. .. Il ragazzo non possiede sempre bene il vocabolario che noi usiamo!
Non sempre gli alunni riescono a decodificare l'enunciato ed a ricostruire l'effettiva situazione problematica, la cui mancata soluzione è perciò spesso da addebitare unicamente a incomprensione dei termini linguistici utilizzati, e non invece ad incapacità logica. SECONDA DIFFICOLTA’‐SECONDO OBIETTIVO:
FORMULARE UNA IPOTESI DI RISOLUZIONE
la soluzione di un problema consiste sempre nell'esplicitare il contenuto dell'enunciato: la soluzione non aggiunge nulla a quanto era in esso già contenuto.
L'alunno deve chiedersi
"che cosa si vuole effettivamente?",
"che cosa significa la domanda?". D'altra parte, però, risulta anche importante analizzare i dati per individuare le possibili operazioni che con essi possono essere effettuate e poi scegliere quella ritenuta valida. Analisi enunciato
Formulazione ipotesi
L'analisi dell'obiettivo deve infatti essere svolta tenendo in certa misura conto del materiale a disposizione; d'altra parte, anche l'analisi del materiale può venir compiuta in modo produttivo solo se viene condotta in vista dell'obiettivo
Strategie di risoluzione
Per tentativi ed errori
meccanicamente
Per associazione,
Stimolo ‐ risposta
Per intuizione
scoperta della soluzione in base ad una comprensione della situazione problematica realizzata soprattutto attraverso una ristrutturazione della stessa TERZA DIFFICOLTA’‐TERZO OBIETTIVO:
dal linguaggio verbale al linguaggio matematico
TRADURRE IL LINGUAGGIO VERBALE IN LINGUAGGIO MATEMATICO, SCEGLIENDO MODELLI MATEMATICI ADEGUATI (NUMERI, OPERAZIONI, SIMBOLI, FIGURE GEOME‐TRICHE ... ) l . Azione reale 2. Azione virtuale 3. Rappresentazione iconica 4.Rappresentazione simbolica Gli alunni debbono essere educati a "vedere" tutte le possibili ipotesi risolutive. La formulazione di una pluralità di ipotesi ha significato, sia perché quasi sempre i problemi hanno diverse soluzioni
─anche in matematica non esistono vie obbligate! ─,
sia per evitare di far acquisire esclusivamente modalità uniformi, standardizzate, convergenti di pensiero, le quali si configurano
più come apprendimenti meccanici che come stimolo ed attivazione del pensiero ai fini dello sviluppo. QUARTA DIFFICOLTA’‐QUARTO OBIETTIVO:
TROVARE LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA
Una volta messo a punto l'algoritmo, si passa alla sua esecuzione.
Quest'attivita’, alla quale qualche volta viene attribuita eccessiva importanza, costituisce invece un aspetto non fondamentale della risoluzione dei problemi A meno che non sia espressamente previsto,
la risoluzione dei problemi non costituisce un'attività
finalizzata all'acquisizione degli automatismi di calcolo.
Anche in tale prospettiva è perciò opportuno che i dati numerici dei problemi non siano complicati, in modo che gli alunni possano operare con essi a livello mentale QUINTA DIFFICOLTA’‐QUINTO OBIETTIVO:
VERIFICARE E INTERPRETARE CORRETTAMENTE I RISULTATI La verifica si concretizza nell'accertare se i risultati sono pertinenti al quesito, compatibili con esso, esatti.
«Interpretare correttamente i risultati»
significa però anche accertare se essi hanno un significato accettabile.
L'interpretazione dei risultati di un problema costituisce un'operazione impegnativa che valorizza le capacità logiche degli alunni, ma anche il loro buon senso, la loro capacità di interpretare realisticamente le situazioni. ESEMPIO
L’ASINO DI TOBIA
Tobia è andato in paese ed ha acquistato 6 sacchi di provviste. Li vuole
trasportare con il suo asino fino alla sua casa sulla cima del monte.
Ecco i sacchi di provviste sui quali è indicato il loro peso in chili.
10
7
12
5
6
16
Tobia vuole sistemare tutti i sacchi nelle due ceste poste sul dorso dell’asino in
modo che le due ceste abbiano lo stesso peso.
Come può fare Tobia?
Descrivete tutti i modi in cui Tobia può sistemare i sacchi nelle ceste e
spiegate come li avete trovati.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-Aritmetica: operazioni; scomposizione di un numero come somma
Analisi del compito
- Comprendere l’enunciato al fine di poterlo matematizzare.
- Rendersi conto che, se le due ceste devono avere lo stesso peso, il peso
di ciascuna di esse deve essere la metà di quello totale, cioè
(10+7+12+5+6+16): 2 = 28 in kg.
- Cercare di ottenere 28 utilizzando i numeri a disposizione, dopo avere
eventualmente notato che i due numeri dispari (7 e 5) devono quindi
essere insieme.
- Scoprire così che ci sono due modi di distribuire i sacchi nelle ceste,
corrispondenti alle seguenti uguaglianze numeriche: 16+7+5=10+6+12 e
12+16=10+7+5+6 (Per trovare il secondo modo di distribuire i sacchi,
bisogna liberarsi della consegna immaginaria “3 sacchi in ciascuna cesta”
e pensare che i sacchi possano essere ripartiti in numero diverso (4 e 2)
senza influire sul peso delle ceste).
Oppure: procedere per tentativi cercando ogni volta di formare con i
numeri dati due addizioni che diano lo stesso risultato.
Piantina del frutteto di Nonna Papera
con la posizione dei recinti di lunedì e martedì
lunedi
martedi
Aiutate Nonna Papera e disegnate un recinto per mercoledì ed un altro per
giovedì, via via più grandi, per dare ogni giorno più erba ad Ortensia.
Ma attenzione, dovete ogni volta collegare tra loro 8 alberi, utilizzando sempre
gli stessi 8 pali.
Spiegate perché il vostro recinto di mercoledì è più grande di quello di martedì e
il vostro recinto di giovedì è più grande di quello di mercoledì.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: proprietà di figure chiuse, confronto di lunghezze
- Misura: ricerca di un’unità comune per l’area
Analisi del compito
- Interpretare la piantina del frutteto ed individuarvi gli alberi, i pali e i diversi
recinti.
-Osservare i perimetri dei recinti e riconoscere che ci sono due tipi di pali, quelli la
cui lunghezza corrisponde ad un lato di un «quadretto» o a una sua diagonale.
Constatare che ciascun perimetro è composto da quattro pali di ciascuno dei due
tipi.
-Comprendere che le espressioni «quello che c’è da mangiare» nel recinto, o «più
grande», si riferiscono all’area del recinto il cui perimetro è sempre lo stesso e la
cui forma non sembra debba essere presa in considerazione. Cercare allora di
confrontare le aree per verificare che tale grandezza è aumentata e cercare di
trovarne una più grande.
•Trovare che le aree dei recinti possono essere espresse in «quadrati» e/o in
«triangoli» (metà dei quadrati). Per esempio, l’area del recinto del lunedì vale
2 quadrati interi e 4 triangoli, quella del recinto del martedì vale 3 quadrati
interi e 4 triangoli.
•Cercare una disposizione dei pali che dia un’area più grande (4 quadrati e 4
triangoli, poi 5 quadrati e 4 triangoli) tenendo conto delle tre condizioni:
aumento dell’area da martedì a mercoledì (scoperta di una delle forme A,
B, C, D)
aumento dell’area da mercoledì a giovedì
rispetto delle lunghezze dei pali (4 «lati», 4 «diagonali»)
Alcune soluzioni per il mercoledì (A, B, C, D) e la soluzione per il giovedì
(E).
C
A
E
D
B
Fornire una spiegazione che mostri che c’è un conteggio dei quadrati o dei triangoli o del
numero dei punti interni
A
PROBLEMI E MATEMATICA B
ATTRIBUIRE UN SIGNIFICATO A RAPPRESENTAZIONI MATEMATICHE DATE DAL LINGUAGGIO MATEMATICO AL LINGUAGGIO VERBALE A
PROBLEMI E MATEMATICA B
ATTRIBUIRE UN SIGNIFICATO A RAPPRESENTAZIONI MATEMATICHE DATE DAL LINGUAGGIO MATEMATICO AL LINGUAGGIO VERBALE La telefonata: Marco detta per telefono ad Antonella l’esercizio che il professore di matematica ha dato in classe Disegna una tabella di 25 caselle, con 5 caselle in orizzontale e 5 caselle in verticale; la prima casella in alto è vuota.
I dati in entrata delle righe sono i disegni di: un pezzo di formaggio, un bambino, una tazza, una matita.
I dati in entrata delle colonne sono: una palla, un piattino, un topo e un righello. Colora le caselle che corrispondono alle coppie:
Bambino – palla, tazza‐piattino,
Matita‐righello, formaggio‐topo
La telefonata: Marco detta per telefono ad Antonella l’esercizio che il professore di matematica ha dato in classe D
C
E
AB = 2 CD – 10 = 40 m
CD = DE
AE = CD – 16 m
BC = AE + 2 m
pABCDE?
A
B