Il problema del corpo nero: entrare nel merito per capire

Il problema del corpo nero: entrare nel merito per capire
G.L. Michelutti
IRRAGGIAMENTO
1.
L’irraggiamento è la trasmissione di energia termica per opera delle onde elettromagnetiche.
2.
Quando una carica q subisce un’accelerazione a, essa irraggia onde elettromagnetiche. La
potenza irraggiata vale
P
3.
2 q2
a2
3
3 4 0c
A temperatura ambiente, la radiazione emessa dai corpi che ci circondano appartiene alla
regione infrarossa dello spettro che l’occhio umano non è capace di rilevare.
4.
Si può misurare l’energia emessa sotto forma di radiazione termica? Quale legge governa il
fenomeno?
5.
Le risposte conclusive, al punti precedente, dono l’inizio della FISICA QUANTISTICA.
Suggerimenti per ulteriori letture:
Sexl, Raab, Streeruwitz, Fisica 3 (Cap. III), Zanichelli
Zanetti V., La fisica attorno a noi (Cap. 5), Zanichelli
Çengel Y.A., Termodinamica e trasmissione del calore (Cap. 14), Mc Graw-Hill
Nolan P.J., Fondamenti di fisica (Cap. 16), Zanichelli
Bon M., Fisica atomica, Boringhieri
Kuhn T.S., Alle origini della fisica contemporanea, Il Mulino
Potere emissivo di un corpo
1.
Il potere emissivo monocromatico di un corpo è dato dalla formula
Eλ (T) = ελ (T) Enλ (T) ,
(Wm-2 μm-1)
(S.1)
con
0 ≤ ελ (T) ≤ 1
(emissività monocromatica)
e
En (T ) C1
2.
1
5
1
(Wm
C2

1
T
2
m 1)
(S.2)
Il potere emissivo totale si può esprimere nella formula
E (T) = ε (T) σβ T4
(Wm-2)
(S.3)
con
0 ≤ ελ (T) ≤ 1
3.
Un corpo con
(emissività media)
ελ (T) = 1, oppure ε (T) = 1, è un emittore perfetto ed è noto come CORPO
NERO
4.
Dato che (nell’irraggiamento) l’energia viene trasmessa tra i vari corpi, è evidente che i corpi
oltre a emettere devono anche assorbire energia.
Il corpo nero assorbe tutta l’energia che incide su di esso. Un corpo nero è quindi un assorbitore
e un emittore perfetto.
Una scatola con un forellino si comporta come un corpo nero.
Le pareti della scatola assorbono “tutta” la radiazione che penetra dal forellino.
Emette la radiazione prodotta dalle pareti all’interno.
La radiazione emessa si chiama radiazione nera (o di corpo nero) o di cavità.
Potere emissivo di un corpo nero
1.
Il potere emissivo monocromatico (o spettrale) del corpo nero è dato dalla formula di Planck:
E n (T )
C1
1
5
1
C
 2 1
T
con
a) T = temperatura assoluta (k);
b) λ = lunghezza d’onda della radiazione emessa (μm):
c) C1 = 2πћC2 = 3,742
d)
C2
C
kB
1,439
Wμm4 m-2 ;
μmk;
(Wm-2 μm-1)
(C.1)
2.
e) KB = 1,380
10-23 Јk-1 (costante di Boltzmann);
f) ћ = 6,625
10-34 Јs (costante di Planck);
g) C = 2,998
108 ms-1 (velocità della luce nel vuoto).
Si osservi che Enλ(T) fornisce la potenza radiante emessa dal corpo nero alla temperatura
assoluta T per unità di area superficiale e per unità di lunghezza d’onda, nell’intorno della
lunghezza d’onda χ.
3.
Inoltre Enλ(T) Δλ (Wm-2) fornisce la potenza emessa dal c.n. alla temperatura assoluta T, per
unità di area superficiale, nell’intervallo di lunghezza d’onda da λ a λ + Δλ.
4.
Ricordando che
C = λν
e quindi
C
C
2
2
con Δν >0,
si ha, da (C.1),
E n (T )
2
C2
1
3
(C.2)
 k bT 1
Che fornisce la presenza emessa dal c.n., alla temperatura assoluta T, per unità di area
superficiale, nell’intervallo di frequenza da ν a ν + Δν.
5.
Il potere emissivo del corpo nero è dato da
E (T )
E (T )d
-8 n
-2 -4 n
Con σB = 5.67 10 Wm k 0.
h
BT
(Wm-2)
La formula
En(T) = σBT4
(C.3)
è nota come la Legge di Stefan-Boltzmann.
6.
Il potere emissivo monocromatico ha un massimo in corrispondenza di λ = λmax e si ha
-3
λmax T ~
= 2,9 10 mk
(C.4)
che rappresenta la Legge dello spostamento di Wien.
Si osservi che per
T = 300 k λm = 970nm (infrarosso)
T = 6000 k λm = 480nm (visibile)
7.
La formula di Rayleigh-Jeans
Si osservi che
x
1
1
x
x→0
e quindi
x
Allora

x

k BT
1

k BT
per
x <<1
per

k BT
1
di conseguenza, dalla formula di Panck (C.2) si assume
E n (T )
2
k BT
C2
2
(C.5)
(catastrofe ultravioletta)
8.
Considerando
per x>>1
x 1 x
nella (C.2) si può porre

k BT

k BT

per frequenze molto elevate, cioè per
k BT
Si ottiene

1
En (T )
3
>>1
2 
C2
1


kB T
(C.6)
Noto come equazione di W.Wien (ottenuta nel 1893-94)
La formula di Planck
1.
Nel 1899 Max Planck stabilì la seguente relazione
8 2
U
C3
u (T )
(P.1)
che lega le grandezze
a) uν(T), densità spettrale, media, di energia (del corpo nero) alla temperatura di equilibrio T;
b) U(ν,T), energia media di un oscillatore (midimensionale) in equilibrio con la radiazione nera.
2.
Alla fine del 1900 (14 Dicembre) Planck riuscì a determinare l’espressione analitica di U(ν,T):
U(

,T )

3.
(P.2)
1
Combinando (P.1) e (P.2) Planck trovò la legge che porta il suo nome
u (T )
4.

k BT
8 2
C3

(P.3)

k BT

1
Sapendo che il legame fra densità spettrale e potere emissivo è dato da
1
Cu (T )
4
En (T )
Dalla (P.3) si ottiene
(P.4)
2 2 
En (T )
C 2 k T
 B 1
Interpretazione quantistica della formula di Planck
1.
Prendendo
E n (T )
si può affermare che

2 2
C2
(Wm-2)
1


k BT
(P.5)

1
a) Ћν è l’energia associata a un singolo fotone;
b) ΔΝν è il numero medio di fotoni emessi dal c.n., per unità di area superficiale e per unità di
tempo, nell’intervallo di frequenze fra ν e ν + Δν.
Il modello statistico di Planck
Supponiamo di avere un certo numero G di oscillatori, g1 dei quali oscillano con frequenza ν1, g2 con
frequenza ν2, …, gr con frequenza νr, …, gs con frequenza νs, fra
G = g1 + g2 + … + gr + … + gs
(i gr sono interi).
Supponiamo, inoltre, di voler distribuire agli oscillatori g1 l’energia n1ε1, agli oscillatori g2 l’energia
n2ε2, …, agli oscillatori gr l’energia nrεr, agli oscillatori gs l’energia nsεs, in modo tale che
E = n1ε1 + n2ε2 +…+nrεr + nsεs
(gli nr sono interi).
In quanti modi è possibile realizzare una distribuzione di energia?
Il numero di modi (totale) sarà dato dal numero di modi w1 in cui n1 “pezzi” di energia ε1 si possono
distribuire fra g1 oscillatori, moltiplicato il numero di modi w2 in cui n2 “pezzi” di energia ε2 si
possono distribuire fra g2 oscillatori
es così
s
(nr via,
g r 1)!
wr
r 1 n !( g
W = w1·w2·…·wr·…·ws= r 1
1)!
r
r
rispettando il vincolo
s
E
nr
r
r 1
La distribuzione ottenuta con il numero massimo di modi è quella che caratterizza gli oscillatori in
equilibrio termico alla temperatura T. Per questa distribuzione si ha
gr
nr

dove
1
r
1
k BT
Si può interpretare nr come il numero medio di “pezzi” di energia posseduti dai gr oscillatori
all’equilibrio termico. Ne segue che l’energia media posseduta dai gr oscillatori è
nr
gr
r
r
/ k BT

1
mentre l’energia media di un singolo oscillatore è data da
r
nr
gr
r
r
r
r
 k BT
Ricordando la notazione (P.1) possiamo porre
Ur
r
r
 k BT
1
1
(P.6)
che esprime l’energia media di un oscillatore di frequenza data νr.