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L’IRRAZIONALITÀ DELLA √2: ASPETTI DIDATTICI.
B.PAOLILLO
L’irrazionalità della √ : aspetti didattici.
Bonaventura Paolillo
Liceo Scientifico F.Severi (Salerno)
1. Introduzione.
In questo lavoro si presenta una riflessione sul concetto di
irrazionalità e in particolar modo della radice di due. Nelle ultime
indicazioni ministeriali previste per i Licei Scientifici si legge tra
gli obiettivi specifici di apprendimento (OSA) quanto segue: La
dimostrazione dell’irrazionalità di2 e di altri numeri sarà
un’importante occasione di approfondimento concettuale. Lo studio
dei numeri irrazionali e delle espressioni in cui essi compaiono
fornirà un esempio significativo di applicazione del calcolo
algebrico
e
un’occasione
per
affrontare
il
tema
dell’approssimazione. E’ noto agli allievi, già nel triennio della
scuola media inferiore, lo sviluppo dei primi decimali della 2,
ovvero 1,4142…Ben presto, nel corso degli studi successivi, essi
familiarizzano con la conoscenza dei radicali e delle relative
proprietà. Un’analisi più attenta consente però di cogliere una vera
distanza, sul piano cognitivo, della comprensione del concetto di
irrazionalità, che si rivela arduo se non sfuggente. Non di rado, tale
difficoltà si riscontra anche posteriormente all’acquisizione dei
contenuti della teoria dei radicali. Sembra, inoltre, che manchi una
significativa ed efficace consapevolezza del profondo mutamento
storico che l’irrazionalità ha costituito nella storia della Matematica
e in particolare della Matematica greca. Come è noto i pitagorici
2500 anni fa nell’applicare il Teorema di Pitagora si accorsero che
in un quadrato di lato unitario la diagonale d deve soddisfare d2=2.
Questo risultato conduceva a conseguenze tanto imprevedibili
quanto rivoluzionarie. Infatti fu relativamente facile provare che
non può esistere un valore frazionario per d il cui quadrato fosse 2.
L’impatto fu così drammatico, come narra la leggenda, che l’autore
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di tale scoperta, Ippaso di Metaponto, venne eliminato fisicamente
dalla Scuola Pitagorica. (Per un approfondimento storico si consulti
il testo M.Kline: Storia del pensiero matematico.Vol.1:
Dall'Antichità al Settecento). Appare prioritario, allora, porre
l’accento nella prassi didattica, sulla questione originaria: Da dove
emerge l’irrazionalità della radice di due? Quali sono le cause o le
esigenze che hanno portato a far emergere tale concetto di così
grande rilievo storico? Questo lavoro si ispira alla realizzazione di
attività laboratoriali di Matematica, tenutesi all’interno di un
percorso progettuale svolto nell’anno scolastico 2011-2012. Il
progetto dal nome Matematica Alternativa è stato effettuato nelle
classi del biennio del Liceo Scientifico”F. Severi” ed è stato
coordinato dal sottoscritto e dalla prof.ssa Ida De Santis. Tra gli
obiettivi la riscoperta e la rielaborazione di risultati di particolare
interesse matematico e il consolidamento di alcuni concetti e
tecniche, che per vari motivi non riescono a essere trattati nelle
normali ore curricolari. Ad esempio sono state approfondite alcune
questioni come l’infinito di Cantor, la struttura di gruppo, la sezione
aurea, ecc. In questo articolo, si presenta inizialmente un approccio
intuitivo sull’irrazionalità della 2, poi si fornisce una rassegna di
diverse dimostrazioni di tale irrazionalità, classificandole per tipi.
Evidentemente quest’ultima non vuole essere esaustiva quanto
offrire un ventaglio variegato ai diversi approcci: aritmetico,
algebrico, geometrico. Successivamente si presenta un modello
reale elaborato in classe, che coinvolge lo stesso numero pitagorico,
attraverso il piegamento di un foglio di carta e l’uso delle forbici.
Primo approccio all’irrazionalità: un piccolo test.
La seguente attività di problem-solving può essere svolta come
propedeutica allo studio dei radicali ed ha lo scopo di sondare il
campo delle competenze dell’allievo riguardo ai concetti di numero
intero e di frazione e della relativa operabilità. Tale attività prova a
ripercorrere, le circostanze che hanno condotto alla nascita della 2,
calando l’allievo (il soggetto) nella stessa situazione di imbarazzo
pitagorico vissuta 25 secoli prima all’interno della Scuola di
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Crotone. Risulta evidente, da tale tipo di attività didattica, la
naturale riflessione che può emergere sul piano storicoepistemologico. La definizione stessa del concetto di numero reale
richiede infatti una necessaria esigenza introduttiva sul significato
profondo di irrazionalità. Si è partiti introducendo il seguente
classico problema e chiedendo di precisarne la soluzione numerica.
In un triangolo rettangolo isoscele di lato unitario determinare la
misura della diagonale d. Trovarne il numero decimale preciso e
la corrispondente frazione generatrice.
Una semplice osservazione numerica mostra che considerando un
eventuale risultato della diagonale d, per esempio il numero finito
d=1,41, l’ultima cifra decimale del quadrato (1,41)2 sarebbe 1.
Analogamente l’eventuale risultato d=1,414 determinerebbe il
valore d2=(1,414)2 che terminerebbe con cifra decimale 6 e così via
per altri eventuali candidati di d. Qualche conto è già sufficiente per
convincere l’allievo che un’eventuale soluzione per d deve portare
ad avere necessariamente la cifra decimale finale pari a 0. Iterando
similmente tale tecnica anche sulla penultima cifra decimale si
arriva a concludere che anche essa deve valere 0. Ripetendo tale
processo si arriva all’inevitabile valore di d=1,000…0 che
evidentemente si scarta. Il responso alla domanda iniziale dà quindi
una risposta negativa all’esistenza del valore d. Tale risposta è
tuttavia parziale, infatti cosa potremo dire in generale di fronte alla
seguente obiezione di un allievo zelante. Può esserci una soluzione
al problema in cui d è un numero decimale illimitato periodico?
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Non affronteremo tale risposta percorrendo la scia precedente,
anche se il lettore interessato potrebbe trovarla in [6], in cui viene
affrontato tale approccio numerico mediante l’utilizzo di serie
geometriche. Il nostro intento è di natura prettamente pedagogica,
ovvero quello di provare a far scendere in campo l’allievo con i
propri mezzi, i propri algoritmi concettuali e mentali, e scontrarsi
con la ricerca dei limiti e dell’impossibilità di una soluzione. Gli
allievi dovrebbero potersi chiedere gradualmente: Quanto sono utili
gli interi e i numeri con sviluppo decimale finito o periodico? Che
cosa intendere per dei segmenti che hanno misure non
corrispondenti a tali numeri? Nasce allora l’esigenza di provare in
modo rigoroso l’irrazionalità di √ . Riportiamo inizialmente quelle
di tipo aritmetico.
Dimostrazioni di irrazionalità di tipo aritmetico.
Proposizione (Euclide, Libro X). Non esiste nessuna frazione (a/b),
tale che (a/b)2=2. Se per assurdo esistesse una frazione a/b, con a,b
coprimi, allora equivalentemente si avrebbe: a2/b2 = 2 e a2 = 2 b2.
Allora a2 sarebbe pari, così come a. Ponendo a=2k, con k intero si
otterrebbe 4k2 = 2b2, cioè 2k2 = b2. Quindi b2 sarebbe pari così come
b. Da qui l’assurdo, poiché a,b sono coprimi.
Alcune prove di irrazionalità si basano sul Teorema fondamentale
dell’Aritmetica, come la seguente. Si suppone per assurdo che sia
a2=2b2 con a=2mk e b=2nh, (m.n0,k,h1) le relative scomposizioni
in fattori primi. Si ha pertanto a2=22mk2 e 2b2=22n+1h2 e quest’ultima
contraddice l’unicità della fattorizzazione di un numero, in quanto il
fattore 2 in a2=2b2 si presenta un numero pari e dispari di volte. Da
qui la tesi.
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Un altro approccio di tipo aritmetico (e algoritmico) è basato su
un’applicazione di aritmetica modulare. Si operi in base 10, usando
il simbolo  per la congruenza e si supponga che sia verificata
a2=2b2(a,b coprimi). Comunque scelto il numero naturale b il
numero quadrato b2 termina solo con cifra 0,1,4,5,6,9 (ovvero b2 
0,1,4,5,6,9). Allora l’ultima cifra di 2b2 termina solo con 0,2,8
(ovvero 2b2  0,2,8). Inoltre 2b2 è il numero quadrato a2 e per
quanto detto può terminare solo con 0. Quindi a0 e b  0,5. In
ogni caso a,b sarebbero multipli di 5 e questo è assurdo. Si veda per
altre basi anche [3],[4].
Dimostrazioni di irrazionalità di tipo algebrico.
Le seguenti radici √ , √
sono numeri razionali o
√
irrazionali? E’ noto il seguente risultato in letteratura, in cui si
afferma che se N non è un quadrato perfetto, allora √ non è una
frazione, ovvero è un numero irrazionale. Un risultato analogo vale
poi per radici √ con indici qualsiasi. Se N non è una potenza kesima perfetta, allora la radice √ non è una frazione, ovvero è
un numero irrazionale. Per dimostrare tali fatti, allora, si possono
rivelare utili degli strumenti didattici utilizzati sovente per altri
obiettivi, come il Criterio (detto di Gauss) sulla ricerca degli zeri di
polinomi. Esso afferma:Gli eventuali zeri razionali di un polinomio
P(x) si ottengono come frazioni a/b con a divisore del termine noto
e b divisore del coefficiente di grado massimo (a,b coprimi).
Applicando tale criterio si ottiene subito per
l’irrazionalità di √ . Tale tecnica elementare, usata esclusivamente
per la scomposizione e risoluzione di equazioni algebriche
meriterebbe, forse maggiore attenzione, nel provare l’irrazionalità
di altri numeri irrazionali notevoli, come ad esempio lo stesso
numero aureo. Inoltre il criterio permette di provare anche
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dall’equazione
irrazionale.
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, con k2 che √
è un numero
Dimostrazioni di irrazionalità di tipo aritmetico-algebrico.
La seguente tecnica è una proficua combinazione di proprietà
numeriche e algebriche. E’ noto che partendo da due interi positivi
a,b coprimi e utilizzando l’algoritmo euclideo delle divisioni
successive si perviene all’esistenza di due interi relativi x, y tali che
sia verificata ax+by=1. Questa è conosciuta come Identità di Bezout
e può essere utilizzata per provare l’irrazionalità di radici. Infatti,
per esempio se fosse √
con a,b, coprimi e con b>1(non è
restrittivo) allora da ax+by=1 ed elevando al quadrato
(ax  by) 2  1  a 2 x 2  2axby  b 2 y 2  1  2b 2 x 2  2abxy  b 2 y 2  1  b(2bx 2  2axy  by 2 )  1
L’ultima relazione porta ad una palese contraddizione poiché si
presenta un prodotto tra due interi uguale ad 1 con un fattore b>1.
L’estensione è immediata per il caso dell’irrazionalità di √ , se
non è un quadrato perfetto. Infatti se fosse √
, con a,b,coprimi
b>1 si avrebbe similmente
(ax  by) 2  1  a 2 x 2  2axby  b 2 y 2  1  Nb2 x 2  2abxy  b 2 y 2  1  b( Nbx2  2axy  by 2 )  1
con conclusione identica alla precedente. In generale per provare
l’irrazionalità di radici con indici qualsiasi √ , l’eventuale
condizione di razionalità porterebbe all’esistenza di interi a,b
(coprimi e con b>1) con a k  Nbk . Sviluppando il binomio
k 
k 
(ax  by) k  1  a k x k   a k 1 x k 1by   a k 2 x k 2b 2 y 2  ... b k y k  1
1
 2
sostituendo il termine a k  Nbk nel primo addendo e raccogliendo b
si conclude come nei casi precedenti. Il matematico Leon Bernstein
ha applicato tale tecnica per provare l’irrazionalità di √ [3].
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L’estensione al caso generale, qui esposto, non sembra comparire in
letteratura.
Dimostrazioni di irrazionalità di tipo geometrico.
In [1] Tom Apostol ha fornito la seguente prova geometrica
dell’irrazionalità della 2. Se tale valore è razionale, allora si può
considerare un triangolo rettangolo isoscele, con la proprietà di
avere i lati interi. Inoltre, siano a e b le lunghezze del cateto e
dell’ipotenusa del triangolo più piccolo con tale proprietà. Si prova,
allora, che è sempre possibile all’interno di questo triangolo
costruire un altro triangolo rettangolo isoscele con lati ancora interi.
C
a
F
b
D
G
E
La costruzione segue nel riportare il cateto CD sull’ipotenusa e
tracciare il segmento di perpendicolare FG al punto F. Nel triangolo
FGE il segmento FE ha lunghezza pari a a-b e così pure FG. Inoltre
DG=FG perché sono segmenti di tangenti condotte dal punto G alla
circonferenza. Facilmente si prova che GE ha lunghezza pari a 2ba. Il triangolo FGE ha ancora lati interi ed è più piccolo di quello di
partenza, da ciò l’assurdo. In alternativa per provare l’irrazionalità,
si può partire da un triangolo rettangolo isoscele con lati interi a,b
(non necessariamente il più piccolo) e applicare il metodo della
discesa infinita, cioè trovare infiniti triangoli sempre più piccoli e
con lati tutti interi. Da qui l’evidente contraddizione.
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Il matematico John Conway riferisce in una lecture su The Power of
Mathematics, la seguente dimostrazione di irrazionalità della √ e
l’attribuisce a Stanley Tanenbaum, (è conosciuta anche come
dimostrazione di A. Hahn). Al solito da √
con a,b interi segue
2
2
2
2
l’uguaglianza a = 2b = b + b . Evidenziamo ciò con la seguente
illustrazione:
Si scelga poi b come il minimo numero che verifichi la precedente
relazione. Si proceda scegliendo un adeguato ricoprimento per i
quadrati in questione, cioè collocando i due quadrati piccoli di
lunghezza b, come in figura seguente, nel quadrato grande di
lunghezza a.
Si osservi come i quadrati scuri si intersecheranno nella zona di un
quadrato centrale, che sarà ricoperta effettivamente due volte
mentre rimarranno scoperti i due quadrati bianchi posti ai vertici.
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Dal fatto che entrambi i quadrati di lato b ricoprono il quadrato di
lato a, segue anche che i due quadrati bianchi devono essere
ricoperti dal quadrato centrale. Dal punto di vista delle dimensioni,
i quadrati bianchi hanno lati con lunghezza intera a-b e il quadrato
centrale ha il lato con lunghezza intera 2b-a. Si potrà quindi
scrivere (2b-a)2 =2(a-b)2. E’ facile convincersi che (a-b) <b, poiché
1<a/b<2. La contraddizione è raggiunta poiché b è stato scelto in
modo tale che sia il minimo a verificare l’uguaglianza iniziale. (Il
processo di dimostrazione potrebbe anche svolgersi seguendo il
metodo della discesa infinita, ovvero trovare infiniti valori di a e b
sempre più piccoli). In [8] viene descritta come questa tecnica,
conosciuta anche come Carpet (tappeto), possa essere significativa
in altri casi. Si prova infatti l’irrazionalità di numeri, come √ in
figura o radici quadrate di numeri triangolari.
Un modello della realtà legato alla √ : il formato carta.
All’interno delle attività laboratoriali che si sono svolte e legate al
mondo di √ si è posta l’attenzione sull’elaborazione di un
particolare modello, cioè il formato carta. Lo standard
internazionale attuale che lo regola è conosciuto come ISO 216 e
si basa su un rapporto d'aspetto (rapporto delle lunghezze dei lati)
pari proprio a √ . Enunciamo la proprietà caratterizzante tale
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formato. Se un foglio con un rapporto d'aspetto pari a √ viene
diviso in due metà uguali parallelamente al lato più corto, allora
anche i due semi-rettangoli che si formeranno avranno un rapporto
pari a √ . Infatti i rettangoli di lati a,b e lati b,a/2 saranno simili
se e solo s
( )

√ . Si noti che in
questo contesto non stiamo procedendo a nessuna dimostrazione di
irrazionalità, ma l’uso dei valori interi a,b e del relativo rapporto è
necessario per l’approssimazione. La costruzione dei vari formati
cartacei viene cosi effettuata. Si parte da un foglio di area 1m2 con
rapporto d’aspetto pari a √ e si conviene che si chiami A0,
risulterà allora dimensionato in mm come (841×1189). I successivi
formati A1, A2, A3 ecc. si ottengono tagliando a metà la carta sul
lato più lungo, in questo modo si ottiene una catena di proporzioni
continue in cui il rapporto è sempre √ Sicuramente il formato più
usato e conosciuto è l'A4, in mm (210×29). Le altre taglie variano
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dalle dimensioni maggiori di A1(594×841), A2(420×594), sino a
quelle ridotte di A8(52x74), A9(37x52), A10(26 x 37). Per quanto
detto la radice di due è approssimata mediante i seguenti rapporti
1189/841841/59452/3737/26. Questa tecnica di divisione del
foglio permette di effettuare ingrandimenti e riduzioni senza spreco
di spazio ed è per questo motivo che ha raggiunto grande diffusione
in Europa, iniziando dalla Germania e in buona parte del mondo,
escludendo Stati Uniti e Canada. Il metodo del taglio di un foglio si
può ancora effettuare per tre o n parti uguali. In generale i rettangoli
di lati a,b e lati b, a/N sono simili quando

( )
√ .
Per concludere anche l’attività sui formati cartacei, è stata
appassionante e ha fornito un potente stimolo creativo. Ha
permesso, infatti, agli allievi un approccio concreto e manuale e
nello stesso tempo dinamico e armonico a forme e situazioni
quotidiane. Sui vari aspetti della √ , che qui abbiamo sintetizzato
si segnalano in particolare gli ottimi articoli [2],[3],[7] disponibili
sul sito del Centro Morin e i volumi [9],[10]. Si veda per le varie
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dimostrazioni di irrazionalità anche il sito www.cut-the-knot.org.
([email protected])
Bibliografia
1. Apostol, Tom “Irrationality of The Square Root of Two. A
Geometric Proof.” The American Mathematical Monthly, Vol.
107, No. 9. Nov. 2000.
2. Beckenbach, Edwin “On the Positive Square Root of Two."
Math. Teacher 62, April 1969, 261-267.
3. Harris,V.C. “On Proofs of the Irrationality of 2” Math. Teacher
64, Jan. 1971, 19-21. See also his \/2 Sequel," 64, Dec. 1971, 760.
4. Harris, V. C. “Terminal Digit Proof that \/2 is Irrational.” Math.
Gazette 53, Feb. 1969, 65.
5. Maier, E. A. and Ivan Niven. "A Method of Establishing Certain
Irrationalities." Math. Mag. 37, Sept./Oct. 1964, 208-210.
6. Lindstrom, P. “Another Look at 2.” Math. Teacher 72, May
1979, 346-347.
7. Gardner, M. “The Square Root of two = 1.41421 35623 73095.”
Math Horizons, Vol. 4, No. 4 (April 1997), pp. 5-8.
8. Miller, S.J. and Montague, D. “Picturing Irrationality” Math.
Mag. 85(2012)-110-114
9. Rittaud, B. “La favolosa storia della radice quadrata di due.”
Bollati Boringhieri 2010
10. Flannery, D. “The Square Root of 2.” Springer 2006.
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