DCF - TIR

Esercizi di matematica finanziaria
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VAN - DCF - TIR
Esercizio 1.1. Un investitore desidera disporre tra 3 anni d’un capitale M = 10000
euro. Investe subito la somma c0 pari a 1/4 di M . Farà poi un ulteriore impiego
d’importo x tra m = 1 anno.
Tali impieghi sono fatti in capitalizzazione composta, con tasso annuo nominale
d’interesse j2 = 10% convertibile semestralmente.
• Calcolare il tasso annuo effettivo i corrispondente al tasso j2 .
• Determinare l’ammontare x da versare per centrare l’obiettivo di costituzione.
• Scrivere il DCF per questa operazione di investimento e calcolare il TIR.
Soluzione:
• Il tasso annuo effettivo i equivalente al tasso annuo periodale j2 è:
0.1 2
i= 1+
− 1 = 10.25%
2
• Il conseguimento dell’obiettivo presuppone che valga la seguente equazione in
x:
1
10000 × (1 + 0.1025)3 + x × (1 + 0.1025)2 = 10000
4
da cui:
x = 5470.8
• Il DCF dell’operazione è:
G(x) = −2500 −
5470.8
10000
+
1+x
(1 + x)3
Ovviamente il tasso interno x∗ dell’operazione è:
x∗ = 10.25%
Esercizio 1.2. Un’impresa cede a una banca due crediti: C1 = 1000 euro che
scade tra un anno e C2 = 2000 euro che scade tra due anni. La banca immediatamente accredita all’impresa il valore scontato A dei due crediti, calcolato a sconto
commerciale, con tasso di sconto d = 10%.
• Calcolare A.
1
• Scrivere l’espressione del DCF G(x) dell’operazione dal punto di vista della
banca e determinare qual è il tasso x∗ d’interesse composto implicito nell’operazione.
Soluzione:
• Si ha:
A = C1 (1 − d) + C2 (1 − 2d) = 1000(1 − 0.1) + 2000(1 − 0.2) = 2500
• Il Discount Cash Flow richiesto è:
G(x) = −2500 +
1000
2000
+
1 + x (1 + x)2
e s’annulla (per tassi > −1) in:
x∗ = 11.652%
Esercizio 1.3. Un finanziamento di 10.000 euro deve essere rimborsato con tre rate
annue costanti d’ammontare R. Il tasso contrattuale è 12% annuo (composto).
1. Calcolare R.
2. Scomporre la seconda rata in quota capitale e quota d’interesse.
3. Qualora il finanziatore effettuasse una ritenuta di 100 euro all’erogazione e
maggiorasse le rate di rimborso dell’1% per spese d’incasso, il tasso effettivo
globale del finanziamento x∗ salirebbe oltre 12%. Senza calcolare x∗ ma solo
esplorando il segno in un punto opportuno DCF G(x) dell’operazione, accessori
inclusi, dire se x∗ è sopra il tasso-soglia della normativa anti-usura, pari a 15%.
Soluzione:
1. La rata d’ammortamento s’ottiene dall’equazione:
1
1
1
10000 = R
+
+
1.12 1.122 1.123
e risulta:
R = 4163.5
2. La prima quota interessi è:
I1 = 10000 × 0.12 = 1200
2
quindi la prima quota di capitale è:
R − I1 = 4163.5 − 1200 = 2963.5
Il debito residuo dopo un anno è allora:
D1 = 10000 − 2963.5 = 7036.5
La seconda quota interessi è:
I2 = 7036.5 × 0.12 = 844.38
e la seconda quota capitali, pertanto, è:
C2 = R − I2 = 4163.5 − 844.38 = 3319.1
3. Poichè l’ammontare effettivo erogato:
S = 9900
e la rata maggiorata per spese d’incasso è
R0 = 4163.5 × 1.01 = 4205.1
il DCF dell’operazione dal punto di vista del finanziatore, accessori inclusi, è:
1
1
1
G(x) = −9900 + 4205.1
+
+
1 + x (1 + x)2 (1 + x)3
Il suo valore in corrispondenza al tasso-soglia è:
1
1
1
+
+
= −298.81
G(0.15) = −9900 + 4205.1
1.15 1.152 1.153
Poichè la funzione G(x) è decrescente sul tratto finanziariamente rilevante e il
suo valore in 0.15 è di segno negativo, allora
x∗ < 15%
Esercizio 1.4. Un’impresa cede un credito di 10000 euro a 4 mesi ad una Banca che
le riconosce 9500 euro dichiarando d’applicare il tasso annuo di sconto commerciale
del 12%.
1. Calcolare il valore scontato A del credito sulla base delle condizioni bancarie
dichiarate.
2. Calcolare il tasso di sconto commerciale d effettivamente applicato dalla Banca.
3
3. Tenuto conto del fatto che la Banca dal netto ricavo di 9500 euro deduce 50
euro per rimborso di spese, determinare il TEG (tasso effettivo globale) x ad
interessi composti effettivamente applicato dalla Banca.
Soluzione:
1. Si ha:
4
A = 10000 1 − 0.12 ·
12
= 9600
2. Il tasso di sconto commerciale effettivamenta applicato dalla Banca risolve
l’equazione:
4
= 9500
10000 1 − d ·
12
ed è:
d = 0.15
3. Il TEG risolve l’equazione:
9500 − 50 =
10000
(1 + x)4/12
e risulta:
x = 0.18496
Esercizio 1.5. Un’impresa dispone di tre crediti d’ammontare C1 = 1000, C2 =
2000, C3 = 3000, con scadenze rispettive 1, 2 e 3 mesi. Li cede a una Banca che le
riconosce il loro valore scontato A a sconto commerciale con tasso annuo di d = 9%.
• Si calcoli A.
• Il tesoriere d’impresa sostiene che il costo del finanziamento supera il 12%
annuo composto. Dire se ciò è vero o falso, motivando la risposta attraverso il
calcolo del VAN al 12%.
• Se la Banca, immediatamente dopo aver acquistato i crediti, li cedesse a sua
volta con ricavo A0 calcolato a sconto commerciale d0 = 8%, quale sarebbe il
profitto P da essa conseguito?
Soluzione:
• Il netto ricavo è:
3
X
s A=
Cs 1 − d =
12
s=1
1
2
3
= 1000 1 − 0.09 ×
+ 2000 1 − 0.09 ×
+ 3000 1 − 0.09 ×
=
12
12
12
= 5895.
4
• Il costo del finanziamento a interessi composti non supera la soglia indicata
per il seguente motivo: il VAN dal punto di vista della Banca a tasso 12%
risulta:
−5895 +
1000
2000
3000
+
+
= −25.625 < 0
1.121/12 1.122/12 1.123/12
• Poichè
3
X
s Cs 1 − d0 =
12
s=1
2
3
1
+ 2000 1 − 0.08 ×
+ 3000 1 − 0.08 ×
=
= 1000 1 − 0.08 ×
12
12
12
= 5906.7
A0 =
il profitto fatto dalla Banca sarebbe:
P = A0 − A = 5906.7 − 5895 = 11.7
Esercizio 1.6. Si consideri il seguente investimento
Epoche
0
1
2
Flussi
−1000
1000
240
1. Se ne determini il TIR.
2. Si calcoli il VAN a tasso 15%.
Soluzione:
1. Il DCF dell’operazione è:
G(x) = −1000 +
240
1000
+
1 + x (1 + x)2
L’equazione G(x) = 0 fornisce l’unica soluzione finanziariamente accettabile:
x∗ = 0.2 = 20%
2. Il VAN richiesto è:
G(0.15) = −1000 +
1000
240
+
= 51.04
1 + 0.15 (1 + 0.15)2
5
Esercizio 1.7. Un investimento produce i movimenti di cassa descritti nella tabella
seguente:
Scadenza
0
1
2
Movimenti di cassa
−C
25
125
1. Si determini C in modo che il tasso implicito dell’investimento sia 25%.
2. Si calcoli il VAN G a tasso 18%.
Soluzione:
1. Da:
−C +
125
25
+
=0
1.25 1.252
si trae:
C = 100
2. Il VAN richiesto è:
G = −100 +
25
125
+
= 10.9595
1.18 1.182
Esercizio 1.8. Si consideri l’investimento con i movimenti di cassa e le rispettive
scadenze:
Scadenza
0
1
2
Movimento
−1000
−500
+2000
1. Se ne determini il TIR x∗ .
2. Se ne determini il VAN con costo opportunità dei mezzi propri i = 5%.
Soluzione:
1. Poichè il DCF dell’operazione è:
G(x) = −1000 −
500
2000
+
1 + x (1 + x)2
il TIR risulta:
x∗ = 18.614%
6
2. Il VAN risulta:
G(5%) = −1000 −
500
2000
+
= 337.87
1.05 1.052
Esercizio 1.9. Un consumatore compra a rate un impianto stereo che costa A =
5000. Deve versare subito il 10% del costo dell’impianto. S’impegna a pagare n = 4
rate semestrali uguali d’ammontare R. Il tasso annuo contrattuale è i = 10%.
1. Calcolare la rata R.
2. Scrivere il DCF G(x) dell’operazione dal punto di vista del finanziatore.
3. Assumendo che sul consumatore siano caricati oneri accessori immediati per
istruzione pratica nella misura di 80 e che le rate siano maggiorate del 2%
per spese d’incasso, si dica, motivando, se è vero che il TAEG dell’operazione
supera il tasso annuo contrattuale di almeno 4 punti percentuali.
Soluzione:
1. Si ha:
R=
5000 − 500
= 1265.5
1/1.10.5 + 1/1.1 + 1/1.11.5 + 1/1.12
2. Si ha:
G(x) = −4500 +
4
X
s=1
1265.5
(1 + x)s/2
3. Il DCF con oneri è:
G1 (x) = −4500 + 80 +
4
X
1265.5 · 1.02
s=1
(1 + x)s/2
Poichè:
G1 (14%) = −4500 + 80 +
4
X
1265.5 · 1.02
= −25.034 < 0
s/2
(1
+
0.14)
s=1
l’asserzione è falsa in quanto G1 è decrescente.
Esercizio 1.10. Un investimento origina i seguenti movimenti di cassa:
Data
0
1
2
Movimento
−10000a
10000a
2000a
7
con a = 1.
1. Determinare il tasso implicito x∗ .
2. Determinare il VAN G(i) con costo opportunità dei mezzi propri i = 10%.
Soluzione:
1. Il tasso implicito risolve l’equazione:
−10000 +
10000
2000
+
=0
1+x
(1 + x)2
e risulta:
x∗ = 17.0820%
2. Il VAN richiesto è:
G = −10000 +
2000
10000
+
= 743.80
1 + 0.1 (1 + 0.01)2
Esercizio 1.11. Si consideri l’investimento seguente:
Data
0
1
2
Flusso
−100
100
20
1. Se ne calcoli il tasso interno x∗ .
2. Per sostenerlo finanziariamente s’ottiene un mutuo d’ammontare 60, che sarà
rimborsato con due rate alle scadenze 1, 2. Le quote di capitale sono costanti
e il tasso d’interesse annuo caricato dalla banca che eroga il mutuo è 10% nel
primo anno e 12% nel secondo anno. Si determini il cash-flow generato dal
mutuo alle scadenze 0, 1, 2.
Soluzione:
1. Il tasso interno risolve l’equazione:
−100 +
100
20
+
=0
1 + x (1 + x)2
onde la sola radice accettabile:
x∗ = 17.082%
8
2. Il cash-flow generato dal mutuo è il seguente:
Data
0
1
2
Flusso
600
−36
−33.6
Esercizio 1.12. Un’impresa ha in portafoglio due cambiali che scadono, rispettivamente, tra 3 e 6 mesi e il cui ammontare è 2000 euro ciascuna. La cede a una Banca
che riconosce all’impresa il loro valore in regime di sconto commerciale A.
1. Calcolare A sapendo che il tasso annuo di sconto commerciale applicato dalla
Banca è d = 8%.
2. Scrivere il DCF dell’operazione G(x) dal punto di vista della Banca nell’ipotesi
di pagamenti regolari degli effetti a scadenza.
3. Determinare il tasso interno x∗ dell’operazione.
Soluzione:
1. Risulta:
3
6
A = 2000 1 − 0.08 ·
+ 2000 1 − 0.08 ·
= 3880
12
12
2. Si ha:
G(x) = −3880 +
2000
2000
+
(1 + x)1/4 (1 + x)1/2
3. L’equazione da risolvere è
−3880y 2 + 2000y + 2000 = 0
L’unica soluzione accettabile è
y ∗ ∼ 1.02055
e il tasso interno dell’operazione è
x∗ = (y ∗ )4 − 1 ∼ 0.08476 = 8.476%
9