Media, mediana, media troncata per distribuzioni asimmetriche Ogni

Media, mediana, media troncata per distribuzioni asimmetriche
Ogni qual volta vogliamo avere delle informazioni sulla forma di una distribuzione, ovvero sulla
sua simmetria o asimmetria, possiamo sfruttare strumenti diversi, sia grafici che non.
Il box plot, ad esempio, ci dà un’idea sia del range in cui è concentrato il 50% delle osservazioni
che occupano i valori centrali della distribuzione, che delle “code” della distribuzione. Una coda
particolarmente lunga a destra come nella figura sottostante ci farà pensare che la distribuzione è
asimmetrica a destra. Informazioni analoghe si possono ottenere confrontando la mediana con la
media interquartile (media tra il primo e il terzo quartile): la distribuzione si dice obliqua a destra se
la mediana risulta più piccola rispetto alla media interquartile, e obliqua a sinistra se invece è la
media interquartile a precedere la mediana.
BOX-WHISKER PLOT 1
350
300
Massimo
250
3° Quartile
200
Mediana
150
Variabile X
Valore Indice
72
Minimo
104
1° Quartile
128
Mediana
160
3° Quartile
286
Massimo
132
Media interquartile
1° Quartile
100
Minimo
50
0
Variabile X
Quando vogliamo sintetizzare una distribuzione molto asimmetrica con una misura di tendenza
centrale, dobbiamo tenere conto del fatto che la media, la misura di sintesi più comunemente
utilizzata è una misura non robusta. Ciò significa che la media è un indicatore sensibile ai valori
estremi della distribuzione, e verrà quindi “attratta” da essi.
In questo caso, quindi, la media sarà influenzata dai valori che si trovano sulla “coda” (destra o
sinistra) della distribuzione, quindi risulterà una sintesi poco efficace della massa di dati “più
tipici”.
Quando vogliamo utilizzare una misura di sintesi che descriva adeguatamente i dati più tipici,
conviene allora utilizzarne una meno sensibile ai valori anomali. La più nota è la mediana, il valore
che occupa la posizione centrale nella serie ordinata dei dati (o, anche, che viene preceduta e seguita
dallo stesso numero di osservazioni nella serie ordinata dei dati).
Un’altra possibilità è costituita dalla cosiddetta media troncata. Questa è la media della
distribuzione troncata ad una soglia fissata, di solito, al 5%, e non è altro se non la media calcolata
sul 95% delle osservazioni che occupano i valori centrali della distribuzione. Di fatto, nel calcolo
della media, si trascura una parte residuale della distribuzione, dove i valori sono più estremi.
Ovviamente, se la distribuzione è obliqua a destra, la mediana e la media troncata risulteranno
inferiori alla media. Relazione opposta legherà le misure nel caso di distribuzione obliqua a sinistra.
Naturalmente, le differenze tra le misure di sintesi vanno valutate utilizzando un termine di
paragone. La stessa differenza tra media e la mediana, ad esempio, va valutata tenendo conto del
campo di variazione del carattere. Se il campo di variazione è molto esteso, la differenza tra media e
mediana può essere giudicata come “relativamente” piccola. Al contrario, quando il campo di
variazione è contenuto, anche una piccola differenza tra media e mediana può essere giudicata
“relativamente” grande.