Delovni list

Il problema della recinzione dei polli
La vita non è facile per il signor McDonald: la moglie lo assilla continuamente per costruire
una nuova recinzione per i polli. Dal momento che quella vecchia è stata distrutta dalla
tempesta, il pollo gira allegramente per il giardino lasciando i loro »ricordini« sulla terrazza e
sui mobili da giardino. Questa domenica mattina la signora McDonald ha messo il marito alle
strette: »Metti il pollo nella recinzione adesso o passerai la notte in giardino!« Così il signor
McDonald vaga verso il capannone, dove trova 10 m di filo e alcuni bastoni.
La recinzione dei polli sarà di forma rettangolare. Un lato del rettangolo sarà sul muro e il
perimetro dei tre rimanenti lati sarà di 10 m. Il signor McDonald vuole dare al suo amico
animale più spazio possibile. Gli vengono in mente tre diverse possibilità:
Quale delle seguenti costruzioni offre il maggior spazio?
Cercheremo di risolvere il problema in tre modi: usando una tabella (foglio elettronico),
graficamente e analiticamente (senza usare la derivata*), usando GeoGebra.
1. Visualizzazione del problema
L’applet mostra il rettangolo limitato dal muro a sinistra. Spostando il cursore, cambiano le
dimensioni del rettangolo.
2. Tabella
Usiamo il punto C (base, altezza) e il punto S (base, area). Spostando il cursore, le coordinate di
C e di S riempono la tabella. Si possono leggere la base e l’altezza che danno l’area massima
dalla tabella.
3. Grafico
Il grafico mostra l’area come funzione della base. Esso può essere ottenuto in due modi: o
direttamente muovendo il cursore (in questo caso la tabella deve essere disattivata) oppure
tracciando i punti corrispondenti alla tabella (come si fa normalmente in classe). Leggendo le
coordinate del punto S nella sua posizione più alta otteniamo il risultato.
4. Soluzione analitica
L’area può essere espressa come una funzione di grado 2, avente la base come incognita (x)
sotto la condizione : x+2h=10, dove h è l’altezza del rettangolo.
Calcolando le coordinate del vertice, si ottiene il risultato. Questo può essere provato scrivendo
l’equazione di grado 2 nella barra di input di GeoGebra Input per ottenere il grafico. Se la
vostra equazione è corretta, i punti della sezione 3 giaceranno su di esso. Usando il comando
Estremi, appariranno le coordinate del vertice nella finestra algebrica.
Discussione:
Tutti i risultati sono uguali? Quale metodo è migliore? Quale metodo è più veloce?
Il dilemma del signor McDonald
Poco prima di iniziare il lavoro, al signor McDonald viene una nuova idea. Forse i polli
preferirebbero una recinzione con la forma di un triangolo isoscele, avente la base sul muro. (x base, 2a = 10). Trova l’area massima del triangolo e confrontala con quella della forma
rettangolare!
Infine, quando il recinto è pronto e i polli sono dentro, la signora McDonald è critica: “Non è
abbastanza grande! Inoltre la forma rettangolare non è adatta per un pollaio! Basta guardare i
vicini! Quello è un pollaio!”
E' possibile costruire un recinto più grande sotto le condizioni iniziali, evitando i bordi? Per
esempio: la metà di un cerchio (2r = 10m) o un quarto di cerchio ( r + arc = 10 m)?
Avete altre idee? Ci sono in realtà delle recinzioni più grandi che possono essere costruite con
10 m di recinzione se si omette la condizione di forma rettangolare? Stabilire i criteri, fare
congetture e validarle calcolando le aree corrispondenti.