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L'ANGOLO
MATEMATICO
di A. K. Dewdney
Tecniche di grafica al calcolatore
permettono di visualizzare un mondo immaginario
l primo giorno dell"anno 2991, l'a·
stronave interstellare Armstrong si
posò sul quarto pianeta della stella
Tau Ceti. L'equipaggio dell'Arn1Slrong
rilevò immediatamente segni di movi­
mento provenienti da "ardest e puntò la
telecamera dell'astronave su un lontano
dirupo roccioso. Su una sporgenza della
parete c'era un nido di cristalli di quarzo
contenente un uovo di forma simile a
una frittella. L'uovo iniziò a dissolversi
e n e uscì una creatura sinuosa, formata
da due anelli attorcigliati, che il biologo
della missione non esitò a classificare co-
I
me un «gorgonoide». Mentre la sonda si
avvicinava per osservarlo meglio, lostra­
no essere si irrigidì intimorito e si gettò
dal dirupo in un fiume di acetilene.
Indubbiamente il mondo del gorgo·
noide appartiene alla fantascienza, ma la
sua immagine si trova in un calcolatore
del Thomas J. Watson Research Center
dell'IBM. Clifford A . Pickover, un ma·
go della grafica che lavora all'IBM, ha
creato l'essere alieno che io chiamo gor·
gonoide per dimostrare la potenza dei
nuovi strumenti a disposizione della gra·
fica al calcolatore. Le tecniche da lui eia·
Figura di LissajollS sftrica
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LESOENZE n. 271,
mano
1991
borate possono aiutare altri scienziati a
visualizzare le forme complesse prodone
da fenomeni fisici o dedotte dalla teoria.
Pickover, di cui si è parlato in queste
pagine nell'agosto 1989 a proposito dei
suoi biomorfi microscopici. definisce le
sue creazioni «grafica da un mondo im­
maginario» (si veda l'illuslrazione nella
pagilla a fronle).
Per quanto simile a una forma di vita
aliena, l'uovo di gorgonoide è in realtà
un modello basato su principi fisici sco·
perti in laboratori terrestri. Se si potesse
asportare il «guscio» dell'uovo di gorgo­
noide, si troverebbe una struttura com­
posta da due «cavi», uno piegato a forma
di cerchio e l'altro avvolto intorno al cer­
chio in una spirale chiusa. Se fra i due
cavi vi fosse una differenza di potenziale
essi genererebbero una forza eleurica
più intensa nei punti vicini alla struttura
che non in quelli distanti da essa. Il pro­
gramma per calcolatore di Pickover in­
dividua tutti i punti in cui la forza ha una
data intensità e li rappresenta in modo
da formare il guscio dell'uovo di gorgo­
noide. Pickover dà a questa tecnica gra­
fica il nome di t<scultura elettrica,..
Egli si dedica alla scultura elettrica
per rappresentare una grande varietà di
strutture che vanno da singole molecole
alla complessa doppia elica del DNA.
Poiché questa tecnica mostra le forze
elettriche che circondano le molecole, i
ricercatori possono comprendere in che
modo alcune molecole prodotte da cel­
lule viventi possono adattarsi ai siti re­
cettori di altre cellule.
n piccolo di gorgonoide non è una
scultura elettrica, ma è ottenuto in modo
analogo a una collana di perle. Come
l'uovo, il gorgonoide «nasce,. da due
cappi di cavo, uno avvolto intorno all'al­
tro. Per costruire il corpo dello strano
essere, Pickover «infila» nei cavi perle
sferiche, grandi per il cavo circolare, pic­
cole per quello a spirale. Le perle sono
spaziate uniformemente e quelle in po­
sizione consecutiva si compenetrano.
Il gorgonoide adulto è una collana fat­
tadi tre cavi: il primo avvolge il secondo,
il quale a sua volta è avviluppato intorno
al terzo, Il gorgonoide adulto ha anche
un occhio formato da tre sfere quasi con­
centriche che si intersecano per formare
un'iride e una pupilla,
Un gorgonoide adulto può individua·
re un predatore a un chilometro e mezzo
di distanza attraverso la foschia di am­
moniaca, una capacità che diventa molto
importante per la sua sopravvivenza
quando il gorgonoide è minacciato da
una pacmantide, Quest'ultima creatura,
dalla forma di calice, passa metà del suo
tempo a crogiolarsi ai raggi di Tau Ceti,
ma quando ha fame rotola sul terreno
aprendo e chiudendo la bocca come Pac­
-man, il protagonista di un videogioco.
L'anatomia della pacmantide non è
più complicata di quella del gorgonoide.
Per dar vita a una pacmantide, Pickover
crea al calcolatore una sorta di pendolo,
simulando una palla attaccata a un'est re-
LE SCIENZE n. 271, marzo 1991
9S
mità di un cavo rigido,collegato con l'al­
tra estremità a un perno che consente al
cavo c alla palla di oscillare liberamente
in tutte le direzioni.
AI pendolo viene inizialmente impres­
sa una spinta l.flterale ed esso comincia a
oscillare con una certa velocità per ef­
fetto della forza di gravità. Nel suo moto
di oscillazione il pendolo arriva fino a un
punto che si trova a una certa distanza
dal punto di partenza; nel corso delle
oscillazioni successive, la palla copre la
maggior parte dello spazio disponibile
nella sfera delle posizioni possibili.
Mentre il pendolo oscilla, il calcolato­
re di Pickover fotografa periodicamente
la palla. Quando numerose immagini
della palla vengono mostrate simulta­
neamente, queste formano un guscio.
Ruotando di 90 gradi tale guscio si vede
l'esoscheletro di una pacmantide nella
sua giusta orientazione.
Anche se di tanto in tanto sgranocchia
un gorgonoide,la pacmantide preferisce
cibarsi dei tubanidi che vivono negli
oceani di ammoniaca. Questi prelibati
molluschi assomigliano a certe ammoniti
del Mesozoieo. Il tubanide ha un bel gu­
scio striato che inizia come una normale
spirale aperta, ma poi si incurva su se
stesso, quasi fosse il progetto di un ar­
chitetto un po' folle. A causa del suo
guscio attorcigliato, il tubanide nuota ro­
tolando su se stesso, e questo ne fa una
facile preda per la pacmantide.
l tubanidi sono un prodotto della col­
laborazione tra Pickover e il conchiglio10go australiano Chris lIIert. Pickover e
lIIert hanno studiato una bizzarra am­
monite chiamata Nipponites mirabilis.
Molte ammoniti, come pure l'attuale
NaUlilus, hanno conchiglie regolari, a
forma di spirale logaritmica, che consen­
tono all'animale di muoversi agevolmen­
te nell'acqua. Nei primi stadi della cre­
scita, la conchiglia di N. mirabilis si svi­
luppa in modo del tutto simile a quella
delle altre ammoniti, ma poi si attorci­
glia e si piega in tutte le direzioni. IIIert
contava di studiare questo strano tipo di
accrescimento attraverso una descrizio­
ne matematica della spirale irregolare.
Nel corso della ricerca ricavò una for­
mula che può essere interpretata in mo­
do semplice. L'orientazione dell'apertu­
ra della conchiglia determina la direzio­
ne di accrescimento. Nella normale cre­
scita a spirale, l'orientazione dell'aper­
tura rimane fissa rispetto agli anelli adia­
centi della conchiglia. Ma si può ottene­
re una buona simulazione della crescita
di N. mirabilis se si ruota l'apertura se­
condo una regola esponenziale: via via
che la conchiglia si sviluppa, l'apertura
ruota sempre di più. Con questa ipotesi
si ottengono piccoli di N. mirabilis dal
corretto aspetto ammonoidale e adulti
con una spirale di forma attorcigliata e
irregolare.
Pickover e lIIert hanno dimostrato che
il tubanide costituisce un buon modello
per studiare N. mirabilis. Per dare una
rappresentazione tridimensionale dei tu­
banidi, Pickover ha usato la tecnica della
collana di perline e ha colorato il guscio
alternando sfere cremisi e bianche.
I concetti su cui si fondano le rappre­
sentazioni grafiche descritte sono effet­
tivamente molto semplici, ma sono ten­
tato di aggiungere un avviso: «Non pro­
vateci a casa!» Dopo tutto, Pickover ha
acces�o a calcolatori specificamente pro­
gettatt per la grafica. Il suo sistema può
ombreggiare e nascondere superfici in
modo automatico; può mostrare la ri­
flessione di luce proveniente da diverse
sorl?enti su una superficie, e può produr­
re Istantaneamente una immagine di
qualunque oggetto tridimensionale sotto
q�alsiasi angolazione. Basta poco, quin­
di, per arrivare alle creature di Pickover.
Anche se i comuni calcolatori dome­
stici non dispongono di queste caratteri­
stiche, Pickover non scoraggerebbe i
programmatori dilettanti che volessero
creare certe splendide immagini aliene
dette figure di Lissajous (si veda l'iIIu­
straziolle a pagina 94). Nel 1857 il mate­
matico francese Antoine Lissajous de­
scrisse per la prima volta le figure sinu­
soidali che oggi campeggiano sugli scher­
mi degli oscilloscopi. Una singola curva
di Lissajous è tracciata sullo schermo
da un punto luminoso che si muove ver­
ticalmente e lateralmente un numero
qualsiasi di volte per tornare infine al suo
punto di partenza.
Le figure di Lissajous sferiche hanno
le stesse proprietà delle loro corrispetti­
ve bidimensionali, tranne per il fatto che
giacciono sulla superficie di una sfera.
Per rappresentare questa curva tridi­
mensionale nelle tre dimensioni sono ne­
cessarie tre equazioni separate, ciascuna
a una variabile t che può essere immagi­
nata come il tempo:
x =
y
=
z =
Rsen(AI)eos(BI)
Rsen(AI)sen(BI)
Rcos(AI)
dove R,A e 8 sono costanti. Per ciascun
valore di I, le tre formule specificano col­
lettivamente un singolo punto nello spa­
zio tridimensionale. AI crescere del va!
lore di I (ciO<'! al passare del tempo), la
formula genera una successione di punti
che danno la curva sferica di Lissajous.
Attribuendo un valore a R, A e 8 - le
velocità di oscillazione delle curve - si
possono generare figure affascinanti. La
curv.a si richiuderà su se stessa, a meno
che Il rapporto tra A e 8 sia un numero
irrazionale, un evento che non è certo
probabile in un calcolatore.
fletton possono scrivere un semplice
programma per calcolatore che permet-
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LE SCIE/'I.ZE
n.
271, marzo 1991
ta d! visualizzare una curva di Lissajolls
sfeTlca su uno schermo bidimensionale .
Il programma dovrebbe prima richiede­
re i valori di R. A e B. poi dovrebbe
entrare in un ciclo in cui il valore di l è
incrementato. diciamo. da 1 a 1000. Per
ciascun valore di l, il programma dovreb­
be calcolare x e y secondo le formule. La
coordinata x, per esempio. risulterà dal
prodotto di R per il seno di Al. poi per
Il coseno di Br. Infine. il programma do­
vrebbe disegnare il punto (x, y).
Per usare l"algoritmo risulta necessa­
ria qualche avvertenza. Prima di tutto,
può essere indispensabile modificare i
numeri x e y in modo che il punto da
disegnare appaia sullo schermo: se è il
caso. va aggiunta una costante appro­
priala. In secondo luogo. può darsi che
i valori di l debbano cambiare in modo
più graduale per produrre una curva di
aspetto continuo e non una fila di punti
spaziati tra loro.
Pickover ritiene, con grande soddisfa­
zione. che le tecniche da lui sviluppate e
altre analoghe possano servire anche agli
artisti oltre che agli scienziati. Fra gli ar­
tisti che hanno già sfruttato queste pos­
sibilità, cita William Latham dello UK
Scientifie Center dell'18M, John Lewis
del New York lnstitute of Teehnology
e Donna J. Cox del National Center for
Supereomputing Applieations dell'Uni­
versità dell'Illinois a Urbana-Cham­
paign. Con il ridursi delle dimensioni dei
dispositivi elettronici e con il progressivo
aumento della loro velocità, sarà possi.
bile racchiudere in macchine sempre più
piccole ed economiche anche calcolatori
raffinati come il sistema di Pickover. Si
possono prevedere ricadute importanti
sia per la scienza sia per l'arte via via che
un numero sempre maggiore di rappre­
sentazioni grafiche emergerà da mondi
immaginari.
Come esercizio per i muscoli mentali,
lo scorso gennaio ho sfidato i lettori
a risolvere tre piccoli quesiti. Primo, se
si mescolano un asso, un re e una regina,
li si mette coperti sul tavolo, se ne toglie
uno a caSo e infine si scopre una delle
due carte rimanenti, la probabilità che si
tratti �i un asso è pari a un terzo,la stessa
che SI avrebbe se non fosse stata tolta
alcuna carta. Secondo, la dimostrazione
del fatto che nessuno lavora non funzio­
na proprio: sottrae infatti mele (giornate
lavorative di otto ore) da arance (gior­
nate di 24 ore). Infine, se una bottiglia e
un tappo costano insieme 1, lO dollari e
la bottiglia costa l dollaro più del tappo,
allora il tappo deve costare 5 centesimi.
BIBLIOGRARA
PICKOVER ClIFFORD A., CompUlers,
Pallern, Chaos, and Beauty, S1. Martin's
Press, 1990.
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POTENZE DI DIECI
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lA DIVERSITÀ UMANA
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lA SCIENZA DlLSUONO
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