auto esploratore

Logica
Veronica Gavagna
Il linguaggio comune
Ambiguità
• Nel mio giardino ci sono gigli e garofani
bianchi.
• Direttore, Luca se la spassa con sua moglie
• Gli uomini e le donne che hanno compiuto
il 25° anno di età.
• La vecchia porta la sbarra.
• L’accoglienza di Gianni è stata festosa.
Il linguaggio comune
Contestualizzazione
•
•
•
•
Luigi ha tagliato la corda.
Ho visitato Roma con una guida.
Oggi Mario non è tornato a casa ubriaco
L’auto di Gianni è bella e veloce/ L’auto
di Gianni è bianca e rossa
Scuola primaria
…L’educazione logica, più che oggetto di
insegnamento esplicito e formalizzato, deve
essere argomento di riflessione e di cura
continua dell’insegnante…
Bisogna prestare attenzione continua al
linguaggio.
Logica degli enunciati
(«livello adulto»)
Definizione di enunciato o proposizione
(1)Affermazione della quale ha senso
chiedersi se sia vera o falsa in un
determinato universo linguistico.
(2)Affermazione della quale si può dire se sia
vera o se sia falsa (più restrittiva) in un
determinato universo linguistico.
Sono enunciati (atomici)?
•
•
•
•
•
•
•
Aldo ha un nome di 4 lettere.
Dante Alighieri è un noto cantautore.
Ferrara è una città dell’Emilia-Romagna.
Addiziona 5 e 3.
Stai dormendo?
2+2=4
Franco e Roberto sono fratelli.
Sono enunciati?
• Gabriella è simpatica
• n è un numero pari
• Il gatto ha gli stivali
Si tratta di forme proposizionali o
proposizioni aperte o predicati.
Sono enunciati?
• La democrazia è il miglior sistema politico
esistente
• Bere vino fa bene alla salute.
• Omero è l’autore dell’Iliade.
Principio di bivalenza (logica classica)
A un enunciato possiamo associare i soli
valori di verità: VERO / FALSO
Gioco del vero e del falso
R.Smullyan, Qual è il titolo di questo libro?, Zanichelli Bologna 1981
In un’isola esistono i CAVALIERI che
dicono sempre la verità e i FURFANTI che
non la dicono mai. Un esploratore sbarca
sull’isola e chiede al primo che incontra:
«Tu sei un cavaliere?»
E’ una buona domanda? E se chiedesse «Tu
sei un furfante?» otterrebbe informazioni
diverse?
Smullyan - 2
• A e B sono due abitanti dell’isola. A
dichiara: «B è un furfante». B aggiunge
«Siamo tutti e due cavalieri». Cosa sono
A e B?
• Prima ipotesi: A cav, B furf : compatibile
• Seconda ipotesi: A furf B cav:
incompatibile
Smullyan - 3
A dice: «Siamo due furfanti». Cosa sono A
e B?
- A cav. : incompatibile
- A furf. B cav.: compatibile
A afferma «Io sono un furfante»
- A cav: incompatibile
- A furf. incompatibile
I connettivi
E’ un particolare elemento linguistico che
collega due proposizioni.
Qualora si considerino due o più
proposizioni legate da connettivi, si ottiene
ancora una proposizione.
Il valore di verità di una proposizione
composta dipende dal valore di verità delle
proposizioni componenti (verofunzionalità).
Il connettivo e (congiunzione)
Roma è la capitale d’Italia e 4 è minore di 2
a)
b)
c)
d)
e)
Vera
Falsa
Metà vera e metà falsa
Né vera né falsa
Priva di senso
Il connettivo e
Se sarai promosso ti regalerò il pallone e
un videogioco.
Se regalo solo il pallone ho mantenuto la
promessa?
Il connettivo e
Una proposizione è vera se e solo se sono
vere le proposizioni che la compongono.
[Roma è la capitale d’Italia] e [4 è minore di
2]
A=[Roma è la capitale d’Italia] VERA
B =[4 è minore di 2] FALSA
A e B FALSA
Tabella di verità del connettivo e
A
B
A e B (A ᴧ B)
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Attenzione!
Nel linguaggio naturale la congiunzione e
non ha sempre lo stesso significato che ha in
logica.
La maglia dell’Inter è azzura e nera
NON SIGNIFICA
La maglia dell’Inter è azzurra e la maglia
dell’Inter è nera
Esempi
Roma è in Italia e 3 è un numero primo
Roma e Livorno sono in Italia
Paolo e Francesca sono fidanzati.
10 è un numero pari, ma non è un multiplo
di 4
Il connettivo o (disgiunzione)
In logica ha il significato di doppia
possibilità, non di alternativa (o inclusivo).
Nel linguaggio comune
1. Possono salire in ascensore i bambini
maggiori di 12 anni o accompagnati da
un adulto.
2. Domani arrivi puntuale o ti licenzio.
3. O si mangia o si dorme.
Il connettivo o
Una proposizione formata da proposizioni
collegate da disgiunzioni è vera se almeno
una delle proposizioni è vera.
[Roma è la capitale d’Italia] o [4 è minore
di 2]
A=[Roma è la capitale d’Italia] VERA
B =[4 è minore di 2] FALSA
A o B VERA
Tabella di verità del connettivo o
A
B
A e B (A v B)
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Torniamo ai furfanti…
X dice: «Io sono un furfante e 3+3=9» Cosa
è X?
[Io sono un furfante] e [3+3=9]
B è sempre falsa: A e B è sempre falso,
dunque X è un furfante
La negazione (non)
A rigore non è un connettivo perché agisce
su una sola proposizione.
Cambia il valore di verità.
Il cavallo è un mammifero VERA
Il cavallo non è un mammifero FALSA
Tavola di verità della negazione
A
Non A (¬ A)
V
F
F
V
Attenzione!
La negazione non è sinonimo di contrario
Tutti i milanesi tifano Inter
Nessun milanese tifa Inter (contrario)
Almeno un milanese non tifa Inter
(negazione)
Attenzione!
I poligoni regolari hanno tutti gli angoli e i
lati uguali.
La negazione non è
«i poligoni (irregolari) hanno tutti gli angoli
e i lati diversi»
ma «i poligoni (irregolari) hanno almeno un
angolo e un lato diverso».
La doppia negazione
In logica, la negazione di una negazione è
un’affermazione. Se A è un enunciato
non (non A) = A
Non è vero che non hai vinto la corsa
= (logicamente equivalente a)
Hai vinto la corsa
E nella lingua comune?
A= Non c’è nessuno in questa stanza
Linguaggio comune: Nella stanza non ci
sono persone
Logica: C’è qualcuno in questa stanza
Logicamente equivalente ad A: Non c’è
alcuno in questa stanza
Proprietà commutativa di e ed o
Calcolo delle proposizioni
Lucca è una citta e l’Umbria è una regione.
L’Umbria è una regione e Lucca è una città.
Ho la tosse e il raffreddore
Ho il raffreddore e la tosse
Riempio la piscina e faccio un tuffo
Faccio un tuffo e riempio la piscina (?????)
Lavo la mela e la sbuccio.
Sbuccio la mela e la lavo. (????)
In logica il connettivo e è
commutativo?
A
B
AeB
BeA
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
A e B è logicamente equivalente a B e A
In logica il connettivo o è
commutativo?
A
B
AoB
BoA
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
A o B è logicamente equivalente a B o A
Proprietà associativa di e
Nella seconda guerra mondiale gli Stati
Uniti erano alleati con la Francia, oltre ad
essere alleati con la Russia e l’Inghilterra.
A e (B e C)
Nella seconda guerra mondiale, gli Stati
Uniti erano alleati con la Francia e la
Russia, oltre che con l’Inghilterra.
(A e B) e C
Proprietà associativa di e e o
A
B
C
BeC
A e (B e C) A e B
(A e B) e C
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
A e (B e C) eq. (A e B) e C
Verificare che A o (B o C) eq. (A o B) o C
Proprietà distributiva
Verificare con le tavole di verità le seguenti
relazioni:
(A e B) o C eq. (A o C) e (B o C)
(A o B) e C eq. (A e C) o (B e C)
A colazione prendo una brioche e il caffè oppure il the.
A colazione prendo una brioche e il caffè oppure il the.
Negazione di una congiunzione
Maria: «Sei stato a Roma con Giulia!!»
Antonio: «Non è vero!»
Può sentirsi rassicurata Maria?
NO: Antonio può essere stato a Firenze con
Giulia o a Roma con Cristina …
Negazione di una congiunzione
La mia lavatrice è a basso consumo ed
economica.
Non è vero che la mia lavatrice è a basso
consumo ed economica.
significa
La mia lavatrice non è a basso consumo
oppure non è economica
Usiamo la tabella di verità
A
B
A e B
non
(A e B)
non A
non B
(non A) o
(non B)
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
non (A e B) eq. (non A) o (non B)
La mia lavatrice è a basso consumo ed economica
NEG: La mia lavatrice non è a basso consumo o non è economica.
Negazione di una disgiunzione
La torta è con il cioccolato o con le mandorle
Non è vero che la torta è con il cioccolato o
con le mandorle
La torta non è con il cioccolato e nemmeno
con le mandorle.
Usiamo la tabella di verità
A
B
A o B
non
(A o B)
non A
non B
(non A) e
(non B)
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
non (A o B) eq. (non A) e (non B)
La mia lavatrice è a basso consumo o economica
NEG: La mia lavatrice non è a basso consumo e non è economica.
Esempi
Silvia e Sara vanno alla festa.
Silvia non va alla festa o Sara non va alla
festa.
Oggi piove o fa freddo.
Oggi non piove e non fa freddo.
Luca va in piscina con la mamma o con la baby
sitter.
Luca non va in piscina con la mamma e
nemmeno con la baby sitter.
Enunciati aperti
Enunciato atomico =
gruppo nominale + gruppo verbale
5 è maggiore di 3
… è maggiore di 3
Il gruppo nominale è variabile.
Enunciati aperti
Si può chiudere
- Con un gruppo nominale non variabile
1 è maggiore di 3
- Con i quantificatori (ogni/ tutti, esiste
almeno/ qualche)
Esiste almeno un numero maggiore di 3
Ogni numero è maggiore di 3
Negazione dei quantificatori
Quale è la negazione di
Tutte le donne sono bionde ?
Esiste almeno una donna che non è bionda
Esiste qualche studente che ama la
matematica
Non esiste alcun studente che ama la
matematica
L’implicazione A → B
Come si legge?
A implica B, da A segue B, se A allora B,
condizione sufficiente per B è A …
Nel linguaggio comune è implicito un nesso
causale fra A e B (o almeno un collegamento
di senso), in logica non è necessario.
Se uno ha la patente può guidare l’auto.
Se 4 è minore di 10, allora il treno parte da
Roma.
L’implicazione A → B
O tu non te ne vai o io piango (‘o’ in senso
inclusivo)
A= Te ne vai ; B= io piango
(non A) o B
A
non A
B
(non A) o B
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
L’implicazione è
una particolare disgiunzione
Nel calcolo degli enunciati (non A) o B
definisce la nuova operazione se A allora B
(A antecedente, B conseguente)
che ha la stessa tabella di verità
A
B
Se A allora B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Attenzione!
L’implicazione è falsa solo quando è vero
l’antecedente e falso il conseguente.
L’implicazione è vera anche quando
l’antecedente è falso!
Il vero implica il vero , ma anche il falso può
implicare il vero!!
Es. Se lavori allora paghi le tasse.
C.Toffalori, L’aritmetica di Cupido
Guanda 2011
p.68 … un famoso aneddoto su Bertrand Russel, quello
che vede il filosofo impegnato a convincere un
interlocutore del principio logico secondo cui da una
premessa falsa si può dedurre qualsiasi conclusione.
“Ma allora” lo incalzò l’antagonista “dall’affermazione
che 2+2 fa 5 segue anche che lei e il Papa siete la stessa
persona?” Ipotesi quasi scioccante, a ricordare le
posizioni di Russel in materia di religione. Ma il filosofo
replicò imperturbabile: “Supponiamo che 2+2 faccia 5.
Sottraendo due da entrambi i membri dell’equazione
otteniamo 2=3 e dunque, scambiando i termini, che 3=2.
Sottraendo ancora 1, ricaviamo 2=1. Ora io e il Papa
siamo 2. Ma dato che 2=1 io e il Papa siamo 1. Perciò io
sono il Papa”.
Esempi
A: La rosa è un fungo
B: Livorno è in Toscana
Se la rosa è un fungo allora Livorno è in
Toscana.
Se Livorno è in Toscana allora la rosa è un
fungo.
Sono implicazioni vere o false?
L.Carrol, Alice nel Paese delle
meraviglie
Allora ci devi dire ciò che pensi – continuò la
Lepre Marzolina.
Certo – rispose Alice molto in fretta – per lo
meno … per lo meno penso quello che dico … è
la stessa cosa, ecco.
Niente affatto la stessa cosa! – disse il
Cappellaio – perché allo stesso modo potresti
dire che «io vedo ciò che mangio» è la stessa
cosa di «io mangio ciò che vedo»!
E potresti anche dire –aggiunse la Lepre
Marzolina – che «mi piace quello che prendo»
Alice nel Paese delle meraviglie
è la stessa cosa di «prendo quello che mi
piace»!
Allora potresti dire ancora – aggiunse il
Ghiro, che sembrava parlare nel sonno – che
«io respiro quando dormo» è la stessa cosa
di «io dormo quando respiro»!
Ha ragione Alice o il Cappellaio è meno
matto di quanto sembri?
Ha ragione il Cappellaio: l’implicazione non è commutativa!!
Esercizi
Verificare che ‘Se A allora B’ non è
logicamente equivalente a ‘Se B allora A’
cioè l’implicazione NON gode della
proprietà commutativa.
La doppia implicazione A↔B
1. Se sbagliate il compito allora sarete
bocciati. (A → B)
2. Se sbagliate il compito allora, ma solo
allora, sarete bocciati. (A ↔ B)
In (1) si ammette che potreste essere bocciati
anche per altri motivi; in (2) la bocciatura
dipende solo dall’esito negativo del
compito, quindi A e B devono avere lo
stesso valore di verità
Tabella di verità
A
B
Se A allora, ma solo allora,
B
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
A: l’ingresso è gratuito
B: vado a teatro
A: il locatario subaffitta l’appartamento
B: il locatario viene sfrattato
Esercizi
Si chiama «doppia implicazione» perché è la
congiunzione di due implicazioni.
In matematica A↔B si legge «A se e solo se
B» (A sse B) oppure «Condizione necessaria
e sufficiente»
Verificare che
A↔B equivale a (A→B) e (B →A)
Esercizi
Dal test d’ingresso a medicina 2011
5. Determinare quale delle seguenti situazioni è NON
compatibile con l'affermazione: “per superare questo
test è necessario, ma non sufficiente, conoscere la
matematica e non arrivare in ritardo”.
A) Carlo conosce la matematica, arriva puntuale, e
supera il test
B) Massimo non conosce la matematica, arriva
puntuale, e supera il test
C) Riccardo conosce la matematica, arriva puntuale, e
non supera il test
D) Mimma non conosce la matematica, arriva in orario,
e non supera il test
E) Letizia arriva puntuale e non supera il test
La tautologia
Un enunciato sempre vero,
indipendentemente dai valori di verità degli
enunciati atomici che lo compongono si
chiama tautologia.
Es. A o (non A)
[3 è un numero pari o non è un numero
pari]
Es. Se A allora A
La contraddizione
Un enunciato sempre falso,
indipendentemente dai valori di verità degli
enunciati atomici che lo compongono si
chiama contraddizione
Es. A e (non A)
Firenze è bagnata dall’Arno e Firenze non è
bagnata dall’Arno.
Per finire…
Due amici A e B sono seduti nel salotto di A. B
domanda: «Quanti anni hanno i tuoi tre figli?»
A: «Il prodotto delle loro età è 36»
B: «Non mi basta»
A: «La somma delle loro età è il numero civico
della casa di fronte »
B esce, guarda il numero, rientra e dice: «Non mi
basta ancora»
A: «Il maggiore ha gli occhi azzurri»
B: «Ora so l’età»
Materiali
R.Tortora, Logica e linguaggio, in
http://www.liceovallisneri.it/istituto/pubblicazion
i/23_aritm.PDF pp. 52-77.
Alcune attività didattiche legate a «logica e
linguaggio» si trovano in
L. Giovannoni, Lingua e logica, FrancoAngeli, 1986
F.Speranza, D. Medici Caffarra, P.Quattrocchi,
Insegnare la Matematica nella scuola elementare,
Zanichelli, Capitoli 1 e 7