Finanza matematica 04

Finanza matematica - Lezione 04
Teorema dell’aspettativa condizionata: sia ∈ , , e ⊂ una -algebra. Allora esiste ed è unica
l’aspettativa condizionata |
tale che:
i.
|
è -misurabile
ii.
|
∈ , , iii.
|
ovvero |
∀ ∈ iv.
|
ovvero |
∀ -misurabile e limitata
Dato il precedente enunciato del teorema dell’aspettativa condizionata, abbiamo come conseguenza le seguenti
proprietà:
1) |
|
con -misurabile e limitata. Infatti se si applica una grandezza limitata e -misurabile
all’aspettativa condizionata, per il teorema:
|
e applicando ancora la proprietà ad :
|
e dato che ciò vale ∀, allora si conclude che, come dall’assunto, può essere portata fuori;
2) si supponga di avere una -algebra ⊂ ⊂ . Allora l’aspettativa condizionata:
|
|
|
Infatti se si effettua un condizionamento triplo, per quanto enunciato dal teorema si ha che:
|
|
|
Essendo ∈ , allora ∈ , perciò è -misurabile. Si ha dunque che:
|
|
Dunque cercare di prevedere o cercare di prevedere la previsione di , è equivalente. Tale proprietà può
essere assimilata ad una proprietà di consistenza della previsione;
3) siano date . ∈ , con quasi certamente, allora vale che:
|
|
quasi certamente;
4) si consideri una funzione : → convessa, e si supponga che ∈ . A causa della continuità per
definizione di una funzione convessa salvo in un infinità numerabile di punti di discontinuità, allora data la
misurabilità di anche sarà misurabile. Se fosse una funzione lineare, è noto che è possibile scrivere:
e che dunque:
! " #|
! " #|
|
|
Non è detto tuttavia che si possa a priori estendere tale ragionamento a qualsiasi funzione convessa, anche
non lineare. Allora si definisca:
$% &': → |'lineare, ' / 0
Tramite la precedente è possibile definire la generica funzione convessa come:
1
sup '1
5∈67
con '. lineare. Da questa si può dire che:
|
8 sup '
9: '
|
';|
<
Dunque
5∈67
|
sup ';|
< ;|
<
5∈67
5) il concetto di indipendenza tra una variabile e la -algebra , ovvero = , implica che:
Da ciò discende che, avendo = , allora vale che:
|
Processi stocastici
Sia dato lo spazio di probabilità , , . Una base stocastica o filtrazione è una famiglia di -algebre > : ? ∈ @
tale
che @ ⊂ A e inoltre ∀B, ? ∈ @ con B C ? si ha che D ⊂ > ⊂ , dunque l’informazione aumenta. Le assunzioni su cui
si lavorerà d’ora in avanti sono:
i.
@ equivalente ad A o ad un intervallo E0, @G
ii.
continuità nell’informazione:
> H I
IJ>
Un processo stocastico K è una collezione di variabili aleatorie indicizzate nel tempo, ovvero K K> : ? ∈ A ,
misurabili rispetto a > , ovvero K> è L -misurabile ∀?, ovvero K è adatto alla filtrazione > : ? ∈ @
.
Se K> fosse solo -misurabile, allora avremmo che, definendo:
Q ∩ … ∩ K>P
QU ∶ 0 / ? / ⋯ C>T / ?,
>M NK>P
O
T
Q , … , QU ∈ X
Y
dove X
è la -algebra di Borel generata da , la -algebra definita sopra racchiude tutta l’informazione necessaria
per conoscere ogni valore del processo K fino alla data ?. Ne consegue che è sempre possibile costruire una -algebra
rispetto alla quale K> è misurabile, e dunque è sempre possibile costruire una filtrazione per il processo K. Questa è
detta filtrazione naturale generata dal processo K.
Si definiscono i seguenti importanti processi stocastici:
1) processo di martingala: si consideri K K> : ? ∈ A tale che:
a. K> ∈ > b. K> |D KD ∀B / ?
tale processo è detto processo di martingala, un processo in cui l’informazione è sempre la stessa, ovvero la
miglior previsione possibile di K per domani è sempre il valore di K oggi. È dunque un processo teoricamente
privo di trend, in cui non ci si aspetta nessuna variazione. È chiaro che vale da:
K> |D KD
la seguente:
;K> |D < KD ovvero:
K> KD dunque il processo rimane costante in media;
2) si definiscono di conseguenza:
a. processo di super-martingala: K> |D / KD ∀B / ?, il processo decresce in media;
b. processo di sub-martingala: K> |D KD ∀B / ? (tipico esempio l’andamento dei prezzi), il
processo cresce in media;
Un processo K viene detto Z-integrabile se:
sup‖K> ‖\] C ∞
>
Teorema di Doob: sia K una martingala Z-integrabile con Z _ 1. Allora anche |K> |a è integrabile, e dunque è possibile
calcolare l’aspettativa condizionata, e dato che questa è calcolata su una funzione convessa, varrà che:
|K> |a |D |K> |D |a |KD |a
essendo una martingala. Ne consegue che la Z-esima potenza di una martingala è una sub-martingala.
Teorema: sia K una martingala Z-integrabile per Z _ 1. Allora valgono le seguenti proprietà:
i.
\]
il processo ha un limite, K> bc Kd
ii.
iii.
tutte le variabili aleatorie sono generate dal limite, ovvero ogni K> è la previsione di ciò che avverrà
all’infinito, K> Kd |> vale la disuguaglianza di Chebishev:
esup|K> | _ fg /
iv.
>
vale che:
1
|Kd |a fa
esup|K> |a g / 2a |Kd |a >
che unita alla ii. Permette di dire che:
|K> |a / |Kd |a |> Dimostrazione i.: si consideri K martingala 2-integrabile, e si consideri i intero, KI i ∈ j
. È possibile dimostrare che:
\k
KI → Kd
Tramite la proprietà di convergenza, è noto che per dimostrare che una successione abbia limite è sufficiente
dimostrare che questa sia una successione di Cauchy, ovvero tale che KI l KIAa diventi sempre più piccolo.
Considerando dunque a riguardo di minimizzare:
supmKI l KIAa m\k sup n;KI l KIAa < o
a
a
sup ;KIAa
" KI l 2KI KIAa < sup n;KIAa
< " KI l 2;KI KIAa <o
a
a
essendo una martingala:
sup n;KIAa
< " KI l 2;;KIAa pI <KI <o sup n;KIAa
< " KI l 2KI KI o
a
a
sup n;KIAa
< l KI o lim ;KIAa
< l KI a
a
Dunque dato K un processo Z-integrabile, ovvero tale che:
sup‖K> ‖\] C ∞
>
\]
Si è visto che il processo ha un limite, K> bc Kd . Infatti sia KI : i ∈ j
, allora si è visto che la differenza:
da cui:
< l KI / lim KU l KI mKI l KIAa m\k n;KI l KIAa < o ;KIAa
U
lim supmKI l KIAa m\k lim KU l KI 0
I
a
U
\k
quindi è una successione di Cauchy e si applica la proprietà di completezza per cui KI → Kd . Se dunque A è t misurabile
vale che
1r K> lim 1r KI 1r Kd Di modo che K> Kd |> I