moto rotatorio

ROTAZIONE RIGIDA ATTORNO AD
UN ASSE FISSO:
MOMENTO ANGOLARE ASSIALE
O appartiene all’ asse, O polo fisso
Z
ω
vi
Ri
Qi
Li
θi
Pi
ri
Li = ri × mi v i
momento angolare di Pi
Li ⊥ vi
Li ⊥ ri
O
vi tangente alla circonferenza descritta da Pi
vi = ωRi
vi ⊥ al piano del disegno
direzione di Li: ⊥ ri nel piano del disegno
Li = mi ri vi
Liz componente di Li lungo l’ asse z
π


L iz = L i cos − θi  = L i sen θi =
2

2
= mi ri visen θi = mi R i vi = mi R i ω
L Z = ∑ i L i z = ∑ i m i R i 2 ω = Iz ω
Lz momento angolare assiale del corpo
rigido
2
I z = ∑i mi R i momento d’ inerzia del
corpo rigido rispetto all’ asse z: dipende
dalle masse e dalla loro posizione rispetto
all’ asse di rotazione
Lz non dipende dalla scelta del polo
Lz ∝ ω
L = Lzk + L⊥uN
Lzk
L
L ⊥ = (∑i mi ri cosθi R i )ω L⊥uN
Lzk può variare solo in modulo
L⊥uN può variare in modulo e direzione
L
ruota attorno all’ asse z:
moto di precessione
Se ω = costante ⇒ L= costante
dL
M=
= ω×L
dt
M ≠ 0 anche se ω = costante
M fa cambiare direzione all’ asse di
rotazione: occorrono dei supporti per
mantenere fisso l’asse
Distribuzione simmetrica rispetto all’ asse z
R1
Z
ω
v2
m
m
v1 R2 r2
r1
L2
L1
O
R1= R2= R
r1= r2= r
v1= v2= ω R
L = L 1 + L 2 = r1 ×m1 v1 + r2 ×m2 v2
L1= L 2
L1Z = L2Z
L1⊥ = − L2⊥
L // ω
2
2
L = (m R ω + m R ω)k =
2
= 2 m R ω = IZ ω
asse di simmetria ≡ asse principale d’ inerzia
Se ω = costante ⇒ L= costante ⇒ M = 0
Equazione del moto
dL
M=
dt
1) L // ω
L = I Zω
dω
M = Iz
= Iz α
dt
dω
α=
dt
M
α=
Iz
dω = α dt
ω
t
∫ dω = ∫ α dt
ω0
0
t
θ = θ0 + ∫ ω dt
0
t
ω = ω0 + ∫ α dt
0
= 0 ⇒ α = 0 ⇒ ω = costante
θ = θ0 + ω t
M = cost ⇒ α = cost ⇒ω = ω0 + α t
M
1
2
θ = θ0 + ω0 t + α t
2
2) L non è parallelo a
Lz = Iz ω
dω
M z = Iz
= Izα
dt
ω:
Mz
α=
Iz
la legge oraria rimane invariata:
α dipende da Mz
ENERGIA CINETICA E LAVORO
per il moto di rotazione attorno ad un asse
1
1
2
2 2
E K = ∑i m ivi = ∑i m i R i ω =
2
2
1
= Iz ω2
2
ωΙ velocità angolare iniziale
ωF velocità angolare finale
∆ EK
1
2 1
= Iz ωF − Iz ωI2 = W
2
2
dθ
dW = dEK = Iz ωd ω = Iz αdt = Mzd θ
dt
θ
W = ∫ Mzd θ
θ0
Se MZ = costante ⇒ W = MZ
( θ − θ0 )