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I prodotti notevoli
Diapositive riassemblate e rielaborate da
prof. Antonio Manca da materiali offerti
dalla rete.
1
2
B
(A+
AB
3
+
2B
A
3
3+
3 +B
A
)3 =
(A
+B
)
(A
-B
)=
(A
+B
) 2=
A2
+2
A
A2
-B 2
B+
B2
2 2
C+
+
2 B
A+
+2
B
A
BC
2
+
AC
2
2=
)
C
B+
+
A
(
2
Premessa
Alcuni tipi di moltiplicazioni tra polinomi, in cui
capita di imbattersi frequentemente, si possono
effettuare in modo rapido, ricordando alcune
semplici regole, chiamate prodotti notevoli.
Essi sono utili non solo per semplificare i calcoli,
ma anche per la scomposizione in fattori di
polinomi.
3
I prodotti notevoli vengono di solito imparati a memoria e
quindi, spesso, è facile fare degli errori o incorrere in
dimenticanze.
E’ necessario perciò impostare lo studio di essi in modo da
presentare due interpretazioni: quella algebrica e quella
geometrica.
La visualizzazione dei prodotti notevoli attraverso l’uso
della geometria aiuterà gli studenti a capire meglio queste
formule e a ricordarle nel tempo.
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Saranno esaminati i seguenti prodotti notevoli
Somma per differenza:
(A+B)(A-B)=A2-B2
Quadrato di un binomio:
(A+B)2=A2+2AB+B2
Quadrato di un trinomio:
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
Cubo di un binomio:
(A+B)3=A3+B3+3A2B+3AB2
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Somma per differenza
(interpretazione algebrica)
Eseguiamo la moltiplicazione tra A+B e A-B:
(A+B)(A-B) = A2-AB+BA-B2 = A2-B2
Se A e B sono due generici monomi, il prodotto della
somma di A e B per la loro differenza è uguale alla
differenza tra il quadrato di A e il quadrato di B:
(A+B)(A-B)=A2-B2
6
Somma per differenza
(interpretazione geometrica)
B
A-B
B
2
1
A
A²-B²
A-B
A
Ritagliamo da un angolo di un quadrato di lato A un quadrato di lato B: si
ottiene una figura di area A2-B2 che è la differenza tra quadrato giallo e
quadrato rosso chiaro.
• Calcoliamo ora le aree: 1 e 2.
• Area 1=A*(A-B)=A²-AB;
• Area 2=B*(A-B)=AB-B²,
• Sommo Area1 con Area2 → Area1+Area2=A²-AB+AB-B²=A²-B²
7
Esempi (differenza di quadrati)
• (3x+2y)(3x-2y)=(3x)2-(2y)2=9x2-4y2
• (½ab-5c)(½ab+5c)=(½ab)2-(5c)2=¼a2b2-25c2
• (-4xy+z2)(-4xy-z2)=(-4xy)2-(z2)2=16x2y2-z4
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Quadrato di un binomio
(interpretazione algebrica)
Calcoliamo il quadrato di A+B:
(A+B)2 =(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2= A2+2AB+B2
Se A e B sono due generici monomi, il quadrato di A+B
è uguale al quadrato di A più il doppio prodotto di A e
B più il quadrato di B:
(A+B)2=A2+2AB+B2
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Quadrato di un binomio
(interpretazione geometrica)
Il quadrato di sinistra ha lato A+B e quindi la sua area è (A+B)2.
●
Il quadrato di destra è diviso in due quadrati di area A2 (verde) e B2
(azzurro) e in due rettangoli di colore arancione, ognuno di area
AB.
• Dall’equivalenza delle due figure segue (A+B)2=A2+2AB+B2.
●
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Esempi (quadrato di un binomio)
• (2x+3y)2=(2x)2+2(2x)(3y)+(3y)2=4x2+12xy+9y2
• (4xy-z2)2=(4xy)2+2(4xy)(-z2)+(-z2)2=16x2y2-8xyz2+z4
• (½a+b)2=(½a)2+2(½a)(b)+(b)2=¼a2+ab+b2
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Quadrato di un trinomio
(interpretazione algebrica)
Calcoliamo il quadrato di A+B+C:
(A+B+C)2 =
=(A+B+C)
(A+B+C)=A2+AB+AC+BA+B2+BC+CA+CB+C2=
= A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
Dati i monomi A, B e C il quadrato del trinomio è uguale alla
somma dei quadrati dei tre termini e dei doppi prodotti di ciascuno
di essi per tutti quelli che lo seguono:
(A+B+C)2 =A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
12
Quadrato di un trinomio
(interpretazione geometrica)
Il quadrato di sinistra ha lato A+B+C e quindi la sua area è
(A+B+C)2.
• Il quadrato di destra è diviso in un quadrato giallo di area A 2,
uno rosa di area B2 e uno azzurro di area C2, in due rettangoli
arancione ognuno di area AB, in due rettangoli verdi ognuno di
area AC e in due rettangoli viola ognuno di area BC.
delle
due
figure
segue
• Dall’equivalenza
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC.
●
Esempi (quadrato di un trinomio)
• (2x-y-z)2=(2x)2+(-y)2+(-z)2+2(2x)(-y)+2(2x)(-z)+2(-y)(-z)=
=4x2+y2+z2-4xy-4xz+2yz
• (2a2-ab+3b)2=(2a2)2+(-ab)2+(3b)2+2(2a2)(-ab)+2(2a2)(3b)+2(-ab)(3b)=
=4a4+a2b2+9b2-4a3b+12a2b-6ab2
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Cubo di un binomio
(interpretazione algebrica)
Calcoliamo il cubo di A+B:
(A+B)3 =(A+B)2(A+B)=(A2+2AB+B2)(A+B)=
=A3+A2B+2A2B+2AB2+AB2+B3=
= A3+B3+3A2B+3AB2
Dati i monomi A e B il cubo di A+B è uguale alla somma
dei cubi di A e B più il triplo prodotto del quadrato di A per
B più il triplo prodotto di A per il quadrato di B:
(A+B)3=A3+B3+3A2B+3AB2
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Cubo di un binomio
(interpretazione geometrica)
• L’interpretazione geometrica della formula del cubo di un binomio
si può effettuare nello spazio.
• Il cubo di sinistra ha spigolo A+B e quindi il suo volume sarà
(A+B)3.
• Il cubo di destra risulta essere suddiviso in due cubi e in sei
parallelepipedi.
• Dall’equivalenza dei due cubi segue (A+B)3=A3+B3+3A2B+3AB2.
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Esempi (cubo di un binomio)
• (x+2y)3=(x)3+(2y)3+3(x)2(2y)+3(x)(2y)2=
=x3+8y3+6x2y+12xy2
• (a2b-c)3=(a2b)3+(-c)3+3(a2b)2(-c)+3(a2b)(-c)2=
=a6b3-c3-3a4b2c+3a2bc2
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I prodotti notevoli
TRIANGOLO DI TARTAGLIA
Esprime i coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio:
ESEMPIO
(a + 2)5 =
= 1  a5 + 5  2a4 + 10  4a3 + 10  8a2 + 5  16a + 1  32 =
= a5 + 10a4 + 40a3 + 80a2 + 80a +32
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