Grafici e trasformazioni elementari del piano

Grafici e trasformazioni elementari del piano
1) Simmetrie: y = f (x), y = f (x) e y = f (x)
• I grafici y = f (x) e y = f (x) sono l’uno il simmetrico dell’altro rispetto
all’asse delle ordinate.
• I grafici y = f (x) e y = f (x) sono l’uno il simmetrico dell’altro rispetto
all’asse delle ascisse.
• I grafici y = f (x) e y = f (x) sono l’uno il simmetrico dell’altro rispetto
all’origine delle cooordinate.
Si noti che il grafico y = f (x) si ottiene dal grafico y = f (x) simmetrizzando successivamente rispetto ai due assi coordinati (in un ordine
qualunque).
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2) Traslazioni: y = f (x + x0 ) e y = f (x) + y0
Siano x0 , y0 5 R non nulli.
• Il grafico y = f (x + x0 ) si ottiene traslando orizzontalmente il grafico y =
f (x) di una lunghezza pari a |x0 |, verso sinistra se è x0 > 0 e verso destra
se è x0 < 0.
• Il grafico y = f (x)+y0 si ottiene traslando verticalmente il grafico y = f (x)
di una lunghezza pari a |y0 |, verso l’alto se è y0 > 0 e verso il basso se è
y0 < 0.
Naturalmente, il grafico y = f (x + x0 )+y0 si otterrà dal grafico y = f (x) operando
successivamente (in un ordine qualunque) le traslazioni sopra descritte.
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3) Omotetie: y = f (x) e y = f (x)
Siano , 5 R positivi e diversi da 1.
• Il grafico y = f (x) si ottiene dal grafico y = f (x) “stirandolo” o “comprimendolo” orizzontalmente, a seconda che sia 0 < < 1 oppure > 1
rispettivamente.
• Il grafico y = f (x) si ottiene dal grafico y = f (x) “stirandolo” o “comprimendolo” verticalmente, a seconda che sia > 1 oppure 0 < < 1
rispettivamente.
Naturalmente, il grafico y = f (x) si otterrà dal grafico y = f (x) operando
successivamente (in un ordine qualunque) le omotetie (1) sopra descritte.
Nel caso in cui almeno uno tra e sia negativo, si può procedere combinando
omotetie e simmetrie. Ad esempio, se è < 0 e si vuole il grafico y = f (x), si
traccerà il grafico intermedio y = f (x) dilatando il grafico y = f (x) come sopra
descritto (essendo > 0) e poi si operererà una simmetrizzazione orizzontale per
ottenere il grafico voluto.
1 Precisiamo che entrambe le operazioni di ‘stiramento’ e ‘compressione’ vanno sotto il nome
di omotetie o dilatazioni.
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Grafici con valore assoluto
• Il grafico y = f (|x|) si ottiene cancellando l’eventuale tratto del grafico y =
f (x) che giaccia nel semipiano x < 0 delle ascisse negative e poi simmetrizzando rispetto all’asse delle ordinate.
• Il grafico y = |f (x)| si ottiene simmetrizzando rispetto all’asse delle ascisse
l’eventuale tratto del grafico y = f (x) che giaccia nel semipiano y < 0 delle
ordinate negative.
Naturalmente, il grafico y = |f (|x|)| si otterrà dal grafico y = f (x) procedendo
successivamente (in un ordine qualunque) alle operazioni sopra descritte.