d dt - LaDiSpe

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CAPITOLO 5. DINAMICA DEL MANIPOLATORE
d
Primo termine:
dt
∂L
∂ q̇i
.
Considerando le (5.32) e (5.33) risulta
d ∂L
d ∂ (C(q, q̇) − P(q))
=
dt ∂ q̇i
dt
∂ q̇i
d ∂C(q, q̇)
=
dt
∂ q̇i
!
d P
=
Hij (q)q̇j
dt j
=
P
Hij (q)q̈j +
j
dove
(5.38)
P dHij (q)
q̇j
dt
j
X ∂Hij (q)
dHij (q)
q̇j =
q̇k
dt
∂qk
(5.39)
k
da cui risulta alla fine:
X
X X ∂Hij (q)
d ∂L
=
q̇k q̇j
Hij (q)q̈j +
dt ∂ q̇i
∂qk
j
j
(5.40)
k
Secondo termine: −
∂L
∂C
∂P
=−
+
.
∂qi
∂qi
∂qi
Esaminiamo i due contributi a destra del segno di uguaglianza:
primo contributo:


n
n
n
n
1 X X ∂Hjk (q)
∂ 1 X X
∂C
Hjk (q)q̇j q̇k  = −
=−
q̇j q̇k
−
∂qi
∂qi 2 j=1
2 j=1
∂qi
k=1
k=1
(5.41)
secondo contributo:
n
n
X
X
∂r 0,cj (q)
∂P
(j)
=−
=−
mj γ T
mj γ T J Li (q)
∂qi
∂q
i
j=1
j=1
(5.42)
Sostituendo le espressioni dei due contributi nella formula (5.20), ed evidenziando la dipendenza dalle variabili giunto, avremo alla fine la seguente espressione:
X
X
X dHij (q)
1 X X ∂Hjk (q)
(j)
q̇j −
q̇j q̇k −
mj γ T J Li (q) = Fi
Hij (q)q̈j +
dt
2
∂q
i
j
j
j
j
k
ovvero
X X ∂Hij (q)
X
1 X X ∂Hjk (q)
q̇k q̇j −
q̇j q̇k
Hij (q)q̈j +
∂qk
2 j
∂qi
j
j
k
k
X
(j)
−
mj γ T J Li (q) = Fi
j