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De Paulis-Manfredi
Costruzione di Macchine
SOLUZIONE ESERCIZI CAPITOLO 11
11.1 - Nel giunto di gura la coppia viene trasmessa dai bulloni. Lo scopo di questo
esercizio è di stimare la capacità di trasmissione di una coppia basata sull'attrito.
Si assuma
numero bulloni = 6;
diametro nominale bulloni = 12 mm;
precarico bulloni = 25 kN;
diametro interno di contatto fra le superci
diametro esterno di contatto
velocità rotazione giunto
N
de
Acciaio albero
Sy
= 175 mm;
= 300 giri/minuto;
coeciente di attrito fra le superci
Diametro nominale albero
di
= 200 mm;
D
µ
= 0,15;
= 50 mm;
= 300 MPa,
Su
= 568 MPa.
Nell'ipotesi dell'esercizio i bulloni sono contenuti in una cavità con gioco.
a) calcolare la massima potenza che può essere trasmessa in condizioni di inizio
strisciamento;
b) confrontare la potenza trasmessa in queste condizioni con la potenza che può essere
trasmessa dall'albero.
Svolgimento
Il diametro della circonferenza in cui si trovano gli assi dei bulloni è
Db = 0, 5(de − di )
= 187,5 mm.
Poichè i
z
bulloni creano una zona di contatto con attrito tra le ange nell'intorno
del proprio foro e poichè la forza di serraggio è nota, il contributo alla trasmissione della
coppia fornito da queste superci sarà
Mt = z µ Fi
Db
2
Esercizio 11.1
2
con
Fi
precarico nei bulloni.
Con i valori numerici risulta:
Mt
= 2 109 Nm e la potenza massima trasmissibile
W = ΩMt
= 66 kW.
Una stima della potenza che può essere trasmessa dall'albero è data dalla massima
tensione tangenziale ammissibile:
Mt
≤ τamm .
0, 2D3
√
La tensione tangenziale di snervamento è Ssy = Sy / 3 =
coeciente di sicurezza CS = 2, kf = 1,3 per tener conto della
τmax = kf
173 MPa; assumendo un
cava per linguetta,
τamm
86 MPa:
M̄t =
τamm
0, 2D3 = 1665 Nm
kf
e la potenza vale 52 kW.
Esiste quindi un margine di sicurezza per il momento che si trasmette con le forze di
attrito.
3
Esercizio 11.2
11.2 - Un giunto Bibby di Fig. 11.25 del testo, ha il nastro metallico di connessione
la cui sezione radiale ha una distanza media
diametro
d
Rm
= 38 mm dall'asse dell'albero che ha
= 25 mm.
Il nastro di sezione 0,2x2,5 mm è in acciaio laminato e trattato con
Su
Sy
= 780 MPa,
= 1030 MPa.
Il collegamento deve assicurare il 95% della resistenza dell'albero; sotto quali con-
dizioni si può essere sicuri di questo vincolo trasmettendo la potenza di 10 kW ?
Svolgimento
Per l'albero, tenendo conto della cave per linguetta, si considera una
τamm
= 33 MPa
Mt = τamm Wt = τamm 0, 2d3 = 33 · 0, 2 · 253 = 103 Nm.
La velocità angolare è
Ω = 97 s−1 .
Il 95% di questo momento torcente deve essere tramesso da
z
superci di rottura
Mt = τamm shRm · z/0, 95.
Si suppone che il nastro sia sollecitato solo da tensione tangenziale e si assume per la
supercie di rottura una
R
τamm
con un coeciente di adabilità 3,2 (e quindi adabilità
= 99,9%) ed un valore medio di rottura
τu
=
√
Su / 3
e quindi
Si ottiene pertanto
z = 0, 95
Mt
≈ 28.
τamm sh Rm
τamm
= 185 MPa.
4
Si assumono 30 lamine attive e con questo numero il giunto trasmette la coppia
Mt0 = τamm sh Rm z = 105 Nm
e la potenza che tutte le lamine possono trasmettere è uguale a 10,23 kW.
Dall'esercizio si comprende che l'elemento di collegamento fra i due semigiunti può
trasmettere una coppia anche maggiore di quella dell'albero a favore della sicurezza;
per questa ragione le normative impongono che l'elemento del giunto che trasmette il
momento debba avere almeno il 95% della resistenza dell'albero.
5
Esercizio 11.3
11.3 - Due alberi appoggiati sono collegati mediante due giunti cardanici nella dis-
posizione a
W
(Fig. 11.3).
Conoscendo la coppia
M1
applicata al primo albero determinare le caratteristiche di
sollecitazione negli alberi.
Svolgimento
Il modello, secondo la
Teoria delle Travi, è in Fig.
11.3. Si tratta di due travi appog-
giate connesse da una trave intermedia; in questo sistema vengono applicati dei momenti:
•
momento
M1
che sollecita a torsione il primo albero;
•
momento
M2
che sollecita a torsione il secondo albero;
•
momento
- per
- per
MQ che
θ1 = 0 è applicato alle estremità dell'albero telescopico intermedio;
θ1 = π/2 è applicato alle estremità dell'albero 1 e dell'albero 2.
Questo momento in gura non è stato rappresentato nella maniera convenzionale,
ossia con un arco di cerchio, ma è stato rappresentato con una coppia di forze collegate
alla trave-albero mediante un'asta innitamente rigida. Questa rappresentazione è più
aderente alla realtà sica ed è anche più intuitiva.
Nella Fig. 11.3.1 vengono rappresentate le caratteristiche di sollecitazione le quali per
una rotazione
0 ≤ θ1 ≤ 0, 5π
passano da un valore ad un altro e quindi i due alberi 1 e
2 e l'albero telescopico sono sollecitati a fatica.
6
Fig. 11.3.1 - Caratteristiche di sollecitazioni dovute solo ai momenti
MQ
7
Esercizio 11.4
11.4 - In un giunto cardanico nel lato motore viene applicato un momento
M1
= 50
Nm. Per la scelta del cuscinetto da usare nei collegamenti forcella/cerniera calcolare le
forze in corrispondenza dei perni della crociera conoscendo la distanza
perni opposti e l'angolo di inclinazione dell'albero condotto
β
h
= 50 mm fra i
◦
= 20 . Con quale criterio
si sceglierà il diametro degli stessi perni ?
Svolgimento
La forza F che agisce su un perno della crociera in assenza di attrito varia da M1 /h a
M1 /(hsenβ) con h distanza fra le sezioni medie dei due perni contrapposti su uno stesso
asse.
Quindi, se si suppone che sia il momento applicato che la velocità di rotazione siano
costanti nel tempo, la forza che agisce sul perno varia di valore nel tempo fra i due valori
sopra indicati.
Nella sezione alla base del perno, distante
a
dal punto di applicazione della forza, si
ha la massima tensione di essione; il momento ettente vale, con la forza
Mf 1 = F1 a;
σ1 =
Con la forza
F1 = M1 /h,
la tensione nominale è
F1 a
M1 a
Mf 1
=
=
.
0, 1d3
0, 1d3
0, 1d3 h
F2 = M/(hsenβ)
σ2 =
Mf 2
M1 a
=
.
3
0, 1d
0, 1d3 hsenβ
Nei due casi il massimo valore della tensione tangenziale in corrispondenza del diametro della sezione perpendicolare alla forza
τ1 =
4 F1
4 M1
=
3 A
3 hA
F
e
varia fra i valori
τ2 =
4 M1
3 hsenβA
8
con
A = πd2 /4
area della sezione.
Per la verica a fatica l' ampiezza della tensione normale nominale è data da
σa,n
1
1
= (σ2 − σ1 ) =
2
2
1
M1 a
M1 a
− 1
= 0, 9619
3
sen β
0, 1d h
0, 1d3 h
ed il valore medio nominale
1
M1 a
(σ2 + σ1 ) = 1, 9619
.
2
0, 1d3 h
σm,n =
con
1/sen β
= 2,9238.
Il perno a sezione circolare è incastrato in un elemento a forma di cubo rappresentato
in gura 11.4.1; per la brusca variazione delle dimensioni c'è un eetto di intaglio; per
conoscere lo stato di tensione reale occorrerebbe utilizzare il metodo degli Elementi Finiti.
Qui si assume
kf
= 1,3. Pertanto
σa = kf 0, 9619
M1 a
.
0, 1d3 h
La geometria del cubo può essere modicata con ampi raccordi tenendo conto dello spazio
a disposizione.
Per la tensione tangenziale si ha
τa = 1, 2825
M1
hA
τm = 2, 6158
M1
hA
Per l'ampiezza equivalente della tensione normale si può usare, cautelativamente, la
formula (si veda il paragrafo 5.7 del testo)
σa eq =
se si utilizza l'ipotesi di
p
σa2 + 3τa2 ;
Rankine-Galileo per il calcolo del valore medio
σm eq
Se, ad esempio, l'acciaio usato ha
σm
=
+
2
Sn
r
σ m 2
2.
+ τm
2
= 275 MPa e
Su
= 900 MPa, si può usare una serie
e di σa eq corrispondenti.
σa eq = f (σm eq ) si ottiene una curva che si discosta poco
da una retta (bastano quindi due soli valori di d). Questa retta consente di determinare,
intersecandola con la retta di Goodman (punto Q di gura), il valore del diametro minimo
dmin per cui si ha rottura. Con i dati assegnati dmin = 10,5 mm.
discreta dei valori del diametro e calcolare i valori di
σm eq
Rappresentando la funzione
dmin determinato.
C.S. = 1,4.
Si sceglie quindi un diametro maggiore del valore minimo
esempio se si sceglie
d
= 12 mm, il coeciente di sicurezza è
Ad
La rigidezza del perno si verica calcolando la freccia e la rotazione statiche considerando il perno come una trave incastrata; alla estremità, in corrispondenza della
applicazione delle forze, si ha
δ =
Fmax a3
3EI
ϕ =
Fmax a2
2EI
9
Fig. 11.4.1 - Determinazione del diametro
d
con la verica a fatica.
Dovrà essere
δ ≤ δamm
ϕ ≤ ϕamm .
Determinata la geometria con i calcoli di cui sopra, occorre scegliere come realizzare
i supporti dei perni della crociera. A questo punto diviene importante realizzare il disegno: esiste un problema di montaggio, ossia di ingombro. Per basse potenze e quindi
dimensioni limitate si usano cuscinetti di strisciamento, per grandi potenze e dimensioni
più grandi si usano cuscinetti volventi. Per ragioni di ingombro si utilizzano cuscinetti
a rullini per i quali viene usata la soluzione con doppio anello oppure con il solo anello esterno.
In quest'ultimo caso occorre prescrivere non solo tolleranze alla supercie
cilindrica dei perni ma anche la rugosità e lo stato sico delle superci (durezza).
Per i cuscinetti di strisciamento occorre vericare la pressione convenzionale
prodotto
Se
d
e
L
pc V
pc ,
il
e occorre stimare la temperatura di esercizio.
sono rispettivamente il diametro e la lunghezza della porzione del perno a
contatto con il vincolo costituito da un cuscinetto (a strisciamento o a rullini) si ha la
pressione convenzionale
pc = F/(Ld)
Con riferimento alla Fig.
che deve essere
< pamm .
11.6 del testo, la determinazione delle velocità relative,
ovvero delle rotazioni relative, della crociera
C
rispetto ai due bracci
A
e
B
delle due
forcelle fra loro ortogonali consente il calcolo dei lavori delle resistenze passive negli
accoppiamenti rotoidali.
La determinazione della velocità relativa fra perno e crociera non è semplice; occorre
1
applicare i risultati della cinematica appresi a Meccanica Applicata . La velocità relativa fra perno e crociera varia fra un minimo ed un massimo. Con questi valori si può
determinare un valore medio
Vm .
Deve essere
pc Vm ≤ (pc V )amm .
L
Se si usa un un cuscinetto a rullini occorre calcolare la durata
del cuscinetto.
Commento
L'esercizio, come formulato, si limita ai criteri di dimensionamento dei perni della
crociera. Poichè in gura 11.4 le forcelle hanno come asse archi di circonferenza è istruttivo calcolare le caratteristiche di sollecitazione anche per le forcelle.
1 Ad
esempio: Meccanica Applicata di C. Ferrari
10
Esercizio 11.4.1
11
Per le forze
Fa che agiscono nel piano dell'asse baricentrico della forcella, individuando
S con l'angolo ϕ (gura 14.2.1) si ha il momento ettente
una generica sezione
Mf (ϕ) = Fa R(1 − sen ϕ).
La forza
Fa
decomposta secondo la tangente e la normale alla circonferenza, asse della
trave, fornisce la forza normale
N (ϕ)
e la forza di taglio
N (ϕ) = Fa cos ϕ
T (ϕ):
T (ϕ) = Fa sen ϕ
ϕ = 0 si ottiene N (0) = 0 e T (0) = Fa , mentre per ϕ = π/2 N (π/2) = Fa
T (π/2) = 0. //
Per la forza Fb che agisce perpendicolarmente al piano della forcella, individuando
una generica sezione S con l'angolo ϕ (gura 14.2.1) si ha il momento ettente
Si noti che per
e
Mf (ϕ) = Fb R cos ϕ
ed il momento torcente
Mt (ϕ) = Fb R(1 − sen ϕ)
Fb .
Mf (0) = Mt (0) = Fb R.
mentre il taglio è costante ed uguale a
Per
ϕ = 0
si ottiene
Per il calcolo delle tensioni, se le dimensioni della sezione sono piccole rispetto al raggio
R,
si utilizzeranno le formule della Teoria delle Travi; se le dimensioni sono confrontabili
con
R
occorre utilizzare le formule valide per i solidi a
grande curvatura
(vedere para-
grafo 8.6 del testo). Se inne la geometria è molto complessa occorre eseguire il calcolo
numerico con il metodo degli E.F.
12
11.5 - Fra due alberi viene trasmessa una potenza di
W = 10 kW a 780 giri al minuto.
La trasmissione non è continua ma intermittente. I due alberi collegati sono molto corti
e quindi con elevata rigidezza torsionale.
lato utilizzatore è stato stimato
Ko
Il fattore di servizio per il lato motore e il
= 3,5. Scegliere il giunto da utilizzare. Si invita a
consultare i cataloghi nella rete Internet.
Svolgimento
La velocità angolare è
Ω =
quindi la coppia da trasmettere è
M
πN
= 81s−1
30
= 122 Nm.
La coppia massima che tiene conto del fattore di servizio è
Mmax = Ko · M
= 428
Nm.
I componenti collegati sono molto rigidi; si ritiene perchè non esplicitamente assegnato nella formulazione dell'esercizio che gli errori di allineamento siano contenuti.
Qualora gli errori di allineamento non possono essere determinati sperimentalmente, plausibili valori possono essere:
•
•
•
spostamento in senso radiale: 2 mm;
spostamento in senso assiale: 2 mm;
◦
spostamento angolare: 2 .
Per compensare questi errori si sceglie un giunto elastico. Per evitare eccessive oscillazioni torsionali si ritiene di adottare un giunto elastico con un elevato fattore di
smorzamento.
Tra i vari tipi di giunto che soddisfano questi requisiti si cita, a titolo di esempio, il
Megiex della ditta Vulkan, che è illustrato ampiamente all'indirizzo
www.vulkan.com.
giunto elastico tipo
web
Questo giunto elastico ha un valore massimo del momento da trasmettere
Mmax
=
440 Nm, inoltre consente di avere:
•
•
•
2 mm di spostamento permanente in senso radiale;
5 mm di spostamento permanente in senso assiale;
◦
2
di spostamento permanente angolare.
La rigidezza torsionale è
KT
= 5850 Nm/radiante e lo smorzamento relativo è 0,75.
La temperatura di esercizio deve essere compresa nell'intervallo
−20◦ ≤ θ ≤ +40◦ C.
Considerazioni sulla scelta dei giunti
Prima di scegliere un giunto o i giunti occorre conoscere le proprietà elastiche e
inerziale di tutto il sistema.
Quindi determinare, se possibile sperimentalmente, l'allineamento degli alberi.
2 J.
Pietrowski, Shaft Alignment Handbook, CRC Press
2
13
La misura dell'allineamento (ossia degli scostamenti: angolare, radiale, assiale) tra le
estremità dei due alberi si esegue:
- tramite una barra rettilinea e precisa, che si appoggia ad un albero, e tramite livella e
spessori che si inlano nella fessura che si crea tra la barra e l'altro albero;
- tramite comparatore montato su una angia calettata sul primo albero ed appoggiato
ad una angia gemella del secondo albero, sia perifericamente (misure dell'errore di parallelismo) sia assialmente (misure dell'errore angolare);
- tramite raggio di luce laser: è il sistema più usato attualmente, ed è commercializzato
da varie ditte.
È stato evidenziato nelle applicazioni che i bulloni di collegamento delle ange dei
giunti devono avere lo stesso precarico. Quindi i bulloni svolgono un ruolo importante
che occorre ricordare quando si specica il collaudo del montaggio di una macchina.
Nella misura degli scostamenti dall'asse teorico occorre utilizzare un diagramma (la
mappa di allineamento); questo consiste nella rappresentazione graca dell'allineamento
desiderato a freddo e che costituisce un documento importante anche per l'allineamento
raggiunto in sede di collaudo. Nei diagrammi devono essere rappresentati con chiarezza
le misure rilevate e quindi la congurazione esistente, quella che si desidera raggiungere
e come, con il loro uso, si possa ottenere l'allineamento desiderato.
Nei diagrammi deve essere riportato il legame fra gli spostamenti previsti per l'allineamento durante le operazioni di montaggio, deve fornire quelli che migliorano l'allineamento, deve indicare gli spessori necessari per le piastre alla base di una macchina. Inne
sul documento si registra l'allineamento raggiunto in sede di montaggio ed è la base per
future correzioni che possono essere suggerite durante le condizioni operative delle macchine.
Nei diagrammi per avere una mappa completa occorre sia la proiezione in un piano orizzontale che in quello verticale.
Il disallineamento può prodursi dopo un periodo di funzionamento a causa dell'assestamento delle fondazioni.
Nelle applicazioni meccaniche sovente si fa riferimento alla API Standard 671.
Si ritiene acquisita la distinzione fra giunti rigidi e giunti elastici illustrati nel Cap.
11.
Nella scelta di un giunto di collegamento occorre conoscere
•
•
•
il valore della coppia nominale trasmessa (potenza, numero di giri);
i valori di picco del momento;
gli andamenti della coppia motrice e di quella resistente; se periodici le frequenze
eccitatrici;
• il bilanciamento degli alberi;
• il numero di giri e i suoi limiti critici;
• interfacce, ingombri, ambiente, temperatura;
• esigenze montaggio/smontaggio, durata, etc.;
• trasmissione di spinte assiali;
• protezione per i sovraccarichi.
• l'opportunità o meno che il giunto garantisca la trasmissione della potenza dopo un
cedimento parziale o totale dell'elemento elastico;
14
•
•
•
•
•
•
la facilità del montaggio e dello smontaggio;
esigenze di lubricazione (se richiesta) e la durata prevista del giunto;
l'ambiente di lavoro in cui si utilizza il giunto;
la vita o durata del giunto;
la manutenzione del giunto;
l'ambiente di lavoro e quindi l'idoneità a funzionare correttamente in simile ambi-
ente; in questo caso è importante anche la temperatuta;
•
se il giunto deve assicurare protezione lato motore primo se il lato utilizzatore
subisce bruschi arresti;
•
i costi e quindi l'importanza della applicazione.
Giunti elastici progettati per ottenere un elevato smorzamento torsionale e indicati
anche come
giunti ammortizzati
hanno lo scopo di fornire un elevato fattore di smorza-
mento per le oscillazioni torsionali.
Si richiede una elasticità torsionale con smorzamento anche quando non si hanno oscillazioni torsionali forzate ma si è in presenza di coppie impulsive (messa in moto o
arresto).
Spesso questi sovraccarichi sono dovuti sia ai motori primi utilizzati sia al
momento resistente utile dell'utilizzatore.