Esame 24/01/2014: testo e soluzioni

Corso di Laurea in Matematica
Probabilità I
Canale Alessandra Faggionato
Anno Accademico 2012-2013
24 Gennaio 2014
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chiaramente i procedimenti o i risultati proposti. Avete due ore e quaranta
minuti. Il testo continua sul dorso del foglio.
FORMULARIO
Se X è v.a. binomiale di parametri n, p, allora E(X) = np, V ar(X) = np(1 − p).
Se X è v.a. geometrica di parametro p, allora E(X) = 1/p, V ar(X) = (1 − p)/p2 .
Se X è v.a. di Poisson con parametro λ, allora E(X) = λ, V ar(X) = λ.
Se X è v.a. ipergeometrica di parametri n, N, m (tipo: estraggo senza rimpiazzo
n palline da un’urna con m palline bianche e N − m palline nere e X è il numero
−n
di palline bianche estratte) allora E(X) = nm/N e V ar(X) = N
N −1 np(1 − p) dove
p = m/N .
ESERCIZIO 1. Due sorelle, Anna e Laura, sono fisicamente simili e condividono
il guardaroba. Possiedono 10 paia distinte di scarpe (di cui 5 paia sportive e 5
eleganti), 8 paia distinte di pantaloni (di cui 6 paia sportivi e 2 eleganti) e 10
diverse camicie (di cui 4 sportive e 6 eleganti).
Devono uscire per una cena e dalla fretta si vestono a caso mettendo ciascuna
un paio di scarpe (le scarpe sono sembra abbinate, dello stesso paio), un paio di
pantaloni e una camicia (oltre alla biancheria intima).
(a) Calcolare la probabilità che alla cena si presentino entrambe vestite con
solo capi (incluse scarpe) eleganti e non sportivi.
Laura decide di andare a vivere con il suo compagno e quindi Anna e Laura
devono dividersi il guardaroba. Per evitare litigi decidono di dividersi a caso le 10
paia di scarpe (5 paia a testa), le 8 paia di pantaloni (4 paia a testa) e le 10 camicie
(5 paia a testa).
(b) Determinare la probabilità (non serve svolgere tutti i calcoli) che alla fine
Laura abbia scarpe tutte sportive e pantaloni tutti sportivi.
Alla fine Laura non sopporta più il suo nuovo compagno che è più interessato
all’integrale di Lebesgue che a lei e decide di tornare a vivere con sua sorella. Le due
sorelle decidono di rinnovare parte del guardaroba. Per ognuno dei 28 capi di cui
sopra (10 paia di scarpe, 8 paia di pantaloni e 10 camicie) decidono lanciando una
moneta se sostituirlo comprandone uno nuovo (esce testa) oppure no (esce croce).
La moneta è truccata e testa esce con probabilità 2/3.
(c) Determinare la probabilità (non serve svolgere tutti i calcoli) che non venga
comprato alcun paio di scarpe nuovo oppure che non venga comprato alcun
paio di pantaloni nuovo oppure che non venga comprata alcuna camicia
nuova.
(d) Se un paio di scarpe nuove costa 10 euro, un paio di pantaloni nuovi costa
20 euro e una camicia nuova costa 30 euro, calcolare media e varianza della
spesa sostenuta per rinnovare il guardaroba.
1
2
Soluzione Esercizio 1:
(a) Per il principio del calcolo combinatorio i modi possibili per vestirsi sono
(10 · 9)(8 · 7)(10 · 9) (determino scarpe di Anna in 10 modi, poi determino
scarpe di Laura in 9 modi, determino i pantaloni di Anna in 8 modi...).
Similmente i modi possibili per vestirsi di soli capi eleganti sono (5 · 4)(2 ·
1)(6 · 5). Quindi la prob. cercata vale
(5 · 4)(2 · 1)(6 · 5)
1
1
=
=
,.
(10 · 9)(8 · 7)(10 · 9)
18 · 21
378
(b) Laura sceglie a caso 5 paia di scarpe tra 10 (e 5 sono quelle sportive) e 4
paia di di pantaloni tra 8 (e 6 sono quelle sportive). quindi la probabilità è
6
5
5
48
10
5
4
.
(c) Siano A,B,C gli eventi “non viene comprato alcun paio di scarpe nuovo”, “non viene comprato alcun paio di pantaloni nuovo”, “ non viene comprata alcuna camicia nuova”, rispettivamente. per il principio di
inclusione-esclusione
P (A ∪ B ∪ C)
= P (A) + P (B) + P (C)
− P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
Per indipendenza abbiamo quindi
P (A ∪ B ∪ C)
= 2(1/3)10 + (1/3)8 − 2(1/3)18 − (1/3)20 + (1/3)28
Altro metodo: Per De Morgan e indipendenza abbiamo
P (A ∪ B ∪ C) = 1 − P (Ac ∩ B c ∩ C c ) = 1 − P (Ac )P (B c )P (C c ) .
Inoltre P (Ac ) = 1 − P (A) = 1 − (1/3)10 , P (B c ) = 1 − P (B) = 1 − (1/3)8
e P (C c ) = 1 − P (C) = 1 − (1/3)10 . Quindi
P (A ∪ B ∪ C) = 1 − (1 − (1/3)10 )2 (1 − (1/3)8 )
= 2(1/3)10 + (1/3)8 − 2(1/3)18 − (1/3)20 + (1/3)28
(d) Chiamo X, Y, Z il numero di paio-scarpe, paio-pantaloni e camicie acquistate, rispettivamente. La spesa sostenuta è data da S = 10X +20Y +30Z.
X, Y, Z sono v.a. indipendenti e X = Bin(10, 2/3), Y = Bin(8, 2/3),
Z = Bin(10, 2/3). Quindi per la linearità del valore atteso
E(S) = 10E(X) + 20E(Y ) + 30E(Z)
= 10 · 10 · (2/3) + 20 · 8 · (2/3) + 30 · 10 · (2/3) = 560 · (2/3) = 1120/3 .
Siccome X, Y, Z sono intendenti, abbiamo
Var(S) = 100Var(X) + 400Var(Y ) + 900Var(Z)
= 100 · 10 · (2/3)(1/3) + 400 · 8 · (2/3)(1/3) + 900 · 10 · (2/3)(1/3)
= (2000 + 6400 + 18000)/9 = 26400/9 .
3
ESERCIZIO 2. Durante i 365 giorni dell’anno, Ivan mette la sveglia alle 8 del
mattino. Tuttavia, ogni giorno indipendentemente dagli altri, egli non sentirà la
sveglia con probabilità 1/4 (e si sveglierà grazie ad essa con probabilità 3/4). Se
non sente la sveglia, Ivan poltrisce per altre 2 ore e alle 10 in punto si alza immediatamente. Se invece sente la sveglia, egli rimarrà a poltrire nel letto un tempo
aleatorio T ≥ 1 (sempre ogni giorno indipendentemente dagli altri) che soddisfa
P(T ≥ t) =
1
t3
∀t ≥ 1 ,
dove l’unità di misura è l’ora.
(a) Calcolare la probabilità che Ivan si svegli dopo le ore 10 in un dato giorno.
(b) Calcolare il valore atteso della variabile aleatoria X data dall’orario a cui
si alza Ivan in un dato giorno (tutto misurato in ore, es X = 10.5 significa
che Ivan si alza alle 10 e 30 minuti).
(c) Utilizzando un’opportuna approssimazione determinare la probabilità che
il tempo passato da Ivan a poltrire nel letto in 100 giorni superi le 400 ore.
Soluzione Esercizio 2:
(a) Siano E l’evento su cui Ivan sente la sveglia. Allora
P(X > 10) = P(X > 10|E)P(E) + P(X > 10|E c )P(E c ) = P(T > 2) 43 + 0
3
1 3
=
.
23 4
32
(b) Usando l’attesa condizionata
E[X] = E[X|E]P(E) + E[X|E c ]P(E c ) = 10 14 + E[8 + T ] 43 =
Ora abbiamo
Z +∞
Z
E[T ] =
P(T ≥ t) dt =
0
1
Z
+∞
dt +
0
1
17
2
+ 43 E[T ]
1 ∞
1
3
1
dt
=
−
=1+ = .
t3
2t2 1
2
2
L’attesa di T si può calcolare anche trovando prima la densità % della legge
di T come
(
d
P(T ≥ t) = t34
se t ≥ 1 ,
− dt
%(t) =
0
altrimenti .
E quindi
Z
E[T ] =
+∞
Z
+∞
t%(t) =
0
1
3t
3
dt =
t4
2
33
77
In ogni caso, alla fine otteniamo E[X] = 17
2 + 42 = 8 .
(c) L’i-esimo giorno Ivan passa a poltrire nel letto un tempo aleatorio τi e
per il calcolo al punto (b) abbiamo che E[τi ] = E[X − 8] = 77
8 − 8 =
13
8 . Calcoliamo la varianza di τi . A tal fine prima calcoliamo il momento
secondo:
Z ∞ 2
3t
E[τi2 ] =
dt = 3 .
t4
1
Quindi Var(τi ) = 3 − (13/8)2 =
192−169
64
=
23
64
4
P100
Sia W il tempo totale passato a poltrire in 100 gg. Vale W = i=1 τi
e E(W ) = 100E(τi ) = 1300/8 = 162.5. Per il teorema del limite centrale
abbiamo
!
!
400 − 162.5
237.5
W − 162.5
p
p
p
>
∼P Z>
P (W > 400) = P
100 Var(τi )
100 Var(τi )
100 Var(τi )
dove Z e’ v.a. gaussiana standard.