Lezione 13 Anelli ed ideali.

Lezione 13
Prerequisiti: Anelli e sottoanelli. Sottogruppi.
Riferimenti ai testi: [FdG] Sezione 5.2; [H] Sezione 3.4; [PC] Sezione 4.2
Anelli ed ideali.
Ricordiamo la seguente definizione, data nel corso di Algebra 1:
Definizione 13.1 Si dice anello un insieme non vuoto A dotato di due operazioni, una somma + ed un
prodotto ·, tali che:
-
(A, +) sia un gruppo abeliano (detto gruppo additivo di A)
il prodotto · goda della proprietà associativa;
valga la proprietà distributiva del prodotto · rispetto alla somma +, ossia:
∀a , b, c ∈ A, a ⋅ (b + c ) = ab + ac
e
(b + c ) ⋅ a = ba + ca.
L’anello si dice commutativo se il prodotto · gode della proprietà commutativa; si dice unitario se esiste
l’elemento neutro del prodotto ·, che, solitamente, viene denotato con 1, (o, per maggiore precisione,
1A ) e chiamato unità.
Si dice sottoanello dell’anello A ogni sottoinsieme B che è sottogruppo del gruppo additivo di A ed è
chiuso rispetto al prodotto di A: in tal caso B è un anello.
Esempi 13.2 Sono anelli:
- l’insieme » dei numeri interi (anello commutativo unitario)
- l’insieme n» dei multipli del numero naturale n>1 (anello commutativo, non unitario)
- l’insieme K [ x ] dei polinomi nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K (anello commutativo
unitario)
- l’insieme M n ( K ) delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un campo K (anello unitario,
non commutativo se n>1.)
Diamo ora una nozione che, come vedremo, svolge, nella teoria degli anelli, un ruolo analogo a quello
del sottogruppo normale nella teoria dei gruppi.
Definizione 13.3 Dato un anello A, si dice ideale destro di A ogni sottoinsieme I ⊂ A tale che:
- I è un sottogruppo del gruppo additivo di A
∀a ∈ A, ∀x ∈ I , xa ∈ I .
Si dice ideale sinistro di A ogni sottoinsieme I ⊂ A tale che:
- I è un sottogruppo del gruppo additivo di A
∀a ∈ A, ∀x ∈ I , ax ∈ I .
Si dice ideale bilatero di A ogni ideale destro che è anche ideale sinistro.
Osservazione 13.4
- Ogni anello è ideale bilatero di se stesso. In ogni anello il sottoinsieme {0} è un ideale bilatero.
- In un anello commutativo, le nozioni di ideale destro e di ideale sinistro coincidono. Si parla allora
semplicemente di ideale, senza aggettivi.
- Ogni ideale è anche un sottoanello, ma non è vero il viceversa: » è un sottoanello di » , ma non è
1
un ideale. Infatti, ⋅ 1 ∉ ».
2
Esercizio 13.5 Provare che, per ogni n ∈ », l’insieme n» è un ideale di » .
Svolgimento: Dal corso di Algebra 1 è noto che n» è un sottogruppo del gruppo additivo di » . Resta
da verificare il secondo assioma di ideale:
∀k ∈ », ∀h ∈ »
( nh ) k = n(hk ) ∈ n» .
Osservazione 13.6 Poiché i sottogruppi di » sono tutti e soli i sottogruppi ciclici n» , dall’Esercizio
13.5 segue che questi sono anche tutti gli ideali di » , e quindi, tutti e soli i sottoanelli di » .
Esercizio 13.7 Provare che:
a) se I, J sono ideali (destri, sinistri, bilateri) di un anello A, allora I ∩ J è un ideale di A;
b) se I è un ideale dell’anello A, e B è un sottoanello di A contenente I, allora I è un ideale di B;
c) se n, m ∈ » sono tali che n m , allora m» è un ideale dell’anello n» .
Svolgimento: Gli enunciati a) e b) seguono facilmente dalla Definizione 13.1. L’enunciato c) discende
immediatamente da b): basta osservare che n» è un sottoanello di » contenente m» , che, come
provato nell’Esercizio 13.5, è un ideale di » .
Esercizio 13.8 Sia K un campo, e sia α ∈ K . Allora
I = { f ( x ) ∈ K [ x ] f (α ) = 0}
è un ideale di K [ x ].
Svolgimento: I è non vuoto, perché vi appartiene il polinomio nullo. Inoltre, per ogni
f ( x ), g ( x ) ∈ K [ x ], si ha che f (α ) − g (α ) = 0 , cioè f ( x ) − g ( x ) ∈ K [ x ] . Ciò prova che I è un
sottogruppo del gruppo additivo di K [ x ]. Infine, per ogni f ( x ) ∈ K [ x ], ed ogni g ( x ) ∈ K [ x ], si ha che
f (α ) g (α ) = 0 ⋅ g (α ) = 0, dunque f ( x ) g ( x ) ∈ I . Ciò prova che I soddisfa il secondo assioma di ideale.
Esercizio 13.9 Sia K un campo. Dire se

 a b 
a) I = 
a, b ∈ K 

 0 0 


 0 a 
b) J = 
a, b ∈ K 

 0 b 

è un ideale (destro, sinistro, bilatero) dell’anello M 2 ( K ) .
Svolgimento: a) È facile vedere che I è un sottogruppo del gruppo additivo di M 2 ( K ) . Inoltre si ha:
a b x
∀a, b, x, y , z , t ∈ K , 

 0 0 z
y   ax + bz ay + bt 
=
∈I .
t   0
0 
Pertanto I è un ideale destro di M 2 ( K ) . Invece:
0 01 1 0 0
1 00 0 = 1 1∉ I .


 

Pertanto I non è un ideale sinistro, in particolare non è un ideale bilatero.
b) Procedendo analogamente, si prova che J è un ideale sinistro, ma non destro.
Esercizio 13.10 Sia A un anello, e sia z ∈ A. Provare che
I = {x ∈ A xz = 0}
(detto annullatore sinistro di z) è un ideale sinistro di A.
Svolgimento: I non è vuoto, perché 0 ∈ I . Inoltre, per ogni x, y ∈ I , si ha che
( x − y ) z = xz − yz = 0 , per cui x − y ∈ I .
Abbiamo così provato che I è un sottogruppo del gruppo additivo di A. Infine,
∀a ∈ A, ∀x ∈ I ,
( ax ) z = a ( xz ) = a 0 = 0,
per cui ax ∈ I .
Nota Osserviamo che l’ideale sinistro I dell’Esercizio 13.10 non è, necessariamente, un ideale destro.
0 1
Infatti, nell’anello M 2 ( K ) , l’annullatore sinistro di 
 è l’ideale J dell’Esercizio 13.9 b), che non
0 0
è un ideale destro.
È immediato verificare la seguente:
Proposizione 13.11 Sia A un anello. L’insieme
( a ) = {ax x ∈ A}
è un ideale di A. Lo si chiama ideale principale generato da a (in A).
Esempio 13.12 Per ogni numero naturale n, l’ideale principale generato da n in » è n» .
Osservazione 13.13 Se A è un anello commutativo unitario, allora per ogni a ∈ A , si ha a = a ⋅1 ∈ (a ) .
è facile verificare che (a) è il più piccolo ideale di A contenente a.
Esercizio 13.14 Siano dati gli ideali destri (sinistri) I, J dell’anello A. Provare che
a)
b)
c)
I + J = {x + y x ∈ I , y ∈ J } è un ideale destro (sinistro) di A contenente I e J.
n

IJ =  ∑ xi yi xi ∈ I , yi ∈ J , n ∈ »  è un ideale destro (sinistro) di A contenuto in I ( in J).
 i =1

Provare che in un anello commutativo unitario, il prodotto di ideali principali è un ideale
principale.
Svolgimento:
a) Proviamo l’enunciato per gli ideali destri. Sappiamo che I + J è un sottogruppo di A in virtù
dell’Esercizio 2.15, poiché il gruppo additivo di A è commutativo. Inoltre, per ogni a ∈ A,
x∈ I, y ∈ J ,
( x + y )a = xa + ya ∈ I + J , poiché
b)
La proprietà di sottogruppo è ovvia. Siano I
xi ∈ I , yi ∈ J , i = 1,..., n,(n ∈ ») si ha
xa ∈ I , ya ∈ J .
e J ideali destri. Allora, per ogni a ∈ A,
n
 n

x
y
a
=
xi ( yi a ) ∈ IJ , poiché, per ogni i = 1,..., n , yi a ∈ J .
∑
∑ i i 
i =1
 i =1

Ciò prova che IJ è un ideale destro di A. Inoltre, per ogni i = 1,..., n , xi yi ∈ I , per cui
n
∑ x y ∈ I . Quindi IJ ⊂ I . Analogamente si svolge l’esercizio per gli ideali sinistri.
i
i
i =1
c)
Siano a , b ∈ A , allora ( a )( b) = ( ab) . Infatti ( a )( b) ⊃ ( ab) , poiché, per ogni x ∈ A ,
abx = a ⋅ bx, ove a ∈ ( a ), bx ∈ (b) . Inoltre, per ogni xi , yi ∈ A , i = 1,..., n , ( n ∈ » ) , si ha
n
n
i =1
i =1
axi ∈ (a ), byi ∈ (b), da cui ∑ axi byi = ab ∑ xi yi ∈ ( ab) . Ciò prova che ( a )( b) ⊂ ( ab ) e
conclude la dimostrazione.
Esercizio 13.15 Determinare I+J nei seguenti casi:
i) I = 2», J = 3» ;
ii) I = 4», J = 6» .
Svolgimento:
i) Si ha 2» + 3» = » , in virtù della Proposizione 14.8, poiché 1 = −2 + 3 ∈ 2» + 3».
ii) Si ha 4» + 6» = 2» : l’inclusione ⊂ è ovvia, per l’altra basta osservare che
2 = −4 + 6 ∈ 4» + 6» .
Esercizio 13.16 Determinare IJ e I ∩ J nei seguenti casi:
i) I = 2», J = 3» ;
ii) I = 4», J = 6» .
Svolgimento: In base all’Esercizio 13.5 b),
2» ⋅ 3» = (2)(3) = (6) = 6».
Si ha
2» ∩ 3» = {a ∈ » 2 | a ,3 | a} = {a ∈ » 6 | a} = 6».
Si ha, come sopra, 4» ⋅ 6» = 24» , mentre 4» ∩ 6» = 12» .