I Parte Metodologia di approccio al controllo per sistemi instabili ad

Fondamenti di Automatica - I Parte
Metodologia di approccio al controllo per
sistemi instabili ad anello aperto.
Antonio Bicchi, Nicola Sgambelluri
Università di Pisa
11 Aprile 2005.
1
2
INDICE
Indice
1 Introduzione
2 Metodologia di studio di Sistemi Instabili
2.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Esempio 1: Controllo in retroazione
2.1.2 Esempio 1: Controllo in cascata . .
2.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Esempio 2: Controllo in retroazione
2.2.2 Esempio 2: Controllo in cascata . .
2.3 Osservazioni finali . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Studio analitico . . . . . . . . . . . . . . .
3
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3
. 3
. 3
. 7
. 9
. 9
. 10
. 11
. 13
3
1 INTRODUZIONE
1
Introduzione
Lo studio e in particolare la progettazione di un controllore destinato a sistemi instabili in anello aperto presenta comunemente problematiche maggiori
rispetto a impianti stabili, non esistendo nel suddetto caso tecniche o procedure standard per la progettazione di un controllo in grado di finalizzare
specifiche statiche e/o dinamiche assegnate.
2
Metodologia di studio di Sistemi Instabili
In questa sede ci proponiamo di illustrare alcune difficoltà che si incontrano
nella progettazione di un controllo in anello chiuso considerando alcuni semplici esempi ed avvalendosi come ausilio di alcuni comandi e tools di Matlab.
È noto che che un impianto seppur di ordine elevato, per rispettare alcune specifiche richieste, può essere controllato con un opportuno sistema
in retroazione utilizzando le tecniche classiche di analisi (Luogo delle Radici,
Diagrammi di Bode, Diagrammi di Nyquist), assumendo comportamenti dinamici simili a quelli di sistemi del primo o del secondo ordine. La funzione
di trasferimento in anello chiuso che lo rappresenta in tal caso può essere
approssimata rispettivamente da una f.d.t. con un polo reale o con due poli
complessi coniugati.
Tuttavia nel caso particolare di sistemi instabili è necessario procedere con
cautela dal momento che non è possibile in linea di principio utilizzare i diagrammi di Bode per la progettazione del controllo, in particolare prendendo
in considerazione i concetti di margine di ampiezza e di fase. La progettazione di un candidato controllore in tal caso non risulta sistematica e può
indurre in errore.
2.1
Esempio 1
Consideriamo ad esempio la seguente funzione di trasferimento:
G(s) =
1
(s − 0.5)
(1)
che è evidentemente instabile vista la presenza di un polo reale positivo.
2.1.1
Esempio 1: Controllo in retroazione
Per stabilizzare il sistema (1) è possibile chiudere il sistema in retroazione
ottenendo un sistema stabile ad anello chiuso con una semplice azione proporzionale (C(s) = k con k ≥ 0.5). Utilizzando a tale scopo il comando
4
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
Root Locus Editor (C)
1
Open−Loop Bode Editor (C)
10
5
0.8
0
Magnitude (dB)
0.6
0.4
−5
−10
0.2
Imag Axis
−15
G.M.: −6.02 dB
Freq: 0 rad/sec
Stable loop
0
−20
−90
P.M.: 60 deg
Freq: 0.866 rad/sec
−0.2
Phase (deg)
−0.4
−0.6
−135
−0.8
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
Real Axis
0.2
0.4
0.6
−180
−2
10
−1
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Figura 1: Luogo delle radici e diagrammi di Bode della fdt G(s) =
1
(s−0.5)
sisotool di Matlab, si ottengono i diagrammi di Bode e il luogo delle radici
riportati in figura 1. In particolare il sistema risulta ora stabile in anello
chiuso (Stable Loop) e ciò è di facile deduzione visto che l’unico polo del
sistema ad anello chiuso è localizzato nel semipiano a parte reale negativa
come evidenziato dal luogo delle radici (figura 1). Sui diagrammi di Bode
associati è possibile leggere un margine di ampiezza (G.M.) approssimativo
di −6db (si osservi che è negativo), un margine di fase (P.M.) di 600 e una
pulsazione di taglio ωN ≈ 0.866rad/sec.
A tal proposito si osservi che valori negativi del margine di ampiezza espresso
in db o del margine di fase corrispondono ad instabilità.
Per apprezzare l’effetto della stabilizzazione mediante controllo proporzionale,
a titolo esemplificativo, in figura 2 vengono riportati diagrammi di Nyquist
completi dell’impianto G(s) al variare della costante di guadagno (a sinistra)
e con i margini di stabilità per k = 1 (destra).
Dal criterio di Nyquist, per la stabilità di sistemi ad anello chiuso si ricordi
che partendo da un impianto G(s), condizione necessaria e sufficiente affinché
il sistema Gc (s) in retroazione negativa unitaria sia stabile, è che il diagramma polare completo della G(s) circondi in senso antiorario il punto (−1 + j0)
tanti giri qunati sono i poli a parte reale posistiva della G(s) e tanti mezzi
giri in senso antiorario quanti sono i poli immaginari puri.
Dalla figura 2 si osservi che non appena il guadagno del controllore supera
positivamente il valore di 0.5, il diagramma completo della funzione G(s)
(avente un polo reale positivo) avvolge il punto (−1 + j0) in senso antiorario
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
5
Nyquist Diagram
1
0.8
Imaginary Axis
0.6
0.4
0.1g1
0.2
0.3g1
0
−0.2
0.5g1
−0.4
g1
−0.6
−0.8
−1
−2
−1.5
−1
Real Axis
−0.5
0
Nyquist Diagram
1
0.8
0.6
Imaginary Axis
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
System: G
Phase Margin (deg): 60
Delay Margin (sec): 1.21
At frequency (rad/sec): 0.866
Closed Loop Stable? Yes
−0.6
−0.8
−1
−2
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
Real Axis
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
Figura 2: Diagrammi di Nyquist della fdt G(s) =
1
(s−0.5)
una volta e il sistema ad anello chiuso risulta stabile.
Bisogna prestare una certa attenzione dal momento che chiuso il sistema
in retroazione riferendosi ai soli diagrammi di Bode non sono più evidenti i
problemi di instabilità dell’impianto originario se non per il fatto che la fase
ha un andamento crescente in tutto il range di frequenze (ed il margine di
ampiezza sia negativo).
In questo caso in linea di principio non avrebbe senso utilizzare i margini di
fase e di ampiezza per imporre le specifiche dinamiche desiderate.
Come verifica del fatto che tale metodo di progettazione non sia completamente affidabile ed efficace, è sufficiente valutare la risposta al gradino del
sistema ad anello chiuso risultante e appurare se il sistema cosı̀ controllato
rispetta le specifiche richieste. In particolare soffermandosi sulla correttezza
delle specifiche lette in termini di margini di ampiezza e di fase precedente-
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
6
mente riportate per la G(s), si ammetterebbe che il sistema in anello chiuso
sia approssimabile con un sistema del secondo ordine i cui poli hanno uno
− √ πδ
smorzamento pari a 0.6 (e una sovraelongazione s = e 1−δ2 ≈ 1%). Per il
caso di sistema in anello chiuso a due poli dominanti, valendo la relazione
ωN ≥ 3/δTa ≈ 0.0866 rad/sec ci si aspetta un tempo di assestamento Ta
di al più 4.3sec. In realtà da step − response del sistema ad anello chiuso
C(s)G(s)
Gc (s) = 1+C(s)G(s)
, dove C(s) è un semplice controllore unitario, si ottiene il
grafico riportato in figura 3. Si può notare come la funzione di trasferimento
Step Response
2
System: Closed Loop: r to y
I/O: r to y
Settling Time (sec): 7.82
1.8
1.6
1.4
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
Time (sec)
Figura 3: Risposta al gradino della funzione Gc (s).
ad anello chiuso si comporti come un sistema del primo ordine (essendo nulla
la sovraelongazione) ed il tempo di assestamento ricavato (Ta ) sia pari 8sec,
ossia quasi doppio di quello atteso.
Concludendo dunque anche in un semplice caso di sistema instabile in anello
aperto, le specifiche dinamiche attese non risultano complessivamente rispettate quando si ricorre erroneamente ai diagrammi di Bode per progettare un
controllore. Si osservi inoltre che il valore di regime raggiunto con un riferimento a gradino unitario assume in uscita il valore ricavabile dalla seguente
relazione:
lim y(t) = lim sY (s) = lim s
t→∞
s→0
s→0
=
C(s)G(s)
C(s)G(s) 1
= lim
=
s→0
1 + C(s)G(s) s
1 + C(s)G(s)
C(0)G(0)
=2
1 + C(0)G(0)
(2)
7
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
Volendo proseguire con quest’approccio, che senz’altro non appare affidabile,
sarebbe necessario procedere per tentativi senza essere sicuri di poter trovare
una soluzione realmente corretta. Risulta preferibile pertanto utilizzare un
metodo più rigoroso e che ci fornisca i risultati attesi.
2.1.2
Esempio 1: Controllo in cascata
Si può utilizzare la tecnica del controllo in cascata, rappresentata schematicamente in figura 4, applicando un doppio anello di retroazione: in tal caso
un primo controllore C1 (s) viene impiegato per la stabilizzazione e un secondo controllore C2 (s) viene utilizzato per definire le specifiche di progetto. La
Figura 4: Diagramma a blocchi e controllo in cascata.
funzione ad anello chiuso equivalente è espressa dalla seguente equazione:
Gc2 (s) =
C1 (s)G(s)
C2 (s) 1+C
1 (s)G(s)
1+
C1 (s)G(s)
C2 (s) 1+C
1 (s)G(s)
C2 (s)Gc1 (s)
=
1 + C2 (s)Gc1 (s)
=
C2 (s)C1 (s)G(s)
.
[1 + C1 (s) + C2 (s)C1 (s)]G(s)
(3)
Per la funzione di trasferimento considerata G(s), utilizzando un primo controllore C1 (s) scelto unitario si ottiene la seguente funzione ad anello chiuso
(ricavabile peraltro da sisotool: F ile → Export → ClosedLoop)
Gc1 =
1
.
s + 0.5
(4)
Con un secondo controllore C2 (s) anch’esso unitario si ottengono luogo delle
radici e diagrammi di Bode riportati in figura 5. Da tali diagrammi è possibile leggere un margine di ampiezza infinito (G.M. → ∞), un margine di fase
8
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
Root Locus Editor (C)
1
10
Open−Loop Bode Editor (C)
5
0.8
Magnitude (dB)
0.6
0.4
0
−5
−10
Imag Axis
0.2
−15 G.M.: Inf
Freq: NaN
Stable loop
0
−20
0
−0.2
−45
Phase (deg)
−0.4
−0.6
−135
−0.8
−1
−1.5
−90
−1
−0.5
Real Axis
P.M.: 120 deg
Freq: 0.866 rad/sec
−180
−2
−1
0
10
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
Figura 5: Luogo delle radici e diagrammi di Bode per la fdt Gc2 (s)
.
(P.M.) di 1200 e una pulsazione di taglio ωN ≈ 0.866rad/sec. Ci aspettiamo
dunque che Gc2 abbia un comportamento come un sistema del primo ordine
con un tempo di assestamento al massimo a 4.3 sec. Dalla risposta al gradino,
si ottiene il risultato riportato in figura 6. In questo caso, come era prevedibile, essendosi riferiti all’interpretazione dei diagrammi di Bode di un sistema
stabile in partenza, le specifiche sono pienamente rispettate presentando il
sistema sovraelongazione nulla e tempo di assestamento Ta ≈ 1.6 sec. Si
osservi inoltre come in questo caso il valore di regime dell’uscita al gradino
unitario, risulta:
lim y(t) = lim sY (s) = lim s
t→∞
s→0
s→0
C1 (s)C2 (s)G(s)
1
=
1 + C1 (s)G(s) + C1 (s)C2 (s)G(s) s
C2 (0)C1 (0)G(0)
C2 (s)C1 (s)G(s)
=
= 2/3 (5)
s→0 1 + C1 (s)G1 (s)G(s)
1 + C1 (0)G(0) + C2 (0)C1 (0)G(0)
= lim
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
9
Step Response
0.7
System: Closed Loop: r to y
I/O: r to y
Settling Time (sec): 2.61
0.6
Amplitude
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Time (sec)
Figura 6: Risposta al gradino di Gc2 (s).
2.2
Esempio 2
Consideriamo la seguente funzione di trasferimento:
G(s) =
1
.
s(s − 0.1)
(6)
in cui ancora una volta è riportato un sistema instabile ad anello aperto per
la presenza di un polo a parte reale positiva.
2.2.1
Esempio 2: Controllo in retroazione
Supponiamo che anche in questo caso, riferendosi ai soli diagrammi di Bode e
senza accorgersi che il sistema sia instabile ad anello aperto, si sia progettato
un compensatore in grado di stabilizzare il sistema ad anello chiuso. Un
possibile controllore che implementa un’azione anticipatrice stabilizzante è il
seguente:
1 + 20s
C(s) =
(7)
1 + 0.01s
Luogo delle radici e i diagrammi di Bode della G(s) compensata con C(s)
sono riportati in figura 8. Il sistema chiuso in retroazione risulta stabile, ma
rimane il problema che le specifiche in closed − loop non possono essere lette
dal diagramma di Bode open − loop visto che da questi diagrammi (figura 8),
si leggerebbe P.M. = 750 e una pulsazione di taglio ωN ≈ 19.6rad/sec. Tali
10
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
Bode Diagram
100
80
60
Magnitude (dB)
40
20
0
−20
−40
−60
−80
Phase (deg)
−100
−180
−225
−270
−2
10
−1
0
10
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 7: Diagrammi di Bode per la funzione di trasferimento G(s) =
1
s(s−0.1)
specifiche, ipotizzando valida l’approssimazione con sistemi del primo e secondo ordine si traducono nell’avere un δ ≈ 0.75 da cui una sovraelongazione
S ≤ 3% ed un tempo di assestamento Ta ≈ 0.2sec. Osservando la risposta al gradino del sistema ad anello chiuso figura 9 si vede che pur essendo
rispettata la specifica sulla sovraelongazione non risulta rispettata quella sul
tempo di assestamento (dalla simulazione Ta = 19.2sec).
2.2.2
Esempio 2: Controllo in cascata
Ricorrendo al metodo di controllo in cascata (figura 4) si possono fissare i
due controllori C1 (s) e C2 (s) necessari rispettivamente alla stabilizzazione e
per fissare la specifiche statiche/dinamiche. Ad esempio scegliendo
C1 (s) =
1 + 20s
1 + 0.01s
(8)
(scelto come suggerito nel paragrafo precedente) si ottiene un sistema stabilizzato (vedi figura 8). Da sisotool o manualmente si ottiene la funzione di
trasferimento ad anello chiuso evidentemente stabile:
2000(s + 0.05)
Gc1 (s) =
(9)
(s + 72.99)(s + 25.96)(s + 0.05278)
11
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
Root Locus Editor (C)
15
Open−Loop Bode Editor (C)
100
80
60
40
10
20
0
−20
5
−40
−60
G.M.: −26 dB
−80 Freq: 0.225 rad/sec
Stable loop
−100
0
−90
−5
P.M.: 75.8 deg
Freq: 19.6 rad/sec
−135
−180
−10
−225
−15
−100
−80
−60
−40
Real Axis
−20
0
20
−270
−4
10
−2
10
0
10
Frequency (rad/sec)
2
10
4
10
Figura 8: Luogo delle radici e diagrammi di Bode per la funzione di
1
1+20s
trasferimento G(s) = s(s−0.1)
compensata da C(s) = 1+0.01s
si ottengono i
A questo punto scegliendo un ulteriore controllore C2 (s) = 20
s
diagrammi di Bode e il luogo delle radici riportati in figura 10. In questo caso
si leggono un P.M. = 43.30 e una pulsazione di taglio ωN ≈ 17.01rad/sec.
Tali specifiche, in base alle approssimazioni di sistemi del primo e secondo
ordine note, si traducono in un δ ≈ 0.43 da cui una sovraelongazione S ≤ 22%
ed un tempo di assestamento Ta ≈ 0.4sec. Dalla risposta al gradino riportata
in figura 11, si osserva che le specifiche sono perfettamente rispettate.
2.3
Osservazioni finali
In conclusione nello studio di controllori per sistemi instabili in anello aperto,
l’utilizzo limitato ai soli diagrammi Bode può risultare fuorviante in quanto, almeno in parte, alcune specifiche dinamiche ricavate direttamente da
margine di ampiezza e di fase, non risultano soddisfatte. La tecnica del
controllo in cascata rappresenta un valido metodo di analisi consentendo di
affrontare in modo abbastanza sistematico il problema del controllo di sistemi
instabili.
12
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
Step Response
From: r To: y
1.4
System: T_r2y
I/O: r to y
Peak amplitude: 1.05
Overshoot (%): 5.45
At time (sec): 0.387
1.2
System: T_r2y
I/O: r to y
Settling Time (sec): 19.4
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
Time (sec)
Figura 9: Risposta al gradino della riposta ad anello chiuso della G(s)
1+20s
compensata da C(s) = 1+0.01s
Root Locus Editor (C)
150
100
Open−Loop Bode Editor (C)
50
Magnitude (dB)
100
50
0
−50
Imag Axis
−100
0
G.M.: 13.4 dB
Freq: 43.5 rad/sec
Stable loop
−150
−45
−90
Phase (deg)
−50
−100
−135
−180
−225
−150
−250
−200
−150
−100
−50
Real Axis
0
50
P.M.: 43.3 deg
Freq: 17.1 rad/sec
−270
0
2
100 10−2
10
10
Frequency (rad/sec)
4
10
Figura 10: Luogo delle radici e diagrammi di Bode per la funzione di
C2 (s)Gc1 (s)
trasferimento Gc2 (s) = 1+C
2 (D)Gc1 (s)
.
13
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
Step Response
System: Closed Loop: r to y
I/O: r to y
Peak amplitude: 1.25
Overshoot (%): 25.5
At time (sec): 0.167
1.4
1.2
System: Closed Loop: r to y
I/O: r to y
Settling Time (sec): 0.393
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
Time (sec)
0.4
0.5
0.6
0.7
Figura 11: Risposta al gradino per la funzione G(s) con un controllo in
cascata.
2.4
Studio analitico
Avendo appurato che la tecnica del controllo in cascata risulta una procedura
operativa efficace per l’analisi di sistemi instabili open − loop ci chiediamo se
è possibile pensare ad una schematizzazione del suddetto controllo in cascata
mediante un singolo anello di retroazione. Riferendosi al classico schema a
blocchi di un sistema chiuso in retroazione (figura 12) ed analogamente allo
Figura 12: Diagramma a blocchi del controllo in retroazione.
schema di controllo in cascata (figura 4) ragionando analiticamente per un
singolo anello si ha che
Gc (s) =
C(s)G(s)
1 + C(s)G(s)
(10)
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
14
Figura 13: Diagramma a blocchi del controllo in cascata.
mentre per un doppio anello in cascata vale la seguente:
C1 (s)G(s)
C2 (s) 1+C
C2 (s)Gc1 (s)
1 (s)G(s)
Gc2 (s) =
=
=
C
1 + C2 (s)Gc1 (s)
1 + C2 (s) 1+C1 (s)G(s)
1 (s)G(s)
C2 (s)C1 (s)G(s)
.
(11)
[1 + C1 (s) + C2 (s)C1 (s)]G(s)
Uguagliando le relazioni (10) e (11) i sistemi risulterebbeo equivalenti se:
C(s) = C2 (s)C1 (s) e contestualmente C(s) = C1 (s) + C2 (s)C1 (s).
Ciò non è possibile visto che il controllore C(s) non può rispettare contemporaneamente entrambe le condizioni.
Se ci si riferisce però ad un sistema ad anello chiuso con due distinti gradi
di libertà (un ulteriore grado di libertà dipende dalla presenza di un blocco
precompensatore F (s)) e riportato in figura 14, la funzione di trasferimento
Figura 14: Diagramma a blocchi del controllo in retroazione.
ad anello chiuso risulta:
G0c (s) = F (s)Gc (s) = F (s)
C(s)G(s)
.
1 + C(s)G(s)
(12)
2 METODOLOGIA DI STUDIO DI SISTEMI INSTABILI
15
In tal caso il controllore in cascata espresso dalla relazione (11) risulta equivalente alla (12) se:
F (s)C(s) = C2 (s)C1 (s) e C(s) = C1 (s) + C2 (s)C1 (s).
Tale problema ammette soluzioni.
Concludendo , almeno in forma analitica, è possibile pensare ad uno schema
alternativo del controllo in cascata con un singolo anello di retroazione, a
patto che ci si riferisca ad un sistema con due gradi di libertà.