Gli intervalli

Gli intervalli
1. Tipi di intervallo
1.1. Intervallo chiuso
1.2. Intervallo aperto
1.3. Intervallo semi-aperto o semi-chiuso
1.3.1. Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra
1.3.2. Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra
2. Determinare un intervallo
3. L'insieme dei numeri reali come intervallo
3.1. L'insieme dei numeri reali positivi
3.2. L'insieme dei numeri reali negativi
3.3. L'insieme dei numeri reali non negativi
3.4. L'insieme dei numeri reali non positivi
Un intervallo è un insieme di numeri reali compresi tra due valori. Questi due numeri sono detti estremi dell'intervallo.
Un intervallo può essere rappresentato nel seguente modo:
Si tratta dell'insieme dei numeri compresi tra 1, detto estremo inferiore o sinistro dell'intervallo, e 4, detto estremo superiore o destro dell'intervallo.
Tipi di intervallo
Gli estremi possono essere compresi o esclusi dall'intervallo. Rappresentiamo:
con un cerchio pieno sulla retta reale gli estremi che sono compresi nell'intervallo;
con una punta di freccia gli estremi che non sono compresi nell'intervallo.
Intervallo chiuso
Un intervallo chiuso è formato da tutti i punti compresi tra gli estremi a e b, inclusi a e b; in questo caso gli estremi si scrivono tra parentesi quadre:
Un intervallo chiuso è definito e rappresentato simbolicamente come segue:
Sulla retta reale un intervallo chiuso si rappresenta graficamente nel seguente modo:
I punti a e b sono compresi nell'intervallo.
Intervallo aperto
Un intervallo aperto è formato da tutti i punti compresi tra gli estremi a e b, esclusi a e b; in questo caso gli estremi si scrivono tra parentesi tonde:
Un intervallo aperto è definito e rappresentato simbolicamente come segue:
Sulla retta reale un intervallo aperto si rappresenta graficamente nel seguente modo:
I punti a e b non sono compresi nell'intervallo.
Intervallo semi-aperto o semi-chiuso
In questo caso possiamo distinguere i seguenti intervalli:
Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra
Questo intervallo è formato da tutti i punti compresi tra gli estremi a e b, con a escluso e b incluso; in questo caso l'estremo sinistro si racchiude tra parentesi tonda e l'estremo destro
tra parentesi quadra:
Un intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra è definito e rappresentato simbolicamente come segue:
Sulla retta reale questo tipo di intervallo si rappresenta graficamente nel seguente modo:
Il punto a non è compreso nell'intervallo e il punto b è compreso nell'intervallo.
Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra
Questo intervallo è formato da tutti i punti compresi tra gli estremi a e b, con a incluso e b escluso; in questo caso l'estremo sinistro si racchiude tra parentesi quadra e l'estremo destro
tra parentesi tonda:
Un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra è definito e rappresentato simbolicamente come segue:
Sulla retta reale questo tipo di intervallo si rappresenta graficamente nel seguente modo:
Il punto a è compreso nell'intervallo e il punto b non è compreso nell'intervallo.
Determinare un intervallo
Di seguito vedremo un esempio di come si determina un intervallo:
Esempio
Determinare l'intervallo:
.
In primo luogo, tracciamo su una retta numerica i due intervalli chiusi:
Per maggior chiarezza, disegniamo i due intervalli leggermente sfalsati rispetto alla retta numerica.
Come sappiamo, l'intersezione di due insiemi è data da tutti gli elementi che sono presenti sia nel primo che nel secondo insieme. L'intersezione dei nostri due intervalli è
formata da tutti i numeri compresi tra 2 e 3, inclusi i numeri 2 e 3. Questo non è altro che un intervallo chiuso (in rosso):
Simbolicamente possiamo scrivere questo intervallo nel seguente modo:
L'insieme dei numeri reali come intervallo
L'insieme dei numeri reali è un intervallo infinito.
L'insieme dei numeri reali può essere scritto sotto forma di intervallo nel seguente modo:
Possiamo scrivere in forma di intervallo anche i sottoinsiemi dei numeri reali:
L'insieme dei numeri reali positivi
Simbolicamente può essere scritto come:
Graficamente viene indicato come:
L'insieme dei numeri reali negativi
Simbolicamente può essere scritto come:
Graficamente viene indicato come:
L'insieme dei numeri reali non negativi
Simbolicamente può essere scritto come:
Graficamente viene indicato come:
L'insieme dei numeri reali non positivi
Simbolicamente può essere scritto come:
Graficamente viene indicato come: