1 1.1 Unità di misura angolari e conversioni Con angolo si intende
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1 1.1 Unità di misura angolari e conversioni Con angolo si intende
POLITECNICO DI TORINO Dipartimento di Georisorse e Territorio Ing. Andrea Lingua Arch.Elena Albery Fondamenti di Geodesia e Cartografia 1.1 Unità di misura angolari e conversioni Con angolo si intende una porzione di piano delimitata da due semirette: l'ampiezza dell'angolo è rappresentata dalla rotazione intorno all'origine di una semiretta fino a sovrapporsi alla seconda semiretta. L'ampiezza di un angolo può essere espressa in diverse unità di misura. Particolarmente rilevanti per gli scopi topografici risultano essere i sistemi: ) matematico ) centesimale ) sessagesimale ) sessadecimale Sistema matematico: l'unità di misura angolare è il "radiante" [rad] (unità SI) definito come "angolo sotteso da un arco di lunghezza pari al raggio".Dalla definizione ne consegue che l'angolo αr è espresso in radianti come rapporto: αr = l / R dove l = lunghezza dell'arco sotteso R = raggio circonferenza valori notevoli: 2π rad = angolo giro π rad = angolo piatto π/2 rad= angolo retto sottomultipli: mrad = 10-3 rad µrad = 10-6 rad Questo sistema viene utilizzato in matematica e nel linguaggio dei calcolatori. Sistema centesimale: l'unità di misura angolare è il "grado centesimale" [gon] (unità non SI ammessa) definito come: 1 gon = π/200rad valori notevoli: 400 gon = angolo giro 200 gon = angolo piatto 100 gon = angolo retto 1 POLITECNICO DI TORINO Dipartimento di Georisorse e Territorio Ing. Andrea Lingua Arch.Elena Albery Fondamenti di Geodesia e Cartografia sottomultipli: cgon = 10-2 gon mgon = 10-3 gon Questo sistema viene adottato nella maggior parte degli strumenti topografici e nella fase di calcolo. Sistema sessagesimale: l'unità di misura angolare è il "grado sessagesimale" [°] (unità non SI ammessa) definito come: 1° = π / 180 rad valori notevoli: 360° = angolo giro 180° = angolo piatto 90° = angolo retto sottomultipli: 1' = 1° / 60 1" = 1' / 60 (un primo) (un secondo) I sottomultipli del secondo vengono espressi in forma decimale. Non essendo decimale, è sconsigliabile l'uso di questo sistema nella condotta dei calcoli. E' impiegato tradizionalmente per esprimere le coordinate geografiche "latitudine" e "longitudine". Sistema sessadecimale: l'unità di misura angolare è il "grado sessagesimale" [°] (unità non SI ammessa). Differisce dal precedente sistema sessagesimale in quanto i sottomultipli del grado sono espressi in forma decimale. E' utilizzato per la condotta dei calcoli al posto di quello sessagesimale. Conversioni angolari 1. Da sessagesimali a sessadecimali (GRA° PRI' SEC" ---> GRA°.XXXX) GRA°.XXXX = GRA° + PRI'/60 + SEC"/3600 2. Da sessadecimali a sessagesimali (GRA°.XXXX ---> GRA° PRI' SEC") PRI' = INTERO[(GRA°.XXXX - GRA°)*60] SEC" = {[(GRA°.XXXX - GRA°)*60 - PRI]}*60 2 POLITECNICO DI TORINO Dipartimento di Georisorse e Territorio Ing. Andrea Lingua Arch.Elena Albery Fondamenti di Geodesia e Cartografia Le successive conversioni partono dal presupposto di aver già trasformato gli angoli dal sistema sessagesimale a quello sessadecimale e possono essere risolte impostando una semplice proporzione. 3. Da sessadecimali a centesimali e viceversa α ° α gon = 180 200 4. Da centesimali a radianti e viceversa α gon α ° = 200 π 5. da radianti a sessadecimali e viceversa α rad α ° = π 180 In generale risulta essere: α rad α ° α gon = = π 180 200 1" 1' 1° = = = 0.0003 gon = 0.018 gon = 1.11 gon = 0.0000048 rad 0.00029 rad 0.017 rad In topografia vengono misurati direttamente gli angoli azimutali e zenitali; il loro naturale riferimento è la direzione della verticale in quanto materializzabile con precisione. In topografia vengono utilizzate convenzioni angolari che spesso si differenziano da quelle adottate in matematica. Si consideri un punto di origine (V) e due semirette uscenti da questo passanti per i punti A e B. Si stabilisca convenzionalmente quali dei due punti rappresenti il "Punto avanti (PA)" e quale il "Punto indietro (PI)". Definiamo angolo "la minima rotazione oraria che deve compiere la direzione corrispondente al punto indietro per sovrapporsi a quella del punto avanti". Ne risulta che l'angolo viene dato dalla differenza di due "direzioni angolari (θ)" e precisamente quelle corrispondenti ai punti avanti e indietro: A 3 POLITECNICO DI TORINO Dipartimento di Georisorse e Territorio Ing. Alberto Cina Arch.Elena Albery CARTOGRAFIA NUMERICA I α = θPA - θPB BVA AVB B Se: PA = B PI = A α = ΑVB Se: PA = A PI = B α = ΒVA Angolo azimutale Dati tre punti (A, O, B), è l'angolo diedro formato dal piano contenente le verticali per O e A col piano contenete le verticali per O e B. (fig.5). ) AOB π OA A O B π OB Angolo azimutale Angolo zenitale ϕ AB E' l'angolo compreso tra la direzione della verticale e la direzione considerata. Alternativamente è possibile utilizzare l'angolo di elevazione α AB (minima rotazione antioraria tra la l'orizzontale e la direzione che si considera). (fig.6). υA ϕAB ZAB B ϕAB A Angolo zenitale e di elevazione 4 POLITECNICO DI TORINO Dipartimento di Georisorse e Territorio Ing. Alberto Cina Arch.Elena Albery CARTOGRAFIA NUMERICA I Azimut E’ un particolare angolo di direzione in cui l'asse Y coincide con la direzione del Nord. E' quindi l'angolo di cui deve ruotare la direzione del Nord in senso orario per sovrapporsi alla direzione considerata. Angolo di direzione Si consideri un riferimento ortonormale R(O,X,Y) nel quale siano noti i punti P e Q tramite le loro coordinate. Definiamo "Angolo di direzione di Q rispetto a P (ϑ ϑPQ o (PQ))", l'angolo di cui la parallela all'asse Y del riferimento passante per P, deve ruotare in senso orario per sovrapporsi alla direzione PQ. ϑ PO = arc tan XQ − X P YQ − YP Ne consegue che tra ϑPQ e il suo reciproco ϑQP sussiste la relazione: ϑPQ = ϑQP ± π ( - se ϑQP > π ( + se ϑQP < π) 5 POLITECNICO DI TORINO Dipartimento di Georisorse e Territorio Ing. Alberto Cina Arch.Elena Albery CARTOGRAFIA NUMERICA I Sebbene diverse calcolatrici tascabili riescano a calcolarlo direttamente, risulta interessante analizzare il comportamento dell'angolo di direzione nei vari quadranti. Come è noto la maggior parte dei calcolatori esegue infatti una riduzione al 1° quadrante, per cui risulta sempre 0≤|ϑ|≤π/2 con valori di ϑ positivi o negativi. Per eseguire il calcolo in quadranti che non siano solo il primo, occorre innanzi tutto studiare il segno di ϑ. n.quadr. segno ϑ 1 2 3 4 + + - segno XQ XP + + - segno YQ - YP valore ϑ + + ϑ π - |ϑ| π+ϑ 2π - ϑ Riduzione dell'angolo di direzione ai vari quadranti. Nella tabella sopra non sono però contemplati i seguenti casi particolari: ∆x 0 + 0 0 ∆y 0 0 0 + - angolo indeterminato ϑ = π/2 ϑ = 3π/2 ϑ=0 ϑ=π Esercizio Verificare i seguenti angoli di direzione calcolati rispetto al punto P di coordinate: XP = 123.49 m YP = 144.35 m considerando i seguenti punti di coordinate: 1. 2. 3. 4. X = 103.41 m X = 224.35 m X = 62.62 m X = 183.92 m Y = 182.52 m Y = 327.42 m Y = 37.24 m Y = 42.32 m (4° quadrante (1° quadrante (3° quadrante (2° quadrante ϑ = 369.1695 gon) ϑ = 32.0578 gon) ϑ = 239.8992 gon) ϑ = 165.9586 gon) 6