Funzioni di utilità

Funzioni di utilità
(finalmente un po’ di geroglifici, dopo i graffiti)
NB: non fate leggere queste pagine a un matematico, altrimenti mi massacra!
1. Definizione e proprietà
Consideriamo due beni X e Y di interesse per un consumatore, e supponiamo che le preferenze del consumatore sui panieri di quei beni siano ben definite. Usiamo le scritture
( X 0 , Y0 ) f ( X 1 , Y1 )
oppure
( X 0 , Y0 ) ≈ ( X 1 , Y1 )
per dire, rispettivamente, che il paniere ( X 0 ,Y0 ) è preferito al paniere ( X 1 ,Y1 ) , oppure che il paniere
( X 0 ,Y0 ) è indifferente al paniere ( X 1 ,Y1 )
Ciò posto, si dice funzione di utilità dei due beni X e Y, e si scrive U ( X , Y ) , una funzione che assegna un valore numerico ad ogni paniere, cioè ad ogni coppia ( X , Y ) , con le seguenti proprietà:
U ( X 0 , Y0 ) > U ( X 1 , Y1 )

U ( X 0 , Y0 ) = U ( X 1 , Y1 )
se e solo se
se e solo se
( X 0 , Y0 ) f ( X 1, Y1 )
( X 0 , Y0 ) ≈ ( X 1, Y1 )
Un funzione di utilità è un modo alternativo per rappresentare le preferenze del consumatore, e i suoi valori
non vanno interpretati come misure di qualche grandezza psicologica: sono semplicemente numeri che rappresentano un grado di preferenza. Il vantaggio è che l’usuale ordinamento sui numeri (“maggiore” oppure
“uguale”) ci è più familiare dell’ordinamento di preferenza definito direttamente sui panieri (“ f ” oppure
“ ≈ ”). Inoltre, tale rappresentazione consente di usare un poco di analisi matematica.
Il grafico della funzione di utilità è una superficie nello spazio tridimensionale, dove il piano di base contiene
tutte le coppie ( X , Y ) e l’asse verticale misura l’utilità. Si deve trattare, ovviamente, di una funzione crescente, per via dell’ipotesi di non sazietà: se aumenta una delle due quantità, o entrambe aumentano, l’utilità
aumenta. Inoltre, in genere si assume che il grafico sia “concavo”, cioè al crescere delle quantità è sì vero
che l’utilità aumenta, ma essa aumenta sempre più lentamente (“saturazione”).
Data una funzione di utilità, è facile definire una qualsiasi curva di indifferenza: si tratta di tutte le coppie
( X , Y ) che danno un livello costante di utilità (curva di livello). Fissando per esempio il valore U 0 per
l’utilità, la curva di indifferenza corrispondente è costituita dal seguente insieme: {( X , Y ) : U ( X , Y ) = U 0 } ,
che si legge “l’insieme di tutte le coppie ( X , Y ) tali che U ( X , Y ) è pari alla costante U 0 ”. L’intuizione grafica è data dalla figura a pag. 91 del vostro libro.
2. Rappresentare in geroglifici il saggio marginale di sostituzione
Ricordate che il saggio marginale di sostituzione è, a parte il segno, l’inclinazione di una curva di indifferenza in un punto: il suo significato è “quanto sono disposto a cedere di Y per ottenere una unità di X”, che abbiamo anche chiamato il “beneficio marginale di X”. In geroglifici, è la derivata della curva di indifferenza,
ovvero l’inclinazione della retta ad essa tangente in un punto, sempre tralasciando il segno.
Per capire come rappresentare il saggio marginale di sostituzione in termini analitici, dobbiamo fare un intermezzo.
Intermezzo: uso operativo delle derivate
Ricordiamo che la derivata di una funzione in un punto è data dall’inclinazione della retta tangente al grafico
in quel punto. Quando conosciamo il valore della derivata di una funzione in un punto, a cosa ci serve? La
risposta è: ci serve a stimare di quanto varierebbe la variabile dipendente se quella indipendente si modificasse di un qualsiasi (piccolo) ammontare; cioè: ditemi di quanto si muove la X, e io vi stimo come cambia la
Y di conseguenza. Il fatto che sia una “stima” deriva dalla nota circostanza che la retta tangente è una approssimazione (al primo ordine) alla curva del grafico, e quindi occorre anche premurarsi di effettuare “piccole”
variazioni. Si consideri il grafico seguente. Si tratta di una funzione di una singola variabile Y = f(X). Come
1
vedete, se a partire da X0 imprimiamo a X un piccolo aumento pari a dX, la variazione della Y valutata sulla
retta tangente al punto di partenza approssima abbastanza bene la variazione della Y lungo la curva del grafico di f. Per valutare la variazione dY lungo la retta basta moltiplicare la variazione in ascissa, dX, per il coefficiente angolare, che però è la derivata di f, chiamata D nella figura (è un numero!).
Y
dY= D⋅dX
dX
X0 X0+dX
X
Bene, immaginate ora di avere invece una funzione di due variabili, come la nostra funzione di utilità
U = U ( X , Y ) . Sapete che in questo caso esistono due derivate “parziali”, indicate rispettivamente con i sim∂U
∂U
boli
e
. Il significato delle derivate parziali è: di quanto varia la variabile dipendente U se una delle
∂X
∂Y
due variabili, per esempio X, aumenta di una unità mentre l’altra, Y, non si muove (stiamo dunque parlando
∂U
di
). Ora, ciascuna delle due derivate, calcolate in un punto, è un numero, e lo si utilizza esattamente
∂X
come prima: possiamo stimare di come varierebbe U se X si muovesse di un (piccolo) ammontare dX mentre
∂U
Y sta ferma, e la stima è semplicemente dU =
⋅ dX ; analogamente, possiamo stimare di come varierebbe
∂X
U se Y si muovesse di un (piccolo) ammontare dY mentre X sta ferma, e la stima è semplicemente
∂U
dU =
⋅ dY .
∂Y
Cosa accade se entrambe le variabili si muovono? Un famoso risultato relativo ai differenziali totali dice che
la variazione della U, in questo caso, è semplicemente la somma dei contributi separati delle due variazioni:
∂U
∂U
ovvero dU =
⋅ dX +
⋅ dY (NB: è di nuovo una approssimazione che vale per piccole variazioni).
∂X
∂Y
Fine dell’intermezzo
Indovinate un po’ come gli economisti chiamano le derivate della funzione di utilità? Siccome si tratta di variazioni di utilità in seguito a cambiamenti unitari delle quantità X e Y, si chiamano utilità marginali. Avremo
∂U
, che il vostro libro indica (dall’inglese marginal utility) con MUX, e
l’utilità marginale di X, cioè
∂X
∂U
l’utilità marginale di Y, cioè
, che il libro indica con MUY. Le utilità marginali devono essere in generale
∂Y
positive, in quanto abbiamo supposto che la funzione di utilità sia crescente.
Cerchiamo ora di capire come si possono usare queste nozioni per rappresentare il saggio marginale di sostituzione. Ricordiamo che si tratta dell’inclinazione di una curva di indifferenza, cioè il rapporto fra la variazione di Y (dY) e la variazione della X (dX) lungo la retta tangente alla curva di indifferenza in un punto, che
bene approssima le variazioni lungo la curva stessa (a patto che le variazioni siano piccole). Dunque il saggio
dY
marginale si sostituzione si può esprimere come
per piccoli movimenti lungo la curva di indifferenza. Si
dX
consideri il seguente grafico:
2
Y
dY
dX
+1
X
Ora, ricordate dall’intermezzo di prima che noi possiamo stimare la variazione dell’utilità in seguito a qualsiasi piccolo movimento delle due quantità X e Y tramite l’uso del differenziale, cioè calcolando
∂U
∂U
l’espressione dU =
⋅ dX +
⋅ dY . Ricordiamo che abbiamo convenuto di utilizzare la nozione di utilità
∂X
∂Y
∂U
∂U
e MU Y =
. Dunque la nostra espressione di prima diventa
marginale: MU X =
∂X
∂Y
dU = MU X ⋅ dX + MU X ⋅ dY
Cosa significa, però, muoversi da un punto all’altro lungo une medesima curva di indifferenza? Significa che
la X e la Y non si possono muovere liberamente, ma si devono muovere proprio in modo tale da lasciare invariata l’utilità. Ma dire che l’utilità non varia significa dire che la sua variazione ( dU ) è pari a zero [qualche
volta mi stupisco delle banalità che dico]: cioè, se le variazioni dX e dY sono proprio tali da farci rimanere
sulla curva di indifferenza, dobbiamo avere dU = 0 ! Sostituiamo nella precedente espressione: otteniamo
MU X ⋅ dX + MU Y ⋅ dY = 0 .
A parole: le due variabili devono muoversi in modo che la somma dei due loro contributi alla variazione
dell’utilità sia nulla: solo così siamo sicuri di rimanere sulla medesima curva di indifferenza.
dY
MU X
.
=−
dX
MU Y
Infine, ricordiamo che il saggio marginale di sostituzione (MRS secondo il libro) è espresso trascurando il
segno; dunque abbiamo:
Dopo due semplici passaggi (che ho fatto a lezione e che ora lascio a voi) otteniamo
MRS =
MU X
MU Y
3. Tre funzioni di utilità
3.1. Cobb-Douglas (esempio del caso generale)
Prende il nome di “Cobb-Douglas” la seguente funzione di utilità:
U ( X , Y ) = AX aY b
A lezione avevo tralasciato la costante moltiplicativa A; ora la uso, anche se le cose cambiano di poco.
Si suppone che gli esponenti a e b siano positivi (talora conviene assumere che essi siano anche minori di
uno, ma non sempre vale la pena di farlo).
Cominciamo con il trovare l’espressione analitica per una curva di indifferenza corrispondente al livello di
utilità U0. Basta porre AX aY b = U 0 e risolvere in Y (visto che Y, nel grafico di una curva di indifferenza, appare come variabile “dipendente”).
U 1
U
Prima otteniamo Y b = 0 a (che volendo fare i sofisticati si potrebbe scrivere come Y b = 0 X − a ).
A X
A
3
Poi eleviamo tutto all’esponente
1
 b
U
Y = 0 
 A 
X
−a b
( )
1
, ottenendo Y b
b
1
b
U 
=Y = 0 
 A
1
b
1
(che si può scrivere anche come
a
b
X
. NB: a lezione avevo posto A=1).
U 
Finito: la funzione che esprime una curva di indifferenza è Y =  0 
 A 
1
b
1
a
X
.
b
Ora, il termine tra parentesi è una costante, e dunque se viene elevato ad una potenza rimane costante. Sica
come poi i due parametri a e b sono positivi, lo è anche il loro rapporto, per cui X
b
cresce al crescere di X,
a
da zero a infinito. Poiché, infine X b sta al denominatore di una frazione, la frazione tende a infinito per X
che tende a zero, e tende a zero per X che tende a infinito, rimanendo sempre positiva. Il grafico non può allora che essere quello tipico delle curve di indifferenza decrescenti e convesse.
Procediamo ora a calcolare le utilità marginali (assumo che vi ricordiate le regole di derivazione!):
1
MU X = AaX a −1Y b = Aa X aY b
X
1
MU Y = AX a bY b −1 = Ab X aY b
Y
Chiaramente, le utilità marginali sono positive. Si noti inoltre la seguente cosa: se supponiamo che i parametri a e b siano inferiori a uno, guardando le espressioni che stanno nella parte media delle precedenti definizioni capite che, nell’utilità marginale di X (rispettivamente Y), X (rispettivamente Y) è elevato ad un numero
negativo. Dunque, se la quantità di Y (rispettivamente X) sta ferma, allora l’utilità marginale di X (rispettivamente Y) diminuisce al crescere di X (rispettivamente Y). In altri termini: se la quantità che ho già di X è piccola (grande) l’incremento di utilità che consegue all’incremento di una unità di X è grande (piccolo): solita
idea di “saturazione”.
Passiamo infine al saggio marginale di sostituzione, che come visto sopra vale MRS =
MU X
. Quindi, nel
MU Y
caso di funzione di utilità Cobb-Douglas, il saggio marginale di sostituzione vale:
1 a b
X Y
a Y
X
MRS =
= ⋅ .
1 a b b X
Ab X Y
Y
Aa
Il saggio marginale di sostituzione in ogni punto di una curva di indifferenza, allora, è pari al rapporto fra i
due parametri a e b (al numeratore l’esponente della prima variabile) moltiplicato per il rapporto fra il valore
delle due variabili (al numeratore la seconda variabile). Se i due parametri sono tra loro uguali, o addirittura
Y
se entrambi valgono 1, abbiamo come caso particolare MRS = . In generale, però, si vede che il saggio
X
marginale di sostituzione diminuisce all’aumentare di X (a parità di Y): solita idea di “saturazione”.
3.2. Funzione lineare (sostituti perfetti)
Considerate la seguente funzione di utilità lineare:
U ( X , Y ) = aX + bY
dove si suppone che i parametri a e b siano positivi.
4
Curve di indifferenza. Come prima, fissiamo un livello di utilità U0, e risolviamo in Y.
Dunque, a partire da U 0 = aX + bY otteniamo facilmente:
U
a
Y= 0− X.
b b
Siccome le curve di indifferenza sono decrescenti e lineari, siamo nel caso dei sostituti perfetti. Notare che
l’inclinazione (a parte il segno) aumenta quando aumenta il rapporto fra i due parametri. Ovvio: se il contributo del bene X all’utilità aumenta rispetto a quello del bene Y (cioè se a b aumenta), significa che il bene X
diviene più “prezioso”, e in questo caso, come sappiamo in generale, le curve di indifferenza diventano più
verticali.
Utilità marginali. Banale: MU X = a , e MU Y = b . In questo caso le utilità marginali sono costanti al variare
dei livelli delle quantità dei due beni (non vale più l’idea di “saturazione”).
MU X a
= , che è costante come già sapevamo
MU Y b
dall’analisi puramente grafica. Notate che, siccome il MRS è l’inclinazione delle curve di indifferenza trascurando il segno, potevate ottenere questo risultato direttamente dall’espressione della curva di indifferenza,
dove il coefficiente angolare è appunto, a parte il segno, pari ad a b .
Saggio marginale di sostituzione. Di nuovo banale: MRS =
3.3. Complementi perfetti
Considerate questa “strana” funzione di utilità:
U ( X , Y ) = min (aX , bY )
che significa: l’utilità derivante dalle quantità X e Y dei due beni è pari al minimo fra i due numeri aX e bY.
Si suppone che a e b siano positivi.
Scordatevi di procedere come nei casi precedenti, perché in questo caso non esistono espressioni esplicite per
le intere curve di indifferenza, per le utilità marginali, e per i saggi marginali di sostituzione (o meglio, esisterebbero ma sarebbero noiose da scrivere; alcune indicazioni per i più curiosi sono riportate nella nota 1
più avanti). Procediamo invece come segue.
Per prima cosa individuiamo le coppie, o panieri, ( X , Y ) tali per cui i due termini dentro la funzione “min”
a
di cui sopra sono uguali tra loro. Da aX = bY otteniamo Y = X : si tratta di una retta crescente di inclinab
zione pari a a/b, che cioè contiene tutti i panieri che, per ogni unità di X, contengono a/b unità di Y.
a
Consideriamo uno qualsiasi dei panieri che stanno su quella retta, diciamo ( X 0 ,Y0 ) , con Y0 = X 0 . Se, a
b
partire da quel punto del piano, facciamo aumentare X a parità di Y0 , allora aX aumenta ma bY0 no: questo
significa che min (aX , bY0 ) continua a essere uguale a bY0 , visto che aX è aumentato ma bY0 non è aumentato. In altri termini, muovendosi orizzontalmente a destra a partire da ( X 0 ,Y0 ) l’utilità resta costante; ma ciò
significa, per definizione, che rimaniamo sulla medesima curva di indifferenza. Dunque la semiretta orizzontale che sta a destra del punto ( X 0 ,Y0 ) è un pezzo della curva di indifferenza che include ( X 0 ,Y0 ) .
In modo analogo, se a partire da ( X 0 ,Y0 ) facciamo aumentare Y senza che X aumenti, troviamo che l’utilità
non aumenta, e dunque la semiretta verticale che sta sopra il punto ( X 0 ,Y0 ) è un altro pezzo della curva di
indifferenza che include ( X 0 ,Y0 ) .
Concludiamo che al curva di indifferenza che contiene ( X 0 ,Y0 ) è un “angolo retto” che ha per vertice il punto ( X 0 ,Y0 ) . Siamo dunque nel caso dei complementi perfetti. Solo aumentando entrambe le quantità potremo
5
aumentare l’utilità: in particolare, se ci muoviamo su un nuovo punto lungo la retta Y =
a
X ci troveremo
b
sul vertice di un nuovo angolo retto.
Lascio a voi fare il grafico, che peraltro ho fatto a lezione1.
1
Per i più curiosi, riportiamo alcune delle caratteristiche della funzione di utilità sotto esame.
Utilità marginali. Tenete ben presente davanti ai vostri occhi il grafico di una curva di indifferenza ad angolo retto; se
siamo a sinistra del vertice, cioè se aX < bY , un aumento di X a parità di Y fa aumentare l’utilità, perché il minore fra
i due termini sta aumentando; siccome l’utilità aumenta in questo caso secondo la funzione aX, l’utilità marginale di X è
pari al parametro a. Se invece siamo nel caso aX ≥ bY , cioè a destra del vertice, un aumento di X a parità di Y non fa
aumentare l’utilità, visto che il minore dei due termini (bY) rimane invariato. Ne segue:
a, se aX < bY
MU X = 
 0, se aX ≥ bY
Con un ragionamento analogo troviamo che
b, se bY < aX
MU Y = 
 0, se bY ≥ aX
Saggio marginale di sostituzione. Le curve di indifferenza hanno tratti orizzontali (inclinazione pari a zero) a destra di
un qualsiasi vertice, cioè nella zona dove vale aX > bY , ed hanno tratti verticali (inclinazione pari a “∞” sopra un
qualsiasi vertice, cioè nella zona dove vale bY > aX . Ne segue:
 0, se aX > bY
MRS = 
∞, se bY > aX
Infine, se siamo esattamente in un vertice (punto angoloso) il saggio marginale di sostituzione non è definito.
6