II Compitino 2005 (Turno A-L)

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MATRICOLA:
Indicare la risposta corretta con una crocetta.
1. Si consideri l’insieme X = {a, b, c, d, e} e la relazione
R = {(a, a) , (b, b) , (c, c) , (d, d), (e, e) , (a, d) , (d, c) , (a, c) , (c, a) , (d, a) , (c, d)} .
Allora
(a) R è simmetrica, ma non transitiva;
(b) R è una relazione di equivalenza;
(c) R è transitiva, ma non simmetrica;
(d) R è riflessiva, ma non transitiva.
Risposta: b
2. Siano a, b due numeri interi, e si supponga che sia:
M.C.D.(a, b) = 3,
M.C.D.(b, 3a) = 3.
allora:
(a) b è pari;
(b) b è divisibile per 3 ma non per 9;
(c) b è divisibile per 9;
(d) M.C.D.(a, 3b) = 3.
Risposta: b
3. L’equazione diofantea
10x + by = 6
ha soluzioni:
(a) se e solo se b è divisibile per 2;
(b) se e solo se b è un numero primo;
(c) se e solo se b è multiplo di 10;
(d) se e solo se l’ultima cifra di b non è né 0 né 5.
Risposta: d
4. Quale delle seguenti liste comprende tutte le classi di resto modulo 7, cioè tutti gli elementi
di Z7 ?
(a) [−31]7 , [24]7 , [12]7 , [532]7 , [−231]7 , [0]7 ;
(b) [−20]7 , [−61]7 , [45]7 , [74]7 , [26]7 , [−8]7 , [−126]7 , [11]7 ;
(c) [0]7 , [−80]7 , [18]7 , [23]7 , [50]7 , [−11]7 , [27]7 ;
(d) [−20]7 , [45]7 , [74]7 , [26]7 , [−8]7 , [−126]7 , [11]7 , [−107]7 .
1
Risposta: b
5. Indicato con Z108 l’insieme delle classi di resto modulo 108, si ha:
(a) Z108 = {[a]108 : a ∈ Z, 240 ≤ a ≤ 307};
(b) Z108 = {[a]108 : a ∈ Z, −10 ≤ a ≤ 86}};
(c) Z108 = {[a]108 : a ∈ Z, 333 ≤ a ≤ 429};
(d) Z108 = {[a]108 : a ∈ Z, 420 ≤ a ≤ 527}.
Risposta: d
6. Sia X l’insieme dei numeri naturali n > 1 tali che [15]n è invertibile rispetto al prodotto
in Zn . (Ricordiamo che la classe [a]n è invertibile se esiste una classe [x]n ∈ Zn tale che
[a]n · [x]n = [1]n .)
(a) X è l’insieme dei numeri maggiori di 1 che non sono divisibili né per 5, né per 3;
(b) X è l’insieme dei numeri primi;
(c) X è l’insieme dei naturali maggiori di 15;
(d) nessuna delle precedenti.
Risposta: a
7. Data una composizione di funzioni
f
g
h
Y −→ X −→ Z −→ W
si supponga che h ◦ g ◦ f sia biunivoca. Allora si può dedurre che:
(a) g è suriettiva ed f è iniettiva;
(b) h è suriettiva ed f è iniettiva;
(c) h è iniettiva ed f è iniettiva;
(d) g è biunivoca.
Risposta: b
Si svolga il seguente esercizio, dando una piena giustificazione.
8. (a) Si determini M.C.D.(2065, 301).
(b) Si dica se l’equazione
2065x + 301y = 14
(1)
ammette soluzioni intere. In caso affermativo si determini almeno una soluzione.
(c) Si dica se l’equazione [2065]301 · [x]301 = [14]301 ha soluzioni [x]301 ∈ Z301 . In caso
affermativo si determini almeno una soluzione.
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