Dinamica dei sistemi
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Dinamica dei sistemi
DINAMICA DEI SISTEMI 1. Dimostrare che il centro di massa di una sbarra di massa M e lunghezza L coincide con il punto medio della sbarra se essa possiede una densità lineare λ uniforme. Nel caso in cui λ non sia uniforme ma valga λ = 50 g m + 20 x g m 2 ( x distanza da un estremo della sbarra) e la sbarra sia lunga L = 30 cm calcolare: a. La massa totale M della sbarra; b. La distanza del centro di massa da uno degli estremi. 2. Un oggetto di massa M ha la forma di un triangolo rettangolo. L’ipotenusa è lunga c , il cateto maggiore a mentre quello minore b . Sapendo che la densità superficiale di massa è uniforme calcolare il centro di massa. 3. Una molecola di acqua è formata da un atomo di ossigeno e due atomi di idrogeno come in figura. L’angolo formato dalle direzioni dei legami covalenti dei due atomi di idrogeno con quello di ossigeno è 106° . Se la lunghezza dei due legami è 0.1 nm dove si trova il centro di massa della molecola? 4. Una ragazza di massa m = 50 kg è in piedi su una zattera di massa M = 100 kg e lunghezza L = 3 m posta in prossimità di una boa fissa, e si trova all’estremità della zattera più vicina alla boa, a distanza d = 2 m . La ragazza si sposta sull’altra estremità della zattera. Trascurando l’attrito tra la zattera e l’acqua, si determini la nuova distanza della zattera rispetto alla boa. 5. Due corpi di massa m1 ed m2 = 2m1 sono agganciati ai capi di una molla di massa trascurabile e posti su di un piano liscio orizzontale. La molla ha lunghezza di riposo L e costante elastica k . Inizialmente le due masse sono collegate da un filo e la molla è compressa di un tratto l0 . In un dato istante il filo viene tagliato ed il sistema e lasciato libero di muoversi. Si determini la velocità massima raggiunta dai due corpi nel loro moto. 6. Un proiettile di massa m viene lanciato da terra all’istante t = 0 con velocità iniziale v0 = 10 m s in una direzione che forma un angolo θ = 60° con l’orizzontale. Durante il volo il proiettile esplode in due frammenti di massa pari a 2 m m ed rispettivamente. I due frammenti atterrano simultaneamente e la 3 3 distanza del frammento più leggero dal punto di lancio è x2 = 11 m . Trascurando la resistenza dell’aria si calcoli a quale distanza dal punto di lancio atterra il frammento di proiettile più pesante. 7. Una biglia di massa m1 si muove con velocità v0 su un piano orizzontale liscio e subisce un urto elastico centrale con una seconda biglia, di massa m2 = 3m1 , inizialmente ferma. Successivamente la seconda biglia cade da un gradino di altezza h = 0.5 m . Si trovi il valore di v0 per cui la biglia tocca terra a distanza d = 5 m dal bordo del gradino. 8. Un cannone di massa M inizialmente fermo su un piano orizzontale scabro spara, con un'inclinazione α rispetto all'orizzontale, un proiettile di massa m . Sapendo che il proiettile viene espulso con una velocità v p e che la superficie su cui poggia il cannone presenta un coefficiente di attrito dinamico µ D , si calcolino il rinculo del cannone e l’impulso della reazione vincolare d’appoggio. Si trascuri l'attrito tra cannone e suolo durante lo sparo. 9. Un blocco di legno di massa M è appeso ad un piolo mediante una fune inestensibile di lunghezza L e di massa trascurabile. Una pallottola di massa m si conficca nel blocco con velocità v0 : a. Si calcoli il minimo valore di v0 per cui il blocco compie un giro attorno al piolo. b. Per tale valore di v0 , si calcoli l’energia dissipata nel blocco durante l’urto. c. Come cambierebbe la risposta a se al posto della fune vi fosse un’asta rigida sempre di massa trascurabile? 10.Un cuneo di massa M = 2 kg , la cui sezione è delimitata da un quarto di cerchio di raggio R = 50 cm , libero di muoversi su di un piano orizzontale, è inizialmente in quiete. Un corpo di massa m = 0.5 kg viene lanciato lungo il piano orizzontale in direzione del cuneo. Si determini il minimo valore che deve avere la velocità iniziale R m v del M corpo affinché possa percorrere la superficie curva del cuneo giungendo fino alla quota h = R . Si supponga trascurabile ogni forma 2 di attrito. 11.La guida ABC in piano D C figura giace in un orizzontale. All’estremo A h m1 è attaccata una molla m2 A O B h di massa trascurabile e costante elastica k=400 N m alla quale è appoggiata una massa m1 = 200 g ; in queste condizioni la molla risulta compressa di x0 cm . Rilasciando la molla, la massa m1 urta elasticamente una massa m2 = 2m1 ferma sul tratto AB . a. Determinare x0 , sapendo che dopo l’urto m1 , ribattendo sulla molla, la comprime di x1 = 3.5 cm . b. La massa m2 , per effetto dell’urto, sale lungo il profilo liscio BC e prosegue per un tratto scabro CD ( µD = 0.5) . Sapendo che CD = CO = h , determinare per quale valore di h la massa m2 si arresta in D . 12.Tre barche uguali A B e C , di massa M = 100 kg , si muovono affiancate sull’acqua con la stessa velocità V V = 6 m s . Dalla barca B , che si trova in ( ) posizione centrale, vengono lanciati nello stesso istante di tempo due corpi di massa m = 10 kg che ricadono sulle due barche laterali. Le velocità v′ ( v′ = 10 m s ) dei due corpi al momento del lancio sono orizzontali rispetto alla barca B , normali rispetto a V ed uguali in modulo. Supponendo di trascurare l’attrito dell’acqua, si determinino: a. la velocità della barca B dopo il lancio dei due corpi; b. la direzione secondo cui si muovono le barche A e C dopo che le due masse sono ricadute in esse 13.Due sfere identiche si muovono su un piano privo di attrito lungo due direzioni che formano rispettivamente un angolo α = 45° e β = 30° rispetto all’orizzontale. La prima sfera ha una velocità v1 = 3 m s , la seconda v 2 = 4.24 m s . Ad un dato istante esse si urtano in maniera totalmente anelastico. Stabilire in quale direzione si muoveranno le sfere dopo l’urto determinare a. la velocità delle due sfere dopo l’urto; b. la perdita percentuale di energia durante l’urto.