Sistemi con ritardo finito

Sistemi con ritardo finito
Un sistema con ritardo finito ha f.d.t. del tipo:
N ( S ) − Sτ
G(S ) =
e
D( S )
Applicando a tale sistema un ingresso all’istante
t=0, la risposta inizierà all’istante t=τ
La forma della riposta sarà determinata da poli,
zeri e guadagno del sistema
esempio
Si consideri il serbatoio inizialmente vuoto, se
τ è il tempo necessario perché il livello
dell’acqua raggiunga quello del foro d’uscita,
y(t ) = u (t − τ )
si ha
trasformando si ottiene Y ( s ) = e − sτU ( s )
da cui segue G ( s ) = e − sτ
Sviluppo in serie di Padè
• Il ritardo finito può essere approssimato da una funzione
razionale fratta del tipo:
bp s + bp −1s
p −1
+ ....... + b0
aq s + aq−1s
q −1
+ ...... + a0
p
−s
e ≅
q
( p + q − k )! p!
bk =
(−1) k
( p + q)! k! ( p − k )!
ak =
( p + q − k )! q!
( p + q)! k!(q − k )!
k = 0,......, p
k = 0,......, q
i sistemi che si ottengono utilizzando l’approssimazione di Padè
non sono mai sistemi a fase minima, infatti essi hanno sempre zeri
a parte reale positiva
p = q =1
p=q=2
1 − s2τ
G( S ) =
1 + s2τ
1−
G( s) =
1+
sτ
2
sτ
2
+
+
( sτ ) 2
12
( sτ ) 2
12
Risposta in frequenza:esempio
velocità del nastro v=1m/sec
lunghezza q=2m
il modello ingresso/uscita è :
y (t ) = u (t − 2)
per cui si ha:
Y ( s ) = e −2 sU ( s ) ⇒ G ( s ) = e −2 s
da cui è possibile ricavare la funzione di risposta armonica
G ( jω ) = e −2 jω
da cui:
⎧ G ( jω ) = 1
⎨
⎩ϕ (ω ) = −2ω
Ritardo finito
Approssimante di secondo ordine
L’approssimazione di Padè è poco accurata nello studio in frequenza
Esempio in matlab
>> g=0.05/(1+0.2*s)
Transfer function:
0.05
--------0.2 s + 1
>> g.inputdelay=0.3
Transfer function:
0.05
exp(-0.3*s) * --------0.2 s + 1
>> step(g)
Diagramma polare