Analisi Matematica I Il valore assoluto

Analisi Matematica I
Corso di Laurea in Ingegneria per l'Ambiente e il territorio
Corso di Laurea in Ingegneria Civile (corso A, dalla lettera P alla Z)
Docente: R. Argiolas
Anno Accademico: 2007/2008
Il valore assoluto
Si definisce valore assoluto (o modulo o intensità) di un numero reale x , e si indica col simbolo
x (leggi “valore assoluto di x”), il numero così definito:
x
x := 
− x
Esempi:
se
se
x≥0
x<0
− 3 = 3, 2 = 2 , 0 = 0.
Osserviamo che
x <a ⇔ −a < x<a
x >a ⇔
x < −a o
x>a
In modo equivalente
x ≤a ⇔ −a ≤ x≤a
x ≥a ⇔
x ≤ −a o
x≥a
Dalla definizione segue che:
− x ≤x≤ x
Proprietà del valore assoluto
1. Il valore assoluto è sempre non negativo (cioè è sempre maggiore o uguale a zero), in
particolare
1
x =0 ⇔
x=0
2. Il valore assoluto del prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti
xy = x ⋅ y
3. Il valore assoluto del quoziente è uguale al quoziente dei valori assoluti
x
x
=
y
y
4. Disuguaglianza triangolare
x+ y ≤ x + y
Dimostriamo la disuguaglianza triangolare.
Dim.
Sappiamo che
− x ≤x≤ x
e
− y ≤ y≤ y.
Sommando membro a membro, si ottiene
− (x + y )≤ x + y ≤ (x + y )
Dalla definizione di valore assoluto segue che:
x+ y ≤ x + y .
La proprietà di disuguaglianza triangolare è così dimostrata.
Osservazione
Vale anche la seguente relazione
x− y ≤ x + y .
Equazioni e disequazioni con i valori assoluti.
Le equazioni e disequazioni che coinvolgono i valori assoluti possono essere risolte spezzandole
in due casi distinti, sfruttando la definizione di valore assoluto.
Si possono verificare i seguenti casi.
2
Equazioni con il valore assoluto
x =b ⇔
x = b o x = −b
Più generale
x−a =b ⇔
x−a =b o
x − a = −b ⇔
x = a+b o
x = a−b
Disequazioni con il valore assoluto
x < b ⇔ −b < x < b
x ≤ b ⇔ −b ≤ x ≤ b
x >b ⇔
x < −b o
x>b
x ≥b ⇔
x ≤ −b o
x≥b
Più in generale
x−a < b ⇔ −b < x−a < b ⇔ a −b < x < a +b
x−a ≤ b ⇔ −b ≤ x−a ≤ b ⇔ a −b ≤ x ≤ a +b
x−a >b ⇔
x − a < −b o
x−a >b ⇔
x < a−b o
x > a+b
x−a ≥b ⇔
x − a ≤ −b o
x−a ≥b ⇔
x ≤ a−b o
x ≥ a+b
Esempi
a) x − 3 < 2 ⇔ − 2 < x − 3 < 2 ⇔ 1 < x < 5
b) 2 x − 1 ≤ 4 ⇔ − 4 ≤ 2 x − 1 ≤ 4 ⇔ − 3 ≤ 2 x ≤ 5 ⇔ −
3x + 2
≥6 ⇔
4
3x + 2
≤ −6 o
4
3x + 2
≥ 6 ⇔ 3 x + 2 ≤ −24 o 3 x + 2 ≥ 24 ⇔
4
c)
3 x ≤ −26 o 3 x ≥ 22 ⇔
x≤−
3
5
≤x≤
2
2
26
3
o x≥
3
22
.
3
d)
5 − 2x
5 − 2x
<2 ⇔ −2<
<2
3
3
⇔ − 6 < 5 − 2x < 6
⇔ − 11 < −2 x < 1
Attenzione! Moltiplichiamo per − 1 tutti i membri della disequazione ricordando che è necessario
cambiare il segno della disequazione stessa! Si ottiene
− 1 < 2 x < 11 ⇔ −
1
11
<x< .
2
2
4