e il destino di Mathlantide
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e il destino di Mathlantide
ALLENAMENTO GARA A SQUADRE ON-LINE (11/10/2010) Istruzioni Generali • Si ricorda che per tutti i problemi occorre indicare sul cartellino delle risposte un numero intero compreso tra 0000 e 9999, o comunque una successione di 4 cifre. Si ricorda anche che occorre sempre e comunque compilare tutte le 4 cifre, eventualmente aggiungendo degli zeri iniziali. • Se la quantità richiesta non è un numero intero, si indichi la sua parte intera. Si ricorda che la parte intera di un numero reale x è il più grande intero minore od uguale ad x. • Se la quantità richiesta è un numero negativo, oppure se il problema non ha soluzione, si indichi 0000. • Se la quantità richiesta è un numero maggiore di 9999, oppure se non è univocamente determinata, si indichi 9999. • Nello svolgimento dei calcoli può essere utile tener conto dei seguenti valori approssimati: 2 = 1,4142 3 = 1,7321 5 = 2,2361 6 = 2,4495 π = 3,1416 NON APRIRE QUESTO FASCICOLO FINO A QUANDO LA GARA NON È INIZIATA Ritorna l'avventura del più famoso archeologo al mondo: e il destino di Mathlantide «Innanzi a quella foce stretta che si chiama colonne d'Ercole, c'era un'isola. E quest'isola era più grande della Libia e dell'Asia insieme, e da essa si poteva passare ad altre isole e da queste alla terraferma di fronte. [...] In tempi posteriori [...], essendo succeduti terremoti e cataclismi straordinari, nel volgere di un giorno e di una notte, [...] tutto in massa sprofondò sotto terra e l'isola di Mathlantide ingoiata dal mare scomparve.» Tratto dal Timeo di Platone Hanno collaborato alla stesura dei problemi: Angela Aquilino Carlo Cassola Fabio Roman Giampaolo Gasparin Luca Lamanna Marzia Famanelli Orietta Zangiacomi Salvatore Damantino Sandro Campigotto Ugo Tomat 10 febbraio 1938: Barnett College – New-York 1. TEST A SORPRESA Al termine di una lezione sulla civiltà Micenea, il prof. Indiana Jones mise alla prova i suoi studenti proponendo il 3 3 3 3 seguente quesito: "Qual è la cifra delle unità del numero ottenuto sommando 1 + 2 + 3 + ... + 2010 ? Lo studente che diede la risposta corretta chiese in premio notizie sull'antica civiltà Mathlantidea, ricevendo una risposta telegrafica: "Pure invenzioni del folle filosofo Platone!", ma una sorpresa attendeva il nostro eroe. 2. UNA SORPRESA IN GONNELLA "Jones, miss. Katherine White ha chiesto di parlarti." affermò Marcus Brody entrando nello studio di Indiana Jones e invitando ad accomodarsi una giovanile signora vestita di un bianco tailleur e con un cappello dalle larghe tese. "Katy? Quanto tempo… era dai tempi dell'università…" l'accolse Indy. "Ciao, Indiana. Riconosci questo simbolo?" disse lei porgendogli una fotografia. "Certo, è il simbolo a cui hai dedicato tutta una vita, quello della civiltà mathlantidea descritto nel Timeo da Platone." "L'abbiamo trovato scolpito in una pietra quadrata di diagonale 40 cm " "E qual è l'area dalla parte colorata?" "Suvvia Jones… non prendermi in giro: la sai calcolare da solo". 3. LA PRIMA PROVA "E così lo hai trovato. E dove?" "Calma Jones, non essere frettoloso. Il simbolo è scolpito a fianco di un gioco per bambini che ora ti disegno." e così dicendo, prese un foglio dove tracciò la figura a fianco riportata. "Un'iscrizione sotto il simbolo chiede se è più probabile che una moneta lasciata cadere da A raggiunga l'uscita B o l'uscita C." "Supponiamo che io ti dia la soluzione," disse Indy "io cosa ci guadagno?" "Ti porterò con me a studiare il reperto." (dare come soluzione la somma tra numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini della probabilità massima). A C B B C Durante il viaggio in aereo verso Algeri, Katherine White raccontò a Indiana Jones che dalle sue ricerche risultava che la civiltà Mathlantidea aveva raggiunto un livello tecnologico avanzatissimo grazie soprattutto ai grandi risultati matematici ottenuti. Secondo Platone il continente di Mathlantide venne divorato dalla furia delle acque in una notte e della civiltà non rimase alcuna traccia. Da sempre si era pensato che la civiltà fosse fiorita su un'isola dell'atlantico, ma indizi più recenti spostavano l'attenzione sul mar Mediterraneo. 1 marzo 1938 Bazar di Algeri 4. OMAR AL-JABBAR "Dobbiamo contattare Omar Al-Jabbar, un commerciante locale di souvenir. È lui che in un suo scavo ha trovato il simbolo della civiltà Mathlantidea." Dopo una estenuante ricerca, finalmente Indy e Katy giungono in un bazar del centro città. "Sei tu Omar Al-Jabbar?", chiese Indiana Jones al venditore di cianfrusaglie. "Ci sono uomini malvagi in giro… Risponderò alla tua domanda se tu risponderai alla mia. Sto pensando ad un numero di tre cifre, tutte diverse e nessuna è zero. Se sommi tutti gli altri 5 numeri di tre cifre che si possono formare utilizzando le cifre del mio numero, scambiandole di posto, ottieni 2211. Che numero ho scelto?" 5. LA MAPPA DEL DESERTO Omar consegnò ad Indy e Katy una mappa rappresentante il deserto a sud di Algeri e si rifiutò di accompagnarli. La mappa era una griglia cartesiana con coordinate x e y da 0 a 99. Vi era riportata la seguente scritta sul bordo: " x = ab ; y = cd ; c'è un unico numero abcd compreso tra 1000 e 9999 tale per cui le ultime quattro cifre del suo quadrato siano uguali al numero stesso." Noleggiata una jeep, a quali coordinate si sono diretti i due protagonisti? (Dare come risposta abcd.) Deserto a sud di Algeri 6. SCAVO NEL DESERTO Una fossa nella sabbia. Ecco la prima impressione che ebbe Indiana Jones giunto sul posto. Discesa una scala di legno, Katy e Indy si trovarono di fronte ad una parete di roccia con incisa sopra una croce con a fianco la scritta AB misura 20 5 cm . "Omar ti ha mai parlato di questo?", disse Indy a Katy, che per tutta risposta scrollò le spalle. "Guarda qua. C'è una specie di ruota numerata," notò Katy "e sopra c'è una scritta in antico greco, che tradotta vuol dire estensione o superficie". "Ho capito" disse Jones" e la risposta è decisamente semplice". A B 7. INDIZI NELLA SABBIA La parete di roccia nascondeva una grotta scavata dall'uomo: infatti la forma era troppo regolare per essere naturale. In un angolo Jones e Katy poterono osservare il gioco per bambini e il simbolo inciso sulla parete. Ma fu un'altra zona che attirò l'attenzione di Jones. Sulla parete opposta all'entrata vi era una serie di pulsanti disposta in 10 righe e 10 colonne. A fianco, ripulita dalle incrostazioni del tempo, qualcuno aveva riportato alla luce una scritta in antichi caratteri greci. "E questa? Non me ne hai mai parlato." disse Jones a Katy, che fece finta di non sentire continuando ad ammirare il simbolo mathlantideo della parete. Indiana Jones, inforcando gli occhiali, lesse attentamente le incisioni sulla roccia: "In quanti modi diversi puoi premere 4 pulsanti adiacenti in sequenza da destra verso sinistra o viceversa, dall'alto verso il basso o viceversa o in diagonale?" Il giorno dopo, Jones e Katherine continuarono ad indagare la grotta. Posizionando la ruota numerata sulla risposta, la parete ruotò su sé stessa rivelando un'incisione familiare: la rappresentazione del Mar Mediterraneo. A sud della Grecia, dove normalmente c'è l'isola di Creta era riportata un'isola molto più grande con inciso sopra il simbolo Mathlantideo. Una scoperta sensazionale. 2 marzo 1938 Grotta sotterranea nel deserto 8. PRIGIONIERO NAZISTA "Herr Jones, sapevo che avrei potuto contare su di te!" gridò il graduato Nazista emergendo dalla luce dell'ingresso. In un attimo Jones fu bloccato da 4 mani nerborute e rinchiuso in una stanza attigua a quella principale. Katherine fu scortata fuori. Appena la vista si abituò all'oscurità, sulla parete interna dello stanzino Jones osservò la figura a fianco riportata e trovò un'altra ruota numerica. Sopra alla ruota la scritta AB = BC = CD = 10 cm EB ⊥ AD ⊥ CF e i simboli dal significato di "superficie". D E C B A F 9. L'ENIGMA DELLA GUARDIA Trovata un'uscita secondaria, Jones si rese conto di essere stato abbandonato. Una sola guardia era stata lasciata a presidio dello scavo, ed una mongolfiera era ancorata a terra. La guardia era impegnata in un enigma matematico, evidentemente trovato nella grotta: "Sono dati i seguenti insiemi: S 4 = {7,8,9,10} , … contenuti in S 22 ?" S1 = {1} , S 2 = {2,3} , S3 = {4,5,6} , dove ogni insieme contiene un elemento in più del precedente. Qual è la somma degli elementi 10. VERSO L'ISOLA DI CRETA Reso inoffensivo il soldato tedesco, Jones notò che il sistema di ancoraggio del pallone aerostatico era a combinazione numerica. Interrogata la guardia, questa affermò: "Il codice è il più grande intero n di 4 cifre tale che il prodotto del numero costituito dalla prima e dalla terza cifra di n con il numero costituito dalla seconda e dalla terza cifra di n sia un numero di tre cifre tutte uguali alla quarta cifra di n". Jones non se lo fece ripetere due volte, e nel giro di pochi istanti era in volo verso l'isola di Creta 3 marzo 1938 Cieli d'Algeria a 13 miglia dalle coste nord 11. NUOVAMENTE PRIGIONIERO Sorvolando il mar mediterraneo con il pallone aerostatico, per passare il tempo, Indy cominciò a tracciare delle rette sul pavimento della gondola. Dopo averne fatte 3 parallele in un senso, 4 parallele in un altro senso e 5 parallele in un terzo senso sentì un colpo di fucile: avvistato da un sommergibile nazista, era appena stato abbattuto. Quanti parallelogrammi aveva disegnato, al massimo, Indiana Jones? Nella prigione del sommergibile, Jones si rese conto che il sottomarino aveva urtato qualcosa e quindi si era fermato. Un gran vociare di ordini in tedesco e nel giro di pochi minuti un silenzio totale. Doveva trovare il modo per fuggire. Jones si rese conto che la stanza dove era stato rinchiuso non era una vera prigione. Infatti la porta venne giù dopo alcune poderose spallate. Nel sommergibile non c'era più anima viva, erano tutti sbarcati, ma per dove? 12. FUGGIRE ANCORA Era necessario uscire dal sommergibile quanto prima. Un tubo lanciasiluri!!! Jones fu folgorato dalla malsana idea di trasformarsi in siluro e farsi sparare fuori dall'U-boat. Sul pannello di controllo, per non dimenticarsi il codice di lancio, qualcuno aveva appuntato: "È dato un triangolo scaleno di lati 13, 14 e 15 cm. Si costruisca il simmetrico del triangolo rispetto al baricentro. Il codice di lancio è l'area della parte di piano comune ai due triangoli." 13. LA PORTA DI MATHLANTIDE Uno spettacolo incredibile. Jones si ritrovò in una caverna subacquea, dove l'acqua non riusciva ad entrare. Su una parete della grotta si intravedevano una porta scolpita nella roccia, con incisa una scritta che tradotta chiedeva "Quanto pesa il cubo?" ed una ruota numerata. A lato una bilancia a bracci diseguali, un cubetto di metallo sconosciuto e alcuni pesi numerati. Il peso del cubo risultò essere di 392g se posto su un piatto, di 450 se posto sull'altro. Indiana Jones non si arrese e riuscì ad aprire la porta risolvendo l'enigma. Quello che Indiana Jones trovò al di là della porta in pietra lo lasciò senza fiato. Un'intera città, costruita su tre cerchi concentrici e perfettamente conservatasi nel tempo sul fondo del mar Mediterraneo, contenuta in una bolla d'aria che chissà quale strana energia stava mantenendo. 14. IL PRIMO CERCHIO Per raggiungere il grande tempio, al centro della città fu necessario superare le tre grandi fortificazioni circolari, risolvendo gli enigmi riportati sui portali. Sul primo c'era scritto "Una piramide ha per base un pentagono regolare di lato 30 13 m , e le sue facce laterali sono tutte triangoli equilateri. Trovate il minimo percorso che unisce il punto medio di un lato della base con il vertice opposto del pentagono, senza poter passare sotto la piramide." 15. SECONDO CERCHIO Sul portale del secondo cerchio di mura il quesito chiedeva "Calcolate la somma dei coefficienti del polinomio (4 x 20 ) − 3 x10 + 1 2010 ( ) − 4 x 20 + 3 x10 + 1 670 + 4 x 20 + 1 ridotto in forma normale." 16. TERZO CERCHIO L'accesso alla zona del tempio era bloccata da un portale che interrogava: "Quali sono, in base 10 le prime 4 cifre decimali del rapporto tra il maggiore ed il minore dei fattori primi del numero 187 432 scritto in base 432?" 17. LA PORTA DEL TEMPIO Una sola parola era incisa sulla porta del tempio: "Superficie". Subito sotto vi era riportata l'incisione di un esagono irregolare con diagonali concorrenti. Jones capì subito che la chiave della porta era l'area del triangolo indicato con x. x Uno spettacolo di morte attendeva il nostro eroe. All'interno del tempio giaceva una serie infinita di scheletri mutilati e deformi, ma la più amara delle sorprese doveva ancora arrivare. "Indy, la mia fiducia in te era ben posta." La voce inconfondibile di Katherine distolse l'attenzione di Jones dai cadaveri. "Fräulein White, la sua idea di sfruttare le abilità del dott. Jones è stata l'arma della nostra più grande vittoria" disse il graduato nazista che l'accompagnava. "Devi sapere – riprese Katherine – che le leggende raccontano che i Mathlantidei erano riusciti a costruire una macchina per diventare dei, e così si salvarono dalla catastrofe." Alba del 4 marzo 1938 Tempio di Mathlantide 18. ATTIVARE LA MACCHINA "Siamo qua per diventare Dei." affermò solenne Katherine togliendo la polvere da un altare dove trovò delle strane incisioni. Sulla parete due ruote con sopra la scritta m ⊕ n = 5 . "Jones, quante coppie di numeri naturali (m; n) ci permetteranno di diventare degli dei?" chiese l'ufficiale tedesco. m ⊕ n = m + [(m − 1) ⊕ (n − 1)] + n m≠0 m⊕0 = 0 n≠0 0⊕ n =1 0 ⊕ 0 = −1 19. LA MACCHINA PER DIVENTARE DEI Attivata la macchina, restò un solo problema, trovare la piattaforma sulla quale posizionarsi per diventare Dei. Katherine tradusse le iscrizioni riportate sul pannello di controllo: "La piattaforma è un quadrilatero irregolare, le cui diagonali sono perpendicolari tra loro. Due lati opposti valgono rispettivamente 373 mm e 373 mm . Il rapporto fra le due diagonali è 45/47. I 4 segmenti in cui si dividono le diagonali incrociandosi sono espressi, in mm, tutti da numeri interi e il più piccolo dei 4 giace sulla diagonale maggiore." I soldati nazisti si misero subito alla ricerca della piattaforma. Quanto vale l’area della piattaforma in mm quadrati (dare la risposta divisa per 10)? L'ufficiale tedesco si piazzò sulla piattaforma, ma Katherine White con una pistola lo freddò. "Se c'è qualcuno che deve diventare un dio, quella sono io." E così dicendo si posizionò sulla piattaforma e attivò la macchina. Un raggio di energia la attraversò e il suo corpo divenne fosforescente. Quando la luce scomparve sulla piattaforma restò un mucchio di ossa. Chissà se la macchina funzionava veramente. Indiana Jones capì subito che quella fu l'ultima volta che l'artefatto funzionò. Con una serie di esplosioni il marchingegno si ruppe. I soldati nazisti fuggirono in preda al panico. Con un boato lo scudo di energia che proteggeva Mathlantide si spezzò, e l'acqua del mare cominciò ad invadere quanto per secoli non aveva potuto ricoprire. 20. FUGA DA MATHLANTIDE In un angolo, su una specie di bolla di un materiale ibrido trasparente, Jones individuò una scritta in greco antico: "Quanto vale il resto della divisione 373373 + 3737 3737 25 Grazie alla bolla, Indiana raggiunse la superficie del mare dove trovò il sommergibile nazista non più bloccato dalle rocce. Guardando il tramonto, si rese conto di essere l'unico spettatore della fine della città Mathlantidea e l'unico superstite della follia Nazista. Unico testimone di una storia a cui nessuno crederà mai. Liberamente tratto da "Indiana Jones and the fate of Atlantis" - LucasArts™ ?" Indiana Jones trovò la soluzione, e quella fu la sua salvezza.