approfondimento-macchine semplici e cinghie

Modellistica dei Sistemi Meccanici
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione
E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti
“Lezioni di
MECCANICA APPLICATA ALLE
MACCHINE”, vol. I e II
Pàtron Editore
C. P. Mengoni
tel. 0554796339
[email protected]
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione
Meccanismi con organi flessibili
I meccanismi con organi flessibili sono caratterizzati da coppie cinematiche
costituite da un elemento flessibile che è in grado di reagire soltanto a
sollecitazioni di trazione, che si svolge su un elemento rigido:
Elemento flessibile: Fune, nastro, cinghia, catena, …
Funi e nastri possono essere realizzati sia in fibre tessili sintetiche e
naturali, sia in acciaio (funi in acciaio a trefoli)
Le catene si distinguono per anelli e articolate
Le cinghie possono essere di vari tipi e materiali: piane, trapezoidali,
dentate …; anima ad alta resistenza (cuoio, nailon, etc. ), rivestita con
materiale ad alto coefficiente di attrito (cuoio al cromo, elastomeri…)
Elemento rigido: puleggia, carrucola
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
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Meccanismi con organi flessibili – 2
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
Meccanismi con organi flessibili – 3
Non esistono organi perfettamente
flessibili P=Q ma esiste un rigidezza
dell’organo flessibile che porta ad un
lavoro perduto per rigidezza
P (R + δ p ) = Q (R + δQ )
Lm = PR θ
Lr = QR θ
Lp = Lm − Lr = (P − Q ) R θ = Q
Rθ
δQ − δ P ) ≈ Q θ (δQ − δ P )
(
R + δP
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Pulegge fisse e mobili
I più semplici meccanismi contenenti organi flessibili:
una puleggia e una fune. Puleggia fissa o mobile. Nel
primo caso la puleggia ruota attorno ad un asse fisso e
permette il sollevamento di un carico Q applicando una
forza P. Nel secondo caso l’asse della puleggia è
mobile e il carico (Q) è collegato alla staffa accoppiata
rotoidalmente.
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
Pulegge fisse e mobili - 2
Puleggia ad asse fisso
Equilibrio alla traslazione e dei momenti
δ

=
1
R



ρ
 = 1


R

S = P +Q
P (R − δ − ρ ) = Q (R + δ + ρ )
δ

1
+

R + δ + ρ)
(

P =Q
=Q
δ

(R − δ − ρ )
1
−


Caso Ideale:
P0 = Q
+ρ
δ +ρ
R 

; Q 1 + 2
= kQ

+ρ
R 


R 
Rendimento:
η=
P0 1
=
P
k
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
Pulegge fisse e mobili - 3
Carrucola ad asse mobile
Equilibrio alla traslazione e dei momenti
δ

=
1
R



ρ
 = 1


R

T = P +Q
P (R − δ − ρ ) = T (R + δ + ρ )
Quindi:
P ; kT
T =
Q
1+k
Caso Ideale:
P0 =
Q
2
P =
kQ
1+k
Rendimento:
η=
P0 1 + k
=
P
2k
I valori di k nei casi di accurata
manutenzione sono compresi tra 1.04 e 1.1
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
Paranchi 1
Serie di carrucole fisse, una serie di carrucole mobili e una fune che si
avvolge alternativamente. Una estremità della fune libera e lìaltra
collegata a una delle due parti 4 casi
•Tiro invertito e fune collegata alla parte mobile
T 0 + T1 + ... + T n −1 = Q
T1 = kT 0
T 2 = kT1 = k 2T 0
...
(
Q = T 1 + k + ... + k
P =
k n ( k − 1)
k n −1
n −1
)
k n −1
=
T0
k −1
Q
P = k nT 0
P0 =
Rendimento
Q
n
(
)
k n −1
P
η=
=
P0 nk n ( k − 1)
•Tiro invertito e fune collegata alla parte fissa
stesso risultato con numero pari di carrucole
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
Paranchi 2
•Tiro diretto e fune collegata alla parte fissa
T 0 + T1 + ... + T n −1 + P = Q
T1 = kT 0
T 2 = kT1 = k 2T 0
...
(
Q = T 1 + k + ... + k
P =
k n ( k − 1)
k n +1 − 1
n
)
k n +1 − 1
=
T0
k −1
Q
P = k nT 0
P0 =
Rendimento
Q
n +1
(
n +1
)
k
−1
P
η=
=
P0 ( n + 1) k n ( k − 1)
•Tiro invertito e fune collegata alla parte fissa
stesso risultato con numero pari di carrucole
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
Paranco differenziale
Equilibrio verticale
T1 = kT 0
T1 + T 0 = Q
kQ
1+k
Q
T0 =
1+k
Equilibrio rotazione
T1 (R 2 + ρ + δ ) = T 0 (R1 − ρ − δ ) + P (R 2 − ρ − δ )
T1 =
 k (R 2 + ρ + δ ) (R1 − ρ − δ ) 
−


Semplificando
R
−
ρ
−
δ
) (R2 − ρ − δ ) 
 ( 2
Q  2 R1 
Approssimando P =
(R1~R2)
k − 
1+k 
R2 
Q  R − R1 
Caso ideale
P0 =  2

2  R2 
P =
Q
1+k
Scegliendo R1 e R2 è possibile variare il rapporto P0/Q.
Al tendere di R1 a R2 il rendimento però tende a zero.
Il rendimento è :
η=

P0  R 2 − R1   1 + k
≅

 2
P
 2R 2   k − R1 R 2 
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Trasmissione con cinghia
Trasmissione di potenza meccanica tra due alberi paralleli
R1 e R2
raggi delle pulegge
T1 e T2
tensioni nei due rami di cinghia
M1 e M2
momento motore e resistente
Per trasmettere potenza tra le due pulegge è necessario che i due rami
siano sottoposti a tensioni diverse
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
Trasmissione con cinghia
(T1 − T 2 ) R2 = M 2
M 1 = (T1 − T 2 ) R1 = M 2 R1
R2
Pulegge rigide e cinghia deformabile
T0 tensione di montaggio
La lunghezza di un ramo della cinghia a riposo è:
La lunghezza dei rami della cinghia durante il funzionamento è:
Quindi poiché le lunghezza rimangono immutate nel passare da
condizione di montaggio a quella di funzionamento:
l
l
1 + T 0 ES 
1 + T i ES 
T1 + T 2 = 2T 0
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
Trasmissione con cinghia
Legge di variazione della tensione da T1 a T2
Equilibrio radiale e tangenziale
dT = fdN
dN + dF = Td α
Da l’eq. tan. deriva che l’incremento di tensione è legato alle forze di attrito sulla
puleggia legato allo strisciamento locale della cinghia elastica sulla puleggia
dF = forza centrifuga sull’elemento = qv2dα
q= massa per unità di lunghezza
v2
dN = Td α − qR
d α = T − qv 2 d α = T d′ α
R
(
)
qv2 è indipendente da α quindi: dT=dT’
dT ′ = fT d′ α
T ′ 
log  '  = f α
T 2 
T ′ = T 2'e f α
Legge di variazione della
tensione della cinghia
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
Trasmissione con cinghia
T ′ = T 2'e f α
α
β
Si noti che la tensione non può variare con tale legge
lungo tutto l’arco di abbracciamento della puleggia perché
tali angoli hanno valori diversi sulle due pulegge
La tensione varia con legge esponenziale lungo un arco β
(arco di scorrimento) e rimane costante lungo l’arco
restante γ (arco di aderenza)
Angolo di abbracciamento = γ+β
Determiniamo β:
(
M 2 = (T1 − T 2 ) R 2 = (T1′ − T 2′) R 2 = T 2' e f β − 1
Utilizzando la tensione di
montaggio T0=(T1+ T2)
)
M2 e f β
T1 =
R2 e f β − 1
(
T2 =
)
M2
1
R2 e f β − 1
(
)
M2 e f β + 1
2
Da cui si ricava β noti T0 e M2
T0 =
+
qv
fβ
2R 2 e − 1
(
)
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Modellistica dei Sistemi Meccanici
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione
Trasmissione con cinghia
Il massimo momento trasmissibile si
ottine quando il valore dell’angolo di
scorrimento è pari all’angolo di
abbracciamento
della
puleggia
minore. Se il momento cresce , la
cinghia scorre globalmente sulla
puleggia dando luogo al fenomeno
dello scarrucolamento.
Per aumentare il momento trasmissibile si
usano le cinghie trapezoidali: sono valide
le relazioni precedenti con f’=f/senψ; a parità
di momento resistente e β le forze nei rami
sono inferiori.
Silenziosità in esercizio
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Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione
Trasmissione con cinghia
Rendimento delle trasmissioni a cinghia
Perdite per attriti interni alla cinghia durante le sue deformazioni
Perdite per effetto ventilante
Perdite per attrito nei perni
Dimensionamento:
Rapporto di trasmissione ω2/ω1=R1/R2 Valori compresi tra 1/6 e 6. Si ricorre
all’utilizzo di galoppini tenditori sul ramo meno teso.
Velocità della cinghia < 40-50m/s e eccessiva curvatura => Rmax e Rmin pulegge
Calcolo lunghezza della cinghia (montaggio su perno registrabile
Fare comunque riferimento ai dati della casa costruttrice
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Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione
Trasmissione con cinghia
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