Lezione 6 Ideali primari.

Lezione 6
Ideali primari.
Sia A un anello.
Definizione 6.1 Un ideale proprio I di A si dice primario se, per ogni a, b ∈ A ,
ab ∈ I ⇒ a ∈ I oppure b ∈ I .
Corollario 6.2 L’ideale I di A è primario se e solo se in A / I ogni divisore dello zero è nilpotente.
Dimostrazione: Siano a, b ∈ A . La condizione della Definizione 6.1, alla luce dell'Esercizio 1.35,
equivale a
( I + a )( I + b) = I ⇒ I + a = I oppure I + b ∈ (I ) ,
cioè: se il prodotto di I + a e I + b è nullo, e I + a non è nullo, allora I + b è nilpotente.
Proposizione 6.3 Sia A un UFD, e sia x ∈ A un elemento non invertibile e non nullo. Allora l’ideale
( x ) è primario se e solo se x = up n per qualche elemento primo p, qualche elemento invertibile u e
qualche intero positivo n.
Dimostrazione: Sia p un elemento primo di A e sia n un intero positivo. Proviamo che ( p n ) è
primario. Siano a, b ∈ A tali che ab ∈ ( p n ) e a ∉ ( p n ) . Allora, p n | ab , ma p n /| a , e quindi, per la
proprietà di fattorizzazione unica, segue che p b , cioè, b ∈ ( p ) = ( p n ) (vedi Esempio 1.24).
Viceversa, supponiamo che x sia divisibile per due fattori primi distinti p e q. Sia a = p r la massima
potenza di p che divide x, e sia b tale che ab = x . Allora a ∉ (x ) (perché q /| a ) e b ∉ (x ) (perché
p /| b ).
Si deduce immediatamente:
Corollario 6.4 In un PID gli ideali primari sono tutte e sole le potenze degli ideali primi.
Osservazione 6.5 Chiaramente, ogni ideale primo è primario. Non è, però, vero il viceversa:
nell’anello dei polinomi K [x ] , l’ideale ( x 2 ) , in base alla Proposizione 6.3 è primario, però non è
primo.
Esempio 6.6
Nell’anello K [ x, y ], l’ideale ( x, y 3 ) è primario. Infatti:
K [ x, y ]
3
( x, y )
≅ K[ y]
(y3)
,
e in quest’ultimo anello quoziente ogni divisore dello zero è nilpotente, perché, in base alla
Proposizione 6.3, l’ideale ( y 3 ) di K [ y ] è primario.
Proposizione 6.7 Sia I un ideale primario. Allora
I è il più piccolo ideale primo di A contenente I.
Dimostrazione: Siano a, b ∈ A tali che ab ∈ I , e a ∉ I . Allora, per un opportuno intero positivo n,
( ab) n = a n b n ∈ I , mentre a n ∉ I . Essendo I primario, segue che b n ∈ I , e quindi b ∈ I . Ciò prova
che I è primo. D’altra parte, se P è un ideale primo contenente I, allora, in base alla Proposizione
2.18, si ha che I ⊂ P .
Definizione 6.8 Se I è un ideale primario tale che
primario.
I coincide con l’ideale primo P, si dice che I è P-
Osservazioni 6.9
a) Abbiamo visto che se I è un ideale primario, allora I è primo. Non vale, però, il viceversa.
Nell’anello K [ x, y ] consideriamo l’ideale I = ( xy , x 2 ) . Allora I = (x ) è un ideale primo. Però I
non è primario, perché xy ∈ I , ma x ∉ I e y ∉ I .
b) Parte della Proposizione 6.3 vale anche senza l’ipotesi che A sia un UFD: se p è un elemento primo
dell’anello integro A, allora, per ogni intero positivo n, l’ideale ( p n ) è sempre primario. Siano
a, b ∈ A tali che ab ∈ ( p n ) , allora ab = p n c per qualche c ∈ A . Supponiamo che a ∉ ( p n ) , allora
esiste un intero nonnegativo r < n tale che p r sia la massima potenza di p che divide a. Sia
a = p r α , con α ∈ A , allora p n c = ab = p r αb , da cui p n − r c = αb , di modo che p αb . Poiché
p /| α , segue che p b , da cui p n b n e quindi b ∈ ( p n ) . Ciò prova che ( p n ) è un ideale primario.
c) Non è, però, possibile estendere la Proposizione 6.3 alle potenze degli ideali primi non principali di
un anello integro: la potenza di un ideale primo non è sempre un ideale primario, come ci mostra il
l’ideale
seguente esempio. Consideriamo, nell’anello integro A = K [ x, y, z ] ( xy − z 2 ) ,
P = ( x, z ) ( xy − z 2 ) . Allora, in base al terzo teorema di isomorfismo per anelli (vedi Algebra 3,
Teorema 2.2), si ha
K [ x, y, z ]
( xy − z 2 )
A =
≅ K [ x, y , z ]
≅ K[ y] ,
P
( x, z )
( x, z )
( xy − z 2 )
dove l’ultimo anello è integro. Quindi P è un ideale primo. Indicheremo con un soprassegno le classi
laterali modulo ( xy − z 2 ) . Si ha:
P 2 = ( x , z )2 = (( x ) + ( z ))2 = ( x )2 + ( xz ) + ( z ) 2 = ( x 2 , xz , z 2 ) .
Si osservi che a P2 appartengono solo classi laterali formate da polinomi che sono somme di monomi di
grado maggiore o uguale a 2. Ora, x y − z 2 = 0 , da cui x y = z 2 ∈ P 2 . Però x ∉ P 2 , e y ∉ P 2 = P
(vedi l’Osservazione 1.30 ed il Lemma 2.17). Quindi P2 non è primario.
Possiamo quindi ampliare la serie delle inclusioni stabilita nell’Osservazione 2.14:
{ideali massimali}⊂ {ideali primi} ⊂ {ideali irriducibili}
∩
{ideali primari}
In particolare, abbiamo che ogni ideale massimale è primario. In realtà vale un risultato più forte:
Proposizione 6.10 Sia I un ideale di A tale che
I è massimale. Allora I è primario.
Dimostrazione: In base alla Proposizione 2.18, l’ideale massimale M = I è l’unico ideale primo di A
contenente I. Quindi, in base al teorema di corripondenza per gli anelli, M = M I è l’unico ideale
massimale di A / I . Sia I + a , con a ∈ A , uno zero divisore di A / I . Allora, non essendo I + a
invertibile, in base al Corollario 2.25, segue che I + a ∈ M I , cioè a ∈ M . Quindi per qualche intero
positivo n, si ha che a n ∈ I , ossia ( I + a ) n = I . Abbiamo così provato che ogni zero divisore di A / I è
nilpotente. In virtù del Corollario 6.2, ciò implica che I è primario.
Osservazione 6.11 In base all’Osservazione 6.9 a), il fatto che I è primo non basta a garantire che I
sia primario. Abbiamo appena visto, però, che la conclusione vale se si rafforza l’ipotesi, richiedendo
che I sia massimale.
Esempio 6.12 Nell’anello di polinomi K [ x1 ,..., x s ] l’ideale I = ( x1α1 ,..., x s α s ) (ove gli esponenti sono
interi positivi) è primario: infatti, com’è facile vedere, I = ( x1 ,..., x s ) , che è un ideale massimale di
K [ x1 ,..., x s ] .
Possiamo notare, inoltre, che I, per s>1, non è, in generale, la potenza di alcun ideale primo P (tranne
che nel caso banale in cui α i = 1 per ogni indice i.). Supponiamo, per fissare le idee, che α 1 > 1 . Se
fosse I = P n per qualche intero positivo n, allora si avrebbe
I = P n = P = P , quindi
P = ( x1 ,..., x s ) . Osserviamo che n > 1 , perché I non è primo ( x1α1 ∈ I , però x1 ∉ I ). Si ha, inoltre, che
α i ≥ n per ogni indice i (altrimenti x i αi ∉ P n ). Allora x1 n −1 x 2 ∈ P n \ I , assurdo. Ciò prova che,
contrariamente a quanto stabilito per i PID nel Corollario 6.4, un ideale primario non è sempre una
potenza di un ideale primo.