Progressioni geometriche

1
Progressioni geometriche
Cominciamo con due esempi:
Esempio 1 Consideriamo la successione di numeri:
3,
6,

2
12,

24,

2
48,

2
96

2
2
La successione è tale che si passa da un termine al successivo moltiplicando
il precedente per 2. Si dice anche che la successione precedente è una progressione geometrica. ‘3’ è il primo termine della progressione, ‘96’ è l’ultimo termine e ‘2’ (il numero che moltiplica un termine per avere il successivo) si chiama ragione della progressione. Inoltre, visto che i termini aumentano sempre, la progressione considerata è crescente.
Esempio 2 Consideriamo la successione di numeri:
36,
24,

½
12,

½
6

½
La successione è tale che si passa da un termine al successivo moltiplicando
il precedente per ½. La successione precedente è una progressione
geometri-ca di ragione ½. I termini della successione diminuiscono sempre
e la pro-gressione considerata è decrescente.
Possiamo generalizzare quanto visto negli esempi con la seguente definizione:
Una progressione geometrica é una successione di numeri reali tali che il rapporto tra due termini
consecutivi della successione è costante.
Questa costante si chiama ragione della progressione stessa: se la ragione è positiva e maggiore di 1, la
successione è crescente; se la ragione è compresa tra zero e 1 (1 esclu-so), la succesione è decrescente;
se la ragione è uguale a 1 la successione é costante (tutti i suoi termini sono uguali); se la ragione é
negativa la successione é oscillante (i suoi termini sono alternativamente positivi e negativi).
Simbolicamente, indicando con an il termine n-simo della successione e con q la sua ra-gione, possiamo
scrivere:
a2 = a1q
a3 = a2q = a1qq = a1q2
a4 = a3q = a1q2q = a1q3
...
an = an-1q = a1qn-2q = a1qn-1
dove l’ultima espressione:
R. SANTORO: Progressioni geometriche
2
an  a1q n1
(1)
fornisce una relazione generale per calcolare il termine di posto n (an) di una progressione geometrica
di cui si conosce il primo termine (a1) e la ragione (q).
Esempio 3 Calcolare il quinto termine di una progressione geometrica per cui il primo
termine vale 2 e la ragione vale ¾.
Applicando la formula precedente, abbiamo subito:
4
81
81
 3
4
.
a5  a1q  2     2 

 4
256 128
Esempio 4 Calcoliamo l’interesse composto di un capitale C0 depositato in banca per
n anni con un interesse percentuale annuo uguale a i.
Alla fine di ogni anno abbiamo la seguente situazione:
Anno Capitale
1
C0+ i C0 = C0(1+i) = C1
2
C1+ i C1 = C0(1+i)+i C0(1+i) = C0(1+i)(1+i) = C0(1+i)2 = C2
3
C2+ i C2 = C0(1+i)2+i C0(1+i)2 = C0(1+i)2(1+i) = C0(1+i)3 = C3
...
...
n
C0(1+i)n = Cn
Possiamo allora notare che
 la successione:
C0, C1, C2, C3,..., Cn
é una progressione geometrica il cui primo termine é C0 e la cui ragione é
1+ i;
 il capitale Cn alla fine dell’n-simo anno di deposito é dato da
Cn  C0 1  i 
n
Allora se C0 = 1 ML (un milione di lire) e i = 7%, dopo 10 anni il capitale
sarà uguale a:
10
10
7 

 107 
C10  1  1 
.
ML ,
 ML  
  1967
 100 
 100 
cioè quasi raddoppiato (ma certamente svalutato!).
La relazione (1) può essere utilizzata per calcolare uno qualunque degli elementi presenti a partire dagli
altri. così possiamo scrivere anche le relazioni:
R. SANTORO: Progressioni geometriche
3
an
q n 1
(2)
an
a1
(3)
a 
n  log q  n   1
 a1 
(4)
a1 
q  n 1
Esempio 5 Calcolare la ragione di una progressione geometrica di cui si conosce il
primo termine uguale a 4 ed il quinto termine uguale a 128.
Applicando la formula (3) precedente, abbiamo subito:
q4
128 4
 32  24 2 .
4
Esempio 6 Di una progressione geometrica si sa che il primo termine vale 72, che il suo
termine n-simo vale 1 e che la ragione vale 8/27. Calcolare n.
Applicando la formula (4) precedente, abbiamo subito:
 
5
 72 
 1
n  log 1    1  log 1 243  1  log 1    1  5  1  6 .
8 
 3
3
3
3
 27 
Esempio 7 Di una progressione geometrica si sa che a3 = 1 e a8 = 17. Calcolare:
1) la ragione q;
2) il primo termine a1.
Applicando la formula (1) precedente due volte, abbiamo:

 a8
17
q  5 17
 q5
q5
2


a 3  a1q
a


1
1 .
 3
 
 a 

8
1
a
a
2
a 7  a1q
3
3
a 
a 

5
17

 1 q 2
 1 q 2
 
Esempio 8 Dati due numeri, 4 e 25, determinare altri due numeri (compresi tra i due
dati), in modo da ottenere quattro numeri in progressione geometrica.
Per risolvere il problema, basta tener conto del fatto che, dei sei numeri in
R. SANTORO: Progressioni geometriche
4
progressione geometrica, a1 = 4 e a4 = 24 e n = 4. Applichiamo allora la
formula (3) precedente ed abbiamo:
24 3
q3
 6.
4
I due numeri richiesti sono allora:
a 2  43 6 ,
 
a3  4 3 6
2
 43 36 .
Calcoliamo la somma Sn dei primi n termini di una progressione geometrica. Possiamo scrivere:
Sn  a1  a1q  a1q 2 K a1q n1
qSn 
a1q  a1q 2  a1q 3 K a1q n1  a1q n
e, sottraendo membro a membro:
Sn  qSn  a1  a1q n  Sn (1  q)  a1 (1  q n ) 
infine,
1 qn
Sn  a1
1 q
(6)
Esempio 9 Calcolare la somma dei primi 10 termini di una progressione geometrica sapendo che a1 =3 e q = ½).
Applicando la formula (6) precedente, abbiamo subito:
 1
1  
 2
S10  3
1
1
2
10
3
1
1
1024  6 1023  3069 .
1
1024 512
2
Consideriamo le potenze successive di due numeri minori di 1, ad esempio 1/10 e 1/2:
R. SANTORO: Progressioni geometriche
5
1
 1
   0.5
 2
1
2
 1
   0.25
 2
3
 1
   012.5
 2
4
 1
   0.0625
 2
 1
.
   01
 10 
2
 1
   0.01
 10 
3
 1
   0.001
 10 
4
 1
   0.0001
 10 
Possiamo notare che man mano che l’esponente aumenta, il valore della potenza diventa sempre più
piccolo; al limite, quando l’esponente diventa grandissimo, la potenza diventa piccolissima. In termini
matematici più precisi, scriviamo:
q  1  lim q n  0
n
(da leggere: se il valore assoluto di q é minore di 1, allora il limite per n che tende all’infinito di qn
é uguale a zero).1
La considerazione precedente é importante per calcolare la somma di infiniti termini di una successione
geometrica la cui ragione (in valore assoluto) é minore di 1. Abbiamo subito:
a
1 qn
q  1  lim Sn  lim a1
 1 .
n
n
1 q 1 q
(7)
La (7) é, tra l’altro, utile per calcolare la frazione generatrice di un numero decimale pe-riodico come
negli esempi che seguono.
_
Esempio
Calcolare la frazione generatrice del numero 7. 3 .
10
Abbiamo:
_
7. 3  7  0.3  0.03  0.003...  7 
3
3
3


... 
10 100 1000
3
1
1

...
1  
10  10 100 
L’espressione in parentesi puó essere considerata come la somma degli
infiniti termini di una progressione geometrica con primo termine uguale a 1
e con ragione uguale a 1/10. Essendo la ragione minore di 1, possiamo
applicare la formula (7) precedente ed abbiamo:
_
3 1
3 10
1 22
7. 3  7 
7
7 
.
1
10
10 9
3 3
1
10
7
1
Queste considerazioni sul limite di una successione sono molto intuitive. Lo studente avrà occasione di studiare, in termini
molto più precisi, il limite di una successione.
R. SANTORO: Progressioni geometriche
6
Esempio Calcolare la frazione generatrice del numero 1231
.
.
11
Abbiamo:
2
31
31
31
1231
.
 1 


... 
10 1000 100000 10000000
12
31 
1
1
31
 12



... 

1 
10 1000  100 10000  10 1000
1

1
100
12
31 100 12 31 12  99  31 1219 1231  12







10 1000 99 10 990
990
990
990
1
dove l’espressione in parentesi indica la somma degli infiniti termini di una
progressione geometrica (primo termine uguale a 1, ragione uguale a 1/100)
e l’ultima uguaglianza richiama la regola empirica di scrittura della frazione
generatrice di un numero decimale periodico.
Nota Zenone (496 a.C. - 430 a. C.) nato a Elea, città dell’Italia meridionale, ci ha
storica lasciato alcuni paradossi celebri che lui utilizzava per dimostrare che i metodi della logica erano insufficienti per render conto anche di fatti molto banali (e sostenere, in tal modo, le idee del filosofo, suo maestro, Parmenide). Il
più celebre dei suoi paradossi é quello di Achille e la Tartaruga. Il piè veloce
Achille, pur correndo ad una velocità 10 volte superiore a quella della Tartaruga, non potrà mai raggiungerla anche se questa ha un solo stadio di vantaggio su di lui. Infatti, mentre Achille percorre lo stadio di svantaggio, la
Tartaruga percorre 1/10 di stadio; mentre Achille percorre il decimo di stadio che gli resta, la Tartaruga percorre 1/100 di stadio e così via, all’infinito:
Achille non raggiungerà mai la Tartaruga. Fiumi di inchiostro sono stati
consumati su questo paradosso (e su altri analoghi), per cercare di dimostrare dov’era l’inganno nel ragionamento. Oggi sappiamo ‘risolvere’ il paradosso con l’ausilio delle progressioni geometriche e con il passaggio al limite utilizzato per dimostrare la formula (7). Infatti, se poniamo uguale a 1 il
tempo che Achille impiega a percorrere uno stadio, abbiamo che il tempo
che impiega a raggiungere la Tartaruga é:
1
1
1
1
10
t  1 

...  1 

 1.1 (finito).
1
10 100 1000
9
1
10
In realtà, anche la dimostrazione della formula (7) ha delle difficoltà logiche
nascoste e solo recentemente (negli ultimi decenni) é stata trovata una soluzione più soddisfacente con la teoria dell’analisi non-standard (vedi l’articolo di William I. McLaughlin in Scientific American, November 1994: Resolving Zeno’s Paradoxes)
R. SANTORO: Progressioni geometriche
7
Esercizi
1 Scrivere i primi sei termini di una progressione geometrica il cui primo termine è uguale a 2 e la cui ragione è uguale a 2/3.
2 Calcolare il ventesimo termine della progressione geometrica dello
esercizio 1.
3 Una progressione geometrica è tale che a7 = 28 e q = 1/2. Calcolare a1
e a15.
4 Calcolare il numero n dei termini di una progressione geometrica di ragione 3, sapendo che an = 81 e a1 = 1.
5 Per l’esercizio precedente, calcolare S13 (somma dei primi 13 termini
della progressione).
6 Di una progressione geometrica si conosce a5 = 162 e q = -1/3.
Calcolare:
a) a1;
b) S12;
c) S25.
7 Tra i numeri 4 e 125 inserire 5 numeri (compresi tra i due dati), in modo da ottenere una progressione geometrica:
a) crescente;
b) decrescente.
8 Di una progressione geometrica si sa che a3 = 12 e a9 = 96. Calcolare:
a) la ragione q;
b) il primo termine a1;
c) S34.
9 Calcolare x in modo che i numeri x + 3, 2x + 3, 4x - 1 siano termini
consecutivi di una progressione geometrica. Scrivere anche i tre numeri in progressione.
.
.
10 Determinare la frazione generatrice di 2.37 e di 31317
11
Un capitale di 30 ML viene depositato in banca con un interesse composto annuo del 9%. Determinare l’evoluzione annuale del capitale fino alla fine dei primi sette anni di deposito.
12
Determinare dopo quanti anni raddoppia un capitale C, depositato in
banca con un interesse composto annuo del 9%.
13
Un capitale di 10 ML viene depositato in banca con un interesse annuo
del 10%. Calcolare il capitale alla fine del secondo anno di deposito se
R. SANTORO: Progressioni geometriche
8
gli interessi vengono calcolati (e capitalizzati):
a) annualmente;
b) ogni 3 mesi;
c) mensilmente;
d) ogni settimana.
14 A partire dal1990, Francesca deposita in banca, il primo gennaio di
ciascun anno, 5 ML, con un interesse composto annuo del 9%.
Calcolare la somma di cui disporrà Francesca al 31 dicembre dell’anno
2000.
15 Determinare cinque numeri in progressione geometrica tali che la somma dei primi tre é uguale a 30 e la somma degli ultimi tre é uguale a
120.
16 Una pallina viene lasciata cadere da un’altezza di un metro ed esegue
una serie di rimbalzi fino a 2/3 dell’altezza precedente. Calcolare lo
spazio complessivo percorso dalla pallina dopo cinque rimbalzi.
17 I primi due termini di una progressione geometrica sono
Calcolare:
a) la ragione;
b) il sesto termine;
c) la somma dei primi sei termini;
d) il prodotto dei primi sei termini.
2 e
8.
18 Si dispone di una scacchiera 88. Partendo dal primo quadratino in alto a sinistra e proseguendo verso destra e poi verso il basso, si pone un
chicco di grano nel primo quadratino, due chicchi nel secondo quadratino, otto nel terzo e così via, fino al sessantaquattresimo quadratino.
Calcolare il numero dei chicchi di grano posti (!) sulla scacchiera.
R. SANTORO: Progressioni geometriche