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ECONOMIA PER INGEGNERI
Docente : Franco Dieli Crimi
SOLUZIONI ESERCIZI 1 E 2
ESAME DEL 30 GIUGNO 2004
1) L’azienda XZY ha la seguente funzione di costo : C(t, A)= t3 /3 – t2 + (300 – 6A )t + A2 , dove t
rappresenta la quantità di output e A la dimensione dell’impianto di produzione (suggerimento:
dato il livello di A, la funzione diviene una funzione di costo di breve periodo). a) calcolare il costo
medio e il costo marginale di breve periodo b) trovare la dimensione dell’impianto A che minimizza
i costi in funzione dei volumi di produzione; c) se la dimensione A dell’impianto è pari a 45 e il
prezzo di mercato è pari a P trovare la funzione dell’offerta di breve periodo in un mercato
competitivo; d) trovare la funzione del costo totale di breve periodo , la funzione dei costi variabili
medi e) qual è il valore di t che minimizza i costi medi variabili e a quanto ammontano tali i costi
medi totali a tale valore di t ? f) se il prezzo di mercato è pari al minimo dei costi medi variabili che
considerazioni potete fare ?
Soluzione
t2
A2
− t + (300 − 6 A) +
3
t
2
CMA = t − 2t + (300 − 6 A)
b)
∂C
= −6t + 2 A Ÿ A = 3t
∂A
c)
a )CMET =
t3
C (t ,45) = − t 2 + (300 − 270)t + 2025 =
3
3
t
= − t 2 + 30t + 2025
3
La funzione dell’offerta è data dalla relazione quantità – prezzo, quindi dobbiamo cercare la relazione
t=f(P)
P = CMA = t 2 − 2t + 30
t 2 − 2t + (30 − P) = 0
2 + [4 − 4(30 − P)]
Ÿ t = ( P − 29) 0,5 − 1
2
2
t
d )CMeV = − t + 30
3
2t
e)CMeV ' = − 1 = 0 => t = 3 / 2
3
CMeT = 1379,25; CMeV = 29,25
0, 5
t=
Se il prezzo si posizione al livello del punto di minimo dei costi medi variabili, l’impresa XZY si trova
ovviamente in condizione di predita, ma sarà INDIFFERENTE continuare a produrre o chiudere
l’attività produttiva.
2) L’azienda ABC deve organizzare una campagna pubblicitaria intesa a incrementare la vendita di un
certo prodotto. L’ufficio marketing formula le seguenti previsioni: COSTI: costo iniziale di 10.000
euro, sostenimento di costi trimestrali di 1.000 euro , di cui il primo alla fine del quinto trimestre
(dalla data di inizio campagna) e l’ultimo alla fine del sedicesimo trimestre. RICAVI : si stima che la
campagna pubblicitaria comporterà a) nessun beneficio durante i primi due anni; b) un maggior
incasso mensile di 300 euro mensili per i successivi 3 anni; c) un maggior incasso mensile di 500
euro per i successivi 3 anni. Le previsioni vengono limitate a questo punto. Posto quanto sopra e
dato un tasso di valutazione effettivo dell’8% annuo composto, occorre stabilire se è conveniente
avviare la campagna pubblicitaria.
Le modalità di soluzione del problema possono essere numerose.Analizziamone alcune:
Costruiamo innanzitutto l’asse dei tempi e disponiamo la struttura dei flussi di cassa dei costi
Assumiamo come epoca di valutazione il tempo 0 come usualmente avviene;
COSTI
-1000 ..……………………
…...-1.000
……………………
…...-1.000
……………………
…...-1.000
-10.000
0
1°anno
4° trim... ……………………
2°anno
….. 8°trim ……………………
3°anno
…..12°trim
……………………
4°anno
…..16°trim
5° trim
non ci sono flussi di cassa
Poiché la struttura dei flussi di cassa si articola su base trimestrale occorre calcolare il tasso equivalente
trimestrale pari a 0,01942, cioè l’1,94% a trimestre equivalente all’8% composto.
A questo punto costruiamo l’equazione di attualizzazione
16
Va _ cos ti = −10.000 + ¦ − 1000(1 + 0,01942) − k = 19.826,5
k =5
Se non si dispone di una calcolatrice finanziaria questa modalità di calcolo risulta comunque molto
onerosa in termini di tempo, pertanto possiamo trovare il valore attuale dei costi, considerando che i
flussi di cassa che partono dal quinto trimestre ed arrivano al sedicesimo rappresentano un rendita
trimestrale possiamo attualizzare i flussi di cassa al 5 trimestre e successivamente spostare indietro nel
tempo fino al tempo 0 il valore trovato, per cui si può utilizzare la formula chiusa
1 − (1 + i ) − t
i
1 − (1,0194) −11
Va =
x1.000 = 9818,85
0,0194
Va =
E’ necessario ricordare che al quinto trimestre è presente un flusso di cassa di 1.000 che comunque non è
necessario attualizzare , per cui il valore da attualizzare al tempo 0 è pari a 9818,85 +1000 = 10818,85.
A questo punto possiamo attualizzare l’importo di cui sopra per 1 anno ed trimestre (che equivale a 5
trimestri) al tasso dell’8% annuo quindi giungendo all’importo di 19.826,5
RICAVI
0
2a
attualizzazione
al tempo 0
3a
12 m con un
flusso di
300 per m.
da 25 m a 36
da 25 m
4a
5a
12 m con un
flusso di
300 per m.
da 37 m. a 48 m
a
12 m con un
flusso di
300 per m.
da 49 m a 60
60 m
6a
12 m con un
flusso di
500 per m.
da 61m a72
da 61
7a
12 m con un
flusso di
500 per m.
da 73 a 84
a
8a
12 m con un
flusso di
500 per m.
da 85 a 96
96
Anche in questo caso occorre determinare il tasso equivalente su base mensile pari allo 0,006434
successivamente si può impostare la seguente equazione
VA _ ricavi =
60
¦ 300(1 + 0,00643)
−k
k = 25
96
+ ¦ 500(1 + 0,00643) − j = 19145,67
j = 61
per cui l’investimento pubblicitario non è conveniente.
Analogamente per evitare lunghi calcoli si può adottare la formula chiusa relativa al valore attuale delle
rendite per cui si avra
- Valore attuale al tempo 2 anni di una rendita di 36 flussi mensili di importo pari a 300 uguale a
9612;99
- Valore attuale al tempo 5 a di una rendita di 36 flussi mensili di importo pari a 500 uguale a 16021,66
A questo l’importo di 9612,99 si può attualizzare per 2 anni al tasso annuo composto dell’8% generando
un valore attuale di 8241,60; l’importo di 16021,66 si può attualizzare per 5 anni al tasso annuo composto
dell’8% annuo generando un importo di 10904, determinando un valore attuale complessivo pari a
19145,67
3) Il prodotto marginale di L è pari a 3 unità di output. Se il saggio marginale di sostituzione tecnica
tra K ed L è pari a 12, qual è il prodotto marginale del capitale K?
Dalla relazione MPL / MPK =Saggio marg. Sostituzione tecnica si ricava 3/ MPK=12, da cui MPk =1/4
ECONOMIA PER INGEGNERI
Docente : Franco Dieli Crimi
ESAME DEL 30 GIUGNO 2004
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4) L’azienda ABC deve organizzare una campagna pubblicitaria intesa a incrementare la vendita di un
certo prodotto. L’ufficio marketing formula le seguenti previsioni: COSTI: costo iniziale di 10.000
euro, sostenimento di costi trimestrali di 1.000 euro , di cui il primo alla fine del quinto trimestre
(dalla data di inizio campagna) e l’ultimo alla fine del sedicesimo trimestre. RICAVI : si stima che la
campagna pubblicitaria comporterà a) nessun beneficio durante i primi due anni; b) un maggior
incasso mensile di 300 euro mensili per i successivi 3 anni; c) un maggior incasso mensile di 500
euro per i successivi 3 anni. Le previsioni vengono limitate a questo punto. Posto quanto sopra e
dato un tasso di valutazione effettivo dell’5,5% annuo composto, occorre stabilire se è conveniente
avviare la campagna pubblicitaria.
Lo sviluppo del problema vedi la soluzione dell’esercizio 1, nel caso dell’esercizio le soluzioni sono
Totale costi =20437,73;
totale ricavi= 21639 pertanto l’investimento conviene
5) Supponiamo che la funzione di produzione sia Q=3KL, dove K rappresenta il capitale e L il lavoro. Il
prezzo del capitale è 2 euro/ ora- macchina, il prezzo del lavoro è 24 euro /ora-uomo e il capitale è
fisso a 4 ore-macchina nel breve periodo. Si calcoli la funzione del costo totale CT e si traccino le
curve del costo variabile, del costo fisso e del costo totale; in che relazione sono la curva la del costo
marginale e del costo totale medio; si descrivano le equazioni e si traccino le curve in questione.
Soluzione
Per ricavare la funzione del costo totale dobbiamo innanzitutto scoprire quanto capitale K e lavoro L sono
richiesti per produrre una data quantità di output nel breve periodo. Dato K fisso a 4h/macchina troviamo la
quantità di lavoro necessaria risolvendo Q=3(4)L, cioè L=Q/12. Il costo totale della produzione di Q unità di
ouput all’ora è quindi:
CT(Q)= (euro 2 x h/macchina)(4 h macchina)+ (euro 24 h/uomo)(Q/12 h/uomo)= euro 8/h +2Q/h
La spesa di euro 8/h per il capitale costituisce il costo fisso; il costo variabile è pari a 2Q.
6) Supponiamo che i processi produttivi A e B diano origine alle seguenti curve del costo totale:
CT(A)=16 + 6Q2 A ; CT(B)=240 + 2Q2 B . Qual ‘ è il modo meno costoso per produrre un livello di
output pari a 32 unità?
Soluzione
La condizione di costo minimo è che il costo marginale del processo A ed il costo marginale del processo
B siano uguali con Q_a+ Q_b=32, pertanto si ha
12Q A = 4QB
sostiuendoQB = 32 − Q A
nell ' equazione _ precedente
12Q A = 128 − 4Q A
da cui discende Q_A=8 e Q_B=24 che rappresenta la combinazione di produzione che minimizza i costi
totali al fine di produrre 32 unità; a questi livelli di output il costo marginale in entrambi i processi
produttivi sarà di 96 euro.
7) Il prodotto marginale di L è pari a 3 unità di output. Se il saggio marginale di sostituzione tecnica
tra K ed L è pari a 9, qual è il prodotto marginale del capitale K?
Dalla relazione MPL / MPK =Saggio marg. Sostituzione tecnica si ricava 3/ MPK=9, da cui MPk =1/3