DADI E LA MAGIA DEL “COMMON KNOWLEDGE”

Giochi sotto l’albero, al mare, in giardino
6. Dadi e la magia del “common knowledge”
© Fioravante Patrone
DADI E LA MAGIA DEL “COMMON KNOWLEDGE”
Ovvero, un solitario per due
di Fioravante Patrone
Qui non c’è da spremersi nessuna meninge per scegliere la mossa giusta.
Tutto va avanti da sé, in automatico, come il ben noto “Linotipia a chiave” della
Settimana Enigmistica. La differenza rispetto a un solitario tradizionale è che qui
si fa in due.
Niente soldi, niente squadre (nulla vieta però che i due giocatori siano due
gruppi di persone, anche se in questo caso manca il pathos del “dilemma dei
prigionieri”, cfr. n. 4). Solo il piacere di osservare la tesi di un teorema che si
materializza sotto ai propri occhi. Io trovo che il risultato che viene “provato
sperimentalmente”, giocando, non sia per nulla scontato, anzi sia piuttosto
sorprendente.
“Materiali” necessari:
-
due “giocatori” che conoscono le basi del calcolo delle probabilità;
un paio di dadi, magari di colori diversi;
penna e fogli a sufficienza;
Preparazione
Per ogni mano del gioco si predispone una sola “scacchiera”, una griglia 6×6
su un foglio. Che può essere messa su un tavolo o stare appesa a un muro.
L’importante è che sia sempre ben visibile a entrambi i giocatori.
Svolgimento
I due giocatori decidono arbitrariamente quali quadretti della griglia
annerire. L’insieme dei quadretti anneriti rappresenta l’evento E. Non c’è ragione
di discutere sulla scelta di E. Semmai, nel caso in cui il gioco sia fatto più volte,
può valere la pena usare degli eventi E che abbiano caratteristiche diverse. Sotto
sono riportati alcuni esempi.
Si decide chi è il giocatore di riga, l’altro sarà il giocatore di colonna.
Ognuno dei due giocatori lancia il suo dado, senza che l’altro possa sapere
qual è il risultato ottenuto.
Se fossero noti i risultati di entrambi i dadi, questo individuerebbe un punto
nella griglia 6×6. Se per esempio al giocatore che gioca sulle righe è uscito 3 e al
giocatore che gioca sulle colonne è uscito 5, il punto sulla griglia sarebbe quello di
coordinate (3,5). Si saprebbe, quindi, facilmente se questo punto sta in E oppure
no. Per esempio, se la griglia sulla quale si sta giocando fosse la quarta degli
esempi dati sotto, si potrebbe concludere che il punto non appartiene ad E e che
quindi la probabilità è 0. Ma ogni giocatore non sa il risultato del dado dell’altro
giocatore, quindi può solo stimare quale sia la probabilità che la coppia dei
risultati appartenga ad E. Per esempio, facendo riferimento sempre alla quarta
griglia, il giocatore delle righe che sul dado ha ottenuto 3 stimerebbe la
probabilità 1/6, perché sulla riga 3 c’è una sola casella annerita. Invece, il
1
Giochi sotto l’albero, al mare, in giardino
6. Dadi e la magia del “common knowledge”
© Fioravante Patrone
giocatore delle colonne, che sul proprio dado ha ottenuto 5, stimerebbe la
probabilità 0 perché sulla colonna 5 non c’è nessuna casella annerita.
La cosa interessante accade ora: ciascuno dei due giocatori comunica
all’altro la probabilità così calcolata (non il risultato del suo dado, eh!). Questa
informazione aggiuntiva può indurre i giocatori a rivedere la propria stima della
probabilità (nell’esempio che abbiamo citato, entrambi assegnerebbero probabilità
1 all’evento E). Dopo aver fatto i conti e le elucubrazioni necessarie, i due
giocatori si comunicano di nuovo la probabilità stimata. Si va avanti per un bel
po’, finché nessun modifica la propria stima.
A questo punto entrambi avranno la stessa stima della probabilità che
l’evento elementare costituito dalla coppia di numeri usciti dal lancio dei due dadi
appartenga ad E.
Negli esempi vedremo in dettaglio un altro caso.
Istruzioni
Nulla di particolare.
Esempi
Volendo, potete usare le seguenti griglie.
Griglia 1
Griglia 2
6
5
4
3
2
1
Griglia 3
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
1
2
Griglia 4
3
4
5
6
3
4
3
5
6
4
5
6
5
6
Griglia 6
6
5
4
3
2
1
2
2
Griglia 5
6
5
4
3
2
1
1
1
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
Vediamo in dettaglio qualche “svolgimento” possibile del gioco, usando la
griglia 2. In questo esempio, la probabilità attribuita a priori all’evento E è pari a
6/36 = 1/6.
Immaginiamo che un giocatore lanci un dado giallo (lo chiameremo
“giocatore giallo”), e che l’altro giocatore usi un dado verde (“giocatore verde”). Il
dado giallo determina la colonna, mente quello verde determina la riga.
2
Giochi sotto l’albero, al mare, in giardino
6. Dadi e la magia del “common knowledge”
© Fioravante Patrone
Esaminiamo tre possibili esiti del lancio dei dadi.
Primo caso: dado giallo = 2, dado verde = 1.
In questo caso, chi osserva il dado giallo sa che i soli eventi possibili sono
quelli che si trovano nella seconda colonna. Qui, gli eventi elementari “buoni”
sono 2 su un totale di 6. Pertanto aggiornerà la sua stima della probabilità, che
ora diventa 2/6 = 1/3.
Analogamente, chi osserva il dado verde sa che l’evento elementare vero sta
nella prima riga, e quindi la probabilità che appartenga ad E per lui sarà uguale a
3/6 = 1/2.
Se si scambiano queste loro stime, ciò li indurrà a rivedere le proprie
valutazioni. Infatti: il giocatore “giallo” deduce, dalla stima della probabilità che
gli ha comunicato l’altro, che costui può aver osservato 1 o 2, come esito del
lancio del dado verde. Quindi il giocatore “giallo” sa che gli eventi elementari
possibili sono solo due:
•
dado giallo 2, dado verde 1;
•
dado giallo 2, dado verde 2.
In entrambi i casi l’evento elementare appartiene ad E e quindi la probabilità
che assegna al fatto che si sia verificato l’evento E è 1.
Discorso speculare per il “giocatore verde”.
Quindi attribuiscono entrambi la stessa probabilità (pari a 1) all’evento E.
Anche se sulla base di una informazione differente: il giocatore “giallo” sa che
l’evento vero è {(2,1), (2,2)}, mentre il giocatore “verde” sa che è {(1,1), (1,2),(1,3)}.
Secondo caso: dado giallo = 2, dado verde = 3.
Ovviamente la stima del giocatore “giallo” sarà 1/3.
Quella del giocatore “verde” sarà invece 0.
Se si scambiano l’informazione sulle loro probabilità, il giocatore “giallo”
modificherà la sua stima che diventerà anch’essa 0 (che il giocatore “verde”
assegni probabilità 0 può derivare solo dal fatto che ha osservato uno fra i numeri
3, 4, 5, 6 e ciò rende l’evento E impossibile).
Anche qui, l’informazione finale è diversa. Il giocatore “giallo” sa che l’esito
elementare vero appartiene a {(2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}, mentre quello “verde” sa che
sta in {(1,3), (2,3), (3,3)}.
Terzo caso: dado giallo = 4, dado verde = 1.
Situazione speculare a quella appena descritta.
Quarto caso: dado giallo = 4, dado verde = 3.
Il giocatore “giallo” attribuisce probabilità 0 ad E e quello “verde” idem.
Scambiarsi informazioni è irrilevante (non lo stiamo dicendo noi che sappiamo
“tutto”, ma lo sanno anche i giocatori!). Comunque, se se la scambiano, non
mutano certo la loro valutazione che resta 0 per entrambi.
3
Giochi sotto l’albero, al mare, in giardino
6. Dadi e la magia del “common knowledge”
© Fioravante Patrone
Noticina: si può osservare come l’evento elementare vero sta, per ciascuno
dei due giocatori, sempre dentro l’insieme degli eventi ritenuti possibili. Come
mai?
Varianti e chiacchiere finali
Anche in questo gioco ci si può divertire a rimaneggiare le regole. Il numero
di dadi da usare, la forma della griglia, le modalità di comunicazione fra i due
“giocatori”.
Ad esempio, la comunicazione della probabilità “rivista” potrebbe essere fatta
a turni. Con l’altro giocatore che sta muto, oppure che dice se la sua stima è
uguale (o maggiore, o minore) di quella che ha appena comunicato l’altro.
Anche il numero di giocatori può variare: tre dadi, una griglia “cubica” (buon
divertimento...), ognuno vede un solo dado.
Nulla vieta di lasciar perdere i dadi, e di usare magari un generatore di
numeri (pseudo) casuali, che estrae ad esempio un paio di numeri e comunica il
primo a un giocatore ed il secondo all’altro. In tal caso ci si può davvero
sbizzarrire! Griglie storte, bucate, sconnesse. Anche griglie, ad esempio, toroidali:
hanno senso se il programma sputa fuori un intervallo di valori, anziché un
valore esatto. Si può anche fare l’estrazione della coppia sulla base di una
probabilità congiunta, abbandonando quindi l’indipendenza delle estrazioni dei
due “dadi”.
Spiegazione
E’ liberamente ispirato al teorema di Aumann, “Agreeing to disagree” e ai
suoi sviluppi: ovvero al fatto che non si possa essere d’accordo sul fatto di non
essere d’accordo.
Se qualche elemento della spiegazione non fosse chiaro, si può consultare
questo documento in rete:
http://www.diptem.unige.it/patrone/dadi_gialli_e_verdi.pdf
che contiene anche qualche ulteriore considerazione sul tema.
4