Statistica e Applicazioni – Esercitazione 3

Statistica e Applicazioni – Esercitazione 3
Esercizio 1. Dati un campione casuale (Xn )n≥1 con E [X1 ] = µ e Var(X1 ) = σ 2 < ∞ e Tn := 1/X̄n , dimostrare
che
√
1
σ
d
n Tn −
−→ 2 Z, n → ∞
µ
µ
in cui Z ∼ Gauss(0, 1) [Si sfrutti il teorema centrale del limite e il teorema di Slutsky].
Esercizio 2. Sia X1 , . . . , Xn , . . . un campione casuale estratto da una popolazione con distribuzione U ([0, θ]),
θ > 0. Si dimostri che la successione degli stimatori di massima verosimiglianza per θ è θ̂n = X(n) , cioè il
massimo delle prime n osservazioni.
1. Dimostrare che θ̂n è una successione di stimatori consistente;
2. Sia kn = n, calcolare la varianza asintotica di θ̂n rispetto a questa successione, cioè limn→∞ V arθ nθ̂n ;
3. Calcolare la distribuzione asintotica di θ̂n rispetto a kn , cioè il limite di kn θ̂n − θ .
Esercizio 3. Sia X1 , . . . , Xn un campione casuale estratto da una popolazione con distribuzione Gamma (α, β),
α, β > 0.
1. Si dimostri che per α = k ∈ N0 , si ha
Pk,β (X1 ≤ X) =: Fk,β (x) = 1 − e−βx
k−1
X
i=0
∞
i
i
X (xβ)
(xβ)
= e−xβ
.
i!
i!
i=k
2. Si costruisca il modello statistico M nei casi: A) α è incognito e β è noto; B) β è incognito e α è noto;
3. Si trovi una statistica sufficiente per il modello nei due casi.
4. Si calcolino gli stimatori di massima verosimiglianza e dei momenti per i parametri nel caso B).
5. Si verifichi se lo stimatore di massima verosimiglianza è corretto, se ne calcoli l’errore quadratico medio
e si verifichi se la successione di stimatori è consistente.
6. Si verifichi se il modello è regolare e il limite inferiore di Cramér–Rao è raggiungibile.
7. Si dimostri che la successione degli stimatori di massima verosimiglianza è asintoticamente normale, se
ne calcoli la varianza e si dimostri che è raggiunto il limite inferiore asintotico di Cramér–Rao.
8. Nel caso A), si verifichi se il modello è a rapporto di verosimiglianza monotono
Esercizio 4. Un’azienda che lavora prodotti chimici ha acquistato un lotto di soluzione acquosa di cloruro
di sodio al 23 %. Il settore controllo qualità intende verificare la qualità dei prodotti acquistati in termini
di concentrazione, a tal fine estrae a caso (con reimmissione) dal lotto n contenitori e ne verifica la reale
concentrazione, che indichiamo con Xi . É noto che la concentrazione della soluzione ha una distribuzione
continua con la seguente densità
fθ (x) = θxθ−1 I[0,1] (x), θ > 0.
1. Si determinino lo spazio campionario, quello dei parametri e la distribuzione congiunta del campione
X1 , . . . , Xn .
2. Si trovi una statistica sufficiente per il modello.
3. Si calcolino gli stimatori dei momenti e di massima verosimiglianza per il rapporto tra soluto e solvente,
E θ (X1 )
cioè τ (θ) = 1−E
.
θ (X1 )
4. Si dimostri che lo stimatore di massima verosimiglianza è distorto, se ne calcoli la varianza e si trovi
uno stimatore corretto che sia funzione di quello di massima verosimiglianza.
5. Si dimostri che il modello soddisfa le condizioni di regolarità e si verifichi se lo stimatore di massima
verosimiglianza (corretto) raggiunge il limite inferiore di Cramér–Rao.
6. Si dimostri che lo stimatore di massima verosimiglianza è asintoticamente normale e se ne calcoli la
varianza asintotica.
7. Date le ipotesi
H0 : θ = θ0 vs H1 : θ = θ1 ,
in cui θ0 < θ1 . Si costruisca il relativo test di Neyman–Pearson di taglia α.
8. Dimostrare che il test è un test di taglia α anche per le ipotesi
H0 : θ ≤ θ0 vs H1 : θ > θ0 .
calcolarne la funzione potenza.
9. Si costruisca un test di taglia α per le ipotesi
H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0
e se ne calcoli la funzione potenza.
Esercizio 5. Sia X1 , . . . , Xn un campione casuale estratto da una popolazione con distribuzione U ([θ, θ + 1]),
θ ∈ R. Si dimostri che la successione degli stimatori di massima verosimiglianza per θ è θ̂n = X(n) , cioè il
massimo delle prime n osservazioni.
1. Si determinino lo spazio campionario, quello dei parametri e la distribuzione congiunta del campione
X1 , . . . , Xn .
2. Calcolare lo stimatore dei momenti, il suo valore atteso e la sua varianza.
3. Dimostrare che θ̂n = X(n) − 1 e θ̃n := X(1) sono stimatori di massima verosimiglianza, calcolarne valore
atteso, varianza e dimostrare che non sono i soli SMV.
4. Confrontare gli SMV del punto precedente tra di loro e con lo stimatore dei momenti.
5. Data la seguente successione di eventi
An = {lo stimatore di SMV in un campione di ampiezza n non è unico}
dimostrare che P (An ) = 1 per ogni n.
6. Dimostrare che θ̂n è una successione di stimatori consistente;
7. Dimostrare che la successione di SMV e quella dei momenti sono asintoticamente normali, se ne calcoli
la varianza asintotica e si confrontino gli stimatori su tale base.
Esercizio 6. Sia X1 , . . . , Xn un campione casuale estratto da una popolazione con distribuzione gaussiana con
valore atteso µ e varianza σ 2 , in cui µ ≥ 0.
1. Si determinino spazio campionario, spazio dei parametri e funzione di densità del campione.
2. Si calcoli la funzione di verosimiglianza, in particolare il dominio della funzione, e si ottenga una statistica
sufficiente per il modello.
3. Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianza per µ e la sua distribuzione (si osservi attentamente
quale è lo spazio dei parametri).
Esercizio 7. Sia X1 , . . . , Xn un campione casuale estratto da una popolazione con la seguente densità
fθ (x) = (k − 1)θk−1 x−k I[θ,∞) (x)
in cui k è un intero maggiore o uguale di 2 noto e θ > 0.
1. Calcolare la funzione di ripartizione delle osservazioni, determinare spazio campionario, dei parametri e
funzione di verosimiglianza del campione.
2. Trovare una statistica sufficiente per il modello.
3. Trovare lo stimatore di massima verosimiglianza e dei momenti per θ.