Un modo semplice per calcolare pi greco π di

Un modo semplice per calcolare pi greco π
di Nunzio Miarelli [miarelli[at]interfree.it]
Tutti conosciamo l’esistenza della costante matematica definita come pi greco ( π ) che stabilisce il rapporto
fra il diametro e la circonferenza o area di un cerchio di raggio 1, ma come si calcola questa costante? Ci
sono molti modi, ma io ve ne propongo uno molto, molto semplice.
Questo modo consente di calcolare pi greco senza usare nessuna serie convergente, possiamo calcolare
direttamente il valore di pi greco con l’approssimazione (per difetto) che si vuole , per fare questo però
bisogna comparare approssimativamente l’area di un cerchio all’area di un triangolo isoscele molto
acuto,di cui si conoscono i due lati uguali e l’angolo fra essi compreso, cerco di spiegare come è possibile;
1)sappiamo che il rapporto fra cerchio iscritto e cerchio circoscritto allo stesso quadrato è di uno a due
2) Dunque se consideriamo l’area di un cerchio A di raggio = 1 iscritto in un quadrato e l’area di un cerchio
B. circoscritto allo stesso quadrato, quindi di raggio radice 2 ( 1,414213562373095048801688724209 )
si ottiene
che ½ del cerchio B = cerchio A.
3) Se si ripete la stessa operazione eseguita con il cerchio A. ,con il cerchio B. che sarà a sua volta iscritto
in un quadrato e circoscritto da un altro cerchio C. quindi di raggio =2 infatti radice di (radice2) al
quadrato +( radice2) al quadrato, = 2
Si ha che ½ del cerchio C. = cerchio B., ma se ½ del cerchio B. = cerchio A. allora ¼ del cerchio
C.=cerchio
A.
4) Facciamo quest’operazione anche con il cerchio C. ottenendo il cerchio D. con raggio = radice di (2x2x2)
= 2,8284271247461900976033774484194 che sarà uguale a due cerchi C, 4 cerchi B, 8 cerchi A, quindi 1/8
del cerchio D = cerchio A.
5 ) Eseguiamo un’ultimo raddoppio per chiarire il concetto, ottenendo il cerchio F. con raggio = radice di (
2,8284271247461900976033774484194 x 2,8284271247461900976033774484194 x 2 ) = 4 che sarà
uguale a due cerchi D conseguentemente uguale a 4 cerchi C, 8 cerchi B, 16 cerchi A dunque 1/16 del
cerchio F = cerchio A.
Infatti ( 4x4) x 3,14 = (1x1) x 3,14 x 16 , ammesso che il rapporto diametro circonferenza sia 3,14 , ma per il
calcolo proposto non ha importanza che questo valore sia esatto o meno , infatti anche se come rapporto
presunto usiamo che so 3,12 , abbiamo sempre che ; (4x4) x 3,12 = (1x1) x 3,12 x 16 , quindi 1/16 del
cerchio F. sarebbe sempre uguale al cerchio A. ,
però abbiamo tre dati certi ,non presunti ,che sono ; il raggio del cerchio F. = 16 ; il raggio del cerchio A.=
1 ; il numero di cerchi A. contenuti nel cerchio F. .= 16 conseguentemente visto che questa divisione può
essere effettuata anche in settori circolari conosciamo anche l’angolo compreso fra i due raggi di uno di
questi settori che è = 360° / 16.
Ho fatto questo esempio per chiarire che calcolare la corda” incognita” in modo trigonometrico del
triangolo OHL e quindi l’area , al quale se si somma l’area fra la corda HL e l’arco da essa sotteso diventa
il settore circolare OHL equivalente al cerchio A. , è indipendente dal rapporto che si usa
Il modo che propongo in pratica consiste nel calcolare trigonometrigamente la corda HL e quindi l’area del
triangolo isoscele OHL senza considerare l’area fra la corda HL e l’arco da essa sotteso , che sommati
insieme formano il settore circolare OHL equivalente all’area del cerchio A. , naturalmente in questo caso è
inutile calcolare perché l’area non presa in considerazione è troppo grande, per poter avere
un’approssimazioneper difetto diciamo “giusta” bisogna limitare al massimo l’area fra la corda e l’arco da
essa sotteso
Come ? continuando con l’esempio proposto,cioè a iscrivere e circoscrivere i cerchi dell’esempio,
ottenendo un settore circolare equivalente al cerchio A. con raggi sempre più lunghi e “corda sempre più
piccola”conseguentemente un triangolo isoscele con lati sempre più lunghi e base o corda che è “incognita
“sempre più corta .
È facile intuire che i cerchi di raggio =1 contenuti in un cerchio di raggio multiplo di 1 sono il risultato
del prodotto del raggio stesso preso in questione elevato al quadrato.
Esempio; consideriamo l’area di un cerchio di raggio 1.000.000 = 1.000.000x 1.000.000 x 3,14 =
3.140.000.000.000 e dividiamolo in 1.000.000.000.000 di settori comparando l’area di uno solo di questi
settori all’area di un cerchio A. di raggio 1
=
1.000.000 x 1.000.000 x 3,14
________________________
= 3,14
1.000.000 x 1.000.000
Infatti 1 x1 x 3,14 x( 1.000.000x1.000.000 ) = 3.140.000.000.000
Allora calcolare la corda” incognita “ in modo trigonometrico e quindi l’area di uno di questi triangoli
isoscele , conoscendo lati e numero di spicchi contenuti nella circonferenza di ( r = 1.000.000 ) escludendo
l’area tra corda e arco sotteso, significa calcolare approssimativamente l’area del cerchio A. di raggio 1 =
ne consegue pi greco approssimato per difetto.
Ho usato il teorema del coseno o di Carnot ,per calcolare il lato incognito,cioè la corda di uno di questi
settori circolari , ( la corda che mi è risultata dal calcolo è questa ,
0,000006283185338663821398448086106016 , mentre l’arco”dovrebbe” misurare ; raggio = 1.000.000 x
2 x π (3,1415926535897932384626433832795………..)diviso 1.000.000.000.000 =0,00000
6283185307179586476925286766559 , usando pi greco come rapporto , quindi la corda risulterebbe più
grande dell’arco che dovrebbe sottendere ,”cosa che non può essere”, al massimo “potrebbe….” diventare
pari , ciò a “dimostrare” che pi greco dovrebbe avere un valore maggiore, anche se di poco ma comunque
maggiore ) , poi con il teorema di Pitagora ho calcolato l’altezza ,ed infine ho calcolato l’area.
Il numero che mi è risultato dal calcolo è questo, 3,1415926693319106........ che secondo quanto detto è
ancora approssimato per difetto. (“ pi greco risulta errato per difetto dopo poche cifre decimali, l’ottava per
l’esattezza, avrò sbagliato il calcolo? Cosa che è probabile” ) ,
3,1415926535897932384626433832795…)
( pi greco =
Ho provato a calcolarlo anche considerando uno spicchio di un cerchio di r. = 1.000 : (1.000 x 1.000 ) ed è
risultato 3,141592653569……… approssimato per difetto a sua volta rispetto a pi greco risultando errato
alla 11° cifra decimale =3,1415926535897932384626433832795 e deduco sia giustificato dal fatto che
l’area non presa in considerazione ovviamente è più grande, man mano che si aumenta il raggio del cerchio
preso in considerazione quest’area diminuisce e aumentano le cifre decimali che seguono l’approssimazione
di pi greco , fino a superarlo ,se il calcolo è giusto naturalmente.
P.S. 3,14 è usato solo come riferimento ,in pratica non l’ho usato proprio , appunto perché qualunque sia
il numero dato come rapporto fra diametro - circonferenza o diametro -area del cerchio il prodotto non
cambierebbe, l’area di un cerchio di raggio 1.000.000 sarebbe sempre uguale all’area di 1.000miliardi di
cerchi di raggio 1
Non so se sono riuscito a spiegarmi, ma se ci sono riuscito credo che sarete d’accordo, il ragionamento
mi sembra logico, se l’errore c’è ed è probabile che ci sia , può esserci solo nel calcolo trigonometrico della
corda o base di questo triangolo acutissimo,
Il calcolo che vi ho proposto , se può essere eseguito in pratica equivale a calcolare un poligono di
1.000miliardi di lati iscritto nella circonferenza di raggio = 1 , ( no 1.000miliardi di lati è il poligono
iscritto nella circonferenza di r.= 1.000.000 che se rapportato alla circonferenza di r .=1 saranno almeno un
bilione di lati ) in una sola operazione. D’altronde se così non fosse come si spiegherebbe il numero che
ho ottenuto ? l’unica spiegazione sarebbe l’errato calcolo trigonometrico della base o corda del triangolo in
questione. perché appunto , per quanto riguarda la comparazione che ho fatto, cioè dividere l’area di una
circonferenza di raggio 1.000.000 in 1000miliardi di settori e comparare l’area di uno solo di questi settori
all’area di una circonferenza di raggio = 1 , qualunque sia il rapporto dato, mi sembra logico , è una
comparazione matematica , quindi impossibile essere inesatta , a meno che, come già detto non vi sia
qualche impedimento che io naturalmente non conosco nel dividere diciamo così una torta a spicchi .
Se avete letto e compreso quanto scritto vi sarete resi conto che alla fine per semplificare maggiormente
basta calcolare trigonometricamente la corda di uno di questi triangoli isoscele,dividerlo x 2 togliendo gli
zeri iniziali, per avere il valore di π di un cerchio di raggio =1con la giusta approssimazione ,con la
sicurezza che non può essere di meno .Portato al limite π risulta errato già dalla quarta cifra decimale.