Vantaggio temporale

Nome file \\roskos\c\scuola\corso fisica\1\moto rettilineo uniforme\moto rettilineo uniforme 1.doc
Creato il 25/02/2000 19.35.00 elaborato il 14/05/2006 alle ore 18.30.26
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Problemi sul moto rettilineo uniforme
Vantaggio temporale
VA
S(m)
S0A=0 m
t0A=0 s
Un motociclista passa dall’origine del sistema di riferimento (S0A=0 m) al tempo t0A=0 s ad una velocità VA=40
Km/h.
Dopo un tempo t0B=600 s un’automobile passa dall’origine del sistema di riferimento (S0B=0 m) alla velocità
VB=100 Km/h.
VB
VA
S(m)
S0B=0 m
t0B=600 s
Dopo quanto tempo e in quale posizione l’auto B raggiungerà la moto A ?
Risoluzione
Innanzi tutto trasformiamo i dati nel S.I. (Sistema Internazionale):
V A = 40
Km
1000 m
m
= 40
= 11.1
h
3600 s
s
VB = 100
Km
1000 m
m
= 100
= 27.8
h
3600 s
s
Scriviamo le equazioni del moto dei due oggetti.
Per la moto si ha
S A = V A ⋅ (t − t0 A ) + S 0 A
da cui, tenendo conto che S0A=0 m e t0A=0 s si ha
S A = VA ⋅ t
Per l’auto si ha
se t < 600 s
⎧0
SB = ⎨
⎩VB ⋅ (t − t 0 B ) + S 0 B se t ≥ 600 s
da cui, tenendo conto che S0A=0 m e t0B=600 s si ha
se t < 600 s
⎧0
SB = ⎨
⎩VB ⋅ (t − 600 ) se t ≥ 600 s
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Andrea Zucchini
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Le due equazioni orarie forniscono il valore dello spazio persorso dai mezzi al trascorrere del tempo.
Come possiamo tradurre il raggiungimento dell’auto alla moto in formula matematica ?
Quando l’auto raggiunge la moto i due oggetti occuperanno la stessa posizione, quindi avranno percorso lo
stesso spazio nel sistema di riferimento scelto.
Scriviamo quindi
SA = SB
da cui
V A ⋅ t = VB ⋅ (t − t 0 )
Cerco di isolare la grandezza sconosciuta t in funzione di altri elementi noti; si ha
V A ⋅ t = VB ⋅ t − VB ⋅ t 0
VB ⋅ t 0 = VB ⋅ t − V A ⋅ t
VB ⋅ t0 = (VB − V A ) ⋅ t
t=
VB ⋅ t 0
VB − V A
Sostituendo i dati nella formula si ha
t=
27.8 ⋅ 600
= 998.8 s
27.8 − 11.1
t rappresenta il tempo a cui i due oggetti occupano la stessa posizione, quindi si sono raggiunti.
Lo spazio a cui avviene il ricongiungimento si trova sostituendo nelle equazioni orarie i dati già noti e il tempo t
calcolato.
S A = 11.1 ⋅ 998.8 ≈ 11088 m
S B = 27.8 ⋅ (998.8 − 600 ) ≈ 11087 m
Proviamo a rappresentare su un diagramma orario comune le due equazioni per l’auto e la moto
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
-2000 0
200
400
600
800
1000
1200
Dal grafico vediamo che i due grafici si intersecano dopo circa 1000 s e ad una distanza di circa 11000 m
dall’origine in accordo con quanto calcolato.
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Andrea Zucchini
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Vantaggio spaziale
VB
VA
S0B=0 m
S0A=2500 m
S(m)
t0A=t0B=0 s
Anche in questo secondo esempio auto e moto si muovono a velocità costante, rispettivamente VA=40 Km/h e
VB=100 Km/h.
Nello stesso istante (quindi t0A=t0B=0 s) transitano a posizioni differenti rispetto al sistema di riferimento:
al tempo t0A=t0B=0 s l’auto passa esattamente dall’origine (S0B=0 m), mentre la moto, nello stesso istante, passa
dalla posizione S0A=2500 m.
La domanda che ci poniamo è sempre a quale distanza dall’origine e dopo quanto tempo i due mezzi si
incontrano.
Risoluzione
Scriviamo innanzi tutto le equazioni del moto per i due mezzi:
S A = V A ⋅ (t − t0 A ) + S 0 A
S B = VB ⋅ (t − t 0 B ) + S 0 B
tenendo conto dei dati del problema (t0A=t0B=0 s, S0A≠0 m, S0B=0 m) esse diventano
S A = V A ⋅ t + S0 A
S B = VB ⋅ t
procedendo come nel caso precedente l’incontro si avrà quando
SA = SB
da cui
V A ⋅ t + S 0 A = VB ⋅ t
volendo ricavare il tempo d’incontro si avrà
S 0 A = VB ⋅ t − V A ⋅ t
S 0 A = (VB − V A ) ⋅ t
t=
S0 A
VB − V A
sostituendo nella formula ricavata si avrà
t=
2500
= 149.7 s
27.8 − 11.1
La posizione dell’incontro fra i due mezzi sarà, come nel caso precedente, ricavabile dalle equazioni orarie:
S A = 11.1 ⋅ 149.7 + 2500 ≈ 4161.7 m
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Andrea Zucchini
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S B = 27.8 ⋅ 149.7 ≈ 4161.7 m
Sul diagramma orario si avrà
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
50
100
150
200
da cui si vede che l’auto raggiunge la stessa posizione della moto dopo circa 150 s.
Vantaggio spaziale e temporale
VA
0
S(m)
S0A=2500 m
t0A= 0 s
Una moto passa dalla posizione S0A=2500 m al tempo t0A= 0 s ad una velocità VA=40 Km/h.
Successivamente un’auto si muove dall’origine al tempo t0B= 200 s ad una velocità VB=100 Km/h.
VB
VA
S0B=0 m
SA=?
S(m)
t0B=200 s
Dopo quanto tempo e in quale posizione i due mezzi si incontreranno ?
Risoluzione
Dei due mezzi si sa quindi che la moto rispetto all’auto ha un vantaggio spaziale (si trova a 2,5 Km quando il
cronometro inizia a misurare il tempo) e un vantaggio temporale (l’auto parte dall’origine dopo 200 s quindi in
ritardo e più indietro!)
Al solito scriviamo le equazioni del moto:
S A = V A ⋅ t + S0 A
se t < 200 s
⎧0
SB = ⎨
⎩VB ⋅ (t − t 0 B ) se t ≥ 200 s
SA = SB
V A ⋅ t + S 0 A = VB ⋅ (t − t0 B )
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Andrea Zucchini
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V A ⋅ t + S 0 A = VB ⋅ t − VB ⋅ t 0 B
S 0 A + VB ⋅ t 0 B = VB ⋅ t − V A ⋅ t
S 0 A + VB ⋅ t 0 B = (VB − V A ) ⋅ t
t=
S 0 A + VB ⋅ t0 B
VB − V A
Sostituendo i valori si ottiene
t=
2500 + 27.8 ⋅ 200
= 482.6 s
27.8 − 11.1
Al solito la posizione d’incontro si avrà utilizzando le equazioni orarie:
S A = 11.1 ⋅ 482.6 + 2500 ≈ 7857 m
S B = 27.8 ⋅ (482.6 − 200) ≈ 7856 m
Il diagramma orario si presenta nel seguente modo
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
-2000
0
200
400
600
800
Oggetti in movimento opposto
VB
VA
S0B=6000 m
SA=0 m
S(m)
t0B=0 s
t0A=0 s
In quest’ultimo problema i due mezzi si muovono in direzioni opposte; la moto parte dall’origine al tempo t0A=
0 s e si muove verso destra alla velocità VA=40 Km/h, mentre l’auto parte allo stesso istante (t0A= 0 s) dalla
posizione S0B=6000 m e si muove verso sinistra alla velocità VB=100 Km/h.
Dopo quanto tempo e in quale posizione i due mezzi si incontreranno ?
Risoluzione
Dobbiamo considerare preliminarmente il problema del moto dell’auto che è opposto all’orientamento del
sistema di riferimento scelto.
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Andrea Zucchini
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Scriviamo le equazioni del moto per i due mezzi:
S A = V A ⋅ (t − t0 A ) + S 0 A
S B = VB ⋅ (t − t 0 B ) + S 0 B
Al trascorrere del tempo la moto, come nei casi precedenti, aumenta la sua distanza dall’origine e quindi a S0A
si aggiunge (si somma) il termine V A ⋅ (t − t 0 A ) , con V A > 0 V A = +40
Km
.
h
L’auto invece diminuisce la sua distanza dall’origine e quindi alla posizione iniziale S0B si dovrà sottrarre la
quantità VB ⋅ (t − t 0 B ) ; questo lo si ottiene considerando la velocità VB < 0 quindi VB = −100
Km
h
Tenendo conto dei dati del problema (t0A=t0B=0 s, S0A=0 m, S0B=6000 m) esse diventano
S A = VA ⋅ t
S B = VB ⋅ t + S 0 B
Procedendo come nel caso precedente l’incontro si avrà quando
SA = SB
da cui
V A ⋅ t = VB ⋅ t + S 0 B
volendo ricavare il tempo d’incontro si avrà
(V A − VB ) ⋅ t = S 0 B
t=
sostituendo nella formula ricavata si avrà t =
S0B
V A − VB
6000
6000
=
= 154.2 s
11.1 − (− 27.8) 38.9
La posizione dell’incontro fra i due mezzi sarà, come nel caso precedente, ricavabile dalle equazioni orarie:
S A = 11.1 ⋅ 154.2 ≈ 1711.6 m
S B = −27.8 ⋅ 154.2 + 6000 ≈ 1713.2 m
Il diagramma orario si presenta nel seguente modo
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
50
100
150
200
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Andrea Zucchini